0% fullført
Kapittel 11.4
I dette prosjektkapitlet skal du kombinere numerisk integrasjon og rekursjon for å løse praktiske problemer med arealer og volum.
Nå skal vi bruke våre integrasjonsmetoder til å beregne arealet under mer komplekse funksjoner som ikke har enkle analytiske løsninger.
Normalfordelingen (Gauss-kurven) er gitt ved:
Arealet under hele kurven er 1. Vi skal beregne arealet fra -1 til 1 (omtrent 68% av totalarealet).
Når vi roterer en kurve rundt x-aksen, får vi et rotasjonslegeme. Volumet av dette legemet kan beregnes med formelen:
V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Vi integrerer tverrsnittsarealet π·r² = π·[f(x)]² langs x-aksen
Vi kan bruke rekursjon til å forbedre integrasjonsnøyaktigheten gradvis. Dette kalles adaptiv integrasjon.
Ideen er å doble antall intervaller til vi når ønsket nøyaktighet:
Monte Carlo-integrasjon bruker tilfeldige punkter for å estimere arealer. Dette er en helt annen metode enn Riemann-summer og trapesmetoden!
✓Numerisk integrasjon: Riemann-sum, trapes, Simpson
✓Simpsons regel gir best nøyaktighet for glatte funksjoner
✓Rekursive følger: aₙ₊₁ = f(aₙ), inkludert Fibonacci og geometriske følger
✓Volum ved rotasjon: V = π·∫[f(x)]² dx
✓Adaptiv integrasjon og Monte Carlo-metoder for avanserte problemer