0% fullført
Kapittel 11.1
I dette kapitlet skal du lære hvordan du kan beregne arealet under en kurve ved hjelp av numeriske metoder og Riemann-summer.
Når vi skal finne arealet under en funksjonskurve, bruker vi integrasjon. I matematikk kan vi ofte bruke antiderivasjon, men med Python kan vi bruke numerisk integrasjon - det vil si at vi tilnærmer arealet ved hjelp av beregninger.
Vi skriver integralet fra a til b av funksjonen f(x) som:
Dette betyr: arealet mellom kurven y = f(x) og x-aksen, fra x = a til x = b.
Den enkleste måten å tilnærme et integral på er å dele området under kurven inn i n rektangler med lik bredde. Dette kalles en Riemann-sum.
Det finnes to hovedmåter å velge høyden på rektanglene:
Bruk funksjonsverdien ved venstre kant av hvert rektangel
Bruk funksjonsverdien ved høyre kant av hvert rektangel
La oss beregne det berømte integralet ∫₀¹ x² dx. Vi vet fra analytisk matematikk at det eksakte svaret er 1/3 ≈ 0.3333.
Lag en funksjon som beregner ∫₀² x³ dx ved hjelp av venstre sum.
Bruk n = 50 rektangler
Sammenlign med det eksakte svaret: 4 (siden ∫x³dx = x⁴/4, så ∫₀² x³dx = 16/4 = 4)
Hvor mange prosent feil er tilnærmingen din?
✓Numerisk integrasjon beregner arealet under en kurve ved tilnærming
✓Riemann-summer deler området i rektangler med bredde Δx = (b-a)/n
✓Venstre sum bruker f(xi), høyre sum bruker f(xi+1)
✓Midtpunktsregel gir ofte bedre nøyaktighet enn venstre/høyre sum
✓Flere rektangler (større n) = mer nøyaktig resultat