0% fullført
Kapittel 11.2
I dette kapitlet skal du lære om mer nøyaktige metoder for numerisk integrasjon: trapesmetoden og Simpsons regel.
I forrige kapittel brukte vi rektangler for å tilnærme arealet. Trapesmetoden gir bedre nøyaktighet ved å bruke trapeser i stedet for rektangler.
Et trapes følger kurven bedre enn et rektangel fordi toppen er skrå i stedet for flat.
Areal av ett trapes = (h₁ + h₂) / 2 · Δx
der h₁ = f(xi) og h₂ = f(xi+1) er høydene ved venstre og høyre kant
Merk at alle indre punkter teller dobbelt, mens endepunktene teller enkelt.
La oss sammenligne Riemann-sum (midtpunkt) og trapesmetoden for samme funksjon:
Simpsons regel er en enda mer nøyaktig metode som bruker paraboler (andregradspolynom) i stedet for rette linjer for å tilnærme kurven.
Merknad: Simpsons regel krever at n er partall (jevnt antall intervaller).
Vi vet at arealet av en sirkel med radius 1 er π. Ved å integrere funksjonen f(x) = √(1 - x²) fra -1 til 1 får vi arealet av halvsirkelen, som er π/2. Derfor: 2 · ∫₋₁¹ √(1 - x²) dx = π
✓Trapesmetoden bruker trapeser og gir bedre nøyaktighet enn rektangler
✓Formelen: Δx/2 · [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + f(xₙ)]
✓Simpsons regel bruker paraboler og gir enda bedre nøyaktighet
✓Simpsons regel krever partall antall intervaller (n må være partall)
✓Numerisk integrasjon kan brukes til å beregne π og andre konstanter