10. klasseKapittel 10.6

Kombinatorikk

Kombinatorikk handler om å telle antall muligheter på en systematisk måte. Du lærer om multiplikasjonsprinsippet og hvordan du kan finne antall mulige utfall i ulike situasjoner.

15 min

4 oppgaver

Dette skal du lære

•Multiplikasjonsprinsippet
•Valgtre
•Permutasjoner
•Kombinasjoner

Multiplikasjonsprinsippet

Når du skal gjøre flere valg etter hverandre, multipliserer du antall muligheter for hvert valg.

Eksempel: Antrekk

Du har 3 gensere og 4 bukser. Hvor mange antrekk kan du lage?

3 \times 4 = 12 \text{ antrekk}

Generelt:

\text{Totalt antall} = n_1 \times n_2 \times n_3 \times ...

Valgtre

Et valgtre er en systematisk måte å vise alle mulighetene på. Hver forgrening representerer et valg.

Eksempel: Myntkast

To myntkast gir 4 mulige utfall:

Mynt-Mynt (MM)
Mynt-Kron (MK)
Kron-Mynt (KM)
Kron-Kron (KK)

$2 \times 2 = 4$ muligheter

Ordnede utvalg

Når rekkefølgen har betydning, kaller vi det et ordnet utvalg (permutasjon).

Eksempel: Paller

3 personer skal fordeles på gull, sølv og bronse. Hvor mange måter?

3 \times 2 \times 1 = 3! = 6 \text{ måter}

Fakultet (n!):

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Beregn fakultet

Bruk GeoGebra til å beregne fakultet.

Laster GeoGebra...

Kombinasjoner

Når rekkefølgen ikke har betydning, kaller vi det en kombinasjon.

Eksempel: Velge lag

Du skal velge 2 personer fra en gruppe på 5. Hvor mange måter?

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Øv selv

Ekstra oppgaver

Du har 5 skjorter og 3 bukser. Hvor mange antrekk kan du lage?
Hvor mange tresifrede tall kan du lage med sifrene 1, 2, 3, 4, 5?
Beregn 6! i GeoGebra
Tegn et valgtre for tre myntkast
På hvor mange måter kan 4 personer stille seg i kø?

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`n!`	Beregner fakultet	`5! = 120`
`nCr(n, r)`	Beregner kombinasjoner	`nCr(5, 2) = 10`
`nPr(n, r)`	Beregner permutasjoner	`nPr(5, 2) = 20`

Oppsummering

Multiplikasjonsprinsippet: Total = n₁ × n₂ × ...
Fakultet: n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1
Ordnet utvalg: rekkefølgen teller
Kombinasjon: rekkefølgen teller ikke

Multiplikasjonsprinsippet

Når du skal gjøre flere valg etter hverandre, multipliserer du antall muligheter for hvert valg.

Eksempel: Antrekk

Du har 3 gensere og 4 bukser. Hvor mange antrekk kan du lage?

3 \times 4 = 12 \text{ antrekk}

Generelt:

\text{Totalt antall} = n_1 \times n_2 \times n_3 \times ...

Ordnede utvalg

Når rekkefølgen har betydning, kaller vi det et ordnet utvalg (permutasjon).

Eksempel: Paller

3 personer skal fordeles på gull, sølv og bronse. Hvor mange måter?

3 \times 2 \times 1 = 3! = 6 \text{ måter}

Fakultet (n!):

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Beregn fakultet

Bruk GeoGebra til å beregne fakultet.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

n!

Beregner fakultet

5! = 120

nCr(n, r)

Beregner kombinasjoner

nCr(5, 2) = 10

nPr(n, r)

Beregner permutasjoner

nPr(5, 2) = 20