Romgeometri handler om punkter, linjer og plan i tre dimensjoner. Vi studerer avstand, vinkler og skjæringer mellom disse objektene.
Et plan i rommet kan beskrives på flere ekvivalente måter:
der (a, b, c) er normalvektoren til planet
Plan(punkt, normalvektor)Plan(tre punkter)Plan(ax + by + cz = d)Gitt P₁, P₂, P₃: Finn to vektorer i planet og bruk kryssprodukt for å finne normalvektoren.
Lag plan på ulike måter.
Avstanden fra et punkt P₀(x₀, y₀, z₀) til planet ax + by + cz = d er:
Avstand(punkt, plan)Beregner korteste avstand automatisk
Finn avstanden fra P(2, 3, 1) til planet x + y + z = 6:
Punktet ligger i planet!
Bruk også Distance(punkt, linje) for linjeavstand.
Beregn avstander i rommet.
Vinkelen mellom to plan er vinkelen mellom deres normalvektorer:
To plan er parallelle hvis normalvektorene er parallelle: n₁ = k·n₂ for en konstant k
To plan er ortogonale (vinkelrette) hvis n₁ · n₂ = 0
Finn vinkelen mellom x + 2y + 2z = 5 og 2x - y + 2z = 3:
Finn vinkler mellom plan.
Skjæringen mellom geometriske objekter i rommet gir nye objekter:
Skjæringen er en linje (hvis ikke parallelle)
Skjæring(plan1, plan2)Skjæringen er et punkt (hvis ikke parallelle)
Skjæring(linje, plan)Sett inn linjens parameterfremstilling i planets likning og løs for parameteren t.
Finn skjæringer mellom objekter.
Løs oppgavene over.
| Kommando | Beskrivelse | Eksempel |
|---|---|---|
Plan(P, n) | Plan gjennom P med normalvektor n | Plan((0,0,0), (1,2,3)) |
Plan(P, Q, R) | Plan gjennom tre punkter | Plan((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) |
Avstand(P, alpha) | Avstand punkt til plan | Avstand((1,1,1), Plan(x+y+z=0)) |
Skjæring(obj1, obj2) | Finn skjæring | Skjæring(line, plane) |