R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.4

Romgeometri

Romgeometri handler om punkter, linjer og plan i tre dimensjoner. Vi studerer avstand, vinkler og skjæringer mellom disse objektene.

20 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Planets likning
•Avstand punkt-plan
•Vinkel mellom plan
•Skjæring

Planets likning

Et plan i rommet kan beskrives på flere ekvivalente måter:

Normalform:

ax + by + cz = d

der (a, b, c) er normalvektoren til planet

Plan() i GeoGebra:

Plan(punkt, normalvektor)Plan(tre punkter)Plan(ax + by + cz = d)

Plan gjennom tre punkter:

Gitt P₁, P₂, P₃: Finn to vektorer i planet og bruk kryssprodukt for å finne normalvektoren.

\vec{n} = (\vec{P_2} - \vec{P_1}) \times (\vec{P_3} - \vec{P_1})

Planets likning

Lag plan på ulike måter.

Laster GeoGebra...

Avstand punkt til plan

Avstanden fra et punkt P₀(x₀, y₀, z₀) til planet ax + by + cz = d er:

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Distance() i GeoGebra:

Avstand(punkt, plan)

Beregner korteste avstand automatisk

Eksempel:

Finn avstanden fra P(2, 3, 1) til planet x + y + z = 6:

d = \frac{|2 + 3 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0

Punktet ligger i planet!

Avstand punkt til linje:

Bruk også Distance(punkt, linje) for linjeavstand.

Avstand punkt-plan

Beregn avstander i rommet.

Laster GeoGebra...

Vinkel mellom plan

Vinkelen mellom to plan er vinkelen mellom deres normalvektorer:

\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

Parallelle plan:

To plan er parallelle hvis normalvektorene er parallelle: n₁ = k·n₂ for en konstant k

Ortogonale plan:

To plan er ortogonale (vinkelrette) hvis n₁ · n₂ = 0

Eksempel:

Finn vinkelen mellom x + 2y + 2z = 5 og 2x - y + 2z = 3:

\vec{n}_1 = (1, 2, 2), \quad \vec{n}_2 = (2, -1, 2)

\cos\theta = \frac{|1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2|}{\sqrt{9}\sqrt{9}} = \frac{4}{9}

Vinkel mellom plan

Finn vinkler mellom plan.

Laster GeoGebra...

Skjæring av plan og linjer

Skjæringen mellom geometriske objekter i rommet gir nye objekter:

To plan:

Skjæringen er en linje (hvis ikke parallelle)

Skjæring(plan1, plan2)

Linje og plan:

Skjæringen er et punkt (hvis ikke parallelle)

Skjæring(linje, plan)

Analytisk metode:

Sett inn linjens parameterfremstilling i planets likning og løs for parameteren t.

Skjæringer

Finn skjæringer mellom objekter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Finn planets ligning gjennom (1,2,3), (2,1,3), (1,1,4)
Beregn avstanden fra (5,5,5) til x + 2y + 2z = 9
Finn vinkelen mellom x + y + z = 1 og x - y = 0
Er planene 2x + 3y - z = 4 og 4x + 6y - 2z = 1 parallelle?
Finn skjæringspunktet mellom linjen r = (1,0,0) + t(1,1,1) og planet x + y + z = 6

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Plan(P, n)`	Plan gjennom P med normalvektor n	`Plan((0,0,0), (1,2,3))`
`Plan(P, Q, R)`	Plan gjennom tre punkter	`Plan((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))`
`Avstand(P, alpha)`	Avstand punkt til plan	`Avstand((1,1,1), Plan(x+y+z=0))`
`Skjæring(obj1, obj2)`	Finn skjæring	`Skjæring(line, plane)`

Oppsummering

Plan: ax + by + cz = d med normalvektor (a, b, c)
Avstand punkt-plan: |ax₀ + by₀ + cz₀ - d|/√(a² + b² + c²)
Vinkel mellom plan: cos(θ) = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
Parallelle plan: n₁ = k·n₂
Skjæring() finner skjæringer

Planets likning

Et plan i rommet kan beskrives på flere ekvivalente måter:

Normalform:

ax + by + cz = d

der (a, b, c) er normalvektoren til planet

Plan() i GeoGebra:

Plan(punkt, normalvektor)Plan(tre punkter)Plan(ax + by + cz = d)

Plan gjennom tre punkter:

Gitt P₁, P₂, P₃: Finn to vektorer i planet og bruk kryssprodukt for å finne normalvektoren.

\vec{n} = (\vec{P_2} - \vec{P_1}) \times (\vec{P_3} - \vec{P_1})

Planets likning

Lag plan på ulike måter.

Laster GeoGebra...

Avstand punkt til plan

Avstanden fra et punkt P₀(x₀, y₀, z₀) til planet ax + by + cz = d er:

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Distance() i GeoGebra:

Avstand(punkt, plan)

Beregner korteste avstand automatisk

Eksempel:

Finn avstanden fra P(2, 3, 1) til planet x + y + z = 6:

d = \frac{|2 + 3 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0

Punktet ligger i planet!

Avstand punkt til linje:

Bruk også Distance(punkt, linje) for linjeavstand.

Avstand punkt-plan

Beregn avstander i rommet.

Laster GeoGebra...

Vinkel mellom plan

Vinkelen mellom to plan er vinkelen mellom deres normalvektorer:

\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

Parallelle plan:

To plan er parallelle hvis normalvektorene er parallelle: n₁ = k·n₂ for en konstant k

Ortogonale plan:

To plan er ortogonale (vinkelrette) hvis n₁ · n₂ = 0

Eksempel:

Finn vinkelen mellom x + 2y + 2z = 5 og 2x - y + 2z = 3:

\vec{n}_1 = (1, 2, 2), \quad \vec{n}_2 = (2, -1, 2)

\cos\theta = \frac{|1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2|}{\sqrt{9}\sqrt{9}} = \frac{4}{9}

Vinkel mellom plan

Finn vinkler mellom plan.

Laster GeoGebra...

Skjæring av plan og linjer

Skjæringen mellom geometriske objekter i rommet gir nye objekter:

To plan:

Skjæringen er en linje (hvis ikke parallelle)

Skjæring(plan1, plan2)

Linje og plan:

Skjæringen er et punkt (hvis ikke parallelle)

Skjæring(linje, plan)

Analytisk metode:

Sett inn linjens parameterfremstilling i planets likning og løs for parameteren t.

Skjæringer

Finn skjæringer mellom objekter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Finn planets ligning gjennom (1,2,3), (2,1,3), (1,1,4)
Beregn avstanden fra (5,5,5) til x + 2y + 2z = 9
Finn vinkelen mellom x + y + z = 1 og x - y = 0
Er planene 2x + 3y - z = 4 og 4x + 6y - 2z = 1 parallelle?
Finn skjæringspunktet mellom linjen r = (1,0,0) + t(1,1,1) og planet x + y + z = 6

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

Plan(P, n)

Plan gjennom P med normalvektor n

Plan((0,0,0), (1,2,3))

Plan(P, Q, R)

Plan gjennom tre punkter

Plan((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))

Avstand(P, alpha)

Avstand punkt til plan

Avstand((1,1,1), Plan(x+y+z=0))

Skjæring(obj1, obj2)

Finn skjæring

Skjæring(line, plane)