Integrasjonsteknikker utvider verktøykassen for å løse integraler utover grunnleggende standardformer. Vi ser på delvis integrasjon, substitusjon, delbrøkoppspalting og uegentlige integraler.
Delvis integrasjon brukes når integranden er et produkt av to funksjoner:
Finn ∫x·eˣ dx. Velg u = x og dv = eˣ dx:
Løs integraler med produktregel for integrasjon.
Substitusjon brukes når integranden inneholder en sammensatt funksjon. Vi setter u = g(x) og erstatter dx med du:
Finn ∫2x·cos(x²) dx. La u = x²:
Bruk variabelsubstitusjon for å løse integraler.
For å integrere rasjonale funksjoner bruker vi delbrøkoppspalting. Vi spalter opp brøken i enklere delbrøker:
Denne kommandoen spalter automatisk opp rasjonale funksjoner i delbrøker som er lettere å integrere.
Finn ∫(3x + 5)/(x² - x - 2) dx:
Først faktoriser nevner: x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Løs for A og B, deretter integrer hver delbrøk.
Bruk Delbrøker() for å spalte opp rasjonale funksjoner.
Uegentlige integraler har enten uendelige grenser eller funksjonen har asymptote i integrasjonsområdet:
Integralet konvergerer hvis grenseverdien eksisterer og er endelig.
Beregn ∫₁^∞ (1/x²) dx:
Hvis f(x) har asymptote i x = c innenfor [a,b], splitt integralet:
Beregn integraler med uendelige grenser.
Løs oppgavene over.
| Kommando | Beskrivelse | Eksempel |
|---|---|---|
Integral(f) | Ubestemt integral | Integral(x * e^x) |
Integral(f, a, b) | Bestemt integral | Integral(1/x^2, 1, 5) |
Delbrøker(f) | Delbrøkoppspalting | Delbrøker(1/(x^2-1)) |
Grense(expr, x, a) | Grenseverdi | Grense(Integral(1/x^2, 1, b), b, infinity) |