R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.2

Differensiallikninger

Differensiallikninger beskriver hvordan en funksjon endrer seg. De er fundamentale i fysikk, biologi og økonomi for å modellere dynamiske systemer som vekst, bevegelse og varmeledning.

22 min

6 oppgaver

Dette skal du lære

•Første orden
•Andre orden
•Retningsfelt
•Analytiske løsninger

Første ordens separable likninger

En første ordens differensialligning har formen y' = f(x, y). Hvis den er separabel kan vi skrive:

\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)

Løsningsmetode:

Separer variablene: (1/h(y)) dy = g(x) dx
Integrer begge sider
Løs for y hvis mulig
Bruk initialverdi for å finne integrasjonskonstanten

Eksempel - Eksponentiell vekst:

Løs y' = ky med y(0) = y₀:

\frac{dy}{dx} = ky \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{y} = k\,dx

\int \frac{dy}{y} = \int k\,dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y| = kx + C

y = Ae^{kx}, \quad A = y_0

Separable likninger

Løs første ordens differensiallikninger.

Laster GeoGebra...

Andre ordens likninger

Andre ordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter:

ay'' + by' + cy = 0

Karakteristisk ligning:

ar^2 + br + c = 0

Løsningen avhenger av røttene til denne andregradslikningen:

Tre tilfeller:

To reelle røtter r₁, r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
En dobbeltrot r: y = (C₁ + C₂x)e^(rx)
Komplekse røtter α ± βi: y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

Eksempel - Harmonisk oscillator:

Løs y'' + ω²y = 0 (udempet svingning):

r^2 + \omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm i\omega

y = C_1\cos(\omega x) + C_2\sin(\omega x)

Andre ordens likninger

Løs andre ordens differensiallikninger.

Laster GeoGebra...

Retningsfelt

Retningsfelt visualiserer en differensialligning ved å tegne små linjestykker som viser stigningstallet y' i hvert punkt (x, y):

Retningsfelt() i GeoGebra:

Retningsfelt(f(x, y))

Tegner retningsfelt for differensiallikningen y' = f(x, y)

Hvordan lese retningsfelt:

Hver linje viser retningen løsningskurven har i det punktet
Følg linjene for å se hvordan løsninger oppfører seg
Likevektspunkter: der alle linjer er horisontale (y' = 0)

Retningsfelt

Visualiser differensiallikninger med Retningsfelt().

Laster GeoGebra...

Løsning med SolveODE()

GeoGebra kan løse mange differensiallikninger numerisk og analytisk:

Syntaks:

SolveODE(<y'>, <x-start>, <y-start>, <x-slutt>, <steg>)

eller med initialverdi:

SolveODE(<y'>, (x₀, y₀))

Eksempel - Logistisk vekst:

Løs y' = y(1 - y) med y(0) = 0.1:

SolveODE(y * (1 - y), (0, 0.1))

Gir løsningen som en funksjon du kan plotte og analysere.

Kombinere med retningsfelt:

Bruk Retningsfelt() og SolveODE() sammen for å se både det generelle oppførselen og spesifikke løsninger.

SolveODE() med initialverdier

Løs differensiallikninger numerisk.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Løs y' = 2xy med y(0) = 1
Løs y'' + 9y = 0
Tegn retningsfelt for y' = x + y
Bruk SolveODE() på y' = y² med y(0) = 1
Finn likevektspunkter for y' = y(2 - y)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`SolveODE(y')`	Løs differensialligning	`SolveODE(k*y)`
`SolveODE(y', (x₀, y₀))`	Løs med initialverdi	`SolveODE(y*(1-y), (0, 0.1))`
`Retningsfelt(f)`	Tegn retningsfelt	`Retningsfelt(x - y)`
`Løs(y' = 0, y)`	Finn likevektspunkter	`Løs(y*(2-y) = 0, y)`

Oppsummering

Separable: (1/h(y))dy = g(x)dx, integrer begge sider
Andre ordens: Bruk karakteristisk ligning ar² + br + c = 0
Retningsfelt(f) viser retningsfelt for y' = f(x,y)
SolveODE(y', (x₀, y₀)) løser med initialverdi
Likevektspunkter: der y' = 0

Første ordens separable likninger

En første ordens differensialligning har formen y' = f(x, y). Hvis den er separabel kan vi skrive:

\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)

Løsningsmetode:

Separer variablene: (1/h(y)) dy = g(x) dx
Integrer begge sider
Løs for y hvis mulig
Bruk initialverdi for å finne integrasjonskonstanten

Eksempel - Eksponentiell vekst:

Løs y' = ky med y(0) = y₀:

\frac{dy}{dx} = ky \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{y} = k\,dx

\int \frac{dy}{y} = \int k\,dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y| = kx + C

y = Ae^{kx}, \quad A = y_0

Separable likninger

Løs første ordens differensiallikninger.

Laster GeoGebra...

Andre ordens likninger

Andre ordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter:

ay'' + by' + cy = 0

Karakteristisk ligning:

ar^2 + br + c = 0

Løsningen avhenger av røttene til denne andregradslikningen:

Tre tilfeller:

To reelle røtter r₁, r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
En dobbeltrot r: y = (C₁ + C₂x)e^(rx)
Komplekse røtter α ± βi: y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

Eksempel - Harmonisk oscillator:

Løs y'' + ω²y = 0 (udempet svingning):

r^2 + \omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm i\omega

y = C_1\cos(\omega x) + C_2\sin(\omega x)

Andre ordens likninger

Løs andre ordens differensiallikninger.

Laster GeoGebra...

Retningsfelt

Retningsfelt visualiserer en differensialligning ved å tegne små linjestykker som viser stigningstallet y' i hvert punkt (x, y):

Retningsfelt() i GeoGebra:

Retningsfelt(f(x, y))

Tegner retningsfelt for differensiallikningen y' = f(x, y)

Hvordan lese retningsfelt:

Hver linje viser retningen løsningskurven har i det punktet
Følg linjene for å se hvordan løsninger oppfører seg
Likevektspunkter: der alle linjer er horisontale (y' = 0)

Retningsfelt

Visualiser differensiallikninger med Retningsfelt().

Laster GeoGebra...

Løsning med SolveODE()

GeoGebra kan løse mange differensiallikninger numerisk og analytisk:

Syntaks:

SolveODE(<y'>, <x-start>, <y-start>, <x-slutt>, <steg>)

eller med initialverdi:

SolveODE(<y'>, (x₀, y₀))

Eksempel - Logistisk vekst:

Løs y' = y(1 - y) med y(0) = 0.1:

SolveODE(y * (1 - y), (0, 0.1))

Gir løsningen som en funksjon du kan plotte og analysere.

Kombinere med retningsfelt:

Bruk Retningsfelt() og SolveODE() sammen for å se både det generelle oppførselen og spesifikke løsninger.

SolveODE() med initialverdier

Løs differensiallikninger numerisk.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

SolveODE(y')

Løs differensialligning

SolveODE(k*y)

SolveODE(y', (x₀, y₀))

Løs med initialverdi

SolveODE(y*(1-y), (0, 0.1))

Retningsfelt(f)

Tegn retningsfelt

Retningsfelt(x - y)

Løs(y' = 0, y)

Finn likevektspunkter

Løs(y*(2-y) = 0, y)