R2 - RealfagsmatematikkKapittel R2.6

Avansert funksjonsanalyse

Avansert funksjonsanalyse utvider verktøykassen med grenseverdier, L'Hôpitals regel og Taylor-rekker for å studere funksjoners oppførsel i detalj.

20 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Grenseverdier
•Kontinuitet
•L'Hôpital
•Taylor-rekker

Grenseverdier med Grense()

Grenseverdier beskriver funksjoners oppførsel når x nærmer seg en verdi:

\lim_{x \to a} f(x) = L

Grense() i GeoGebra:

Grense(<funksjon>, <verdi>)

Beregner grenseverdien når x går mot verdien.

Eksempel:

Finn lim(x→0) sin(x)/x:

Grense(sin(x)/x, x, 0)

Resultat: 1 (viktig grenseverdi!)

Ensidig grenseverdi:

Grense(f, a⁺) - fra høyreGrense(f, a⁻) - fra venstre

Grenseverdier

Beregn grenseverdier med Grense().

Laster GeoGebra...

L'Hôpitals regel

Når en grenseverdi gir ubestemt form 0/0 eller ∞/∞, kan vi bruke L'Hôpitals regel:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Fremgangsmåte:

Sjekk at grenseverdien gir 0/0 eller ∞/∞
Deriver teller og nevner hver for seg
Beregn grenseverdien av den nye brøken
Gjenta om nødvendig

Eksempel:

Finn lim(x→0) (eˣ - 1)/x:

Form: 0/0 ✓ Bruk L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1

Andre ubestemte former:

0·∞, ∞ - ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰ kan omskrives til 0/0 eller ∞/∞

L'Hôpitals regel

Løs ubestemte former.

Laster GeoGebra...

Taylor-rekker

Taylor-rekker tilnærmer en funksjon som en uendelig sum av polynomer:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Maclaurin-rekke (a = 0):

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots

Viktige Taylor-rekker:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Taylor-rekker

Tilnærm funksjoner med polynomer.

Laster GeoGebra...

TaylorPolynomial() i GeoGebra

TaylorPolynomial() beregner Taylor-polynomet av en gitt grad:

Syntaks:

TaylorPolynomial(<funksjon>, <a>, <grad>)

Gir Taylor-polynomet av angitt grad rundt punktet x = a.

Eksempel - Tilnærm sin(x):

TaylorPolynomial(sin(x), 0, 5)

Resultat: x - x³/6 + x⁵/120

Dette gir en god tilnærming nær x = 0.

Visualisering:

Plot funksjonen og Taylor-polynomet sammen for å se hvor god tilnærmingen er.

TaylorPolynomial()

Utforsk Taylor-polynomer.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Finn lim(x→0) (1 - cos(x))/x² med L'Hôpital
Beregn lim(x→∞) x·ln(1 + 1/x)
Finn Taylor-polynomet av grad 4 for ln(1+x) rundt x=0
Bruk Taylor-rekke til å tilnærme e^(0.1)
Finn lim(x→0⁺) x·ln(x)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Grense(f, x, a)`	Grenseverdi når x→a	`Grense(sin(x)/x, x, 0)`
`Grense(f, x, infinity)`	Grenseverdi når x→∞	`Grense(1/x, x, infinity)`
`TaylorPolynomial(f, a, n)`	Taylor-polynom grad n rundt a	`TaylorPolynomial(sin(x), 0, 5)`
`Derivert(f, n)`	n-te deriverte	`Derivert(sin(x), 3)`

Oppsummering

Grense(f, x, a) beregner grenseverdier
L'Hôpital: Deriver teller og nevner ved 0/0 eller ∞/∞
Taylor-rekke: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ
TaylorPolynomial(f, a, n) gir n-te grads tilnærming
Maclaurin-rekke: Taylor-rekke rundt x = 0

Grenseverdier med Grense()

Grenseverdier beskriver funksjoners oppførsel når x nærmer seg en verdi:

\lim_{x \to a} f(x) = L

Grense() i GeoGebra:

Grense(<funksjon>, <verdi>)

Beregner grenseverdien når x går mot verdien.

Eksempel:

Finn lim(x→0) sin(x)/x:

Grense(sin(x)/x, x, 0)

Resultat: 1 (viktig grenseverdi!)

Ensidig grenseverdi:

Grense(f, a⁺) - fra høyreGrense(f, a⁻) - fra venstre

Grenseverdier

Beregn grenseverdier med Grense().

Laster GeoGebra...

L'Hôpitals regel

Når en grenseverdi gir ubestemt form 0/0 eller ∞/∞, kan vi bruke L'Hôpitals regel:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Fremgangsmåte:

Sjekk at grenseverdien gir 0/0 eller ∞/∞
Deriver teller og nevner hver for seg
Beregn grenseverdien av den nye brøken
Gjenta om nødvendig

Eksempel:

Finn lim(x→0) (eˣ - 1)/x:

Form: 0/0 ✓ Bruk L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1

Andre ubestemte former:

0·∞, ∞ - ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰ kan omskrives til 0/0 eller ∞/∞

L'Hôpitals regel

Løs ubestemte former.

Laster GeoGebra...

Taylor-rekker

Taylor-rekker tilnærmer en funksjon som en uendelig sum av polynomer:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Maclaurin-rekke (a = 0):

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots

Viktige Taylor-rekker:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Taylor-rekker

Tilnærm funksjoner med polynomer.

Laster GeoGebra...

TaylorPolynomial() i GeoGebra

TaylorPolynomial() beregner Taylor-polynomet av en gitt grad:

Syntaks:

TaylorPolynomial(<funksjon>, <a>, <grad>)

Gir Taylor-polynomet av angitt grad rundt punktet x = a.

Eksempel - Tilnærm sin(x):

TaylorPolynomial(sin(x), 0, 5)

Resultat: x - x³/6 + x⁵/120

Dette gir en god tilnærming nær x = 0.

Visualisering:

Plot funksjonen og Taylor-polynomet sammen for å se hvor god tilnærmingen er.

TaylorPolynomial()

Utforsk Taylor-polynomer.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

Grense(f, x, a)

Grenseverdi når x→a

Grense(sin(x)/x, x, 0)

Grense(f, x, infinity)

Grenseverdi når x→∞

Grense(1/x, x, infinity)

TaylorPolynomial(f, a, n)

Taylor-polynom grad n rundt a

TaylorPolynomial(sin(x), 0, 5)

Derivert(f, n)

n-te deriverte

Derivert(sin(x), 3)