R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.4

Vektorer i planet

Vektorer er sentrale i R1. Her lærer du om vektoroperasjoner, skalarprodukt, projeksjoner, vinkel mellom vektorer og parameterfremstilling av linjer.

22 min

6 oppgaver

Dette skal du lære

•Skalarprodukt
•Projeksjoner
•Vinkel mellom vektorer
•Parameterfremstilling

Grunnleggende vektorregning

En vektor i planet har to komponenter:

\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}

Addisjon

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}

Skalarmultiplikasjon

k\vec{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix}

Lengde (norm)

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Vektoroperasjoner

Utforsk vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon.

Laster GeoGebra...

Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer er et tall:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y

Alternativ formel:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)

der θ er vinkelen mellom vektorene

Viktig egenskap:

Ortogonale vektorer: Hvis $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , er vektorene vinkelrette på hverandre.

Skalarprodukt

Beregn skalarprodukt av vektorer.

Laster GeoGebra...

Projeksjoner

Projeksjonen av vektor $\vec{a}$ på vektor $\vec{b}$ :

\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}

Eksempel:

Finn projeksjonen av $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ på $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}

Vektorprojeksjon

Visualiser projeksjoner.

Laster GeoGebra...

Vinkel mellom vektorer

Vinkelen θ mellom to vektorer finner vi fra skalarproduktet:

\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Eksempel:

Finn vinkelen mellom $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\theta = 45°

I GeoGebra:

Vinkel(a, b)

Vinkel mellom vektorer

Finn vinkler mellom vektorer.

Laster GeoGebra...

Parameterfremstilling av linje

En linje i planet kan beskrives med en parameterfremstilling:

\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}

Komponenter:

$\vec{r_0}$ : Ortsvektor til et punkt på linjen
$\vec{v}$ : Retningsvektor (parallell med linjen)
t: Parameter (kan være alle reelle tall)

Eksempel:

Linje gjennom P(2, 1) med retningsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ :

\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

Parameterfremstilling

Tegn linjer med parameterfremstilling.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Finn lengden av vektoren (4, 3)
Beregn skalarproduktet av (2, 5) og (3, -1)
Finn vinkelen mellom (1, 1) og (0, 1)
Finn projeksjonen av (4, 2) på (1, 0)
Sett opp parameterfremstilling for linjen gjennom (1, 2) med retningsvektor (2, -3)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Vektor((x, y))`	Lager en vektor	`Vektor((3, 4))`
`a * b`	Skalarprodukt	`Vektor((1,2)) * Vektor((3,4))`
`abs(v)`	Lengde av vektor	`abs(Vektor((3, 4)))`
`Vinkel(a, b)`	Vinkel mellom vektorer	`Vinkel(a, b)`
`Linje(P, v)`	Linje gjennom P med retning v	`Linje((1,2), Vektor((3,-1)))`

Oppsummering

Vektor() lager vektorer i GeoGebra
Skalarprodukt: a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ
Ortogonale vektorer: a · b = 0
Vinkel: cos(θ) = (a·b)/(|a||b|)
Linje: r(t) = r₀ + tv

GeoGebra/R1 - Realfagsmatematikk/R1.4

R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.4

Vektorer i planet

Vektorer er sentrale i R1. Her lærer du om vektoroperasjoner, skalarprodukt, projeksjoner, vinkel mellom vektorer og parameterfremstilling av linjer.

22 min

6 oppgaver

Dette skal du lære

•Skalarprodukt
•Projeksjoner
•Vinkel mellom vektorer
•Parameterfremstilling

Grunnleggende vektorregning

En vektor i planet har to komponenter:

\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}

Addisjon

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}

Skalarmultiplikasjon

k\vec{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix}

Lengde (norm)

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Vektoroperasjoner

Utforsk vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon.

Laster GeoGebra...

Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer er et tall:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y

Alternativ formel:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)

der θ er vinkelen mellom vektorene

Viktig egenskap:

Ortogonale vektorer: Hvis $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , er vektorene vinkelrette på hverandre.

Skalarprodukt

Beregn skalarprodukt av vektorer.

Laster GeoGebra...

Projeksjoner

Projeksjonen av vektor $\vec{a}$ på vektor $\vec{b}$ :

\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}

Eksempel:

Finn projeksjonen av $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ på $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}

Vektorprojeksjon

Visualiser projeksjoner.

Laster GeoGebra...

Vinkel mellom vektorer

Vinkelen θ mellom to vektorer finner vi fra skalarproduktet:

\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Eksempel:

Finn vinkelen mellom $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\theta = 45°

I GeoGebra:

Vinkel(a, b)

Vinkel mellom vektorer

Finn vinkler mellom vektorer.

Laster GeoGebra...

Parameterfremstilling av linje

En linje i planet kan beskrives med en parameterfremstilling:

\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}

Komponenter:

$\vec{r_0}$ : Ortsvektor til et punkt på linjen
$\vec{v}$ : Retningsvektor (parallell med linjen)
t: Parameter (kan være alle reelle tall)

Eksempel:

Linje gjennom P(2, 1) med retningsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ :

\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

Parameterfremstilling

Tegn linjer med parameterfremstilling.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Finn lengden av vektoren (4, 3)
Beregn skalarproduktet av (2, 5) og (3, -1)
Finn vinkelen mellom (1, 1) og (0, 1)
Finn projeksjonen av (4, 2) på (1, 0)
Sett opp parameterfremstilling for linjen gjennom (1, 2) med retningsvektor (2, -3)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Vektor((x, y))`	Lager en vektor	`Vektor((3, 4))`
`a * b`	Skalarprodukt	`Vektor((1,2)) * Vektor((3,4))`
`abs(v)`	Lengde av vektor	`abs(Vektor((3, 4)))`
`Vinkel(a, b)`	Vinkel mellom vektorer	`Vinkel(a, b)`
`Linje(P, v)`	Linje gjennom P med retning v	`Linje((1,2), Vektor((3,-1)))`

Oppsummering

Vektor() lager vektorer i GeoGebra
Skalarprodukt: a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ
Ortogonale vektorer: a · b = 0
Vinkel: cos(θ) = (a·b)/(|a||b|)
Linje: r(t) = r₀ + tv