R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.3

Derivasjon

Derivasjon er et sentralt tema i R1. Her lærer du avanserte deriveringsregler som kjerneregelen, produktregelen, kvotientregelen og implisitt derivasjon.

25 min

6 oppgaver

Dette skal du lære

•Kjerneregel
•Produktregel
•Kvotientregel
•Implisitt derivasjon

Kjerneregelen

Kjerneregelen brukes når vi deriverer sammensatte funksjoner:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Eksempel 1:

Deriver h(x) = (3x + 2)⁵

Ytre funksjon: f(u) = u⁵, f'(u) = 5u⁴

Indre funksjon: g(x) = 3x + 2, g'(x) = 3

h'(x) = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

I GeoGebra CAS:

Derivert((3x + 2)^5)

Øv på kjerneregelen

Deriver sammensatte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Produktregelen

Produktregelen brukes når vi deriverer et produkt av to funksjoner:

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Eksempel:

Deriver h(x) = x² · sin(x)

h'(x) = (x^2)' \cdot \sin(x) + x^2 \cdot (\sin(x))'

h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2 * sin(x))

Øv på produktregelen

Deriver produkter av funksjoner.

Laster GeoGebra...

Kvotientregelen

Kvotientregelen brukes når vi deriverer en brøk:

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

Eksempel:

Deriver h(x) = x²/(x + 1)

h'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}

h'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2/(x + 1))

Øv på kvotientregelen

Deriver rasjonale funksjoner.

Laster GeoGebra...

Implisitt derivasjon

Implisitt derivasjon brukes når y ikke er uttrykt eksplisitt som funksjon av x.

Eksempel:

Finn dy/dx for: x² + y² = 25

Deriver begge sider med hensyn på x:

2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

I GeoGebra CAS:

ImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 25, y, x)

Implisitt derivasjon

Finn deriverte av implisitte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Høyere ordens deriverte

Den andre deriverte f''(x) beskriver krumningen til grafen.

f''(x) > 0

Grafen er konveks (smiler)

f''(x) < 0

Grafen er konkav (flirer)

Vendepunkt:

Der f''(x) = 0 og f'' skifter fortegn

Andre deriverte

Finn andre deriverte og vendepunkter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Deriver h(x) = (2x + 1)⁴ med kjerneregelen
Deriver g(x) = x³ · e^x med produktregelen
Deriver f(x) = (x - 1)/(x + 1) med kvotientregelen
Finn dy/dx implisitt for x² - xy + y² = 3
Finn vendepunktet til f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Derivert(f)`	Deriverer funksjonen f	`Derivert(x^2)`
`Derivert(f, n)`	n-te deriverte	`Derivert(x^3, 2)`
`ImplisittDerivative(likning, y, x)`	Implisitt derivasjon	`ImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 1, y, x)`
`f'(x)`	Alternativ notasjon for derivert	`f'(2)`

Oppsummering

Kjerneregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Produktregel: (f·g)′ = f′·g + f·g′
Kvotientregel: (f/g)′ = (f′·g - f·g′)/g²
ImplisittDerivative() for implisitt derivasjon
Derivative(f, 2) gir andre deriverte

Kjerneregelen

Kjerneregelen brukes når vi deriverer sammensatte funksjoner:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Eksempel 1:

Deriver h(x) = (3x + 2)⁵

Ytre funksjon: f(u) = u⁵, f'(u) = 5u⁴

Indre funksjon: g(x) = 3x + 2, g'(x) = 3

h'(x) = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

I GeoGebra CAS:

Derivert((3x + 2)^5)

Øv på kjerneregelen

Deriver sammensatte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Produktregelen

Produktregelen brukes når vi deriverer et produkt av to funksjoner:

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Eksempel:

Deriver h(x) = x² · sin(x)

h'(x) = (x^2)' \cdot \sin(x) + x^2 \cdot (\sin(x))'

h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2 * sin(x))

Øv på produktregelen

Deriver produkter av funksjoner.

Laster GeoGebra...

Kvotientregelen

Kvotientregelen brukes når vi deriverer en brøk:

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

Eksempel:

Deriver h(x) = x²/(x + 1)

h'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}

h'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2/(x + 1))

Øv på kvotientregelen

Deriver rasjonale funksjoner.

Laster GeoGebra...

Implisitt derivasjon

Implisitt derivasjon brukes når y ikke er uttrykt eksplisitt som funksjon av x.

Eksempel:

Finn dy/dx for: x² + y² = 25

Deriver begge sider med hensyn på x:

2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

I GeoGebra CAS:

ImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 25, y, x)

Implisitt derivasjon

Finn deriverte av implisitte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Deriver h(x) = (2x + 1)⁴ med kjerneregelen
Deriver g(x) = x³ · e^x med produktregelen
Deriver f(x) = (x - 1)/(x + 1) med kvotientregelen
Finn dy/dx implisitt for x² - xy + y² = 3
Finn vendepunktet til f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

Derivert(f)

Deriverer funksjonen f

Derivert(x^2)

Derivert(f, n)

n-te deriverte

Derivert(x^3, 2)

ImplisittDerivative(likning, y, x)

Implisitt derivasjon

ImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 1, y, x)

f'(x)

Alternativ notasjon for derivert

f'(2)