1T - Teoretisk matematikkKapittel 1T.5

Introduksjon til vektorer

Vektorer er størrelser med både lengde og retning. De brukes i fysikk, geometri og mange andre områder. Her lærer du grunnleggende vektorregning med GeoGebra.

18 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Vektorer
•Addisjon
•Subtraksjon
•Skalarmultiplikasjon

Vektorer med Vektor()

En vektor kan defineres på flere måter i GeoGebra:

Fra to punkter

v = Vektor(A, B)

Vektor fra punkt A til punkt B

Med koordinater

v = (3, 4)

Vektor med komponenter x=3, y=4

Vektornotasjon

En vektor skrives ofte som:

\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Lag vektorer

Opprett vektorer på forskjellige måter.

Laster GeoGebra...

Vektoraddisjon

Vektorer adderes ved å legge sammen tilsvarende komponenter:

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}

Eksempel

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}

Geometrisk tolkning

Summen av to vektorer finner vi ved å plassere dem etter hverandre (hodepå hale-metoden) eller ved å lage et parallellogram

Vektoraddisjon

Legg sammen vektorer og se resultatet.

Laster GeoGebra...

Vektorsubtraksjon

Vektorer subtraheres ved å trekke fra tilsvarende komponenter:

\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}

Eksempel

\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}

Vektorsubtraksjon

Trekk fra vektorer.

Laster GeoGebra...

Skalarmultiplikasjon

En vektor multiplisert med et tall (skalar) gir en vektor i samme retning, men med ny lengde:

k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix}

k > 1

Vektor blir lengre, samme retning

0 < k < 1

Vektor blir kortere, samme retning

k < 0

Vektor snur retning

Vektorlengde

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

Skalarmultiplikasjon

Multipliser vektorer med tall.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Lag vektoren v fra punktet A = (1, 2) til B = (5, 7) med Vektor()
Beregn summen av v = (3, 5) og u = (2, -1)
Finn differansen mellom v = (7, 4) og u = (3, 2)
Beregn 3v når v = (2, -3)
Finn lengden av vektoren v = (3, 4) med abs(v)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Vektor(A, B)`	Lager vektor fra A til B	`Vektor((1,2), (4,5))`
`v + u`	Adderer vektorer	`(3,2) + (1,4)`
`v - u`	Subtraherer vektorer	`(5,7) - (2,3)`
`k * v`	Multipliserer vektor med skalar	`3 * (2,1)`
`abs(v)`	Finner lengden av vektor	`abs((3,4))`

Oppsummering

Vektor: Vektor(A, B) eller (x, y)
Addisjon: komponentvis (a₁+b₁, a₂+b₂)
Subtraksjon: komponentvis (a₁-b₁, a₂-b₂)
Skalarmultiplikasjon: k·v = (k·x, k·y)
Lengde: |v| = √(x² + y²)

Vektorer med Vektor()

En vektor kan defineres på flere måter i GeoGebra:

Fra to punkter

v = Vektor(A, B)

Vektor fra punkt A til punkt B

Med koordinater

v = (3, 4)

Vektor med komponenter x=3, y=4

Vektornotasjon

En vektor skrives ofte som:

\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Lag vektorer

Opprett vektorer på forskjellige måter.

Laster GeoGebra...

Vektoraddisjon

Vektorer adderes ved å legge sammen tilsvarende komponenter:

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}

Eksempel

\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}

Geometrisk tolkning

Summen av to vektorer finner vi ved å plassere dem etter hverandre (hodepå hale-metoden) eller ved å lage et parallellogram

Vektoraddisjon

Legg sammen vektorer og se resultatet.

Laster GeoGebra...

Vektorsubtraksjon

Vektorer subtraheres ved å trekke fra tilsvarende komponenter:

\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}

Eksempel

\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}

Vektorsubtraksjon

Trekk fra vektorer.

Laster GeoGebra...

Skalarmultiplikasjon

En vektor multiplisert med et tall (skalar) gir en vektor i samme retning, men med ny lengde:

k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix}

k > 1

Vektor blir lengre, samme retning

0 < k < 1

Vektor blir kortere, samme retning

k < 0

Vektor snur retning

Vektorlengde

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

Skalarmultiplikasjon

Multipliser vektorer med tall.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Lag vektoren v fra punktet A = (1, 2) til B = (5, 7) med Vektor()
Beregn summen av v = (3, 5) og u = (2, -1)
Finn differansen mellom v = (7, 4) og u = (3, 2)
Beregn 3v når v = (2, -3)
Finn lengden av vektoren v = (3, 4) med abs(v)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

Vektor(A, B)

Lager vektor fra A til B

Vektor((1,2), (4,5))

v + u

Adderer vektorer

(3,2) + (1,4)

v - u

Subtraherer vektorer

(5,7) - (2,3)

k * v

Multipliserer vektor med skalar

3 * (2,1)

abs(v)

Finner lengden av vektor

abs((3,4))