1T - Teoretisk matematikkKapittel 1T.6

Trigonometri

Trigonometri handler om sammenhenger mellom vinkler og sider i trekanter. Her lærer du de viktigste setningene: sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen.

20 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Sinussetningen
•Cosinussetningen
•Arealsetningen
•Vilkårlige trekanter

Sinussetningen

Sinussetningen gir en sammenheng mellom sider og motstående vinkler:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Når bruker vi sinussetningen?

Vi kjenner to vinkler og en side (VVS)
Vi kjenner to sider og en motstående vinkel (SSV)

Eksempel

I en trekant er A = 40°, B = 60° og a = 5. Finn b:

\frac{5}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 60°}

b = \frac{5 \cdot \sin 60°}{\sin 40°} \approx 6{,}74

Utforsk sinussetningen

Lag en trekant og bruk sinussetningen.

Laster GeoGebra...

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras setning:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Når bruker vi cosinussetningen?

Vi kjenner tre sider (SSS)
Vi kjenner to sider og innliggende vinkel (SVS)

Eksempel: Finn vinkel

I en trekant er a = 5, b = 7, c = 8. Finn vinkel C:

8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C

64 = 25 + 49 - 70\cos C

\cos C = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

C = \arccos(\frac{1}{7}) \approx 81{,}8°

Merk:

Hvis C = 90°, blir cos C = 0, og vi får Pytagoras: c² = a² + b²

Utforsk cosinussetningen

Lag en trekant og bruk cosinussetningen.

Laster GeoGebra...

Arealsetningen

Arealsetningen gir arealet av en trekant når vi kjenner to sider og innliggende vinkel:

A = \frac{1}{2}ab\sin C

Eksempel

En trekant har sider a = 6 og b = 8, med innliggende vinkel C = 30°

A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 12

Alternative former

A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B

Utforsk arealsetningen

Beregn areal med arealsetningen.

Laster GeoGebra...

Sammenligning av setningene

Oversikt over når du skal bruke hvilken setning:

Gitt	Bruk
To vinkler og en side (VVS)	Sinussetningen
To sider og motstående vinkel (SSV)	Sinussetningen
Tre sider (SSS)	Cosinussetningen
To sider og innliggende vinkel (SVS)	Cosinussetningen
To sider og innliggende vinkel (areal)	Arealsetningen

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Bruk sinussetningen: a = 7, A = 50°, B = 60°. Finn b
Bruk cosinussetningen: a = 5, b = 6, c = 7. Finn vinkel C
Bruk arealsetningen: a = 10, b = 12, C = 45°. Finn arealet
En trekant har vinkler A = 40°, B = 70° og side a = 8. Finn c
En trekant har sider a = 3, b = 4, c = 5. Finn alle vinklene

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`sin(vinkel)`	Beregner sinus	`sin(30°)`
`cos(vinkel)`	Beregner cosinus	`cos(60°)`
`arcsin(x)`	Invers sinus	`arcsin(0.5)`
`arccos(x)`	Invers cosinus	`arccos(0.5)`
`Avstand(A, B)`	Finner avstand mellom punkter	`Avstand(A, B)`

Oppsummering

Sinussetningen: a/sin A = b/sin B = c/sin C
Cosinussetningen: c² = a² + b² - 2ab cos C
Arealsetningen: A = (1/2)ab sin C
Sinussetningen: VVS eller SSV
Cosinussetningen: SSS eller SVS

Sinussetningen

Sinussetningen gir en sammenheng mellom sider og motstående vinkler:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Når bruker vi sinussetningen?

Vi kjenner to vinkler og en side (VVS)
Vi kjenner to sider og en motstående vinkel (SSV)

Eksempel

I en trekant er A = 40°, B = 60° og a = 5. Finn b:

\frac{5}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 60°}

b = \frac{5 \cdot \sin 60°}{\sin 40°} \approx 6{,}74

Utforsk sinussetningen

Lag en trekant og bruk sinussetningen.

Laster GeoGebra...

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras setning:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Når bruker vi cosinussetningen?

Vi kjenner tre sider (SSS)
Vi kjenner to sider og innliggende vinkel (SVS)

Eksempel: Finn vinkel

I en trekant er a = 5, b = 7, c = 8. Finn vinkel C:

8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C

64 = 25 + 49 - 70\cos C

\cos C = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

C = \arccos(\frac{1}{7}) \approx 81{,}8°

Merk:

Hvis C = 90°, blir cos C = 0, og vi får Pytagoras: c² = a² + b²

Utforsk cosinussetningen

Lag en trekant og bruk cosinussetningen.

Laster GeoGebra...

Arealsetningen

Arealsetningen gir arealet av en trekant når vi kjenner to sider og innliggende vinkel:

A = \frac{1}{2}ab\sin C

Eksempel

En trekant har sider a = 6 og b = 8, med innliggende vinkel C = 30°

A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 12

Alternative former

A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B

Utforsk arealsetningen

Beregn areal med arealsetningen.

Laster GeoGebra...

Gitt

Bruk

To vinkler og en side (VVS)

Sinussetningen

To sider og motstående vinkel (SSV)

Sinussetningen

Tre sider (SSS)

Cosinussetningen

To sider og innliggende vinkel (SVS)

Cosinussetningen

To sider og innliggende vinkel (areal)

Arealsetningen

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Bruk sinussetningen: a = 7, A = 50°, B = 60°. Finn b
Bruk cosinussetningen: a = 5, b = 6, c = 7. Finn vinkel C
Bruk arealsetningen: a = 10, b = 12, C = 45°. Finn arealet
En trekant har vinkler A = 40°, B = 70° og side a = 8. Finn c
En trekant har sider a = 3, b = 4, c = 5. Finn alle vinklene

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

sin(vinkel)

Beregner sinus

sin(30°)

cos(vinkel)

Beregner cosinus

cos(60°)

arcsin(x)

Invers sinus

arcsin(0.5)

arccos(x)

Invers cosinus

arccos(0.5)

Avstand(A, B)

Finner avstand mellom punkter

Avstand(A, B)