Løsningsforslag – Matematikk R2 Vår 2023

Oppgave 1

a)

Vi finner den antideriverte og bruker analysens fundamentalteorem:

Setter inn grensene:

Merk: Vi kan også se at \(f(x) = 4x^3 - x\) er en odde funksjon (\(f(-x) = -f(x)\)), og integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall \([-a, a]\) er alltid 0.

b)

Den antideriverte til \(e^{2x}\) er \(\frac{1}{2}e^{2x}\):

Setter inn grensene. Vi bruker at \(e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4\):

Oppgave 2

a)

Vi skriver \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) og bruker kvotientregelen:

Vi viser nå at \(\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\):

b)

Fra oppgave a) vet vi at \(1 + \tan^2 x\) er den deriverte til \(\tan x\). Vi setter \(u = \tan x\), slik at \(\mathrm{d}u = (1 + \tan^2 x)\,\mathrm{d}x\):

Oppgave 3

Punktene \(A(0,0,0)\), \(B(5,0,0)\), \(C(4,2,0)\) og \(T(0,0,5)\) danner en pyramide.

a)

Volumet av en pyramide med toppunkt \(T\) og grunnflate i trekanten \(ABC\) er:

Vi finner vektorene:

Determinanten:

b)

Vi finner vektorene fra \(B\):

Kryssproduktet:

Lengden av kryssproduktet:

Arealet av trekanten:

c)

Står pyramiden på trekanten BCT, er høyden avstanden d fra A til planet. Foten F treffer kanten CT.

Vi kan bruke sammenhengen mellom volum, grunnflate og høyde. Pyramidens volum kan uttrykkes med \(\triangle BCT\) som grunnflate og avstanden \(d\) fra \(A\) til planet gjennom \(B\), \(C\) og \(T\) som høyde:

Vi løser for \(d\):

Oppgave 4

a = 3
d = 4

N = 10
S = 0

for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d

print(S)

a)

Koden beregner summen av de \(N\) første leddene i en aritmetisk rekke med første ledd \(a_1 = 3\) og differanse \(d = 4\).

I løkken legges det gjeldende leddet \(a\) til summen \(S\), og deretter økes \(a\) med \(d = 4\). Leddene i rekken blir:

Det generelle leddet er \(a_n = 3 + (n-1)\cdot 4 = 4n - 1\).

b)

Med \(N = 100\) beregner programmet summen av de 100 første leddene i rekken. Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke:

Det 100. leddet er:

Summen blir:

Oppgave 5

a)

De tre arealene hver for seg. Trekanten ABD ligger inni sektoren, og sektoren ligger inni trekanten ABC — det er hele begrunnelsen for ulikheten. Tegnet med v = 40°.

Vi betrakter tre arealer i figuren:

Areal av \(\triangle ABD\): Trekanten \(ABD\) har grunnlinje \(AB = 1\) langs \(x\)-aksen. Høyden fra \(D\) ned til \(AB\) er \(\sin v\) (den vinkelrette avstanden). Dermed:

Areal av sirkelsektoren \(ABD\): Sektoren har radius \(r = 1\) og vinkel \(v\) (i radianer):

Areal av \(\triangle ABC\): Trekanten \(ABC\) har grunnlinje \(AB = 1\), og \(C\) ligger slik at \(BC\) er vertikal med høyde \(\tan v\) (siden \(\angle ABC = 90°\) og \(BC = AB \cdot \tan v = \tan v\)):

Fra figuren ser vi at trekant \(ABD\) er inneholdt i sirkelsektoren, som igjen er inneholdt i trekant \(ABC\). Dermed gjelder arealrekkefølgen:

b)

Vi starter med ulikheten fra oppgave a):

Vi ganger alle ledd med \(\dfrac{2}{\sin v}\) (som er positiv for \(v \in (0, \pi/2)\)):

Vi forenkler det siste leddet:

c)

Fra oppgave b) har vi:

Når \(v \to 0^+\), har vi \(\cos v \to 1\), slik at \(\dfrac{1}{\cos v} \to 1\).

Siden \(\dfrac{v}{\sin v}\) er klemt mellom to uttrykk som begge går mot 1, gir skviseteoremet (innklemmingssetningen) at:

Dermed er også:

Oppgave 1

a)

Modellen mot målingene. S-formen — rask vekst i midten, metning mot 660 mill. kr — er grunnen til at en logistisk modell passer bedre enn en eksponentiell.

Vi lar \(x\) være antall år etter 2008, slik at \(x = 0\) tilsvarer 2008, \(x = 2\) tilsvarer 2010, osv. Datapunktene blir:

Dataene viser rask vekst i starten som flater ut mot slutten. Dette mønsteret passer med en logistisk modell:

Ved regresjon (CAS/GeoGebra) får vi omtrent:

Begrunnelse: Veksten i strømmemarkedet starter langsomt, akselererer kraftig i midtperioden, og avtar ettersom markedet nærmer seg et metningsnivå (ca. 660 mill. kr). En logistisk modell fanger denne S-formede utviklingen godt.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer den logistiske modellen: F(x) := 660 / (1 + 31 * e^(-0.71 * x))
• Beregn totalbeløpet: Numerisk(Integral(F, -0.5, 10.5)) → gir \(\approx 3734\) mill. kr
• Finn vekstraten i 2013: Numerisk(F'(5)) → gir \(\approx 117\) mill. kr/år

b)

Vi bruker CAS til å beregne verdiene med modellen fra oppgave a):

c)

De tre størrelsene er tre ulike ting i figuren: I er et areal, G er en høyde, D er en stigning. Rektangelet med høyde G har samme areal som kurvestykket over det.

\(I \approx 3734\): Integralet \(\displaystyle\int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x\) gir en tilnærmet verdi for det totale beløpet (i millioner kroner) brukt på strømming i perioden fra midten av 2007 til midten av 2018 (11 år). Totalt ble det brukt ca. 3734 millioner kroner.

\(G \approx 345\): Uttrykket \(\dfrac{1}{5}\displaystyle\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x\) er gjennomsnittsverdien av \(F\) over intervallet \([2{,}5;\, 7{,}5]\), altså det gjennomsnittlige årlige strømmebeløpet i perioden 2010,5 til 2015,5. I gjennomsnitt ble det brukt ca. 345 millioner kroner per år i denne perioden.

\(S \approx 3734\): Summen \(\displaystyle\sum_{i=0}^{10} F(i)\) er summen av de modellerte strømmebeløpene for hvert av årene 2008, 2009, ..., 2018. Totalt ble det brukt ca. 3734 millioner kroner i disse 11 årene.

\(D \approx 117\): Uttrykket \(\dfrac{F(5{,}001)-F(5)}{0{,}001}\) er en tilnærmet verdi for den deriverte \(F'(5)\). Denne forteller at i 2013 (tilsvarende \(x = 5\)) økte strømmebeløpet med ca. 117 millioner kroner per år. Dette er den momentane vekstraten.

Oppgave 2

a)

Vi finner normalvektoren til \(\alpha\) ved hjelp av kryssproduktet:

Vi kan forenkle til \(\vec{n} = [1, -1, -2]\).

Planet \(\alpha\) har likning \(1(x-1) - 1(y-0) - 2(z-3) = 0\), altså:

Siden \(\beta\) er parallelt med \(\alpha\), har \(\beta\) samme normalvektor. Med \(P(2, -5, 5)\):

b)

Sett langs planene blir α og β to parallelle linjer. Sentrum M ligger midt mellom dem på normalen gjennom A, og Q er A speilet gjennom M. α er grønn, β er oransje.

Siden kulen tangerer begge planene, er senteret \(M\) like langt fra \(\alpha\) og \(\beta\), og \(M\) ligger på normalen gjennom \(A\) til \(\alpha\).

Avstanden mellom de parallelle planene \(\alpha: x - y - 2z + 5 = 0\) og \(\beta: x - y - 2z + 3 = 0\) er:

Kulen tangerer begge planene, så radiusen er halvparten av denne avstanden:

Senteret \(M\) ligger på normallinja gjennom \(A\) i retning \(\vec{n} = [1, -1, -2]\):

Punktet \(Q\) ligger på \(\beta\) slik at \(Q = M + \dfrac{r}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n}\):

Verifikasjon: Vi sjekker at \(Q\) ligger i \(\beta\): \(\frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) - 2\cdot\frac{7}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = 0\). OK!

Oppgave 3

a)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren:

Ved \(t = 1\):

Vi regner ut numerisk:

Banefarten er lengden av fartsvektoren:

b)

Vi minimerer banefarten \(|\vec{v}(t)|\) (eller ekvivalent \(|\vec{v}(t)|^2\)) over \([0, 5]\) med CAS:

Numerisk minimering gir:

c)

Parallell med \(yz\)-planet:

Fartsvektoren er parallell med \(yz\)-planet dersom \(x\)-komponenten er null:

Siden \(e^{t/20} > 0\) for alle \(t\), er \(v_x(t) > 0\) for alle \(t\). Fartsretningen er aldri parallell med \(yz\)-planet.

Parallell med \(xy\)-planet:

Fartsvektoren er parallell med \(xy\)-planet dersom \(z\)-komponenten er null:

Vi løser denne likningen numerisk (CAS). Ved \(t \approx 3{,}14\) er \(v_z = 0\). Vi kan verifisere: ved \(t\) nær \(\pi\) er \(\sin t \approx 0\) og \(e^{-2t+2}\) er veldig liten, men likningen har en løsning.

Numerisk løsning gir \(t \approx 3{,}144\), som ligger i intervallet \([0, 5]\).

Oppgave 4

a)

Tilbud 1 (aritmetisk rekke med \(a_1 = 100\) og \(d = 10\)):

Tilbud 2 (geometrisk rekke med \(b_1 = 100\) og \(k = 1{,}05\)):

b)

Tilbud 1 vokser med faste 10 kr i uka, tilbud 2 med 5 %. Kurvene krysser mellom uke 27 og 28, så uke 28 er den første der tilbud 2 gir mest.

De eksplisitte formlene er:

Vi skal finne minste \(n\) slik at \(b_n > a_n\), altså \(100 \cdot 1{,}05^{n-1} > 90 + 10n\).

Vi bruker CAS (eller prøver systematisk) og finner at:

• Uke 27: \(a_{27} = 360\), \(b_{27} \approx 355{,}57\). Tilbud 1 størst.
• Uke 28: \(a_{28} = 370\), \(b_{28} \approx 373{,}35\). Tilbud 2 størst!

c)

Samlet lønn etter \(n\) uker:

Vi skal finne minste \(n\) slik at \(S_b(n) > S_a(n)\). Vi beregner med CAS:

• Uke 38: \(S_a(38) = 5\cdot 38^2 + 95\cdot 38 = 7220 + 3610 = 10\,830\), \(S_b(38) = 2000(1{,}05^{38}-1) \approx 10\,771\). Tilbud 1 størst (\(S_b < S_a\)).
• Uke 39: \(S_a(39) = 5\cdot 39^2 + 95\cdot 39 = 7605 + 3705 = 11\,310\), \(S_b(39) = 2000(1{,}05^{39} - 1) \approx 11\,410\). Tilbud 2 størst!

Oppgave 5

a)

Volumet ved rotasjon om \(x\)-aksen er:

Vi utvider teller:

Vi bruker at \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):

Vi integrerer ledd for ledd. Vi bruker at:

• \(\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x = -\cot x + C\)
• \(\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\sin x} + C\) (substitusjon \(u = \sin x\))

Dette kan skrives som:

Vi setter inn grensene. Ved \(x = \frac{3\pi}{4}\): \(\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):

Ved \(x = \frac{\pi}{4}\): \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

Differansen:

Volumet:

b)

Profilene mot hverandre, med den brede enden av legemet helt nede i kjeglen. Legemet dykker godt innenfor, men krysser kjeglelinja i s = 1,49 og ender utenfor.

Kjeglen har \(R = 4\) og \(V_{\text{kjegle}} = 45\). Vi finner høyden:

Omdreiingslegemet har lengde \(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), som er kortere enn kjeglens høyde. Videre er den maksimale radiusen til omdreiingslegemet:

Selv om volumet av omdreiingslegemet (\(\approx 26{,}5\)) er mindre enn kjeglens volum (45), og maksimalradiusen (3,83) er mindre enn kjeglens radius (4), må vi sjekke om profilen til legemet passer innenfor kjeglens lineære profil.

Kjeglen har lineært avtagende radius fra bunn til topp: \(r_{\text{kjegle}}(s) = 4\!\left(1 - \frac{s}{h}\right)\), der \(s\) er avstanden fra bunnflaten. Vi legger legemets akse langs kjeglens akse med den brede enden (\(f = 2\sqrt{2}+1 \approx 3{,}83\)) nærmest bunnen, i avstand \(d \geq 0\) fra bunnflaten. Den smale enden (\(f = 2\sqrt{2}-1 \approx 1{,}83\)) ligger da i \(s = d + \frac{\pi}{2}\). Begge endene må ligge innenfor kjeglen:

Det siste kravet kan ikke oppfylles, siden \(d \geq 0\). Med den brede enden helt nede (\(d = 0\)) er kjeglens radius ved den smale enden \(4\left(1 - \frac{\pi/2}{h}\right) \approx 1{,}66\), mens legemet der har radius \(\approx 1{,}83\). Legemet stikker altså utenfor kjeglen. Snur vi legemet, kommer den brede enden enda lenger inn i kjeglen, der det er enda mindre plass.

Oppgave 6

a)

Linjestykket fra \((x_i, f(x_i))\) til \((x_{i+1}, f(x_{i+1}))\) har:

• Horisontal lengde (endring i \(x\)): \(\Delta x = x_{i+1} - x_i = h\)
• Vertikal lengde (endring i \(y\)): \(\Delta y = f(x_{i+1}) - f(x_i) = k_i\)

Avstanden mellom to punkter i planet finnes med Pytagoras' setning. Linjestykket danner hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter \(h\) og \(k_i\):

b)

Grafen til \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) er den øvre halvdelen av enhetssirkelen (\(x^2 + y^2 = 1\), \(y \geq 0\)).

Vi programmerer metoden med \(N = 1000\):

import math

def g(x):
    return math.sqrt(max(0, 1 - x**2))

a = -1
b = 1
N = 1000
h = (b - a) / N
L = 0

for i in range(N):
    x_i = a + i * h
    x_next = a + (i + 1) * h
    k_i = g(x_next) - g(x_i)
    S_i = math.sqrt(h**2 + k_i**2)
    L += S_i

print(L)

Kjøring med \(N = 1000\) gir \(L \approx 3{,}1416\).

Vurdering av rimelighet: Grafen til \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) er en halvsirkel med radius 1. Omkretsen av en hel sirkel med radius 1 er \(2\pi\), så den øvre halvsirkelen har lengde \(\pi \approx 3{,}1416\). Vår tilnærmede verdi stemmer svært godt med dette.