Løsningsforslag – Matematikk R2 Høst 2023

Oppgave 1

Vi finner den antideriverte og evaluerer:

Vi setter inn grensene:

Hva forteller svaret oss?

Funksjonen \(f(x) = x^3 + 2x\) er en odde funksjon, det vil si at \(f(-x) = -f(x)\) for alle \(x\). Vi kan verifisere dette:

Når vi integrerer en odde funksjon over et symmetrisk intervall \([-a, a]\), er integralet alltid lik 0. Grafisk betyr dette at arealet mellom grafen og \(x\)-aksen på høyre side av \(y\)-aksen er like stort som arealet på venstre side, men med motsatt fortegn. De to arealene "opphever" hverandre.

Oppgave 2

Fra figuren ser vi at det fargelagte området ligger mellom grafene til \(\cos x\) og \(\sin x\), i området der begge funksjonene er negative (under \(x\)-aksen). Vi må finne skjæringspunktene.

Vi løser \(\cos x = \sin x\), som gir \(\tan x = 1\), altså \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\).

Fra figuren ser vi at det fargelagte området ligger mellom \(x = \pi\) og \(x = \frac{7\pi}{4}\) (eller tilsvarende), men la oss se nøyere. Det skraverte området ser ut til å være i tredje og fjerde kvadrant, mellom \(x = \frac{5\pi}{4}\) og der funksjonene krysser \(x\)-aksen og hverandre.

Når vi studerer figuren, ser det fargelagte området ut til å ligge mellom \(x = \pi\) og \(x = 2\pi\), avgrenset av \(\cos x\) og \(\sin x\). I dette området er skjæringspunktet ved \(x = \frac{5\pi}{4}\).

For \(x \in [\pi, \frac{5\pi}{4}]\): \(\sin x \geq \cos x\) (begge er negative, men \(\sin x\) er nærmere null).

For \(x \in [\frac{5\pi}{4}, 2\pi]\): \(\cos x \geq \sin x\).

Arealet blir:

Regner ut det første integralet:

Regner ut det andre integralet:

Totalt areal:

Oppgave 3

a)

For en uendelig geometrisk rekke som konvergerer, har vi formelen:

der \(k\) er kvotienten. Vi setter inn \(S = 8\) og \(a_1 = 4\):

De fire første leddene er:

Summen av de fire første leddene:

b)

I en aritmetisk rekke er \(a_n = a_1 + (n-1)d\), der \(d\) er differansen. Vi skriver ut leddene:

Summen gir:

Vi kjenner igjen at \(a_1 + 3d = a_4\).

Oppgave 4

a)

Normalvektoren til planet \(x - 2y + 2z + 1 = 0\) er:

Linjen gjennom \(A(4, 2, 2)\) med retningsvektor \(\vec{n}\) har parameterframstillingen:

b)

Vi bruker avstandsformelen fra punkt til plan:

Her er \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 2\), \(d = 1\) og punktet er \((4, 2, 2)\):

Oppgave 5

a)

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
    return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx

print(S)

Koden beregner en tilnærming til integralet av absoluttverdien til funksjonen \(f(x) = x^2 - 1\) fra \(x = -2\) til \(x = 2\), ved hjelp av en venstresum (Riemannsum) med 1000 rektangler.

Siden koden bruker \(\texttt{abs(f(xi))}\), beregner den arealet mellom grafen til \(f(x) = x^2 - 1\) og \(x\)-aksen fra \(x = -2\) til \(x = 2\):

b)

Vi må finne nullpunktene til \(f(x) = x^2 - 1\):

På intervallet \([-2, -1]\): \(x^2 - 1 \geq 0\), så \(|x^2 - 1| = x^2 - 1\).

På intervallet \([-1, 1]\): \(x^2 - 1 \leq 0\), så \(|x^2 - 1| = 1 - x^2\).

På intervallet \([1, 2]\): \(x^2 - 1 \geq 0\), så \(|x^2 - 1| = x^2 - 1\).

Siden \(|x^2 - 1|\) er en partall-funksjon (symmetrisk om \(y\)-aksen), kan vi forenkle:

Første integral:

Andre integral:

Totalt:

Oppgave 6

Sideflaten \(BCGF\) er en firkant (trapes) med hjørnene:

• \(B(4,4,0)\)
• \(C(0,4,0)\)
• \(G(1,3,3)\)
• \(F(3,3,3)\)

Vi deler firkanten \(BCGF\) i to trekanter ved diagonalen \(BG\).

Trekant 1: \(BCG\)

Vi finner vektorene:

Kryssproduktet:

Arealet av trekant \(BCG\):

Trekant 2: \(BGF\)

Vi finner vektorene:

Kryssproduktet:

Arealet av trekant \(BGF\):

Totalt areal av sideflaten \(BCGF\):

Oppgave 1

a)

Tidevann er en periodisk funksjon. Vi bruker en sinusmodell på formen:

Bestemme \(d\) (vertikal forskyvning):

Middelverdi av største og minste verdi: Største verdi \(\approx 119\), minste verdi \(\approx 53{,}4\):

Bestemme \(A\) (amplituden):

Bestemme \(c\) (vinkelfrekvensen):

Fra dataene ser vi at det er omtrent en halv periode fra toppunkt (\(t = 3\)) til bunnpunkt (\(t = 9\)), så en halv periode er ca. 6 timer. Perioden er dermed \(T \approx 12\) timer.

Bestemme \(k\) (faseforskyvningen):

Toppunktet er ved \(t = 3\). For en sinusfunksjon er toppunktet når argumentet er \(\frac{\pi}{2}\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer tidevannsmodellen: f(t) := 32.8 * sin(pi/6 * t) + 86.2
• Verifiser toppunktet ved \(t = 3\): Numerisk(f(3)) → gir \(119\) cm ✓
• Finn maks stigning: Numerisk(f'(0)) → gir \(\approx 17{,}2\) cm/time

b)

Vannstanden øker raskest når den deriverte er størst. Vi deriverer modellen:

Den deriverte er størst når \(\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\,t\right) = 1\), som gir:

For 25. april (dvs. \(t\) mellom 24 og 48 timer etter midnatt 24. april):

• \(t = 24\) (midnatt 25. april), dvs. kl. 00:00
• \(t = 36\) (kl. 12:00 den 25. april)

Siden vannstanden skal øke raskest på formiddagen (tidevann følger et mønster), er det mest relevant med:

c)

Vi må finne når vannstanden er over 90 cm den 25. april. Vi løser \(f(t) = 90\):

Vi finner:

De første løsningene for \(t\):

Perioden er 12 timer, så for 25. april (\(t\) fra 24 til 48) får vi vannstand over 90 cm i periodene:

• \(t \in [24{,}22 ;\; 29{,}78]\), dvs. ca. kl. 00:13 til kl. 05:47
• \(t \in [36{,}22 ;\; 41{,}78]\), dvs. ca. kl. 12:13 til kl. 17:47

De må ha 2 sammenhengende timer med vannstand over 90 cm. De kan senest starte 2 timer før vannstanden synker under 90 cm.

I første periode: Siste starttidspunkt: \(t \approx 29{,}78 - 2 = 27{,}78\), dvs. ca. kl. 03:47.

I andre periode: Siste starttidspunkt: \(t \approx 41{,}78 - 2 = 39{,}78\), dvs. ca. kl. 15:47.

Oppgave 2

a)

Vi ser på differansene mellom påfølgende figurtall:

Differansene er 5, 10, 15, 20, ... som er \(5n\) for \(n = 1, 2, 3, 4, \ldots\)

Altså ser vi at differansen fra figur \(n-1\) til figur \(n\) er \(5(n-1)\):

b)

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n - 1)
print(P)

c)

Finn eksplisitt formel:

Fra den rekursive sammenhengen får vi ved teleskopering:

Verifikasjon: \(P_1 = \frac{5 - 5 + 2}{2} = 1\) ✓, \(P_2 = \frac{20 - 10 + 2}{2} = 6\) ✓, \(P_3 = \frac{45 - 15 + 2}{2} = 16\) ✓

Induksjonsbevis:

Påstand: \(P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}\) for alle \(n \geq 1\).

Grunnsteg (\(n = 1\)):

Induksjonshypotese: Anta at \(P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}\) gjelder for en vilkårlig \(n \geq 1\).

Induksjonssteg: Vi skal vise at \(P_{n+1} = \dfrac{5(n+1)^2 - 5(n+1) + 2}{2}\).

Fra den rekursive sammenhengen har vi \(P_{n+1} = P_n + 5n\). Vi bruker induksjonshypotesen:

Vi sjekker at dette er det samme som formelen for \(n+1\):

Induksjonssteget er utført, og formelen er bevist.

Oppgave 3

Steg 1: Sett opp et koordinatsystem

Vi legger tønnen ned langs \(x\)-aksen med origo i midten av tønnen. Da blir oppsettet symmetrisk om \(y\)-aksen, noe som forenkler regningen.

Tønnen er 75 cm lang, så halve lengden er \(\tfrac{75}{2} = 37{,}5\) cm. Det gir oss:

• Bunnen ligger ved \(x = -37{,}5\)
• Midten (største diameter) ligger ved \(x = 0\)
• Toppen ligger ved \(x = 37{,}5\)

La \(r(x)\) være avstanden fra \(x\)-aksen til siden av tønnen (altså radien) i punktet \(x\). Denne kurven roterer vi om \(x\)-aksen for å få tønnen.

Steg 2: Finn tre punkter på parabelen

Radien er halve diameteren. Av oppgaven får vi tre punkter:

Vi har altså punktene \(A(-37{,}5;\;22{,}5)\), \(B(0;\;26)\) og \(C(37{,}5;\;22{,}5)\) som parabelen skal gå gjennom.

📊 Slik ser de tre punktene og parabelen ut i GeoGebra Grafisk:

Steg 3: Bestem parabelen \(r(x)\)

En parabel har generell form \(r(x) = ax^2 + bx + c\). Punktene \(A\) og \(C\) har samme \(r\)-verdi, og de ligger symmetrisk om \(y\)-aksen. Toppunktet til parabelen må derfor ligge på \(y\)-aksen, og dermed er \(b = 0\). Vi sitter igjen med:

Vi setter inn de to ukjente punktene (vi trenger bare to ligninger siden symmetrien ga oss \(b = 0\)):

Setter inn \(B(0;\;26)\):

Setter inn \(C(37{,}5;\;22{,}5)\):

Parabelen blir altså:

Tips med CAS: I GeoGebra CAS kan du skrive Løs({a · 0² + c = 26, a · 37,5² + c = 22,5}, {a, c}). Da får du svaret med én gang.

Steg 4: Sett opp volumformelen

Når kurven \(r(x)\) roteres om \(x\)-aksen, danner den et omdreiningslegeme. Volumet av en slik kropp er gitt ved:

For tønnen vår er grensene \(a = -37{,}5\) og \(b = 37{,}5\), så:

Steg 5: Regn ut integralet

Med CAS-kommandoen π · Integral((−0.002489·x² + 26)², x, −37.5, 37.5) får vi:

Vi gjør om til liter (\(1\text{ liter} = 1000\text{ cm}^3\)):

💻 Slik gjør du hele utregningen i GeoGebra CAS:

• Finn parabelen: Løs({a·0² + c = 26, a·37,5² + c = 22,5}, {a, c})
• Definer den: f(x) := -14/5625 · x² + 26
• Beregn volumet: V := Integral(π · f(x)², x, -37,5, 37,5)
• Få desimaltall: Numerisk(V) → ca \(145\,570{,}82\) cm³

Rimelighetsvurdering: En sylinder med radius 26 cm og høyde 75 cm ville hatt volum \(\pi \cdot 26^2 \cdot 75 \approx 159\,300\) cm³, og en sylinder med radius 22,5 cm og høyde 75 cm ville hatt volum \(\pi \cdot 22{,}5^2 \cdot 75 \approx 119\,300\) cm³. Tønnens volum på 145 571 cm³ ligger mellom disse to, noe som virker rimelig.

Oppgave 4

a)

Bestemme \(d\):

Bestemme \(A\):

Bestemme \(c\):

Perioden er 24 timer (et døgn):

b)

Vi finner først \(k\) ved å bruke informasjonen om at luftforurensningen øker utover formiddagen og er størst på ettermiddagen. Maksimum nås når sinusen er 1.

Vi setter \(M(13) = 27\):

Luftforurensningen øker på formiddagen og når maksimum, så vi antar at \(t = 13\) er på den stigende delen (før maksimum). Sinusfunksjonen har to løsninger i en periode:

For den synkende delen får vi det andre tidspunktet. På grunn av symmetrien til sinusfunksjonen er de to tidspunktene symmetriske om tidspunktet for maksimum.

Maksimum oppstår når \(\sin\!\left(\frac{\pi}{12}t + k\right) = 1\). La \(t_{\max}\) være dette tidspunktet. De to tidspunktene der \(M = 27\) er symmetrisk plassert rundt \(t_{\max}\).

Siden perioden er 24 timer, og luftforurensningen øker på formiddagen med maks på ettermiddagen, kan vi anta at maksimum er rundt kl. 15–16.

La oss bestemme \(k\) ved å anta at maksimum er ved et tidspunkt \(t_{\max}\) slik at \(\frac{\pi}{12}t_{\max} + k = \frac{\pi}{2}\).

Med symmetri: Hvis \(t = 13\) og \(M = 27\) på stigende del, og \(t_2\) er på synkende del, så er \(t_2 = 2t_{\max} - 13\).

Vi kan bestemme \(k\) mer presist. La oss si \(\arcsin(23/65) \approx 0{,}3617\) rad.

For den stigende delen:

Vi velger \(n = 1\): \(k = 0{,}3617 + 2\pi - \frac{13\pi}{12} = 0{,}3617 + 6{,}2832 - 3{,}4034 = 3{,}2415\)

Maksimum: \(\frac{\pi}{12}t_{\max} + 3{,}2415 = \frac{\pi}{2}\)

Dette gir negativt, så vi velger \(n = 2\): \(k = 0{,}3617 + 4\pi - \frac{13\pi}{12} = 0{,}3617 + 12{,}5664 - 3{,}4034 = 9{,}5247\)

Alternativt, la oss bruke en enklere tilnærmning. For sinusfunksjonen gjelder at de to løsningene av \(\sin(\theta) = c\) i én periode er symmetriske om \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

Hvis \(\theta_1 = \frac{\pi}{12} \cdot 13 + k\) og \(\theta_2 = \frac{\pi}{12} \cdot t_2 + k\), og \(\theta_1 + \theta_2 = \pi\) (symmetri om \(\pi/2\)), så:

For at dette skal gi en fornuftig løsning, trenger vi verdien av \(k\). La oss i stedet bruke at tidspunktene er symmetriske om tidspunktet for maksimal luftforurensning.

Gitt at perioden er 24 timer og luftforurensningen øker på formiddagen og avtar mot kvelden, er det rimelig at maksimum er ved ca. kl. 15 (ettermiddag). La oss anta at sinusfunksjonen når sitt maksimum når luftforurensningen er 31,2. Hvis vi antar at dette er midt mellom de to tidspunktene der \(M = 27\), og det første er kl. 13:

Avstand fra 13 til maksimum: \(\Delta t\). Det andre tidspunktet er \(t_{\max} + \Delta t\).

Fra \(\sin(\theta) = \frac{23}{65}\) får vi \(\theta = 0{,}3617\) rad. Avstanden fra dette til \(\frac{\pi}{2}\) (maksimum) er \(\frac{\pi}{2} - 0{,}3617 = 1{,}2091\) rad.

I tid: \(\Delta t = \frac{1{,}2091}{c} = \frac{1{,}2091}{\pi/12} = \frac{12 \cdot 1{,}2091}{\pi} \approx 4{,}617\) timer \(\approx 4\) timer og 37 minutter.

Så \(t_{\max} \approx 13 + 4{,}617 = 17{,}617\), dvs. ca. kl. 17:37.

Det andre tidspunktet: \(t_2 = t_{\max} + \Delta t \approx 17{,}617 + 4{,}617 \approx 22{,}23\), dvs. ca. kl. 22:14.

Alternativt: \(t_2 = 2 \cdot t_{\max} - 13 = 2 \cdot 17{,}617 - 13 = 22{,}23\).

Oppgave 5

a)

Vi finner tangentvektoren ved å derivere:

Tangenten er parallell med \(xy\)-planet når \(z\)-komponenten av tangentvektoren er null:

For \(0 < t < 2\pi\) får vi \(t = \pi\).

Koordinatene til punktet:

b)

Vi finner den andrederiverte:

Vi beregner skalarproduktet:

Siden skalarproduktet er 0 for alle \(t\), står vektorene vinkelrett på hverandre.

c)

Smygplanet i et punkt inneholder vektorene \(\vec{r}_1'(t)\) og \(\vec{r}_1''(t)\). Normalvektoren til smygplanet er gitt av kryssproduktet:

Vi beregner kryssproduktet:

der vi brukte at \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\).

\(y\)-aksen har retningsvektor \(\vec{e}_y = [0, 1, 0]\).

Vinkelen \(v\) mellom smygplanet og \(y\)-aksen er komplementet til vinkelen mellom \(\vec{n}(t)\) og \(\vec{e}_y\). Vinkelen mellom en linje og et plan er \(90° -\) vinkelen mellom linjen og normalvektoren (hvis vinkelen mellom linjen og normalen er \(\phi\), er vinkelen mellom linjen og planet \(90° - \phi\)).

Vi finner vinkelen mellom \(\vec{n}(t)\) og \(\vec{e}_y\):

Altså \(\phi = 45°\).

Vinkelen mellom \(y\)-aksen og smygplanet er:

Denne vinkelen er uavhengig av \(t\), så den er alltid den samme.

d)

Vi finner den deriverte og den andrederiverte:

Vi beregner kryssproduktet for å finne normalvektoren til smygplanet:

For \(\sin t \neq 0\) kan vi forenkle normalvektoren ved å dele på \(\sin t\):

Vi observerer at normalvektoren er konstant (uavhengig av \(t\)), så lenge \(\sin t \neq 0\).

Dette betyr at smygplanet er det samme for alle punkter på kurven (unntatt ved \(t = 0\) og \(t = \pi\) der \(\vec{r}_2''(t) = \vec{0}\) og smygplanet ikke er definert).

Tolkning: Normalvektoren \([-2, 0, 1]\) er konstant. Smygplanet har likningen:

Vi finner \(c\) ved å sette inn et punkt på kurven, f.eks. \(t = \frac{\pi}{2}\): \(\vec{r}_2\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = [1, \frac{\pi}{2}, 3]\):

Sjekk: For vilkårlig \(t\): \(-2\sin t + (2\sin t + 1) = 1\). ✓