VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PVår 2025
PDF Løsningsforslag
Bidrag fra OpenMath
Løsningsforslag – Matematikk 2P Vår 2025
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (1 poeng)
88 % av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse.
Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.
Hvor mange elever er det i klassen?
Hvor mange elever er det i klassen?
Dersom 88 % av elevene deltar, betyr det at 12 % av elevene ikke deltar:
\[ 100\,\% - 88\,\% = 12\,\% \]
Vi vet at 12 % av elevene tilsvarer 3 elever. La \( x \) være totalt antall elever i klassen:
\[ 0{,}12 \cdot x = 3 \]
\[ x = \frac{3}{0{,}12} = 25 \]
Det er 25 elever i klassen.
Vanlig feil: Noen elever prøver å finne 88 % av 3 elever, som gir et meningsløst svar. Husk at 3 elever representerer de som ikke deltar, altså 12 % av klassen. Du må dele 3 på 0,12 (ikke gange). Sett opp likningen \(0{,}12 \cdot x = 3\) for å unngå denne feilen.
Oppgave 2 (4 poeng)
Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatet ser du nedenfor:
6 3 2 4 4 6 2 7 8 8
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.
6 3 2 4 4 6 2 7 8 8
a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.
a)
Vi sorterer datamaterialet i stigende rekkefølge:
\[ 2, \; 2, \; 3, \; 4, \; 4, \; 6, \; 6, \; 7, \; 8, \; 8 \]
Medianen: Vi har 10 verdier (partall). Medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:
\[ \text{Median} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
Gjennomsnittet:
\[ \bar{x} = \frac{2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8}{10} = \frac{50}{10} = 5 \]
Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.
b)
Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er mindre enn eller lik 6.
Fra den sorterte listen:
\[ 2, \; 2, \; 3, \; 4, \; 4, \; 6, \; 6, \; 7, \; 8, \; 8 \]
Vi teller verdiene som er \( \leq 6 \):
\[ 2, \; 2, \; 3, \; 4, \; 4, \; 6, \; 6 \quad \Rightarrow \quad 7 \text{ observasjoner} \]
Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7.
Praktisk tolkning: 7 av de 10 vognene hadde 6 eller færre personer. Det betyr at i 70 % av vognene var det plass til 6 eller færre passasjerer.
Praktisk tolkning: 7 av de 10 vognene hadde 6 eller færre personer. Det betyr at i 70 % av vognene var det plass til 6 eller færre passasjerer.
Oppgave 3 (2 poeng)
Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen 44 kg. De store sekkene veier 7 kg mer enn de små.
Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?
Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?
La \( x \) være vekten til en liten sekk (i kg). Da veier en stor sekk \( x + 7 \) kg.
Vi setter opp en likning basert på totalvekten:
\[ 4x + 2(x + 7) = 44 \]
Vi løser likningen:
\[ 4x + 2x + 14 = 44 \]
\[ 6x + 14 = 44 \]
\[ 6x = 30 \]
\[ x = 5 \]
En stor sekk veier:
\[ x + 7 = 5 + 7 = 12 \text{ kg} \]
Kontroll: \( 4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 = 20 + 24 = 44 \) kg. ✓
En liten sekk veier 5 kg og en stor sekk veier 12 kg.
Oppgave 4 (3 poeng)
Et område har form som en halvsirkel med radius \( r = 1{,}0 \) m. Et annet område har form som en likebeint trekant \( ABC \), der \( AB = 3{,}0 \) m og høyden \( h = 1{,}0 \) m.
Gjør beregninger og avgjør:
Gjør beregninger og avgjør:
- hvilket av de to områdene som har størst areal
- hvilket av de to områdene som har størst omkrets
Areal av halvsirkelen:
\[ A_{\text{halvsirkel}} = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot 1{,}0^2}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \text{ m}^2 \]
Areal av trekanten:
\[ A_{\text{trekant}} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{3{,}0 \cdot 1{,}0}{2} = 1{,}50 \text{ m}^2 \]
Halvsirkelen har størst areal: \( 1{,}57 \text{ m}^2 > 1{,}50 \text{ m}^2 \).
Vanlig feil: Noen elever glemmer at arealet av en halvsirkel er \(\frac{\pi r^2}{2}\), ikke \(\pi r^2\). Husk å dele på 2. En annen feil er å tro at omkretsen av halvsirkelen kun er den buede delen. Omkretsen inkluderer også den rette linjen (diameteren) som lukker figuren.
Omkrets av halvsirkelen:
Omkretsen består av den halvsirkelformede buen pluss diameteren:
\[ O_{\text{halvsirkel}} = \pi r + 2r = \pi \cdot 1{,}0 + 2 \cdot 1{,}0 = \pi + 2 \approx 5{,}14 \text{ m} \]
Omkrets av trekanten:
Trekanten er likebeint med grunnlinje \( AB = 3{,}0 \) m og høyde \( h = 1{,}0 \) m. Høyden deler grunnlinjen i to like deler, hver på \( 1{,}5 \) m. Vi finner lengden av de like sidene med Pytagoras:
\[ s = \sqrt{1{,}5^2 + 1{,}0^2} = \sqrt{2{,}25 + 1{,}00} = \sqrt{3{,}25} \approx 1{,}80 \text{ m} \]
\[ O_{\text{trekant}} = 3{,}0 + 2 \cdot 1{,}80 = 3{,}0 + 3{,}60 = 6{,}60 \text{ m} \]
Trekanten har størst omkrets: \( 6{,}60 \text{ m} > 5{,}14 \text{ m} \).
Oppgave 5 (2 poeng)
Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren viser nedbetalingsplanen med avdrag og renter for hver termin.
a) Hvor stort lån har Marco tatt opp?
b) Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.
a) Hvor stort lån har Marco tatt opp?
b) Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.
a)
Fra figuren kan vi lese av at avdraget for hver termin er omtrent 10 000 kr, og dette er likt for alle 10 terminer.
Lånebeløpet er summen av alle avdragene:
\[ \text{Lån} = 10\,000 \cdot 10 = 100\,000 \text{ kr} \]
Marco har tatt opp et lån på 100 000 kroner.
b)
Vi ser fra figuren at:
- Avdragene er like store for hver termin (ca. 10 000 kr).
- Rentene synker for hver termin, fordi restgjelden blir mindre.
- Terminbeløpet (avdrag + renter) synker for hver termin.
Dette er et serielån.
Begrunnelse: Ved et serielån er avdragene like store for hver termin, mens rentene synker etter hvert som restgjelden reduseres. Dette gir et synkende terminbeløp, noe vi ser tydelig i figuren. Ved et annuitetslån ville terminbeløpet vært likt for hver termin.
Begrunnelse: Ved et serielån er avdragene like store for hver termin, mens rentene synker etter hvert som restgjelden reduseres. Dette gir et synkende terminbeløp, noe vi ser tydelig i figuren. Ved et annuitetslån ville terminbeløpet vært likt for hver termin.
Oppgave 6 (4 poeng)
I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til 100 personer som er medlemmer på et treningssenter.
Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år, og at medianalderen er ca. 35 år.
Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige.
Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse hun kan ha gjort.
| Alder | Antall medlemmer |
|---|---|
| [16, 20) | 20 |
| [20, 40) | 40 |
| [40, 60) | 30 |
| [60, 90) | 10 |
Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år, og at medianalderen er ca. 35 år.
Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige.
Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse hun kan ha gjort.
Antakelse: Trine har antatt at alle personene i hver aldersgruppe har en alder lik midtpunktet av intervallet. Dette er en vanlig antakelse når man arbeider med grupperte data.
Vi beregner midtpunktene for hvert intervall:
| Alder | Midtpunkt | Antall | Midtpunkt \(\times\) Antall |
|---|---|---|---|
| [16, 20) | 18 | 20 | \(18 \cdot 20 = 360\) |
| [20, 40) | 30 | 40 | \(30 \cdot 40 = 1200\) |
| [40, 60) | 50 | 30 | \(50 \cdot 30 = 1500\) |
| [60, 90) | 75 | 10 | \(75 \cdot 10 = 750\) |
| Sum | 100 | 3810 |
Gjennomsnittsalder:
\[ \bar{x} = \frac{360 + 1200 + 1500 + 750}{100} = \frac{3810}{100} = 38{,}1 \approx 38 \text{ år} \]
Dette stemmer med Trines påstand om ca. 38 år. ✓
Medianalder:
Vi har 100 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon nr. 50 og nr. 51. Vi finner kumulativ frekvens:
| Alder | Antall | Kumulativ frekvens |
|---|---|---|
| [16, 20) | 20 | 20 |
| [20, 40) | 40 | 60 |
| [40, 60) | 30 | 90 |
| [60, 90) | 10 | 100 |
Observasjon nr. 50 og nr. 51 ligger begge i intervallet [20, 40). Vi bruker lineær interpolasjon for å finne medianen:
I intervallet [20, 40) er det 40 personer (observasjon 21 til 60). Vi trenger observasjon nr. 50, som er observasjon nr. \( 50 - 20 = 30 \) inne i dette intervallet.
\[ \text{Median} \approx 20 + \frac{30}{40} \cdot (40 - 20) = 20 + \frac{30}{40} \cdot 20 = 20 + 15 = 35 \text{ år} \]
Med antakelsen om at alle i en gruppe har alder lik midtpunktet av intervallet, blir gjennomsnittsalderen ca. 38 år og medianalderen ca. 35 år. Trines påstander er dermed riktige.
Oppgave 7 (2 poeng)
Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn.
Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. 160 kg mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor:
Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
2030
79.74734731199999
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. 160 kg mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor:
matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87
år = 2025
while matsvinn > mål:
matsvinn = matsvinn * vf
år = år + 1
print(år)
print(matsvinn)Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
2030
79.74734731199999
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
La oss analysere programmet steg for steg:
matsvinn = 160— Startverdien er 160 kg matsvinn per år.mål = matsvinn / 2 = 80— Målet er å halvere matsvinnet, altså komme under 80 kg.vf = 0.87— Vekstfaktoren er 0,87, som betyr en reduksjon på 13 % per år.år = 2025— Beregningen starter i 2025.- While-løkken kjører så lenge matsvinnet er større enn målet (80 kg), og for hvert år multipliseres matsvinnet med 0,87.
Hva Sofie ønsker å finne ut:
Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før familiens matsvinn er halvert (redusert til under 80 kg), dersom de reduserer matsvinnet med 13 % hvert år.
Tolkning av utskriften:
2030 betyr at det er i år 2030 at matsvinnet for første gang er under 80 kg (halvparten av 160 kg). Det tar altså 5 år.
79,75 kg (avrundet) er mengden matsvinn familien har i år 2030. Dette er like under målet på 80 kg, noe som bekrefter at matsvinnet nettopp er halvert.
79,75 kg (avrundet) er mengden matsvinn familien har i år 2030. Dette er like under målet på 80 kg, noe som bekrefter at matsvinnet nettopp er halvert.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.
I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.
Ledelsen mener funksjonen \( U \) gitt ved \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 \] vil være en god modell for utslippet \( U(x) \) tonn per år etter \( x \) år.
a) Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
b) Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
c) Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?
Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.
d) Vurder om det ifølge modellen \( U \) vil være mulig å oppfylle dette kravet.
I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.
Ledelsen mener funksjonen \( U \) gitt ved \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 \] vil være en god modell for utslippet \( U(x) \) tonn per år etter \( x \) år.
a) Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
b) Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
c) Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?
Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.
d) Vurder om det ifølge modellen \( U \) vil være mulig å oppfylle dette kravet.
Graf av modellen:
a)
Modellen er \( U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 \).
Tolkning av modellen:
- Det totale utslippet i dag (ved \( x = 0 \)) er \( U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \) tonn per år.
- Leddet \( 5000 \cdot 0{,}95^x \) representerer utslippet fra den ene prosessen. Vekstfaktoren 0,95 betyr at utslippet fra denne prosessen reduseres med 5 % per år.
- Konstanten 1000 representerer utslippet fra den andre prosessen, som holdes uendret over tid.
Modellen viser at ledelsen planlegger å redusere utslippet fra den ene produksjonsprosessen med 5 % per år, mens utslippet fra den andre prosessen forblir konstant på 1000 tonn per år.
b)
Det opprinnelige utslippet er \(U(0) = 6000\) tonn. Halvparten er 3000 tonn. Vi løser likningen i GeoGebra:
\[ \texttt{NLøs}(5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 = 3000, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 17{,}9 \]
Alternativt kan vi lese av skjæringspunktet mellom grafen til \(U(x)\) og linjen \(y = 3000\) i Grafisk vindu.
Det vil ta ca. 18 år før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen.
c)
Utslippet i dag er \( U(0) = 6000 \) tonn. Utslippet etter 10 år:
\[ U(10) = 5000 \cdot 0{,}95^{10} + 1000 = 5000 \cdot 0{,}5987 + 1000 \approx 2993{,}7 + 1000 = 3993{,}7 \text{ tonn} \]
Prosentvis reduksjon:
\[ \text{Reduksjon} = \frac{6000 - 3993{,}7}{6000} \cdot 100\,\% \approx \frac{2006{,}3}{6000} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]
Etter 10 år er det årlige utslippet redusert med ca. 33,4 %.
d)
Vi undersøker om \( U(x) = 800 \) har en løsning:
\[ 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 = 800 \]
\[ 5000 \cdot 0{,}95^x = -200 \]
Siden \( 0{,}95^x > 0 \) for alle \( x \), vil \( 5000 \cdot 0{,}95^x > 0 \), og dermed:
\[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000 > 1000 \]
for alle verdier av \( x \).
Ifølge modellen vil det ikke være mulig å oppfylle myndighetenes krav
Vanlig feil: Mange elever setter opp likningen \(U(x) = 800\) og prøver å løse den, uten å innse at det gir et negativt tall i eksponentialleddet. Nøkkelen er å forstå at \(5000 \cdot 0{,}95^x\) alltid er positivt, slik at \(U(x) > 1000\) for alle \(x\). Modellen har en horisontal asymptote på 1000, som betyr at utslippet aldri kan komme under dette nivået.
om å redusere utslippet til 800 tonn per år. Modellen viser at utslippet aldri kan komme under 1000 tonn, fordi det ene utslippet på 1000 tonn holdes konstant. Bedriften måtte i tillegg ha redusert utslippet fra den andre prosessen for å klare kravet.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
U(x) := 5000 · 0.95^x + 1000 - Finn når utslippet er 3000 tonn:
NLøs(U(x) = 3000, x)→ gir \(x \approx 17{,}9\), altså etter ca. 18 år - Finn utslippet etter 10 år:
U(10)→ gir \(\approx 3994\) tonn
Oppgave 2 (3 poeng)
I et rom er det 10 personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:
12 14 40 42 70 67 5 5 28 30
Påstand 1: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.
a) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
Påstand 2: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli 30 år.
b) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
12 14 40 42 70 67 5 5 28 30
Påstand 1: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.
a) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
Påstand 2: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli 30 år.
b) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
a)
Vi sorterer aldrene i stigende rekkefølge:
\[ 5, \; 5, \; 12, \; 14, \; 28, \; 30, \; 40, \; 42, \; 67, \; 70 \]
Med 10 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:
\[ \text{Median}_{10} = \frac{28 + 30}{2} = 29 \]
Hvis en ny person med alder 29 år kommer inn, får vi 11 observasjoner:
\[ 5, \; 5, \; 12, \; 14, \; 28, \; 29, \; 30, \; 40, \; 42, \; 67, \; 70 \]
Med 11 observasjoner er medianen den 6. verdien: \( 29 \).
Medianen endret seg fra 29 til 29, altså ingen endring.
Påstand 1 er ikke riktig. Det finnes tilfeller der medianen ikke endres. For eksempel, dersom en person på 29 år kommer inn i rommet, forblir medianalderen 29 år.
b)
Summen av aldrene til de 10 personene er:
\[ 5 + 5 + 12 + 14 + 28 + 30 + 40 + 42 + 67 + 70 = 313 \]
Dersom gjennomsnittsalderen med 11 personer skal bli 30 år, må summen av alle aldrene være:
\[ 30 \cdot 11 = 330 \]
Den nye personen må ha alder:
\[ 330 - 313 = 17 \text{ år} \]
En person på 17 år er en mulig alder.
Påstand 2 er riktig. Dersom en person på 17 år kommer inn i rommet, blir gjennomsnittsalderen nøyaktig 30 år.
Oppgave 3 (2 poeng)
Kari skal over en elv. Hun har laget en skisse.
Avstanden fra \( A \) til \( D \) er 5 m, avstanden fra \( D \) til \( E \) er 10 m, og avstanden fra \( B \) til \( C \) er 40 m.
a) Forklar at \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE \) er formlike.
b) Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra \( B \) til \( D \).
Avstanden fra \( A \) til \( D \) er 5 m, avstanden fra \( D \) til \( E \) er 10 m, og avstanden fra \( B \) til \( C \) er 40 m.
a) Forklar at \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE \) er formlike.
b) Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra \( B \) til \( D \).
a)
Vi skal vise at \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE \) er formlike.
Fra figuren ser vi at:
- Vinkel \( A \) er felles for begge trekantene.
- Vinkel \( ADE = 90° \) (markert med rette-vinkel-symbol i figuren).
- Vinkel \( ABC = 90° \) (markert med rette-vinkel-symbol i figuren).
Begge trekantene har altså:
- En felles vinkel ved \( A \)
- En rett vinkel (\( 90° \))
Siden \( \triangle ABC \) og \( \triangle ADE \) har to par like vinkler (felles vinkel \( A \) og begge har en rett vinkel), er de formlike.
b)
Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider likt.
Fra figuren:
- \( AD = 5 \) m (kort side i liten trekant)
- \( DE = 10 \) m (den andre kateten i liten trekant)
- \( BC = 40 \) m (tilsvarende side som \( DE \) i stor trekant)
- \( BD = \) ukjent (vi skal finne denne, som er del av \( AB \))
Forholdet mellom tilsvarende sider gir:
\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \]
Vi vet at \( AB = AD + DB = 5 + BD \). Setter inn:
\[ \frac{5 + BD}{5} = \frac{40}{10} \]
\[ \frac{5 + BD}{5} = 4 \]
\[ 5 + BD = 20 \]
\[ BD = 15 \text{ m} \]
Avstanden fra \( B \) til \( D \) er 15 m.
Oppgave 4 (5 poeng)
En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene. I dag er det 12 000 fugler i bestanden.
Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.
a) Vis at funksjonen \( F \) gitt ved \( F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x \) er en god modell for antallet fugler i bestanden etter \( x \) år.
b) Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?
c) Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?
Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.
a) Vis at funksjonen \( F \) gitt ved \( F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x \) er en god modell for antallet fugler i bestanden etter \( x \) år.
b) Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?
c) Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?
Graf av modellen:
a)
Vi må vise at modellen \( F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x \) gir en halvering etter 5 år.
Startverdien: Ved \( x = 0 \):
\[ F(0) = 12\,000 \cdot 0{,}87^0 = 12\,000 \]
Dette stemmer med at det i dag er 12 000 fugler.
Etter 5 år:
\[ F(5) = 12\,000 \cdot 0{,}87^5 = 12\,000 \cdot 0{,}4985 \approx 5981 \]
Halvparten av 12 000 er 6 000. Vi ser at \( F(5) \approx 5981 \approx 6000 \).
Modellen gir \( F(0) = 12\,000 \) og \( F(5) \approx 6000 \), noe som viser at bestanden omtrent halveres i løpet av 5 år. Dermed er \( F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x \) en god modell.
b)
\[ F(7) = 12\,000 \cdot 0{,}87^7 = 12\,000 \cdot 0{,}3773 \approx 4528 \]
Etter 7 år vil bestanden være ca. 4 528 fugler ifølge modellen.
c)
En reduksjon på 35 % betyr at 65 % gjenstår. Bestanden er redusert med 35 % når \(F(x) = 0{,}65 \cdot 12\,000 = 7800\). Vi løser i GeoGebra:
\[ \texttt{NLøs}(12\,000 \cdot 0{,}87^x = 7800, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 3{,}09 \]
Det vil ta ca. 3,1 år (omtrent 3 år og 1 måned) før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.
Vanlig feil: Noen elever setter \(F(x) = 0{,}35 \cdot 12\,000\) i stedet for \(F(x) = 0{,}65 \cdot 12\,000\). Husk at en reduksjon på 35 % betyr at 65 % gjenstår, ikke at bestanden er 35 % av den opprinnelige. Vekstfaktoren for 35 % reduksjon er \(1 - 0{,}35 = 0{,}65\).
Oppgave 5 (6 poeng)
Tabellen viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024:
Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til 8500 kroner per måned.
Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).
I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli 9000 kroner per måned.
a) Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til 9000 kroner per måned på dette tidspunktet.
b) Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.
c) Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.
| År | KPI for oktober |
|---|---|
| 2021 | 117,2 |
| 2022 | 126,0 |
| 2023 | 131,1 |
| 2024 | 134,5 |
Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til 8500 kroner per måned.
Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).
I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli 9000 kroner per måned.
a) Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til 9000 kroner per måned på dette tidspunktet.
b) Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.
c) Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.
a)
Husleien ble satt til 8500 kr i oktober 2023. Vi undersøker om huseieren kan sette den opp til 9000 kr i oktober 2024.
KPI-endringen fra oktober 2023 til oktober 2024:
\[ \text{Endring i KPI} = \frac{134{,}5 - 131{,}1}{131{,}1} \cdot 100\,\% = \frac{3{,}4}{131{,}1} \cdot 100\,\% \approx 2{,}59\,\% \]
Maksimal tillatt husleie:
\[ 8500 \cdot 1{,}0259 \approx 8720 \text{ kr} \]
Den foreslåtte husleien på 9000 kr tilsvarer en økning på:
\[ \frac{9000 - 8500}{8500} \cdot 100\,\% = \frac{500}{8500} \cdot 100\,\% \approx 5{,}88\,\% \]
Huseieren hadde ikke lov til å sette opp leien til 9000 kr per måned.
Vanlig feil: Noen beregner KPI-endringen fra basisåret i stedet for fra foregående år. Husleieloven sier at endringen ikke kan overstige endringen i KPI fra det forrige tidspunktet leien ble fastsatt. Her skal du sammenligne KPI for oktober 2023 med oktober 2024, ikke fra et annet referanseår.
KPI økte med ca. 2,59 %, noe som gir en maksimal husleie på ca. 8720 kr. Økningen til 9000 kr (5,88 %) overstiger endringen i KPI.
b)
Vi beregner den prosentvise endringen i KPI for hvert år:
Oktober 2021 til oktober 2022:
\[ \frac{126{,}0 - 117{,}2}{117{,}2} \cdot 100\,\% = \frac{8{,}8}{117{,}2} \cdot 100\,\% \approx 7{,}51\,\% \]
Oktober 2022 til oktober 2023:
\[ \frac{131{,}1 - 126{,}0}{126{,}0} \cdot 100\,\% = \frac{5{,}1}{126{,}0} \cdot 100\,\% \approx 4{,}05\,\% \]
Oktober 2023 til oktober 2024:
\[ \frac{134{,}5 - 131{,}1}{131{,}1} \cdot 100\,\% = \frac{3{,}4}{131{,}1} \cdot 100\,\% \approx 2{,}59\,\% \]
| Periode | Prosentvis økning i KPI |
|---|---|
| Okt. 2021 – Okt. 2022 | ca. 7,51 % |
| Okt. 2022 – Okt. 2023 | ca. 4,05 % |
| Okt. 2023 – Okt. 2024 | ca. 2,59 % |
Konsumprisindeksen økte med ca. 7,51 % fra 2021 til 2022, ca. 4,05 % fra 2022 til 2023, og ca. 2,59 % fra 2023 til 2024. Vi ser at prisstigningen har avtatt gjennom perioden.
c)
Antakelse: Vi antar at den årlige KPI-økningen fra oktober 2024 framover vil ligge rundt 2,5 %, som er omtrent det samme som den siste observerte økningen (2,59 %).
Husleien i oktober 2024 er maksimalt:
\[ \text{Okt. 2024:} \quad 8500 \cdot 1{,}0259 \approx 8720 \text{ kr} \]
Husleien i oktober 2025 (med antatt 2,5 % KPI-økning):
\[ \text{Okt. 2025:} \quad 8720 \cdot 1{,}025 \approx 8938 \text{ kr} \]
Husleien i oktober 2026 (med antatt 2,5 % KPI-økning):
\[ \text{Okt. 2026:} \quad 8938 \cdot 1{,}025 \approx 9162 \text{ kr} \]
Med en antatt årlig KPI-økning på ca. 2,5 % må Felix regne med å betale ca. 9160 kroner i husleie per måned fra og med oktober 2026.
Oppgave 6 (4 poeng)
Tabellen viser data om fødsler og dødsfall i Norge i perioden 1983–2023:
Fødselsrate og dødsrate er antallet fødte og døde per 1000 innbyggere.
Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.
Presentasjonen skal inneholde:
| År | Antall fødte | Antall døde | Fødselsrate | Dødsrate | Samlet fruktbarhetstall |
|---|---|---|---|---|---|
| 1983 | 49 937 | 42 224 | 12,1 | 10,2 | 1,66 |
| 1993 | 59 678 | 46 597 | 13,8 | 10,8 | 1,86 |
| 2003 | 56 458 | 42 478 | 12,4 | 9,3 | 1,80 |
| 2013 | 58 995 | 41 282 | 11,6 | 8,1 | 1,78 |
| 2023 | 51 980 | 43 803 | 9,4 | 7,9 | 1,40 |
Fødselsrate og dødsrate er antallet fødte og døde per 1000 innbyggere.
Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.
Presentasjonen skal inneholde:
- diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
- beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023
Prosentvise endringer fra 1983 til 2023:
Antall fødte:
\[ \frac{51\,980 - 49\,937}{49\,937} \cdot 100\,\% = \frac{2\,043}{49\,937} \cdot 100\,\% \approx 4{,}1\,\% \text{ økning} \]
Antall døde:
\[ \frac{43\,803 - 42\,224}{42\,224} \cdot 100\,\% = \frac{1\,579}{42\,224} \cdot 100\,\% \approx 3{,}7\,\% \text{ økning} \]
Fødselsrate:
\[ \frac{9{,}4 - 12{,}1}{12{,}1} \cdot 100\,\% = \frac{-2{,}7}{12{,}1} \cdot 100\,\% \approx -22{,}3\,\% \]
Fødselsraten har sunket med ca. 22,3 %.
Dødsrate:
\[ \frac{7{,}9 - 10{,}2}{10{,}2} \cdot 100\,\% = \frac{-2{,}3}{10{,}2} \cdot 100\,\% \approx -22{,}5\,\% \]
Dødsraten har sunket med ca. 22,5 %.
Samlet fruktbarhetstall:
\[ \frac{1{,}40 - 1{,}66}{1{,}66} \cdot 100\,\% = \frac{-0{,}26}{1{,}66} \cdot 100\,\% \approx -15{,}7\,\% \]
Fruktbarhetstallet har sunket med ca. 15,7 %.
| Størrelse | 1983 | 2023 | Endring |
|---|---|---|---|
| Antall fødte | 49 937 | 51 980 | +4,1 % |
| Antall døde | 42 224 | 43 803 | +3,7 % |
| Fødselsrate | 12,1 | 9,4 | -22,3 % |
| Dødsrate | 10,2 | 7,9 | -22,5 % |
| Fruktbarhetstall | 1,66 | 1,40 | -15,7 % |
Viktige observasjoner:
- Selv om antallet fødte og døde har økt litt, har ratene (per 1000 innbyggere) sunket betydelig. Dette skyldes at befolkningen har vokst i perioden.
- Fødselsraten har sunket fra 12,1 til 9,4, noe som betyr at det fødes færre barn per innbygger.
- Dødsraten har også sunket, fra 10,2 til 7,9, noe som tyder på at levealderen har økt.
- Fruktbarhetstallet har sunket fra 1,66 til 1,40. Begge verdiene er under 2,1, som er det nivået som trengs for å opprettholde befolkningsstørrelsen uten innvandring.
- Naturlig befolkningsøkning (fødselsrate minus dødsrate) har sunket fra \( 12{,}1 - 10{,}2 = 1{,}9 \) til \( 9{,}4 - 7{,}9 = 1{,}5 \) per 1000 innbyggere.
Diagrammer til presentasjon:
Diagram 1: Fødselsrate og dødsrate per 1000 innbyggere (1983–2023)
Diagram 2: Antall fødte og døde i Norge (1983–2023)
Diagram 3: Samlet fruktbarhetstall (1983–2023)
Oppsummering: I perioden 1983 til 2023 har både fødselsraten og dødsraten sunket med omtrent 22 %. Fruktbarhetstallet har falt med ca. 16 % og var i 2023 nede på 1,40, noe som er historisk lavt. Selv om det absolutte antallet fødte og døde har økt noe, skyldes dette befolkningsvekst. Den naturlige tilveksten per 1000 innbyggere har blitt betydelig lavere.