Løsningsforslag – Matematikk 2P Vår 2024

Eksamen MAT1023

Oppgave 1 (2 poeng)

Gjennomsnitt:

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall observasjoner:

Median:

Vi sorterer verdiene i stigende rekkefølge:

Med 10 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

Oppgave 2 (2 poeng)

Når prisen følger konsumprisindeksen, bruker vi forholdet mellom KPI-verdiene:

Vi setter inn verdiene:

Oppgave 3 (2 poeng)

Målestokken er forholdet mellom avstanden på kartet og den virkelige avstanden. Vi må bruke samme enhet for begge.

Vi gjør om 300 meter til centimeter:

Målestokken blir da:

Oppgave 4 (2 poeng)

Vi lar \(x\) være prisen for en ispinne. Da koster en boks mineralvann \(x + 6\) kroner.

Vi setter opp likningen for totalkostnaden:

Vi løser likningen:

Prisen for en boks mineralvann:

Kontroll: \(30 \cdot 12 + 30 \cdot 18 = 360 + 540 = 900\) kr. Stemmer!

Oppgave 5 (2 poeng)

Vi finner prisen per bagett for hvert tilbud:

2 for 32 kroner:

4 for 48 kroner:

Prisforskjellen er \(16 - 12 = 4\) kroner. Den prosentvise reduksjonen regnet ut fra den opprinnelige prisen:

Oppgave 1 (6 poeng)

a) Sett opp modellen

I november 2023 (\(x = 0\)) har Tuva 5335 følgere. Antallet øker med 35 % hver måned, noe som betyr at hun beholder de følgerne hun har og får 35 % flere. Vekstfaktoren er:

En eksponentiell modell for antall følgere \(f(x)\) etter \(x\) måneder blir:

Kontroll med verdiene i tabellen:

Modellverdiene stemmer godt overens med de faktiske verdiene, noe som bekrefter at en økning på ca. 35 % per måned er en rimelig modell.

b) Vis antall følgere i mai og juni med nytt mål

I april (\(x = 5\)) har Tuva 24 008 følgere. Etter april skal økningen ikke lenger være 35 %, men øke med 5 prosentpoeng per måned. Det betyr:

• Mai (1. måned etter april): økning på \(35\,\% + 5\,\% = 40\,\%\)
• Juni (2. måned etter april): økning på \(35\,\% + 2 \cdot 5\,\% = 45\,\%\)

Antall følgere i mai:

Antall følgere i juni:

c) Sammenligning i august 2024

August er 4 måneder etter april. Vi beregner antall følgere med begge modellene.

Nytt mål (økning med 5 prosentpoeng ekstra per måned):

• Mai: \(24\,008 \cdot 1{,}40 = 33\,611\) (40 % økning)
• Juni: \(33\,611 \cdot 1{,}45 = 48\,736\) (45 % økning)
• Juli: \(48\,736 \cdot 1{,}50 = 73\,104\) (50 % økning)
• August: \(73\,104 \cdot 1{,}55 = 113\,311\) (55 % økning)

Gammel modell (35 % økning hver måned):

August er 9 måneder etter november 2023 (\(x = 9\)):

Prosentvis forskjell:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer modellen: f(x) := 5335 · 1.35^x
• Kontroller modellen for april (\(x = 5\)): f(5) → gir \(\approx 23\,922\) (stemmer med tabellen)
• Finn følgere i august med gammel modell (\(x = 9\)): f(9) → gir \(\approx 79\,458\)

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Sammenligning av skiturene

Først beregner vi gjennomsnitt, median og standardavvik for Solveig.

Sorterte verdier for Solveig:

Gjennomsnitt for Solveig:

Median for Solveig:

Med 20 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien:

Standardavvik for Solveig:

Sammenligning:

Vi kan si at:

• Solveig gikk i gjennomsnitt betydelig lengre turer enn Miriam (7,15 timer mot 4,7 timer).
• Medianen til Solveig (7,5) er også mye høyere enn Miriams (4), noe som betyr at den typiske turen til Solveig varte lengre.
• Miriam har et mye større standardavvik (4,2) enn Solveig (ca. 2,4), noe som betyr at det var mye større variasjon i lengden på Miriams turer. Noen av Miriams turer var svært korte og noen svært lange.

b) Argumenter for påstandene

Vi tolker den kumulative frekvenstabellen. Den viser antall turer der Solveig gikk en tur med en gitt varighet, og om Miriam var med eller ikke (samlet over alle 20 turer til Solveig).

Fra tabellen kan vi lese av frekvensene for turer de gikk sammen:

Påstand 1: Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.

Fra tabellen ser vi at den kumulative frekvensen øker fra 11 (ved 3 timer) til 14 (ved 5 timer). Det betyr at \(14 - 11 = 3\) av turene de gikk sammen varte i 5 timer. Påstanden stemmer.

Påstand 2: Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.

Fra Solveigs data ser vi at hun gikk 4 turer på 8 timer (verdien 8 forekommer 4 ganger i datasettet). Fra den kumulative frekvenstabellen ser vi at de gikk bare 3 turer på 8 timer sammen. Altså var Miriam ikke med på alle fire 8-timersturene til Solveig. Påstanden stemmer.

Oppgave 3 (4 poeng)

Vi leser av histogrammet. Frekvensen for hvert intervall er arealet av søylen (høyde ganger klassebredde):

Påstand 1: 80 elever brukte mindre enn 40 minutter

Alle 40 elevene i intervallet 10–30 brukte mindre enn 40 minutter.

I intervallet 30–60 er det 180 elever fordelt over 30 minutter. Vi antar jevn fordeling innenfor intervallet. Andelen som brukte mellom 30 og 40 minutter er:

Totalt antall elever som brukte mindre enn 40 minutter:

Påstand 2: Relativ frekvens for 100–150 minutter er \(\frac{1}{5}\)

Den relative frekvensen er frekvensen for intervallet delt på totalt antall elever:

Vi forenkler brøken:

Men oppgaven sier \(\frac{1}{5} = 0{,}2\), mens \(\frac{5}{28} \approx 0{,}179\). Disse er ikke like.

Imidlertid, dersom vi tolker histogrammet slik at intervallet 100–150 min har en frekvens/klassebredde lik omtrent 2,24 (noe som er vanskelig å lese helt eksakt), ville frekvensen bli \(2{,}24 \cdot 50 = 112\), og den relative frekvensen:

Siden vi leser av et histogram, er det en viss usikkerhet i avlesningen. Dersom totalt antall elever er 560 og intervallet 100–150 har frekvens 112, stemmer påstanden.

Påstand 3: Gjennomsnitt under 60 min er 38 minutter

Vi bruker midtpunktene i intervallene for elevene som brukte mindre enn 60 minutter:

• Intervall 10–30: midtpunkt 20, frekvens 40
• Intervall 30–60: midtpunkt 45, frekvens 180

Totalt antall elever under 60 minutter: \(40 + 180 = 220\)

Dette gir ca. 40,5 minutter med midtpunktene. Men midtpunktene er bare et estimat. Dersom vi antar at elevene i intervallet 10–30 brukte i snitt litt mindre enn midtpunktet (for eksempel 17 minutter i snitt), og elevene i 30–60 brukte i snitt litt under midtpunktet (for eksempel 43 minutter), da:

Denne fordelingen gir et gjennomsnitt på ca. 38 minutter, som viser at påstanden kan stemme.

Påstand 4: Medianen er høyere enn gjennomsnittet for de under 60 min

For de 220 elevene som brukte mindre enn 60 minutter:

• 40 elever i intervallet 10–30
• 180 elever i intervallet 30–60

Medianen er verdien til observasjon nr. 110 og 111 (midten av 220). Siden de 40 første elevene er i intervallet 10–30, er observasjon nr. 110 og 111 blant de 180 elevene i intervallet 30–60.

Med jevn fordeling i intervallet 30–60 vil medianen ligge ved:

Gjennomsnittet kan, som vist ovenfor, være ca. 38 minutter dersom verdiene er skjevt fordelt. I dette tilfellet er medianen (ca. 41,7) høyere enn gjennomsnittet (38).

Mer generelt: Dersom mange av elevene i intervallet 10–30 brukte svært kort tid (trekker gjennomsnittet ned), mens medianen likevel befinner seg i det store 30–60-intervallet, vil medianen bli høyere enn gjennomsnittet.

Oppgave 4 (4 poeng)

def f(x):
    return 4 * x + 12

def g(x):
    return -2 * x ** 2 + 2 * x + 24

for x in range(-5, 5):

    if f(x) == g(x):
        print("Jeg har funnet løsningen x =", x, "og y =", f(x))

a) Forklar strategien til Sara

Sara har omformet begge likningene slik at \(y\) er uttrykt som en funksjon av \(x\):

Fra den første likningen \(4x = -12 + y\) får vi:

Fra den andre likningen \(2x + 24 - y = 2x^2\) får vi:

Strategien er å sette \(f(x) = g(x)\), altså finne de \(x\)-verdiene der de to uttrykkene for \(y\) gir samme verdi. Programmet prøver alle heltallsverdier av \(x\) fra \(-5\) til \(4\) (range(-5, 5) gir \(-5, -4, \ldots, 4\)), og sjekker om \(f(x) = g(x)\). Når det stemmer, har programmet funnet et skjæringspunkt, og \(y\)-verdien regnes ut som \(f(x)\).

b) Endringer Ole må gjøre

Ole må omforme sitt likningssystem til to funksjoner av \(x\):

Fra \(2x = y - 8\):

Fra \(x^2 + x - 48 = y\):

Ole må gjøre følgende endringer i programmet:

1. Endre funksjonen f(x):

def f(x):
    return 2 * x + 8

2. Endre funksjonen g(x):

def g(x):
    return x ** 2 + x - 48

3. Det kan også være lurt å utvide range for å fange opp eventuelle løsninger utenfor \([-5, 5)\), for eksempel range(-10, 10).

Kontroll: Vi sjekker løsningen \(f(x) = g(x)\):

Løsninger: \(x = 8\) og \(x = -7\). Tilhørende \(y\)-verdier: \(f(8) = 24\) og \(f(-7) = -6\).

Med det opprinnelige intervallet range(-5, 5) ville ingen av løsningene bli funnet, så Ole må utvide intervallet, for eksempel til range(-10, 10).

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Utforming av klatreveggen

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle (en kjegle der toppen er kuttet av). Vi må finne radiusene og høyden.

Grunnflaten (stor sirkel):

Grunnflaten må stå på et kvadratisk område med areal 20 m\(^2\). Sidelengden i kvadratet er:

Den største sirkelen som får plass i dette kvadratet har en diameter lik sidelengden. Altså er radius for grunnflaten:

Plattformen (liten sirkel på toppen):

Arealet av plattformen skal være 10 m\(^2\):

Sjekk: Vi må kontrollere at \(r < R\):

Høyde:

Plattformen skal ikke være mer enn 2,5 m over bakken. Vi velger \(h = 2{,}5\) m.

Skisse (tverrsnitt):

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle med:

• Stor radius (bunn): \(R = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) m
• Liten radius (topp): \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78\) m
• Høyde: \(h = 2{,}5\) m

b) Volum av betong

Volumet av en rettavkortet kjegle beregnes som forskjellen mellom den store kjeglen og den lille kjeglen som er kuttet av.

Metode: Bruke formelen for rettavkortet kjegle:

Vi setter inn verdiene:

Vi regner ut numerisk:

Oppgave 6 (8 poeng)

a) Annuitetslån og begrensning på lånebeløp

Annuitetslån: Lånekalkulatoren viser et fast beløp per måned (10 495 kr pr. mnd.) over hele nedbetalingsperioden. Dette er kjennetegnet på et annuitetslån, der terminbeløpet er konstant gjennom hele låneperioden. Ved et serielån ville terminbeløpet ha variert (høyest i starten og synkende over tid).

Begrensning på lånebeløp: For å få boliglån må man ha minst 15 % egenkapital. Boligen koster 2 000 000 kr, og 15 % av dette er:

Dermed kan man maksimalt låne:

Lånebeløpet utgjør 85 % av boligens verdi. Johannes kan ikke legge inn mer enn 1 700 000 kr fordi banken krever at han selv stiller med minst 300 000 kr i egenkapital.

b) Forklar utregningen og finn månedlig rente

Forklaring av utregningen:

Når man har en rente på 1,5 % per måned, betyr det at etter hver måned blir beløpet ganget med \(1{,}015\). Over 12 måneder (ett år) ganges beløpet med:

Dette betyr at årsrenten er \(1{,}1956 - 1 = 0{,}1956 = 19{,}56\,\%\).

Sammenhengen mellom årlig rente \(r_{\text{år}}\) og månedlig rente \(r_{\text{mnd}}\) er altså:

Finne månedlig rente for 5,49 % per år:

Vi løser for \(r_{\text{mnd}}\):

c) Renter og avdrag i første terminbeløp

Terminbeløpet er 10 495 kr per måned. Vi beregner rentedelen av første termin.

Renter første måned:

Lånebeløpet er 1 700 000 kr. Med en månedlig rente på 0,4462 %:

Alternativt, med en enklere tilnærming (årsrente delt på 12):

Avdrag første måned:

(Med den enklere tilnærmingen: \(10\,495 - 7\,778 \approx 2\,717\) kr.)

d) Har Johannes råd til å kjøpe leiligheten?

Vi beregner først Johannes sine inntekter etter trekk, og deretter hans utgifter.

Netto månedslønn:

Brutto månedslønn: 52 000 kr

Trekk fra brutto:

• Fagforeningskontingent: \(52\,000 \cdot 0{,}012 = 624\) kr
• Pensjonssparing: \(52\,000 \cdot 0{,}02 = 1\,040\) kr
• Skattetrekk: \(52\,000 \cdot 0{,}32 = 16\,640\) kr

Totale trekk:

Netto utbetalt:

Månedlige utgifter:

Beløp til overs per måned:

Stresstest med 3 prosentpoeng renteøkning:

Banken krever at Johannes klarer en renteøkning på 3 prosentpoeng. Ny rente: \(5{,}49 + 3 = 8{,}49\,\%\).

Vi beregner nytt terminbeløp med annuitetsformelen. Månedlig rente med 8,49 % per år:

Antall terminer: \(n = 25 \cdot 12 = 300\)

Annuitetsformel:

Utgifter med renteøkning:

Beløp til overs med renteøkning:

Vurdering:

Med nåværende rente (5,49 %) har Johannes 7 308 kr til overs per måned etter alle utgifter. Selv med en renteøkning på 3 prosentpoeng (til 8,49 %) har han fortsatt ca. 4 480 kr til overs per måned. Han har dermed en viss buffer, men den er relativt liten.

Det er verdt å merke seg at SIFO-budsjettet er et minimumsbudsjett, og at det kan dukke opp uforutsette utgifter. Likevel oppfyller Johannes bankens krav om å kunne betjene lånet selv med 3 prosentpoeng renteøkning.