Løsningsforslag – Matematikk 2P Høst 2022

Eksamen MAT1023

Oppgave 1

a) Median og gjennomsnitt

Vi begynner med å sortere tallene i stigende rekkefølge:

Gjennomsnitt:

Median:

Vi har 10 observasjoner (partall), så medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 5 og 6 i den sorterte rekken:

b) Hvilket sentralmål beskriver datamaterialet best?

Medianen på 20 sider beskriver datamaterialet best.

Begrunnelse: Verdien 100 er en uteligger (ekstremverdi) som trekker gjennomsnittet kraftig opp. Gjennomsnittet på 28 sider er høyere enn det Maia leste 9 av 10 dager. Medianen på 20 sider gir et bedre bilde av hva som er et typisk antall sider hun leser per dag.

Oppgave 2

For å sammenligne kjøpekraften må vi beregne reallønnen. Vi bruker 2015 som basisår (KPI = 100).

Reallønn i 2015:

Siden 2015 er basisåret med KPI = 100, er reallønnen lik den nominelle lønnen:

Reallønn i 2019:

KPI i 2019 er 110,8. Vi regner om den nominelle lønnen til 2015-kroner:

Vi sammenligner:

Oppgave 3

# Velger verdier for a, b og c
a = 4
b = 5
c = 3

if a**2 + b**2 == c**2 or a**2 + c**2 == b**2 or b**2 + c**2 == a**2:
    print("...")

Programmet sjekker om tre tall \(a\), \(b\) og \(c\) oppfyller Pytagoras' setning, det vil si om:

Programmet sjekker alle tre kombinasjoner fordi vi ikke vet hvilken av sidene som er den lengste (hypotenusen).

Hva kan programmet brukes til?

Programmet kan brukes til å sjekke om tre gitte sidelengder danner en rettvinklet trekant.

Forslag til tekst i linje 11:

print("Trekanten er rettvinklet")

Vi kan verifisere med verdiene \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = 3\):

Altså er trekanten med sider 3, 4 og 5 rettvinklet, og programmet vil skrive ut teksten.

Oppgave 4

Deloppgave 1: Løs ulikheten \( x^2 - 5x < -4 \)

Vi skriver om ulikheten:

Vi skal altså finne hvor grafen til \(f(x)\) ligger under \(x\)-aksen.

Fra grafen ser vi at \(f(x) = 0\) for \(x = 1\) og \(x = 4\) (nullpunktene). Grafen ligger under \(x\)-aksen mellom disse verdiene.

Deloppgave 2: Løs likningen \( x^2 - 5x + 4 = 2x - 6 \)

Venstresiden er \(f(x) = x^2 - 5x + 4\), som allerede er tegnet inn i koordinatsystemet.

Høyresiden er den lineære funksjonen \(g(x) = 2x - 6\). Vi tegner inn denne linjen i koordinatsystemet:

• \(g(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6\)
• \(g(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0\), altså skjærer linjen \(x\)-aksen i \(x = 3\)
• \(g(5) = 2 \cdot 5 - 6 = 4\)

Løsningen av likningen er \(x\)-verdiene der grafene til \(f\) og \(g\) krysser hverandre.

Vi kan verifisere algebraisk:

Fra grafen kan vi avlese at skjæringspunktene er ved \(x = 2\) og \(x = 5\).

Oppgave 1

Vi leser av fra grafen for å finne prisen per hektogram (stigningstallet) for begge kaffetyper.

Type A (den bratteste linjen):

Fra grafen ser vi for eksempel at ved 10 hektogram er prisen ca. 230 kr.

Type B (den slakere linjen):

Fra grafen ser vi for eksempel at ved 20 hektogram er prisen ca. 180 kr.

Prisforskjell per hektogram:

Oppgave 2

Fra tallinjen ser vi at den totale avstanden fra \(-28\) til \(56\) er delt opp i to deler: først lengde \(2a\) fra \(-28\), og deretter lengde \(5a\) videre til \(56\).

Den totale avstanden fra \(-28\) til \(56\) er:

Denne avstanden er lik \(2a + 5a = 7a\):

Den tomme ruten befinner seg etter lengden \(2a\) fra \(-28\):

Oppgave 3

Vi finner først den opprinnelige prisen. En økning på 1,5 % tilsvarer 300 kr:

Den opprinnelige prisen var altså 20 000 kr.

Dersom prisen i stedet ble satt opp med 4,0 %:

Oppgave 4

Arealet av et rektangel er gitt ved:

Når arealet \(A\) er konstant, får vi:

Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng (en hyperbelform). Det betyr:

• Når \(x\) øker, avtar \(y\)
• Sammenhengen er ikke-lineær (kurvet)
• Grafen synker bratt for små \(x\)-verdier og flater ut for store \(x\)-verdier

Vi ser på diagrammene:

• A: Viser en tilnærmet konstant \(y\) – passer ikke
• B: Viser en økende sammenheng (\(y\) stiger når \(x\) øker) – passer ikke
• C: Viser en avtagende, kurvet sammenheng som flater ut – dette er en hyperbel!
• D: Viser alle punktene ved samme \(x\)-verdi (loddrett spredning) – passer ikke
• E: Viser en avtagende sammenheng, men punktene følger ikke en jevn hyperbelform – passer ikke

Oppgave 5

a) Hvilke to beholdere tilhører grafene?

Vannet renner inn med konstant hastighet (konstant volum per tidsenhet). Vannhøyden avhenger av tverrsnittsarealet til beholderen:

• Smalt tverrsnitt: Vannhøyden stiger raskt (bratt graf)
• Bredt tverrsnitt: Vannhøyden stiger sakte (slak graf)

Fra grafen ser vi to kurver:

• Den rette linjen (lineær graf): Vannhøyden stiger med jevn fart hele tiden. Dette betyr at tverrsnittsarealet er konstant, noe som passer med beholder A (vanlig sylinder).
• Den knekte grafen: Først stiger vannhøyden bratt, deretter stiger den sakte. Dette passer med beholder B – en smal sylinder nederst med en bred, flat skål på toppen. Når vi fyller nedenfra, starter vi i den smale delen (bratt stigning), og når vannet når opp i den brede skålen, stiger vannhøyden saktere (slak stigning). Grafen har derfor ett knekkpunkt: bratt først, slak etterpå.

b) Grafen for den tredje beholderen

Beholder C har en bred, flat skål nederst med en smal sylinder på toppen.

Grafen for beholder C vil se slik ut:

• Først slak stigning: Vannet fyller den brede skålen nederst. Bredt tverrsnitt gir langsom stigning av vannhøyden.
• Deretter bratt stigning: Når skålen er full, begynner vannet å fylle den smale sylinderen på toppen. Smalt tverrsnitt gir rask stigning av vannhøyden.

Grafen vil altså være en kurve som starter slakt og deretter knekker til en bratt stigning – omvendt av beholder B sin graf.

Skisse:

(Graf for beholder C (rød): slak stigning først (bred skål), bratt etter knekkpunktet (smal sylinder på toppen).)

Oppgave 6

a) Hvorfor er diagrammet misvisende?

Diagrammet er misvisende fordi x-aksen (tidsaksen) ikke har lik avstand mellom alle årstallene. Årene som er vist er 2013, 2015, 2016, 2017, 2018 og 2021. Det er:

• 2 år mellom 2013 og 2015
• 1 år mellom 2015 og 2016
• 1 år mellom 2016 og 2017
• 1 år mellom 2017 og 2018
• 3 år mellom 2018 og 2021

Likevel ser det ut som om alle intervallene på x-aksen har lik lengde. Det gjør at veksten fra 2018 til 2021 ser ut til å skje over like lang tid som fra 2017 til 2018, mens den faktisk skjer over tre år. Dette gir et feilaktig inntrykk av veksthastigheten.

b) Et mindre misvisende linjediagram

Et bedre diagram bør ha en jevn skala på x-aksen der hvert år markeres med lik avstand: 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021.

For årene vi ikke har data (2014, 2019, 2020), kan vi enten la de stå tomme eller trekke linjen mellom de punktene vi har.

Med jevn x-akse vil man tydelig se at:

• Veksten fra 2013 til 2015 skjer over 2 år
• Veksten fra 2018 til 2021 skjer over 3 år (og ikke 1 år som det originale diagrammet gir inntrykk av)

c) Vurdering av Jens' påstand

Jens påstår at antallet e-poster økte mest fra 2017 til 2018. Vi ser på økningen i hvert intervall:

Den absolutte økningen fra 2017 til 2018 er 40 000 e-poster, som er den største økningen i et enkeltår blant de kjente datapunktene. Den totale økningen fra 2018 til 2021 er 85 000, men dette er over 3 år.

Vi vet imidlertid ikke nøyaktig hvordan veksten fordeler seg mellom 2018, 2019, 2020 og 2021. Det kan være at ett enkelt år i dette intervallet hadde en større økning enn 40 000.

Oppgave 7

a) Argumenter for at trekantene er formlike

Vi skal vise at \(\triangle ABE\) og \(\triangle CDE\) er formlike.

Siden \(DC \parallel AB\) har vi følgende vinkelegenskaper (toppvinkelsetningen og parallelle linjer skåret av en transversal):

• \(\angle AEB = \angle DEC\) (toppvinkler)
• \(\angle EAB = \angle EDC\) (alternerende vinkler, fordi \(AB \parallel DC\) og \(DA\) er transversal)
• \(\angle EBA = \angle ECD\) (alternerende vinkler, fordi \(AB \parallel DC\) og \(BC\) er transversal)

Siden alle tre vinkler i \(\triangle ABE\) er like de tilsvarende vinklene i \(\triangle CDE\), er trekantene formlike (VVV – vinkel-vinkel-vinkel).

b) Bestem arealet av blomsterbedet

Formlikhetsforholdet mellom \(\triangle ABE\) og \(\triangle CDE\) er:

La \(h_1\) være høyden i \(\triangle ABE\) (fra \(E\) ned på \(AB\)) og \(h_2\) være høyden i \(\triangle CDE\) (fra \(E\) opp til \(DC\)). Formlikheten gir:

Vi vet at den totale høyden fra \(AB\) opp til \(DC\) er \(h_1 + h_2\). Fra oppgaven vet vi at høyden fra \(E\) ned på \(AB\) er 5 meter, altså \(h_1 = 5\).

Fra forholdet:

Total høyde i trapeset:

Blomsterbedet har form som en firkant \(ABCD\) der sidene \(AD\) og \(BC\) krysser hverandre i punkt \(E\). Blomsterbedet består dermed av to trekanter, \(\triangle ABE\) og \(\triangle CDE\).

Areal av \(\triangle CDE\):

Areal av \(\triangle ABE\):

Totalt areal av blomsterbedet:

Oppgave 8

a) Gjennomsnitt, median og standardavvik

Gjennomsnitt:

Vi summerer alle verdiene:

Median:

Vi har 15 verdier (allerede sortert i synkende rekkefølge). Medianen er den 8. verdien (midterste):

Standardavvik:

Vi beregner avvikene fra gjennomsnittet og finner standardavviket:

Vi regner ut hvert avvik kvadrert:

b) Vurdering av Ingrids spørsmål

1) Høyere eller lavere gjennomsnitt?

De neste 15 plassene vil ha lavere antall hytter enn alle i denne listen (den laveste her er 4004). Gjennomsnittet for de neste 15 vil derfor bli lavere.

2) Større forskjell mellom median og gjennomsnitt?

I vårt datasett er gjennomsnittet (4976) en del høyere enn medianen (4575). Det skyldes at de to øverste verdiene (Ringsaker og Trysil) er mye høyere enn resten og trekker gjennomsnittet opp. For de neste 15 plassene vil verdiene sannsynligvis ligge tettere samlet (fra ca. 4000 og nedover), noe som gir mindre spredning. Da vil forskjellen mellom median og gjennomsnitt trolig bli mindre.

3) Høyere eller lavere standardavvik?

De neste 15 plassene vil ha verdier som ligger nærmere hverandre (mindre variasjonsbredde) enn topp-15-listen, der det er stor forskjell mellom de største og minste verdiene. Standardavviket vil derfor sannsynligvis bli lavere.

Oppgave 9

Vi vet at antallet i 2022 er en økning på 250 % sammenlignet med 2021.

En økning på 250 % betyr at antallet i 2022 er 250 % mer enn i 2021, altså totalt 350 % av antallet i 2021:

Vi løser for antallet i 2021:

Oppgave 10

a) Regneark og graf

Vi starter med et beløp på for eksempel 10 000 kr med 2 % rente per år. Formelen for beløpet etter \(n\) år er:

Beløpet er doblet når \(K_n = 20\,000\).

Regneark:

Vi kan også løse problemet direkte i GeoGebra (se CAS-boks nedenfor) ved å løse likningen \(10\,000 \cdot 1{,}02^n = 20\,000\), eller tilsvarende \(1{,}02^n = 2\). GeoGebra gir \(n \approx 35{,}0\).

Graf: Vi tegner grafen \(K = 10\,000 \cdot 1{,}02^n\) og den horisontale linjen \(K = 20\,000\). Der grafene krysser hverandre leser vi av \(n \approx 35\) år.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer modellen: K(n) := 10000 · 1.02^n
• Løs likningen direkte: NLøs(K(n) = 20000, n) → gir \(n \approx 35{,}00\)
• Sjekk etter 35 år: K(35) → gir \(\approx 19\,999\) kr (rett under doblet)
• Sjekk etter 36 år: K(36) → gir \(\approx 20\,399\) kr (over doblet)

b) 72-regelen for ulike rentesatser

72-regelen sier at doblingstiden er \(\frac{72}{r}\) der \(r\) er rentesatsen i prosent. Den eksakte doblingstiden finner vi ved å løse likningen \((1 + r/100)^n = 2\) i GeoGebra (NLøs).

72-regelen stemmer best for rentesatser rundt 6–10 %. For lavere rentesatser gir regelen litt for høy doblingstid.

c) Er 70 bedre enn 72?

Vi sammenligner 72-regelen og «70-regelen» med de eksakte verdiene:

For lave rentesatser (1–6 %) er 70-regelen faktisk mer nøyaktig enn 72-regelen. For høyere rentesatser (8–12 %) er 72-regelen noe bedre.

I dagens rente-situasjon, der rentesatser på sparekonto typisk ligger mellom 1 % og 5 %, gir 70-regelen mer presise svar.