VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PHøst 2025
Løsningsforslag – Matematikk 2P Høst 2025
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (1 poeng)
Oppgave: Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner. Hvor mange prosent settes prisen opp med?
Vi finner først hvor mye prisen øker:
\[315 - 300 = 15 \text{ kr}\]
Prosentøkningen regnes ut ved å dele økningen på den opprinnelige prisen og gange med 100:
\[\frac{15}{300} \cdot 100\% = 5\%\]
Svar: Prisen settes opp med \(5\%\).
Vanlig feil: Noen elever deler økningen (15 kr) på den nye prisen (315 kr) i stedet for den opprinnelige prisen (300 kr). Prosentvis økning beregnes alltid i forhold til den opprinnelige verdien, ikke den nye. Feil metode gir 4,76 % i stedet for det riktige svaret på 5 %.
Oppgave 2 (1 poeng)
Oppgave: I 2024 var indeksen for en vare 120. Varen kostet da 400 kroner. I 2022 var indeksen for den samme varen 90. Hvor mye kostet varen i 2022 dersom prisen har fulgt indeksen?
Når prisen følger indeksen, er forholdet mellom pris og indeks konstant. Vi kan sette opp en likning:
\[\frac{\text{Pris i 2022}}{\text{Indeks i 2022}} = \frac{\text{Pris i 2024}}{\text{Indeks i 2024}}\]
\[\frac{\text{Pris i 2022}}{90} = \frac{400}{120}\]
\[\text{Pris i 2022} = \frac{400}{120} \cdot 90 = \frac{400 \cdot 90}{120} = \frac{36\,000}{120} = 300\]
Svar: Varen kostet \(300\) kroner i 2022.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave: Eiffeltårnet i Paris er 330 meter høyt. Ellen har kjøpt en modell av Eiffeltårnet i målestokk 1 : 1100. Hvor høy er modellen?
Målestokk \(1 : 1100\) betyr at modellen er \(1100\) ganger mindre enn det virkelige tårnet.
\[\text{Høyde modell} = \frac{330 \text{ m}}{1100} = 0{,}3 \text{ m} = 30 \text{ cm}\]
Svar: Modellen er \(30\) cm høy.
Oppgave 4 (5 poeng)
Oppgave: I et pariserhjul er det 20 vogner. Det er plass til 4 personer i hver vogn. Tabellen viser antall personer i vognene på et tidspunkt:
| Antall personer i vognen | Antall vogner |
|---|---|
| 0 | ? |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
Stine påstår at fem vogner var tomme.
a) Vis at påstanden er riktig.
b) Bestem gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.
c) Bestem den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn, og gi en praktisk tolkning av svaret.
a) Vis at påstanden er riktig
Vi legger sammen antall vogner vi kjenner til:
\[2 + 3 + 4 + 6 = 15 \text{ vogner}\]
Totalt er det 20 vogner i pariserhjulet. Antall tomme vogner blir:
\[20 - 15 = 5 \text{ vogner}\]
Svar: Stine har rett – det var 5 tomme vogner.
b) Gjennomsnitt og median
Vi har nå den fullstendige tabellen:
| Antall personer | Antall vogner |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
Gjennomsnitt:
Vi regner ut totalt antall personer:
\[0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 = 0 + 2 + 6 + 12 + 24 = 44\]
\[\text{Gjennomsnitt} = \frac{44}{20} = 2{,}2\]
Median:
Med 20 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien når vi sorterer dataene.
Sortert etter antall personer i vognen:
\[\underbrace{0, 0, 0, 0, 0}_{5}, \underbrace{1, 1}_{2}, \underbrace{2, 2, 2}_{3}, \underbrace{3, 3, 3, 3}_{4}, \underbrace{4, 4, 4, 4, 4, 4}_{6}\]
Den 10. verdien er \(2\) og den 11. verdien er \(3\).
\[\text{Median} = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\]
Svar: Gjennomsnittet er \(2{,}2\) personer per vogn, og medianen er \(2{,}5\) personer per vogn.
Vanlig feil: Noen elever glemmer å ta med de 5 tomme vognene i beregningen og regner kun gjennomsnittet for de 15 vognene som har personer i seg. Alle 20 vognene skal inkluderes, også de tomme. Gjennomsnittet er totalt antall personer delt på totalt antall vogner.
c) Kumulativ frekvens for to personer
Den kumulative frekvensen for to personer er antall vogner med 2 eller færre personer:
\[5 + 2 + 3 = 10 \text{ vogner}\]
Praktisk tolkning: 10 av 20 vogner, altså halvparten av vognene, hadde 2 eller færre personer i seg. Det betyr at halvparten av vognene var halvfulle eller mindre.
Svar: Den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn er \(10\). Det betyr at 10 av de 20 vognene hadde 2 eller færre personer i seg.
Oppgave 5 (2 poeng)
Oppgave: Regine har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 6 cm, og den andre kateten er 8 cm. Hun har plassert trekanten inne i en sirkel slik at hypotenusen er en diameter i sirkelen. Gjør beregninger og avgjør om arealet av sirkelen er større enn eller mindre enn 75 cm².
Steg 1: Finn hypotenusen med Pytagoras' setning:
\[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\]
Steg 2: Hypotenusen er diameteren i sirkelen, så radius er:
\[r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}\]
Steg 3: Beregn arealet av sirkelen:
\[A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5 \text{ cm}^2\]
Svar: Arealet av sirkelen er \(25\pi \approx 78{,}5 \text{ cm}^2\), som er større enn \(75 \text{ cm}^2\).
Vanlig feil: Noen bruker diameteren (10 cm) i stedet for radius (5 cm) i arealformelen. Arealet av en sirkel er \(\pi r^2\), ikke \(\pi d^2\). Husk også at en rettvinklet trekant innskrevet i en sirkel alltid har hypotenusen som diameter (Thales' setning).
Oppgave 6 (2 poeng)
Oppgave: En kiosk i et tivoli selger sukkerspinn, popkorn og softis.
- Eva kjøper et sukkerspinn og en bøtte med popkorn. Hun betaler 90 kroner.
- Trine kjøper en bøtte med popkorn og en softis. Hun betaler 80 kroner.
- Magnus kjøper et sukkerspinn og en softis. Han betaler 70 kroner.
Vi kaller sukkerspinn for \(s\), popkorn for \(p\) og softis for \(f\).
Vi setter opp tre likninger:
\[\text{(I)} \quad s + p = 90\]
\[\text{(II)} \quad p + f = 80\]
\[\text{(III)} \quad s + f = 70\]
Fra likning (I) får vi \(s = 90 - p\). Vi setter dette inn i likning (III):
\[(90 - p) + f = 70 \quad \Rightarrow \quad f = p - 20\]
Vi setter \(f = p - 20\) inn i likning (II):
\[p + (p - 20) = 80 \quad \Rightarrow \quad 2p = 100 \quad \Rightarrow \quad p = 50\]
Da finner vi de andre:
\[s = 90 - 50 = 40\]
\[f = 50 - 20 = 30\]
Kontroll: \(40 + 50 = 90\) ✓, \(50 + 30 = 80\) ✓, \(40 + 30 = 70\) ✓
Svar: Et sukkerspinn koster \(40\) kr, en bøtte med popkorn koster \(50\) kr, og en softis koster \(30\) kr.
Oppgave 7 (4 poeng)
Oppgave: Kaja tar opp et serielån på 400 000 kroner.
- Hun skal betale ned lånet over 8 år, med én termin per år.
- Første innbetaling er om 1 år.
- Renten er 5,0 % per år, og lånet er gebyrfritt.
a) Hvor store blir avdragene Kaja må betale?
b) Regn ut terminbeløpene for de to første terminene.
c) Hvor mange kroner måtte Kaja ha betalt i renter i tredje termin dersom lånets nedbetalingstid hadde vært 5 år, med én termin per år?
a) Avdrag
I et serielån er avdragene like store. Avdraget beregnes ved å dele lånebeløpet på antall terminer:
\[\text{Avdrag} = \frac{400\,000}{8} = 50\,000 \text{ kr}\]
Svar: Avdragene er \(50\,000\) kr per termin.
b) Terminbeløp for de to første terminene
Termin 1:
Restlån ved starten: \(400\,000\) kr
\[\text{Renter} = 400\,000 \cdot 0{,}05 = 20\,000 \text{ kr}\]
\[\text{Terminbeløp}_1 = \text{Avdrag} + \text{Renter} = 50\,000 + 20\,000 = 70\,000 \text{ kr}\]
Termin 2:
Restlån etter 1. termin: \(400\,000 - 50\,000 = 350\,000\) kr
\[\text{Renter} = 350\,000 \cdot 0{,}05 = 17\,500 \text{ kr}\]
\[\text{Terminbeløp}_2 = 50\,000 + 17\,500 = 67\,500 \text{ kr}\]
Svar: Terminbeløp for 1. termin er \(70\,000\) kr, og terminbeløp for 2. termin er \(67\,500\) kr.
c) Renter i tredje termin med 5 års nedbetalingstid
Med 5 års nedbetalingstid blir avdragene:
\[\text{Avdrag} = \frac{400\,000}{5} = 80\,000 \text{ kr}\]
Restlån etter 2 terminer:
\[400\,000 - 2 \cdot 80\,000 = 400\,000 - 160\,000 = 240\,000 \text{ kr}\]
Renter i tredje termin:
\[\text{Renter} = 240\,000 \cdot 0{,}05 = 12\,000 \text{ kr}\]
Svar: Kaja måtte ha betalt \(12\,000\) kr i renter i tredje termin dersom nedbetalingstiden hadde vært 5 år.
Oppgave 8 (2 poeng)
Oppgave: Johann har arvet penger. Han har en plan og har laget programmet nedenfor.
konto = 1500000
uttak = 120000
vf = 1.056
år = 0
while konto >= 120000:
konto = konto * vf - uttak
år = år + 1
print("Resultat:")
print(år)
print(konto)
Resultat:
22
11183.702579092205
Hva forteller programmet om planen til Johann? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
Om programmet:
Programmet simulerer Johanns plan for pengene han har arvet. Han har \(1\,500\,000\) kr på en konto med \(5{,}6\%\) rente per år (vekstfaktor \(1{,}056\)). Hvert år tar han ut \(120\,000\) kr. Programmet kjører så lenge det er nok penger på kontoen til å dekke et uttak (det vil si så lenge kontoen har minst \(120\,000\) kr).
Hva planen går ut på: Johann setter arvepengene på en konto med \(5{,}6\%\) årlig rente og planlegger å ta ut \(120\,000\) kr hvert år for å leve av.
Om verdiene:
- Tallet \(22\) betyr at Johann kan gjøre uttak i \(22\) år før kontoen ikke lenger har nok penger til et nytt uttak.
- Tallet \(11\,183{,}70\) betyr at det etter 22 år gjenstår ca. \(11\,184\) kr på kontoen – for lite til å gjøre enda et uttak på \(120\,000\) kr.
Svar: Programmet viser at Johann planlegger å sette \(1\,500\,000\) kr i banken til \(5{,}6\%\) rente og ta ut \(120\,000\) kr per år. Resultatet viser at pengene rekker til uttak i 22 år, og at det da gjenstår ca. \(11\,184\) kr på kontoen.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Oppgave: Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen viser omsetningen de første fem månedene:
| Måned | Februar | Mars | April | Mai | Juni |
|---|---|---|---|---|---|
| Omsetning (kr) | 1267 | 1431 | 1619 | 1788 | 2032 |
a) Lag en modell på formen \(f(x) = a \cdot b^x\) for omsetningen \(f(x)\) kroner \(x\) måneder etter februar 2025.
b) Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?
Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.
c) Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?
d) Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?
a) Modell \(f(x) = a \cdot b^x\)
Vi lar \(x = 0\) svare til februar 2025. Da er \(a = f(0) = 1267\).
Vi bruker det siste datapunktet \(f(4) = 2032\) til å finne \(b\):
\[1267 \cdot b^4 = 2032\]
\[b^4 = \frac{2032}{1267} \approx 1{,}6038\]
\[b = 1{,}6038^{1/4} \approx 1{,}1253\]
Svar: Modellen blir \(f(x) = 1267 \cdot 1{,}1253^x\).
b) Prosentvis økning per måned
Vekstfaktoren er \(b \approx 1{,}1253\). Prosentøkningen per måned er:
\[(1{,}1253 - 1) \cdot 100\% \approx 12{,}5\%\]
Svar: Omsetningen øker med omtrent \(12{,}5\%\) per måned ifølge modellen.
c) Når når Alex målet på 20 000 kr?
Vi løser likningen \(f(x) = 20\,000\) i GeoGebra:
\[ \texttt{NLøs}(1267 \cdot 1{,}1253^x = 20\,000, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 23{,}4 \]
Alternativt kan vi tegne grafen til \(f(x)\) og linjen \(y = 20\,000\), og lese av skjæringspunktet ved \(x \approx 23{,}4\).
Siden \(x = 0\) er februar 2025, betyr \(x \approx 23{,}4\) at målet nås ca. 23–24 måneder senere, altså rundt januar/februar 2027.
Svar: Ifølge modellen vil Alex nå målet på 20 000 kr om ca. 23–24 måneder etter februar 2025, altså rundt januar/februar 2027.
Vanlig feil: Mange bruker en lineær tilnærming for å finne vekstfaktoren i stedet for å bruke eksponentialregresjon eller 2-punkt-metode. Å dele siste verdi på første verdi gir den totale vekstfaktoren over hele perioden, men den månedlige vekstfaktoren finner du ved å ta \(n\)-te roten, der \(n\) er antall perioder.
d) Nødvendig vekst for å nå målet i desember 2025
Fra juni (\(x = 4\)) til desember (\(x = 10\)) er det 6 måneder. Vi trenger at omsetningen vokser fra \(2032\) kr til \(20\,000\) kr på 6 måneder.
Vi kaller den nye vekstfaktoren \(c\):
\[2032 \cdot c^6 = 20\,000\]
\[c^6 = \frac{20\,000}{2032} \approx 9{,}8425\]
\[c = 9{,}8425^{1/6} \approx 1{,}464\]
Prosentøkning per måned:
\[(1{,}464 - 1) \cdot 100\% \approx 46{,}4\%\]
Svar: Omsetningen må øke med ca. \(46{,}4\%\) per måned etter juni 2025 for at Alex skal nå målet i desember 2025.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
f(x) := 1267 · 1.1253^x - Finn når omsetningen når 20 000:
NLøs(f(x) = 20000, x)→ gir \(x \approx 23{,}4\) måneder - Ny vekstfaktor for å nå målet i des. 2025:
(20000/2032)^(1/6)→ gir \(\approx 1{,}464\), altså ca. 46,4 % per måned
Oppgave 2 (5 poeng)
Oppgave: Tabellen viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024:
| Nr. | Tettsted | Innbyggertall |
|---|---|---|
| 1 | Oslo | 1 098 061 |
| 2 | Bergen | 272 125 |
| 3 | Stavanger/Sandnes | 239 055 |
| 4 | Trondheim | 198 777 |
| 5 | Drammen | 124 540 |
| 6 | Fredrikstad/Sarpsborg | 121 679 |
| 7 | Porsgrunn/Skien | 96 695 |
| 8 | Kristiansand | 67 372 |
| 9 | Tønsberg | 55 939 |
| 10 | Ålesund | 55 684 |
a) Bestem medianen, gjennomsnittet, standardavviket og variasjonsbredden for innbyggertallet.
b) Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best. Håkon mener gjennomsnitt, Kine mener median. Hvem er du mest enig med? Begrunn.
Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark:
| Gjennomsnitt | 235 549 |
| Median | 67 832 |
| Standardavvik | 388 000 |
c) Hva kan du si om folketallet i de danske tettstedene sammenliknet med de norske?
a) Sentralmål og spredningsmål
Vi sorterer innbyggertallene i stigende rekkefølge:
\[55\,684, \; 55\,939, \; 67\,372, \; 96\,695, \; 121\,679, \; 124\,540, \; 198\,777, \; 239\,055, \; 272\,125, \; 1\,098\,061\]
Median: Med 10 verdier er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:
\[\text{Median} = \frac{121\,679 + 124\,540}{2} = \frac{246\,219}{2} = 123\,110\]
Gjennomsnitt:
\[\text{Sum} = 55\,684 + 55\,939 + 67\,372 + 96\,695 + 121\,679 + 124\,540 + 198\,777 + 239\,055 + 272\,125 + 1\,098\,061 = 2\,329\,927\]
\[\bar{x} = \frac{2\,329\,927}{10} \approx 232\,993\]
Standardavvik:
Vi beregner standardavviket med formelen \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}\):
\[\sigma \approx 297\,326\]
Variasjonsbredde:
\[1\,098\,061 - 55\,684 = 1\,042\,377\]
Svar:
Median: \(123\,110\)
Gjennomsnitt: \(\approx 232\,993\)
Standardavvik: \(\approx 297\,326\)
Variasjonsbredde: \(1\,042\,377\)
Median: \(123\,110\)
Gjennomsnitt: \(\approx 232\,993\)
Standardavvik: \(\approx 297\,326\)
Variasjonsbredde: \(1\,042\,377\)
b) Gjennomsnitt eller median?
Jeg er mest enig med Kine – medianen er det beste sentralmålet for dette datamaterialet.
Begrunnelse: Oslo har et mye større innbyggertall enn de andre byene (over 1 million, mens nest størst er Bergen med ca. 272 000). Oslo er en uteligger som drar gjennomsnittet kraftig opp. Gjennomsnittet (\(\approx 233\,000\)) er derfor mye høyere enn det som er «typisk» for de norske tettstedene. Medianen (\(\approx 123\,000\)) gir et mer representativt bilde av et «typisk» norsk tettsted blant de ti største.
Svar: Medianen er det beste sentralmålet fordi Oslo er en uteligger som drar gjennomsnittet kraftig opp, slik at gjennomsnittet ikke gir et representativt bilde av datamaterialet.
c) Sammenligning med Danmark
Vi sammenligner tallene:
| Norge | Danmark | |
|---|---|---|
| Gjennomsnitt | 232 993 | 235 549 |
| Median | 123 110 | 67 832 |
| Standardavvik | 297 326 | 388 000 |
Observasjoner:
- Gjennomsnittene er omtrent like, noe som tyder på at samlet innbyggertall i de ti største tettstedene er omtrent likt i begge land.
- Medianen er mye lavere i Danmark (\(67\,832\) mot \(123\,110\)). Det betyr at det «typiske» tettstet i Danmark er mindre enn i Norge. Flertallet av de ti største danske tettstedene er altså mindre enn de norske.
- Standardavviket er høyere i Danmark (\(388\,000\) mot \(297\,326\)). Det er større forskjeller mellom de danske tettstedene – sannsynligvis fordi København er enda mer dominerende sammenlignet med resten av de danske tettstedene enn det Oslo er i Norge.
Svar: Gjennomsnittene er omtrent like, men medianen er lavere og standardavviket er høyere i Danmark. Det tyder på at Danmark har én svært stor by (København) som dominerer, mens de øvrige tettstedene er mindre enn i Norge. Spredningen mellom tettstedene er altså større i Danmark.
Oppgave 3 (4 poeng)
Oppgave: Tabellen viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.
| 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 9–15 år | 180 | 198 | 256 | 273 | 245 |
| 16–24 år | 318 | 340 | 408 | 388 | 440 |
| 25–44 år | 245 | 269 | 294 | 312 | 338 |
| 45–64 år | 177 | 181 | 226 | 218 | 260 |
| 65–79 år | 60 | 77 | 111 | 109 | 127 |
Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din. Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Lag en oppsummering der du trekker fram to interessante funn.
Beregning 1: Prosentvis økning fra 2020 til 2024 for hver aldersgruppe
| Aldersgruppe | 2020 | 2024 | Økning | Prosentøkning |
|---|---|---|---|---|
| 9–15 år | 180 | 245 | 65 | \(\frac{65}{180} \cdot 100 \approx 36\%\) |
| 16–24 år | 318 | 440 | 122 | \(\frac{122}{318} \cdot 100 \approx 38\%\) |
| 25–44 år | 245 | 338 | 93 | \(\frac{93}{245} \cdot 100 \approx 38\%\) |
| 45–64 år | 177 | 260 | 83 | \(\frac{83}{177} \cdot 100 \approx 47\%\) |
| 65–79 år | 60 | 127 | 67 | \(\frac{67}{60} \cdot 100 \approx 112\%\) |
Beregning 2: Gjennomsnittlig daglig internettbruk for alle aldersgrupper per år
| År | Sum (min) | Gjennomsnitt (min) |
|---|---|---|
| 2020 | \(180+318+245+177+60=980\) | \(980/5 = 196\) |
| 2021 | \(198+340+269+181+77=1065\) | \(1065/5 = 213\) |
| 2022 | \(256+408+294+226+111=1295\) | \(1295/5 = 259\) |
| 2023 | \(273+388+312+218+109=1300\) | \(1300/5 = 260\) |
| 2024 | \(245+440+338+260+127=1410\) | \(1410/5 = 282\) |
Beregning 3: Gjennomsnittlig tid i 2024 konvertert til timer
Aldersgruppen 16–24 år bruker i gjennomsnitt \(440\) minutter = \(7\) timer og \(20\) minutter på internett per dag i 2024.
Oppsummering – to interessante funn:
Funn 1: Aldersgruppen 65–79 år har hatt den klart største prosentvise økningen i internettbruk fra 2020 til 2024 – en dobling fra 60 til 127 minutter (ca. 112 % økning). De eldre har altså blitt langt mer digitale i løpet av denne perioden.
Funn 2: Aldersgruppen 16–24 år bruker desidert mest tid på internett, med hele 440 minutter (over 7 timer) per dag i 2024. Det er nesten 3,5 ganger så mye som 65–79-åringene, som bruker 127 minutter. Forskjellen mellom yngst og eldst er stor, men gapet har blitt mindre over tid.
Oppsummering: Internettbruken har økt i alle aldersgrupper fra 2020 til 2024. De eldre (65–79 år) har hatt størst prosentvis økning (112 %), men bruker fortsatt langt mindre tid på nett enn de unge (16–24 år), som bruker over 7 timer daglig.
Oppgave 4 (3 poeng)
Oppgave: I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 kroner hver.
- Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %.
- Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %.
- Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år:
- I 2020 steg verdien av aksjene med 20 %
- I 2021 falt verdien med 11 %
- I 2022 falt verdien med 10 %
- I 2023 steg verdien med 23 %
- I 2024 steg verdien med 17 %
Fatima:
Verdien har steget med 36 % fra januar 2020 til januar 2025:
\[100\,000 \cdot 1{,}36 = 136\,000 \text{ kr}\]
Adrian:
Adrian har 5,7 % årlig rente i 5 år (januar 2020 til januar 2025):
\[100\,000 \cdot 1{,}057^5 = 100\,000 \cdot 1{,}31940 \approx 131\,940 \text{ kr}\]
Vegard:
Vi multipliserer med vekstfaktorene for hvert år:
\[100\,000 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}89 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}23 \cdot 1{,}17\]
Vi regner steg for steg:
| Tidspunkt | Beregning | Beløp (kr) |
|---|---|---|
| Start 2020 | 100 000 | |
| Etter 2020 | \(100\,000 \cdot 1{,}20\) | 120 000 |
| Etter 2021 | \(120\,000 \cdot 0{,}89\) | 106 800 |
| Etter 2022 | \(106\,800 \cdot 0{,}90\) | 96 120 |
| Etter 2023 | \(96\,120 \cdot 1{,}23\) | 118 228 |
| Etter 2024 | \(118\,228 \cdot 1{,}17\) | 138 326 |
Oversikt ved starten av 2025:
| Person | Beløp ved start 2025 | Avkastning |
|---|---|---|
| Fatima (aksjefond) | 136 000 kr | 36,0 % |
| Adrian (sparekonto) | 131 940 kr | 31,9 % |
| Vegard (enkeltaksjer) | 138 326 kr | 38,3 % |
Svar: Ved starten av 2025 har Vegard mest penger (\(138\,326\) kr), etterfulgt av Fatima (\(136\,000\) kr) og Adrian (\(131\,940\) kr). Vegards enkeltaksjer ga best avkastning til tross for to år med nedgang.
Oppgave 5 (5 poeng)
Oppgave: Tabellen viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024:
| Alder (år) | Antall personer |
|---|---|
| [0, 18⟩ | 188 |
| [18, 50⟩ | 347 |
| [50, 67⟩ | 237 |
| [67, 80⟩ | 103 |
| [80, 90⟩ | 33 |
| [90, 100⟩ | 15 |
a) Hvilke antagelser må du gjøre for å kunne bruke tabellen til å bestemme ulike sentralmål for innbyggerne i Åseral kommune i 2024?
b) Bestem gjennomsnittsalderen for innbyggerne i Åseral kommune i 2024.
c) Hvor mange prosent av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i kommunen i 2024?
a) Antagelser
Siden vi bare kjenner aldersintervallene og ikke de eksakte aldrene, må vi gjøre følgende antagelse:
Vi antar at personene i hvert intervall er jevnt fordelt, slik at vi kan bruke midtpunktet i hvert intervall som et representativt mål for alderen til alle personene i det intervallet.
Midtpunktene vi bruker:
| Intervall | Midtpunkt |
|---|---|
| [0, 18⟩ | 9 |
| [18, 50⟩ | 34 |
| [50, 67⟩ | 58,5 |
| [67, 80⟩ | 73,5 |
| [80, 90⟩ | 85 |
| [90, 100⟩ | 95 |
Svar: Vi må anta at personene i hvert aldersintervall er jevnt fordelt, og bruke midtpunktet i hvert intervall som representativ alder.
b) Gjennomsnittsalder
Vi beregner summen av (midtpunkt × antall) for hvert intervall:
| Intervall | Midtpunkt | Antall | Produkt |
|---|---|---|---|
| [0, 18⟩ | 9 | 188 | \(9 \cdot 188 = 1\,692\) |
| [18, 50⟩ | 34 | 347 | \(34 \cdot 347 = 11\,798\) |
| [50, 67⟩ | 58,5 | 237 | \(58{,}5 \cdot 237 = 13\,864{,}5\) |
| [67, 80⟩ | 73,5 | 103 | \(73{,}5 \cdot 103 = 7\,570{,}5\) |
| [80, 90⟩ | 85 | 33 | \(85 \cdot 33 = 2\,805\) |
| [90, 100⟩ | 95 | 15 | \(95 \cdot 15 = 1\,425\) |
| Sum | 923 | 39 155 |
\[\bar{x} = \frac{39\,155}{923} \approx 42{,}4 \text{ år}\]
Svar: Gjennomsnittsalderen i Åseral kommune i 2024 er ca. \(42{,}4\) år.
c) Andel eldre enn gjennomsnittsalderen
Gjennomsnittsalderen er ca. \(42{,}4\) år. Vi finner antallet som er eldre enn dette.
Alle i intervallene [50, 67⟩, [67, 80⟩, [80, 90⟩ og [90, 100⟩ er eldre enn \(42{,}4\) år:
\[237 + 103 + 33 + 15 = 388 \text{ personer}\]
I intervallet [18, 50⟩ er noen eldre enn \(42{,}4\) år. Med antagelsen om jevn fordeling:
\[\text{Andel over } 42{,}4 \text{ i [18, 50⟩} = \frac{50 - 42{,}4}{50 - 18} \cdot 347 = \frac{7{,}6}{32} \cdot 347 \approx 82 \text{ personer}\]
Totalt antall eldre enn gjennomsnittsalderen:
\[82 + 388 = 470 \text{ personer}\]
Prosentandel:
\[\frac{470}{923} \cdot 100\% \approx 50{,}9\%\]
Svar: Ca. \(51\%\) av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i 2024.
Oppgave 6 (4 poeng)
Oppgave: Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta. Stien er 25 m lang og 60 cm bred. De vil legge et 75 mm tykt lag med grus på stien.
a) Hvor mange kubikkmeter grus må de bestille?
Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på 2,5 m og er 1,0 m høy.
b) Gjør beregninger og avgjør om de har fått levert nok grus.
a) Volum grus for stien
Vi regner om alle mål til meter:
- Lengde: \(25\) m
- Bredde: \(60 \text{ cm} = 0{,}60\) m
- Tykkelse: \(75 \text{ mm} = 0{,}075\) m
\[V = 25 \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}075 = 1{,}125 \text{ m}^3\]
Svar: De må bestille \(1{,}125 \text{ m}^3\) grus.
b) Er det levert nok grus?
Volumet av en kjegle er:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
Med diameter \(2{,}5\) m er \(r = 1{,}25\) m og \(h = 1{,}0\) m:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}25^2 \cdot 1{,}0 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}5625 \approx 1{,}636 \text{ m}^3\]
Vi sammenligner:
- Grus levert (kjegle): \(\approx 1{,}636 \text{ m}^3\)
- Grus nødvendig (sti): \(1{,}125 \text{ m}^3\)
\[1{,}636 > 1{,}125\]
Svar: Ja, de har fått levert nok grus. Kjeglen inneholder ca. \(1{,}64 \text{ m}^3\), som er mer enn de \(1{,}125 \text{ m}^3\) de trenger. De har ca. \(0{,}51 \text{ m}^3\) grus til overs.