VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PVår 2023
Løsningsforslag – Matematikk 2P Vår 2023
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1a
Tabellen viser prisindeksen for brød i perioden 2015–2021.
Hvor mange prosent steg prisen for brød med fra 2015 til 2021?
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prisindeks | 100,0 | 102,5 | 104,5 | 107,3 | 109,2 | 111,8 | 113,3 |
Hvor mange prosent steg prisen for brød med fra 2015 til 2021?
Prisindeksen i 2015 er 100,0, og i 2021 er den 113,3. Siden basisåret er 2015 (indeks = 100), kan vi finne den prosentvise økningen direkte:
\[ \text{Prosentvis økning} = \frac{113{,}3 - 100{,}0}{100{,}0} \cdot 100\,\% = 13{,}3\,\% \]
Konklusjon: Prisen for brød steg med 13,3 % fra 2015 til 2021.
Vanlig feil: Noen elever beregner prisøkningen som differansen mellom indeksverdiene (113,3 - 100 = 13,3) og skriver dette som «13,3 prosentpoeng». Når basisåret har indeks 100, er prosentøkningen tilfeldigvis lik differansen, men dette gjelder ikke når du sammenligner mellom to år som ingen har indeks 100.
Oppgave 1b
Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.
Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette brødet steg mer enn prisindeksen for brød.
Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette brødet steg mer enn prisindeksen for brød.
Prosentvis prisøkning for dette brødet fra 2017 til 2019:
\[ \text{Vekstfaktor} = \frac{42}{40} = 1{,}05 \]
\[ \text{Prosentvis økning} = (1{,}05 - 1) \cdot 100\,\% = 5{,}0\,\% \]
Prosentvis økning ifølge prisindeksen fra 2017 til 2019:
\[ \text{Vekstfaktor} = \frac{109{,}2}{104{,}5} \approx 1{,}045 \]
\[ \text{Prosentvis økning} \approx (1{,}045 - 1) \cdot 100\,\% = 4{,}5\,\% \]
Konklusjon: Prisen for dette brødet steg med 5,0 %, mens prisindeksen for brød steg med omtrent 4,5 % i samme periode. Prisen for dette brødet steg altså mer enn prisindeksen for brød.
Oppgave 2
Du får vite følgende om \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\):
- \(\triangle ABC\) er likebeint
- \(\triangle DEF\) er formlik med \(\triangle ABC\)
- Arealet av \(\triangle DEF\) er fire ganger så stort som arealet av \(\triangle ABC\)
Vi vet at \(\triangle ABC\) er likebeint. Vi velger for eksempel at \(AB = AC\), slik at trekanten har to like sider.
Siden \(\triangle DEF\) er formlik med \(\triangle ABC\), har \(\triangle DEF\) samme form (alle vinkler er like), men en annen størrelse.
Forholdet mellom sidene:
Når to trekanter er formlike, er forholdet mellom arealene lik kvadratet av forholdet mellom tilsvarende sider. Vi kaller forholdstallet mellom sidene for \(k\):
\[ \frac{A_{DEF}}{A_{ABC}} = k^2 = 4 \]
\[ k = \sqrt{4} = 2 \]
Alle sidene i \(\triangle DEF\) er altså dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i \(\triangle ABC\).
Eksempel på en mulig skisse:
Vi kan velge \(\triangle ABC\) med \(AB = AC = 3\) og \(BC = 2\). Da blir \(\triangle DEF\) likebeint med \(DE = DF = 6\) og \(EF = 4\).
Kontroll av arealet:
Vi regner ut høyden i \(\triangle ABC\) fra \(A\) ned på \(BC\). Halvparten av grunnlinjen er 1.
\[ h_{ABC} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
\[ A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
Tilsvarende for \(\triangle DEF\): halvparten av grunnlinjen er 2.
\[ h_{DEF} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
\[ A_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]
\[ \frac{A_{DEF}}{A_{ABC}} = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 4 \quad \checkmark \]
Konklusjon: Begge trekantene er likebeinte (siden formlike trekanter har samme form). Sidene i \(\triangle DEF\) er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i \(\triangle ABC\), noe som gir et areal som er \(2^2 = 4\) ganger så stort.
Vanlig feil: Mange elever blander sammen forstørrelsesfaktoren for sider og for areal. Hvis sidene er \(k\) ganger så lange, blir arealet \(k^2\) ganger så stort (ikke \(k\) ganger). Tilsvarende: hvis arealet er 4 ganger større, er sidene bare \(\sqrt{4} = 2\) ganger lengre, ikke 4 ganger.
Oppgave 3
Truls sier: «I løpet av de seks siste årene har lønnen min økt med 16 %. Er ikke det bra?»
Thea spør: «Er det den nominelle lønnen eller reallønnen du mener?»
Hjelp Thea med å svare Truls og forklare hva han må ta hensyn til når han vurderer om han skal være fornøyd med hvor mye lønnen har økt.
Thea spør: «Er det den nominelle lønnen eller reallønnen du mener?»
Hjelp Thea med å svare Truls og forklare hva han må ta hensyn til når han vurderer om han skal være fornøyd med hvor mye lønnen har økt.
Nominell lønn er det kronebeløpet du faktisk mottar i lønn. Når Truls sier at lønnen hans har økt med 16 %, snakker han sannsynligvis om den nominelle lønnen.
Reallønn er kjøpekraften til lønnen, altså hva du faktisk kan kjøpe for pengene dine. Reallønnen tar hensyn til at prisene også kan endre seg over tid (inflasjon).
For å vurdere om han virkelig har fått bedre økonomi, må Truls sammenligne lønnsøkningen med prisveksten (inflasjonen) i samme periode.
Eksempel:
- Hvis prisene har steget med 10 % i samme periode, og lønnen har steget med 16 %, har reallønnen økt.
- Vekstfaktor for reallønn: \(\displaystyle \frac{1{,}16}{1{,}10} \approx 1{,}055\), altså en reallønnsøkning på ca. 5,5 %.
Men dersom prisene har steget med for eksempel 20 %, ville reallønnen ha sunket:
- Vekstfaktor for reallønn: \(\displaystyle \frac{1{,}16}{1{,}20} \approx 0{,}967\), altså en reallønnsnedgang på ca. 3,3 %.
Konklusjon: Reallønn er lønn justert for prisvekst (inflasjon). Truls kan regne ut reallønnsendringen ved å dele vekstfaktoren for nominell lønn på vekstfaktoren for prisveksten. Om lønnsøkningen på 16 % er «bra», avhenger av hvor mye prisene har steget i samme periode. Bare dersom lønnen har steget mer enn prisene, har reallønnen økt – og Truls kan kjøpe mer for pengene sine.
Vanlig feil: Mange tror at en lønnsøkning alltid betyr bedre økonomi. Men hvis prisene stiger mer enn lønnen, synker kjøpekraften. Beregn vekstfaktor for reallønn ved å dele vekstfaktoren for nominell lønn på vekstfaktoren for prisvekst: \(\text{vekstfaktor reallønn} = \frac{\text{vekstfaktor lønn}}{\text{vekstfaktor KPI}}\).
Oppgave 4a
I koordinatsystemet ser du grafene til tre funksjoner:
\[ f(x) = x + 1, \quad g(x) = x^2 - 4x + 5, \quad h(x) = -x + 5 \]
Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en likning som har to løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse likningen.
Grafene til de tre funksjonene:
Vi setter \(f(x) = g(x)\), altså:
\[ x + 1 = x^2 - 4x + 5 \]
Grafisk ser vi at linjene \(f\) og parabelen \(g\) krysser hverandre i to punkter. Fra grafen kan vi lese av krysningspunktene:
Vi kan verifisere algebraisk:
\[ x + 1 = x^2 - 4x + 5 \]
\[ 0 = x^2 - 5x + 4 \]
\[ 0 = (x - 1)(x - 4) \]
\[ x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 4 \]
Kontroll:
- \(x = 1\): \(f(1) = 1 + 1 = 2\) og \(g(1) = 1 - 4 + 5 = 2\) ✓
- \(x = 4\): \(f(4) = 4 + 1 = 5\) og \(g(4) = 16 - 16 + 5 = 5\) ✓
Konklusjon: Likningen \(f(x) = g(x)\), dvs. \(x + 1 = x^2 - 4x + 5\), har to løsninger: \(x = 1\) og \(x = 4\). Dette stemmer med krysningspunktene vi leser av fra grafen.
Oppgave 4b
Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en ulikhet som bare har positive løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikheten.
Vi kan for eksempel lage ulikheten \(g(x) < h(x)\), altså:
\[ x^2 - 4x + 5 < -x + 5 \]
Grafisk ser vi at parabelen \(g\) ligger under linjen \(h\) mellom krysningspunktene deres. Vi finner krysningspunktene:
\[ x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \]
\[ x^2 - 3x = 0 \]
\[ x(x - 3) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 3 \]
Fra grafen ser vi at \(g(x) < h(x)\) mellom disse to punktene, altså for \(0 < x < 3\).
Oppgaven ber om en ulikhet som bare har positive løsninger. Løsningen \(0 < x < 3\) inneholder bare positive verdier av \(x\), så dette er en gyldig ulikhet.
Konklusjon: Ulikheten \(g(x) < h(x)\), dvs. \(x^2 - 4x + 5 < -x + 5\), har løsningen \(0 < x < 3\). Alle løsningene er positive.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
To T-skjorter og to bukser koster 1496 kroner.
Tre T-skjorter og en bukse koster 1046 kroner.
Hvor mye koster en T-skjorte? Hvor mye koster en bukse?
Tre T-skjorter og en bukse koster 1046 kroner.
Hvor mye koster en T-skjorte? Hvor mye koster en bukse?
Vi lar \(x\) være prisen for en T-skjorte og \(y\) være prisen for en bukse. Fra bildet ser vi:
- Venstre bilde: 2 T-skjorter og 2 bukser koster 1496 kr
- Høyre bilde: 3 T-skjorter og 1 bukse koster 1046 kr
Vi setter opp likningssystemet:
\[
\begin{cases}
2x + 2y = 1496 \\
3x + y = 1046
\end{cases}
\]
Fra den første likningen:
\[ x + y = 748 \quad \Rightarrow \quad y = 748 - x \]
Vi setter inn i den andre likningen:
\[ 3x + (748 - x) = 1046 \]
\[ 2x + 748 = 1046 \]
\[ 2x = 298 \]
\[ x = 149 \]
Da finner vi \(y\):
\[ y = 748 - 149 = 599 \]
Kontroll:
- \(2 \cdot 149 + 2 \cdot 599 = 298 + 1198 = 1496\) ✓
- \(3 \cdot 149 + 599 = 447 + 599 = 1046\) ✓
Konklusjon: En T-skjorte koster 149 kroner og en bukse koster 599 kroner.
Vanlig feil: Noen elever setter opp likningene riktig, men gjør fortegnsfeil ved eliminasjon eller innsetting. Kontroller alltid svaret ved å sette begge verdier inn i begge de opprinnelige likningene. Hvis svaret ikke stemmer i begge, har du gjort en regnefeil underveis.
Oppgave 2
Tore spør 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene er:
4, 5, 0, 4, 2, 6, (skjult tall), 5, 7, 5, 5, 3
Tore antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
4, 5, 0, 4, 2, 6, (skjult tall), 5, 7, 5, 5, 3
Tore antar at gjennomsnittet er mer enn fire.
Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.
Vi har 12 verdier, der en verdi er skjult (dekket av en kaffeflekk). Vi kaller den skjulte verdien for \(k\).
Summen av de kjente verdiene:
\[ 4 + 5 + 0 + 4 + 2 + 6 + 5 + 7 + 5 + 5 + 3 = 46 \]
Gjennomsnittet av alle 12 verdiene er:
\[ \bar{x} = \frac{46 + k}{12} \]
Tore antar at gjennomsnittet er mer enn 4:
\[ \frac{46 + k}{12} > 4 \]
\[ 46 + k > 48 \]
\[ k > 2 \]
Antall kopper kaffe er et heltall \(\geq 0\). Dersom den skjulte verdien er 3 eller mer, vil gjennomsnittet være over 4.
Eksempler:
- Hvis \(k = 0\): gjennomsnitt = \(\frac{46}{12} \approx 3{,}83\) (ikke over 4)
- Hvis \(k = 1\): gjennomsnitt = \(\frac{47}{12} \approx 3{,}92\) (ikke over 4)
- Hvis \(k = 2\): gjennomsnitt = \(\frac{48}{12} = 4{,}00\) (lik 4, men ikke mer enn 4)
- Hvis \(k = 3\): gjennomsnitt = \(\frac{49}{12} \approx 4{,}08\) (mer enn 4)
- Hvis \(k = 5\): gjennomsnitt = \(\frac{51}{12} = 4{,}25\) (mer enn 4)
Konklusjon: Tores antakelse om at gjennomsnittet er mer enn 4 stemmer bare dersom den skjulte verdien er 3 eller mer. Siden de fleste kollegene drikker mellom 3 og 7 kopper, er det rimelig å anta at den skjulte verdien er minst 3, og dermed at gjennomsnittet er over 4. Men vi kan ikke si det med sikkerhet uten å kjenne den skjulte verdien.
Oppgave 3
- I mai kostet to varer, A og B, like mye.
- Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vil fortsette å øke med 7 % hver måned.
- Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned.
La oss kalle prisen i mai for \(P\) (lik for begge varene).
Vare A øker med 7 % per måned. Vekstfaktoren er 1,07.
Prisen for vare A om tre måneder (i august):
\[ P_A(\text{august}) = P \cdot 1{,}07^3 \]
Vare B synker med 7 % per måned. Vekstfaktoren er 0,93.
Prisen for vare B tre måneder før mai (i februar):
Vi må finne prisen i februar. Siden prisen har sunket med 7 % per måned fra januar til mai, må vi gå tilbake 3 måneder fra mai. Prisen i mai er:
\[ P = P_B(\text{februar}) \cdot 0{,}93^3 \]
Altså var prisen for vare B i februar:
\[ P_B(\text{februar}) = \frac{P}{0{,}93^3} = P \cdot \frac{1}{0{,}93^3} \]
Sammenligning:
Malin påstår at \(P_A(\text{august}) = P_B(\text{februar})\), altså:
\[ P \cdot 1{,}07^3 \stackrel{?}{=} P \cdot \frac{1}{0{,}93^3} \]
Vi regner ut begge sider:
\[ 1{,}07^3 = 1{,}225043 \]
\[ \frac{1}{0{,}93^3} = \frac{1}{0{,}804357} \approx 1{,}243229 \]
Vi ser at:
\[ 1{,}07^3 \approx 1{,}2250 \neq 1{,}2432 \approx \frac{1}{0{,}93^3} \]
Konklusjon: Malins påstand er ikke riktig. Vare A om tre måneder koster \(P \cdot 1{,}07^3 \approx 1{,}225 \cdot P\), mens vare B for tre måneder siden kostet \(P / 0{,}93^3 \approx 1{,}243 \cdot P\). Å øke med 7 % tre ganger gir ikke den samme vekstfaktoren som det å dele på \(0{,}93^3\). Vare B var altså dyrere for tre måneder siden enn det vare A vil koste om tre måneder.
Oppgave 4
Madelen undersøkte hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm i løpet av en uke:
Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
| Ukedag | Syklister | Syklister med hjelm |
|---|---|---|
| Mandag | 10 | 7 |
| Tirsdag | 15 | 9 |
| Onsdag | 11 | 6 |
| Torsdag | 12 | 7 |
| Fredag | 15 | 12 |
Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
Beregning av andel med hjelm per dag:
| Ukedag | Syklister | Med hjelm | Uten hjelm | Andel med hjelm |
|---|---|---|---|---|
| Mandag | 10 | 7 | 3 | \(\frac{7}{10} = 70{,}0\,\%\) |
| Tirsdag | 15 | 9 | 6 | \(\frac{9}{15} = 60{,}0\,\%\) |
| Onsdag | 11 | 6 | 5 | \(\frac{6}{11} \approx 54{,}5\,\%\) |
| Torsdag | 12 | 7 | 5 | \(\frac{7}{12} \approx 58{,}3\,\%\) |
| Fredag | 15 | 12 | 3 | \(\frac{12}{15} = 80{,}0\,\%\) |
Totalt for hele uken:
\[ \text{Totalt antall syklister} = 10 + 15 + 11 + 12 + 15 = 63 \]
\[ \text{Totalt med hjelm} = 7 + 9 + 6 + 7 + 12 = 41 \]
\[ \text{Totalt uten hjelm} = 63 - 41 = 22 \]
\[ \text{Andel med hjelm totalt} = \frac{41}{63} \approx 65{,}1\,\% \]
Gjennomsnittlig antall syklister per dag:
\[ \bar{x}_{\text{syklister}} = \frac{63}{5} = 12{,}6 \]
Gjennomsnittlig antall med hjelm per dag:
\[ \bar{x}_{\text{hjelm}} = \frac{41}{5} = 8{,}2 \]
Forslag til diagrammer Madelen kan bruke:
- Stolpediagram: Et stolpediagram som viser antall syklister med og uten hjelm for hver ukedag (dobbelt stolpediagram).
- Sektordiagram: Et sektordiagram som viser den totale fordelingen av syklister med og uten hjelm for hele uken (41 med hjelm, 22 uten hjelm).
Stolpediagram – antall syklister med og uten hjelm per dag:
Sektordiagram – totalt for uken:
\[ \text{Med hjelm: } \frac{41}{63} \cdot 360° \approx 234° \]
\[ \text{Uten hjelm: } \frac{22}{63} \cdot 360° \approx 126° \]
Konklusjon: Totalt ble 63 syklister observert i løpet av uken. Av disse brukte 41 syklister (ca. 65 %) hjelm. Andelen med hjelm varierte fra ca. 55 % (onsdag) til 80 % (fredag). Datamaterialet kan presenteres med et stolpediagram (per dag) og et sektordiagram (totalt).
Oppgave 5a
En bedrift vil vise lønnsnivået til de ansatte. Tabellen viser årslønn (i tusen kroner):
Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.
| Årslønn (tusen kr) | Frekvens |
|---|---|
| [250 – 350) | 8 |
| [350 – 450) | 42 |
| [450 – 500) | 40 |
| [500 – 550) | 20 |
| [550 – 600) | 15 |
| [600 – 650) | 3 |
| [650 – 750) | 2 |
| [750 – 1000) | 1 |
| [1000 – 2000) | 15 |
Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.
Forutsetning: Vi antar at alle verdiene i hvert intervall er lik midtpunktet av intervallet.
Vi beregner midtpunkt for hvert intervall og det totale antallet ansatte:
| Intervall | Midtpunkt | Frekvens | Midtpunkt × Frekvens |
|---|---|---|---|
| [250 – 350) | 300 | 8 | 2 400 |
| [350 – 450) | 400 | 42 | 16 800 |
| [450 – 500) | 475 | 40 | 19 000 |
| [500 – 550) | 525 | 20 | 10 500 |
| [550 – 600) | 575 | 15 | 8 625 |
| [600 – 650) | 625 | 3 | 1 875 |
| [650 – 750) | 700 | 2 | 1 400 |
| [750 – 1000) | 875 | 1 | 875 |
| [1000 – 2000) | 1500 | 15 | 22 500 |
| Sum | 146 | 83 975 |
Gjennomsnitt:
\[ \bar{x} = \frac{83\,975}{146} \approx 575 \text{ tusen kroner} \]
Median:
Vi har 146 observasjoner. Medianen ligger mellom observasjon nr. 73 og nr. 74.
Vi finner kumulativ frekvens:
| Intervall | Frekvens | Kumulativ frekvens |
|---|---|---|
| [250 – 350) | 8 | 8 |
| [350 – 450) | 42 | 50 |
| [450 – 500) | 40 | 90 |
| [500 – 550) | 20 | 110 |
| [550 – 600) | 15 | 125 |
| [600 – 650) | 3 | 128 |
| [650 – 750) | 2 | 130 |
| [750 – 1000) | 1 | 131 |
| [1000 – 2000) | 15 | 146 |
Observasjon nr. 73 og nr. 74 ligger begge i intervallet [450 – 500), siden kumulativ frekvens etter [350 – 450) er 50 og etter [450 – 500) er 90.
Vi bruker lineær interpolasjon i intervallet [450 – 500):
\[ \text{Median} \approx 450 + \frac{73 - 50}{40} \cdot 50 = 450 + \frac{23}{40} \cdot 50 = 450 + 28{,}75 \approx 479 \]
Konklusjon: Gjennomsnittet er ca. 575 000 kroner og medianen er ca. 479 000 kroner.
Oppgave 5b
Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.
Vi ser at gjennomsnittet (ca. 575 000 kr) er mye høyere enn medianen (ca. 479 000 kr). Dette skyldes at det er 15 ansatte med svært høy lønn i intervallet [1 000 000 – 2 000 000), som drar gjennomsnittet kraftig opp.
La oss se på fordelingen:
- 90 av 146 ansatte (ca. 62 %) har en årslønn under 500 000 kr.
- Bare 21 av 146 ansatte (ca. 14 %) har en årslønn over 600 000 kr.
- Gjennomsnittet på 575 000 kr gir et inntrykk av at «den typiske ansatte» tjener mer enn det de fleste faktisk gjør.
Konklusjon: Medianen er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå. Datamaterialet har en skjev fordeling med noen svært høye lønninger som trekker gjennomsnittet opp. Medianen (ca. 479 000 kr) gir et mer representativt bilde av hva en «typisk» ansatt tjener, fordi den ikke påvirkes av ekstremverdier. Gjennomsnittet (ca. 575 000 kr) gir et misvisende bilde av lønnsnivået for de fleste ansatte.
Oppgave 6
En parkeringsplass har form som et rektangel. Bredden skal minskes med en gitt prosentandel, og lengden skal økes med den samme prosentandelen.
Avgjør hvilken av de tre påstandene som er riktig:
Avgjør hvilken av de tre påstandene som er riktig:
- Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli mindre.
- Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli større.
- Arealet kan bli større eller mindre, avhengig av prosentandelen.
La bredden være \(b\) og lengden være \(\ell\). Det opprinnelige arealet er:
\[ A_{\text{gammel}} = b \cdot \ell \]
La prosentandelen være \(p\,\%\). Skrevet som desimaltall: \(\frac{p}{100}\).
Ny bredde (minskes med \(p\,\%\)):
\[ b_{\text{ny}} = b \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) \]
Ny lengde (økes med \(p\,\%\)):
\[ \ell_{\text{ny}} = \ell \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \]
Nytt areal:
\[ A_{\text{ny}} = b_{\text{ny}} \cdot \ell_{\text{ny}} = b \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) \cdot \ell \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \]
Vi bruker den algebraiske identiteten \((1 - a)(1 + a) = 1 - a^2\):
\[ A_{\text{ny}} = b \cdot \ell \cdot \left(1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) \]
Siden \(\left(\frac{p}{100}\right)^2 > 0\) for alle \(p > 0\), får vi:
\[ 1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2 < 1 \]
\[ A_{\text{ny}} < A_{\text{gammel}} \]
Eksempel med \(p = 10\):
\[ A_{\text{ny}} = b \cdot \ell \cdot (1 - 0{,}1^2) = b \cdot \ell \cdot 0{,}99 = 0{,}99 \cdot A_{\text{gammel}} \]
Arealet blir 1 % mindre.
Eksempel med \(p = 50\):
\[ A_{\text{ny}} = b \cdot \ell \cdot (1 - 0{,}5^2) = b \cdot \ell \cdot 0{,}75 = 0{,}75 \cdot A_{\text{gammel}} \]
Arealet blir 25 % mindre.
Konklusjon: Påstand 1 er riktig: Arealet av den nye parkeringsplassen vil alltid bli mindre. Uansett hvilken prosentandel \(p > 0\) vi bruker, blir det nye arealet lik \(A_{\text{gammel}} \cdot \left(1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right)\), som alltid er mindre enn det opprinnelige arealet.
Vanlig feil: Mange elever tror at en lik økning og minking «nuller hverandre ut» og at arealet forblir uendret. Men den algebraiske identiteten \((1-a)(1+a) = 1 - a^2\) viser at produktet alltid blir mindre enn 1. Denne regelen gjelder for alle prosentandeler: å øke den ene dimensjonen og minke den andre med samme prosent gir alltid et mindre areal.
Oppgave 7a
Sofie har tatt opp et forbrukslån på 100 000 kr. Rentefoten er 2 % per måned. Terminbeløpet er 6378 kr.
Programmet har
Sett inn formler i stedet for 0, og gjør endringer slik at hele den riktige nedbetalingsplanen skrives ut.
Programmet har
renter = 0, avdrag = 0 og restlån = 0 i linje 12, 13 og 14.Sett inn formler i stedet for 0, og gjør endringer slik at hele den riktige nedbetalingsplanen skrives ut.
Programmet skal beregne en nedbetalingsplan med annuitetslån (fast terminbeløp). For hver måned gjelder:
- Renter = restlån × rentefot / 100
- Avdrag = terminbeløp − renter
- Nytt restlån = gammelt restlån − avdrag
Det korrigerte programmet ser slik ut:
# Definerer variabler
restlån = 100000
terminbeløp = 6378
rentefot = 2
# Overskrifter
print("Måned Terminbeløp Renter Avdrag Restlån")
for måned in range(1, 100):
renter = restlån * rentefot / 100
avdrag = terminbeløp - renter
restlån = restlån - avdrag
if restlån < 0:
# Siste termin: justerer terminbeløpet
avdrag = avdrag + restlån
terminbeløp = renter + avdrag
restlån = 0
# Skriver ut i fem kolonner
print(måned,
round(terminbeløp, 2),
round(renter, 2),
round(avdrag, 2),
round(restlån, 2), sep = "\t\t")
if restlån == 0:
breakEndringer som er gjort:
- Linje 12:
renter = 0erstattes medrenter = restlån * rentefot / 100 - Linje 13:
avdrag = 0erstattes medavdrag = terminbeløp - renter - Linje 14:
restlån = 0erstattes medrestlån = restlån - avdrag - Løkken:
range(1, 5)endres tilrange(1, 100)(eller et høyt tall), og vi legger til en sjekk som stopper løkken når restlånet er 0 eller negativt.
De første radene i nedbetalingsplanen:
| Måned | Terminbeløp | Renter | Avdrag | Restlån |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 378,00 | 2 000,00 | 4 378,00 | 95 622,00 |
| 2 | 6 378,00 | 1 912,44 | 4 465,56 | 91 156,44 |
| 3 | 6 378,00 | 1 823,13 | 4 554,87 | 86 601,57 |
| 4 | 6 378,00 | 1 732,03 | 4 645,97 | 81 955,60 |
| 5 | 6 378,00 | 1 639,11 | 4 738,89 | 77 216,71 |
... (fortsetter til restlånet er nedbetalt)
Konklusjon: Formlene som skal erstatte 0 i programmet er:
- Linje 12:
renter = restlån * rentefot / 100 - Linje 13:
avdrag = terminbeløp - renter - Linje 14:
restlån = restlån - avdrag
range(1, 5) endres slik at løkken kjører til lånet er nedbetalt, f.eks. ved å bruke en while-løkke eller en stor range med en break-betingelse.
Oppgave 7b
Hvor mange måneder vil det ta før lånet er betalt ned?
Vi beregner nedbetalingsplanen steg for steg. Her er en forkortet oversikt:
| Måned | Renter | Avdrag | Restlån |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 000,00 | 4 378,00 | 95 622,00 |
| 2 | 1 912,44 | 4 465,56 | 91 156,44 |
| 3 | 1 823,13 | 4 554,87 | 86 601,57 |
| 4 | 1 732,03 | 4 645,97 | 81 955,60 |
| 5 | 1 639,11 | 4 738,89 | 77 216,71 |
| 6 | 1 544,33 | 4 833,67 | 72 383,04 |
| 7 | 1 447,66 | 4 930,34 | 67 452,70 |
| 8 | 1 349,05 | 5 028,95 | 62 423,76 |
| 9 | 1 248,48 | 5 129,52 | 57 294,23 |
| 10 | 1 145,88 | 5 232,12 | 52 062,12 |
| 11 | 1 041,24 | 5 336,76 | 46 725,36 |
| 12 | 934,51 | 5 443,49 | 41 281,87 |
| 13 | 825,64 | 5 552,36 | 35 729,50 |
| 14 | 714,59 | 5 663,41 | 30 066,09 |
| 15 | 601,32 | 5 776,68 | 24 289,42 |
| 16 | 485,79 | 5 892,21 | 18 397,20 |
| 17 | 367,94 | 6 010,06 | 12 387,15 |
| 18 | 247,74 | 6 130,26 | 6 256,89 |
| 19 | 125,14 | 6 252,86 | 4,03 |
| 20 | 0,08 | 4,03 | 0,00 |
Vi kan kontrollere dette i regnearket i GeoGebra (eller Excel). Hver måned legges det til 2 % rente på restlånet, og terminbeløpet trekkes fra:
A1: 1ogB1: =100000*1.02 - 6378A2: =A1 + 1ogB2: =B1*1.02 - 6378- Merk
A2:B2og kopier nedover til tallet i kolonne B blir negativt.
Regnearket viser restlån \(4{,}03\) kr etter måned 19 og et negativt tall (\(-6\,373{,}88\)) i måned 20. Den 20. innbetalingen trenger altså bare å dekke de siste kronene:
\[ \text{Restlån etter 19 måneder} \approx 4{,}03 \text{ kr} \]
Konklusjon: Det tar ca. 19 måneder før lånet er betalt ned (med en liten restbetaling i måned 20). I praksis betaler Sofie 19 fulle terminbeløp på 6 378 kr, og en siste (20.) innbetaling på ca. 4 kr for å gjøre opp restlånet.
Vanlig feil: En vanlig feil i annuitetslån-oppgaver er å beregne renten av det opprinnelige lånebeløpet i stedet for restlånet. Husk at rentene beregnes av gjenstående restlån hver måned, som blir litt lavere for hver termin. Derfor synker rentebeløpet og avdraget øker fra måned til måned.
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 2P (våren 2023). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.