VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PVår 2022
Løsningsforslag – Matematikk 2P Vår 2022
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Den grafiske framstillingen viser hvor mye det koster for en fabrikk å produsere stoler. \(x\)-aksen viser antall produserte stoler og \(y\)-aksen viser totale kostnader i kroner.
a) Hvor mye koster det totalt å produsere 20 stoler?
b) Hvor mye koster det totalt å produsere 120 stoler?
c) Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?
a) Hvor mye koster det totalt å produsere 20 stoler?
b) Hvor mye koster det totalt å produsere 120 stoler?
c) Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?
Oppgave 1a
Vi leser av grafen ved \(x = 20\):
\[y \approx 20\,000\]
Svar: Det koster omtrent 20 000 kroner å produsere 20 stoler.
Oppgave 1b
Grafen viser bare verdier opp til \(x = 90\) stoler, men vi kan se at sammenhengen mellom antall stoler og kostnad ser ut til å være tilnærmet lineær.
Fra grafen kan vi lese av to punkter for å finne stigningstallet. Vi bruker for eksempel:
- Ved \(x = 0\): \(y \approx 5\,000\) (faste kostnader/startkostnad)
- Ved \(x = 80\): \(y \approx 53\,000\)
Stigningstallet (kostnaden per stol) blir:
\[a = \frac{53\,000 - 5\,000}{80 - 0} = \frac{48\,000}{80} = 600\]
Funksjonen som beskriver totalkostnadene er altså omtrent:
\[y = 600x + 5\,000\]
For \(x = 120\) stoler:
\[y = 600 \cdot 120 + 5\,000 = 72\,000 + 5\,000 = 77\,000\]
Svar: Det koster omtrent 77 000 kroner å produsere 120 stoler.
Oppgave 1c
Vi leser av grafen ved \(x = 50\):
\[\text{Totalkostnad ved 50 stoler} \approx 35\,000 \text{ kr}\]
Kostnaden per stol blir:
\[\frac{35\,000}{50} = 700 \text{ kr per stol}\]
Svar: Kostnadene per stol blir omtrent 700 kroner dersom bedriften produserer 50 stoler.
Vanlig feil: Mange elever forveksler marginalkostnad (kostnaden for å produsere én ekstra stol) med gjennomsnittskostnad per stol. Gjennomsnittskostnaden inkluderer de faste kostnadene fordelt på alle stolene, og er derfor høyere enn den variable kostnaden per stol (stigningstallet).
Oppgave 2
Etter avsluttet behandling med et legemiddel vil mengden av legemiddelet i blodet avta eksponentielt. Mengden vil avta med 50 % i løpet av én halveringstid. Etter to halveringstider vil mengden være redusert til 25 % av opprinnelig mengde, etter tre halveringstider til 12,5 %, og så videre.
a) Hvor mange prosent av legemiddelet vil være igjen i blodet etter fem halveringstider?
b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall halveringstider og hvor mange prosent av legemiddelet som vil være igjen i blodet.
a) Hvor mange prosent av legemiddelet vil være igjen i blodet etter fem halveringstider?
b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall halveringstider og hvor mange prosent av legemiddelet som vil være igjen i blodet.
Oppgave 2a
Etter hver halveringstid halveres mengden. Vi starter med 100 % og multipliserer med \(\frac{1}{2}\) for hver halveringstid:
| Antall halveringstider | Prosent igjen |
|---|---|
| 0 | 100 % |
| 1 | 50 % |
| 2 | 25 % |
| 3 | 12,5 % |
| 4 | 6,25 % |
| 5 | 3,125 % |
Vi kan også regne dette direkte:
\[100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 100 \cdot \frac{1}{32} = 3{,}125\]
Svar: Etter fem halveringstider vil 3,125 % av legemiddelet være igjen i blodet.
Vanlig feil: Noen elever tror at legemiddelet er helt borte etter noen halveringstider. I virkeligheten blir mengden aldri null ved eksponentiell nedbrytning, den bare halveres gang på gang. Etter 5 halveringstider er det fortsatt ca. 3 % igjen. Legg også merke til at svaret alltid er \(100 \cdot (1/2)^n\) prosent.
Oppgave 2b
Vi tegner en grafisk framstilling med antall halveringstider langs \(x\)-aksen og prosent igjen langs \(y\)-aksen. Vi bruker verdiene fra tabellen ovenfor:
| \(x\) (halveringstider) | \(y\) (prosent igjen) |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 1 | 50 |
| 2 | 25 |
| 3 | 12,5 |
| 4 | 6,25 |
| 5 | 3,125 |
Grafen viser en eksponentiell avtagende kurve. Funksjonen kan skrives som:
\[f(x) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 100 \cdot 0{,}5^x\]
Svar: Grafen viser en eksponentielt avtagende kurve som starter på 100 % ved \(x = 0\) og nærmer seg 0 etter hvert som antall halveringstider øker. Punktene fra tabellen plottes og forbindes med en jevn kurve.
Oppgave 3
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015–2021.
I 2015 hadde Elin en nominell lønn på 400 000 kroner.
I 2021 hadde hun en nominell lønn på 460 000 kroner.
I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| KPI | 100 | 103,6 | 105,5 | 108,4 | 110,8 | 112,2 | 116,1 |
I 2015 hadde Elin en nominell lønn på 400 000 kroner.
I 2021 hadde hun en nominell lønn på 460 000 kroner.
I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?
For å sammenligne kjøpekraften i de to årene, må vi finne reallønnen. Vi bruker formelen:
\[\text{Reallønn} = \frac{\text{Nominell lønn}}{\text{KPI}} \cdot 100\]
Reallønn i 2015:
\[\text{Reallønn}_{2015} = \frac{400\,000}{100} \cdot 100 = 400\,000 \text{ kr}\]
Reallønn i 2021:
\[\text{Reallønn}_{2021} = \frac{460\,000}{116{,}1} \cdot 100 \approx 396\,210 \text{ kr}\]
Reallønnen i 2015 (400 000 kr) er høyere enn reallønnen i 2021 (ca. 396 210 kr), målt i 2015-kroner.
Svar: Elin hadde størst kjøpekraft i 2015.
Vanlig feil: En typisk feil er å bare se på lønnsøkningen i kroner og konkludere med at man har bedre råd. Her økte lønnen med 15 %, men prisene økte med 16,1 %. Selv om Elin tjener mer nominelt, har hun faktisk lavere kjøpekraft. Sammenlign alltid prosentvis lønnsøkning med prosentvis prisstigning.
Selv om den nominelle lønnen økte fra 400 000 kr til 460 000 kr, økte prisene (KPI) mer enn lønnen i prosent. Lønnen økte med 15 %, mens prisene økte med 16,1 %.
Oppgave 4
Ada har skrevet programkoden nedenfor:
Hva ønsker Ada å finne ut?
Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
beløp = 0
vekstfaktor = 1.02
innskudd = 20000
år = 0
while beløp < 500000:
beløp = beløp + innskudd
beløp = beløp * vekstfaktor
år = år + 1
print(år)
print(beløp)
Hva ønsker Ada å finne ut?
Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
Hva ønsker Ada å finne ut?
Ada ønsker å finne ut hvor mange år det tar å spare opp 500 000 kroner
Vanlig feil: Noen elever leser programkoden feil og tror at renten legges til før innskuddet. Rekkefølgen i programmet er viktig: først legges innskuddet til, deretter beregnes rente av hele beløpet. Denne rekkefølgen gjør at du også får rente på årets innskudd, noe som gir litt mer enn om renten beregnes først.
dersom hun setter inn 20 000 kroner hvert år på en konto med 2 % rente.
Forklaring av programmet:
Programmet starter med følgende verdier:
beløp = 0– kontoen starter på 0 kronervekstfaktor = 1.02– dette tilsvarer 2 % rente per årinnskudd = 20000– hun setter inn 20 000 kroner hvert årår = 0– teller antall år
Løkken (while beløp < 500000) gjentar følgende så lenge beløpet er under 500 000 kroner:
- Legger til innskuddet på 20 000 kr til beløpet
- Multipliserer beløpet med vekstfaktoren 1,02 (legger til 2 % rente)
- Øker årsteller med 1
Når beløpet passerer 500 000 kroner, stopper løkken. Programmet skriver deretter ut antall år og det endelige beløpet.
De første årene ser slik ut:
| År | Beløp etter innskudd | Beløp etter rente |
|---|---|---|
| 1 | 20 000 | 20 400 |
| 2 | 40 400 | 41 208 |
| 3 | 61 208 | 62 432,16 |
Svar: Ada ønsker å finne ut hvor mange år det tar å spare opp 500 000 kroner
Vanlig feil: Noen elever leser programkoden feil og tror at renten legges til før innskuddet. Rekkefølgen i programmet er viktig: først legges innskuddet til, deretter beregnes rente av hele beløpet. Denne rekkefølgen gjør at du også får rente på årets innskudd, noe som gir litt mer enn om renten beregnes først.
når hun setter inn 20 000 kroner i året med 2 % rente. Programmet simulerer årlige innskudd etterfulgt av renteutregning, og teller antall år frem til beløpet overstiger 500 000 kroner.
Oppgave 5
I koordinatsystemet ser du grafene til en andregradsfunksjon \(f\) og en lineær funksjon \(g\). Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = x^2 - 5x + 5\]
Bruk grafene til å sette opp en ulikhet som har løsningen \(2 < x < 4\). Husk å begrunne svaret.
Fra grafen ser vi at:
- Grafene til \(f\) og \(g\) krysser hverandre i \(x = 2\) og \(x = 4\).
- Mellom \(x = 2\) og \(x = 4\) ligger grafen til \(f\) under grafen til \(g\).
Vi finner funksjonsuttrykket til \(g\). Fra grafen kan vi lese av at \(g\) er en lineær funksjon som går gjennom punktene \((0, -3)\) og \((6, 3)\):
\[a = \frac{3 - (-3)}{6 - 0} = \frac{6}{6} = 1\]
\[g(x) = x - 3\]
Vi kontrollerer at \(f\) og \(g\) krysser i \(x = 2\) og \(x = 4\):
\[f(x) = g(x) \implies x^2 - 5x + 5 = x - 3\]
\[x^2 - 6x + 8 = 0\]
\[(x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2 \text{ eller } x = 4 \quad \checkmark\]
Mellom \(x = 2\) og \(x = 4\) er \(f(x) < g(x)\), altså ligger \(f\) under \(g\).
Ulikheten som har løsningen \(2 < x < 4\) er:
\[f(x) < g(x)\]
\[x^2 - 5x + 5 < x - 3\]
Svar: Ulikheten \(x^2 - 5x + 5 < x - 3\) har løsningen \(2 < x < 4\).
Vanlig feil: Mange elever setter opp en likning i stedet for en ulikhet. Husk at oppgaven ber om en ulikhet med løsningen \(2 < x < 4\). Du må finne to funksjoner der den ene ligger under den andre mellom de to skjæringspunktene. Kontroller alltid svaret ved å sette inn en verdi mellom 2 og 4.
Dette ser vi fra grafen fordi \(f(x)\) ligger under \(g(x)\) nettopp i intervallet mellom de to skjæringspunktene \(x = 2\) og \(x = 4\).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Linus har fått denne oppgaven:
En vare koster like mye i butikk A og i butikk B.
I butikk A blir prisen først satt opp med 25 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 15 % til.
I butikk B blir prisen først satt opp med 35 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 5 % til.
I hvilken butikk koster varen mest nå?
Linus har satt opp regnestykkene nedenfor, men han er usikker på hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven:
\(1{,}25 \cdot 1{,}15 = 1{,}4375\)
\(1{,}35 \cdot 1{,}05 = 1{,}4175\)
Forklar Linus hva han har regnet ut, og hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven han har fått.
En vare koster like mye i butikk A og i butikk B.
I butikk A blir prisen først satt opp med 25 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 15 % til.
I butikk B blir prisen først satt opp med 35 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 5 % til.
I hvilken butikk koster varen mest nå?
Linus har satt opp regnestykkene nedenfor, men han er usikker på hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven:
\(1{,}25 \cdot 1{,}15 = 1{,}4375\)
\(1{,}35 \cdot 1{,}05 = 1{,}4175\)
Forklar Linus hva han har regnet ut, og hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven han har fått.
Hva Linus har regnet ut:
Linus har regnet ut den totale vekstfaktoren for prisøkningen i hver butikk.
Butikk A:
- Prisøkning på 25 % tilsvarer vekstfaktor \(1{,}25\)
- Deretter prisøkning på 15 % tilsvarer vekstfaktor \(1{,}15\)
- Total vekstfaktor: \(1{,}25 \cdot 1{,}15 = 1{,}4375\)
Dette betyr at prisen i butikk A har økt med totalt 43,75 %.
Butikk B:
- Prisøkning på 35 % tilsvarer vekstfaktor \(1{,}35\)
- Deretter prisøkning på 5 % tilsvarer vekstfaktor \(1{,}05\)
- Total vekstfaktor: \(1{,}35 \cdot 1{,}05 = 1{,}4175\)
Dette betyr at prisen i butikk B har økt med totalt 41,75 %.
Hvordan bruke svarene:
Siden varene kostet det samme i utgangspunktet, er det den butikken med høyest total vekstfaktor som har den høyeste prisen nå. Vi sammenligner:
\[1{,}4375 > 1{,}4175\]
Dersom vi for eksempel sier at varen opprinnelig kostet 100 kr:
- Butikk A: \(100 \cdot 1{,}4375 = 143{,}75\) kr
- Butikk B: \(100 \cdot 1{,}4175 = 141{,}75\) kr
Svar: Linus har regnet ut den samlede vekstfaktoren for prisøkningene
Vanlig feil: En svært vanlig misforståelse er å tro at man kan legge sammen prosentøkninger direkte. For eksempel at 25 % + 15 % = 40 % total økning. I virkeligheten gir to påfølgende prosentøkninger en samlet vekstfaktor som er produktet av de individuelle vekstfaktorene, og resultatet avhenger av rekkefølgen og størrelsen på økningen.
i hver butikk. Siden \(1{,}4375 > 1{,}4175\), er det butikk A som har den høyeste prisen nå. Det skyldes at selv om summen av prosentøkningene er den samme (25 + 15 = 35 + 5 = 40), er det rekkefølgen og forholdet mellom dem som avgjør – rentes rente-effekten gjør at to store økninger gir en litt høyere totalpris enn en stor og en liten økning.
Oppgave 2
I koordinatsystemet ser du et rektangel og tre hvite trekanter. Rektangelet har hjørner i \((0, 0)\), \((11, 0)\), \((11, 4)\) og \((0, 4)\). De tre hvite trekantene dekker deler av rektangelet, og det grønne området er det som er igjen.
Bestem arealet av det grønne området.
Bestem arealet av det grønne området.
Fra figuren leser vi av koordinatene. Rektangelet har dimensjonene \(11 \times 4\):
\[A_{\text{rektangel}} = 11 \cdot 4 = 44\]
Vi identifiserer de tre hvite trekantene fra figuren. Alle tre har grunnlinje langs \(x\)-aksen og en spiss som når opp til toppen ved \(y = 4\). For en trekant med grunnlinje på \(x\)-aksen og toppvinkel ved \(y = 4\) er høyden alltid 4.
Trekant 1 (venstre): Grunnlinje fra \((0, 0)\) til \((4, 0)\), topp ved \((5{,}5;\ 4)\). Grunnlinje = 4, høyde = 4:
\[A_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\]
Trekant 2 (midten): Grunnlinje fra \((4, 0)\) til \((8, 0)\), topp ved \((7{,}5;\ 4)\). Grunnlinje = 4, høyde = 4:
\[A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\]
Trekant 3 (høyre): Rettvinklet trekant med hjørner i \((8, 0)\), \((11, 0)\) og \((11, 4)\). Katetene er 3 og 4:
\[A_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\]
Arealet av det grønne området:
\[A_{\text{grønt}} = A_{\text{rektangel}} - A_1 - A_2 - A_3 = 44 - 8 - 8 - 6 = 22\]
Svar: Arealet av det grønne området er 22 ruteenheter.
Oppgave 3
I en bydel er det i dag 30 000 innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med en fast prosent hvert år, og at det i løpet av 10 år vil være doblet.
Lag en modell \(f\) som illustrerer situasjonen.
Tegn grafen til \(f\), og marker punktet \((5, f(5))\). Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
Lag en modell \(f\) som illustrerer situasjonen.
Tegn grafen til \(f\), og marker punktet \((5, f(5))\). Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.
Vi skal lage en eksponentiell modell på formen:
\[f(x) = 30\,000 \cdot a^x\]
der \(x\) er antall år og \(a\) er den årlige vekstfaktoren.
Vi vet at innbyggertallet dobles på 10 år:
\[f(10) = 60\,000\]
\[30\,000 \cdot a^{10} = 60\,000\]
\[a^{10} = 2\]
\[a = 2^{1/10} = \sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\]
Modellen blir:
\[f(x) = 30\,000 \cdot 1{,}0718^x\]
Den årlige prosentvise veksten er omtrent \(7{,}18\,\%\).
Punktet \((5, f(5))\):
\[f(5) = 30\,000 \cdot 1{,}0718^5 = 30\,000 \cdot 2^{5/10} = 30\,000 \cdot 2^{0{,}5} = 30\,000 \cdot \sqrt{2} \approx 30\,000 \cdot 1{,}4142 \approx 42\,426\]
Svar: Modellen er \(f(x) = 30\,000 \cdot 1{,}0718^x\), der \(x\) er antall år fra nå.
Punktet \((5,\; 42\,426)\) betyr at etter 5 år vil bydelen ha omtrent 42 400 innbyggere. Det viser at halvveis i tidsperioden har ikke innbyggertallet økt til halvparten av doblingen (45 000), men noe mindre, noe som er typisk for eksponentiell vekst.
Punktet \((5,\; 42\,426)\) betyr at etter 5 år vil bydelen ha omtrent 42 400 innbyggere. Det viser at halvveis i tidsperioden har ikke innbyggertallet økt til halvparten av doblingen (45 000), men noe mindre, noe som er typisk for eksponentiell vekst.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
f(x) := 30000 · 1.0718^x - Kontroller innbyggertallet etter 5 år:
Numerisk(f(5))→ gir \(\approx 42\,432\) - Kontroller doblingen etter 10 år:
Numerisk(f(10))→ gir \(\approx 60\,015\) (omtrent doblet)
Oppgave 4
Diagrammene viser utgifter på statsbudsjettet i 2020, 2021 og 2022. Alle tall er gitt i milliarder kroner.
a) Hvor mange prosent av de totale utgiftene utgjorde utgiftene til høyere utdanning, forskning og fagskoler hvert av disse årene?
KPI-tabell: 2020: 112,2 2021: 116,1 2022: (KPI øker med 3,3 % fra 2021 til 2022)
b) Sammenlikn beløpene som ble satt av til høyere utdanning, forskning og fagskoler i 2020, 2021 og 2022.
a) Hvor mange prosent av de totale utgiftene utgjorde utgiftene til høyere utdanning, forskning og fagskoler hvert av disse årene?
KPI-tabell: 2020: 112,2 2021: 116,1 2022: (KPI øker med 3,3 % fra 2021 til 2022)
b) Sammenlikn beløpene som ble satt av til høyere utdanning, forskning og fagskoler i 2020, 2021 og 2022.
Oppgave 4a
Fra diagrammene leser vi av totale utgifter og utgifter til høyere utdanning, forskning og fagskoler:
2020:
\[\text{Totalt} = 1\,443 \text{ mrd kr}, \quad \text{Høyere utdanning} = 50 \text{ mrd kr}\]
\[\text{Andel} = \frac{50}{1\,443} \cdot 100\,\% \approx 3{,}5\,\%\]
2021:
\[\text{Totalt} = 1\,515 \text{ mrd kr}, \quad \text{Høyere utdanning} = 54 \text{ mrd kr}\]
\[\text{Andel} = \frac{54}{1\,515} \cdot 100\,\% \approx 3{,}6\,\%\]
2022:
\[\text{Totalt} = 1\,576 \text{ mrd kr}, \quad \text{Høyere utdanning} = 55 \text{ mrd kr}\]
\[\text{Andel} = \frac{55}{1\,576} \cdot 100\,\% \approx 3{,}5\,\%\]
Svar: Andelen av statsbudsjettet til høyere utdanning, forskning og fagskoler var omtrent 3,5 % i 2020, 3,6 % i 2021 og 3,5 % i 2022. Andelen har holdt seg relativt stabil.
Oppgave 4b
For å kunne sammenligne beløpene over tid, må vi justere for prisstigning ved hjelp av KPI. Vi regner om alle beløp til 2020-kroner.
KPI-verdier:
- 2020: \(\text{KPI} = 112{,}2\)
- 2021: \(\text{KPI} = 116{,}1\)
- 2022: \(\text{KPI} = 116{,}1 \cdot 1{,}033 \approx 119{,}9\)
2020 (allerede i 2020-kroner):
\[\text{Beløp}_{2020} = 50 \text{ mrd kr}\]
2021 omregnet til 2020-kroner:
\[\text{Beløp}_{2021} = 54 \cdot \frac{112{,}2}{116{,}1} \approx 54 \cdot 0{,}9664 \approx 52{,}2 \text{ mrd kr}\]
2022 omregnet til 2020-kroner:
\[\text{Beløp}_{2022} = 55 \cdot \frac{112{,}2}{119{,}9} \approx 55 \cdot 0{,}9358 \approx 51{,}5 \text{ mrd kr}\]
Svar: I nominelle kroner økte beløpet fra 50 mrd (2020) til 54 mrd (2021) og 55 mrd (2022). Men justert for prisstigning (målt i 2020-kroner) var beløpene henholdsvis 50,0 mrd, 52,2 mrd og 51,5 mrd. Det var altså en reell økning fra 2020 til 2021, men en liten reell nedgang fra 2021 til 2022, selv om det nominelle beløpet økte.
Oppgave 5
Tabellen viser fordelingen av representanter på Stortinget etter valget i 2017 og etter valget i 2021.
Bruk opplysningene i tabellen som utgangspunkt og lag ulike diagrammer. Ved hjelp av diagrammene skal du tydelig få fram:
- endring i antall representanter fra hvert parti fra 2017 til 2021
- prosentvis fordeling av representanter fra hvert parti i 2017 og i 2021
Det skal gå tydelig fram hva hvert diagram viser, og du skal begrunne ditt valg av diagram.
| Parti | 2017 | 2021 |
|---|---|---|
| Arbeiderpartiet | 49 | 48 |
| Høyre | 45 | 36 |
| Fremskrittspartiet | 27 | 21 |
| Senterpartiet | 19 | 28 |
| Sosialistisk Venstreparti | 11 | 13 |
| Kristelig Folkeparti | 8 | 3 |
| Venstre | 8 | 8 |
| Miljøpartiet De Grønne | 1 | 3 |
| Rødt | 1 | 8 |
| Pasientfokus | 1 |
Bruk opplysningene i tabellen som utgangspunkt og lag ulike diagrammer. Ved hjelp av diagrammene skal du tydelig få fram:
- endring i antall representanter fra hvert parti fra 2017 til 2021
- prosentvis fordeling av representanter fra hvert parti i 2017 og i 2021
Det skal gå tydelig fram hva hvert diagram viser, og du skal begrunne ditt valg av diagram.
Diagram 1: Endring i antall representanter (stolpediagram)
Et gruppert stolpediagram (eller et søylediagram som viser differansen) er godt egnet til å vise endringen i antall representanter for hvert parti.
| Parti | 2017 | 2021 | Endring |
|---|---|---|---|
| Arbeiderpartiet | 49 | 48 | -1 |
| Høyre | 45 | 36 | -9 |
| Fremskrittspartiet | 27 | 21 | -6 |
| Senterpartiet | 19 | 28 | +9 |
| SV | 11 | 13 | +2 |
| KrF | 8 | 3 | -5 |
| Venstre | 8 | 8 | 0 |
| MDG | 1 | 3 | +2 |
| Rødt | 1 | 8 | +7 |
| Pasientfokus | 0 | 1 | +1 |
Et gruppert stolpediagram med to søyler per parti (én for 2017 og én for 2021) er et godt valg fordi det gjør det lett å sammenligne antallet direkte for hvert parti.
Diagram 2: Prosentvis fordeling (sektordiagram / kakediagram)
Totalt antall representanter er 169 i begge valgene. Vi regner ut prosentandelen for hvert parti:
| Parti | 2017 (%) | 2021 (%) |
|---|---|---|
| Arbeiderpartiet | \(\frac{49}{169} \cdot 100 \approx 29{,}0\) | \(\frac{48}{169} \cdot 100 \approx 28{,}4\) |
| Høyre | \(\frac{45}{169} \cdot 100 \approx 26{,}6\) | \(\frac{36}{169} \cdot 100 \approx 21{,}3\) |
| Fremskrittspartiet | \(\frac{27}{169} \cdot 100 \approx 16{,}0\) | \(\frac{21}{169} \cdot 100 \approx 12{,}4\) |
| Senterpartiet | \(\frac{19}{169} \cdot 100 \approx 11{,}2\) | \(\frac{28}{169} \cdot 100 \approx 16{,}6\) |
| SV | \(\frac{11}{169} \cdot 100 \approx 6{,}5\) | \(\frac{13}{169} \cdot 100 \approx 7{,}7\) |
| KrF | \(\frac{8}{169} \cdot 100 \approx 4{,}7\) | \(\frac{3}{169} \cdot 100 \approx 1{,}8\) |
| Venstre | \(\frac{8}{169} \cdot 100 \approx 4{,}7\) | \(\frac{8}{169} \cdot 100 \approx 4{,}7\) |
| MDG | \(\frac{1}{169} \cdot 100 \approx 0{,}6\) | \(\frac{3}{169} \cdot 100 \approx 1{,}8\) |
| Rødt | \(\frac{1}{169} \cdot 100 \approx 0{,}6\) | \(\frac{8}{169} \cdot 100 \approx 4{,}7\) |
| Pasientfokus | 0 | \(\frac{1}{169} \cdot 100 \approx 0{,}6\) |
Et sektordiagram (kakediagram) er godt egnet til å vise den prosentvise fordelingen, fordi det tydelig viser hvor stor andel hvert parti har av helheten. Vi lager ett sektordiagram for 2017 og ett for 2021.
Svar:
- For å vise endring i antall representanter velger vi et gruppert stolpediagram. Dette gjør det enkelt å sammenligne antallet representanter for hvert parti mellom de to valgene. De største endringene er at Høyre mistet 9 mandater, Senterpartiet fikk 9 nye, og Rødt gikk fra 1 til 8.
- For å vise prosentvis fordeling velger vi sektordiagram (kakediagram) – ett for hvert år. Sektordiagrammet viser tydelig hvor stor del av Stortinget hvert parti utgjør.
Oppgave 6
Kari og Ola kommer ofte for sent til matematikktimene. Nedenfor ser du hvor mange minutter Kari kom for sent hver av de siste 24 matematikktimene:
4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
b) Ola har en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik. Hva kan du si om forsentkommingene til Ola sammenliknet med Kari?
4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.
b) Ola har en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik. Hva kan du si om forsentkommingene til Ola sammenliknet med Kari?
Oppgave 6a
Medianen:
Vi har 24 observasjoner (allerede sortert). Medianen er gjennomsnittet av observasjon nr. 12 og 13:
\[\text{Observasjon nr. 12} = 7, \quad \text{Observasjon nr. 13} = 7\]
\[\text{Median} = \frac{7 + 7}{2} = 7\]
Gjennomsnittet:
Vi summerer alle verdiene:
\[\text{Sum} = 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 9\]
\[= 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 8 + 4 \cdot 9\]
\[= 4 + 15 + 30 + 35 + 48 + 36 = 168\]
\[\bar{x} = \frac{168}{24} = 7{,}0\]
Standardavviket:
Vi beregner standardavviket med formelen:
\[s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}\]
| \(x_i\) | Antall | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | Antall \(\cdot (x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | -3 | 9 | 9 |
| 5 | 3 | -2 | 4 | 12 |
| 6 | 5 | -1 | 1 | 5 |
| 7 | 5 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 6 | 1 | 1 | 6 |
| 9 | 4 | 2 | 4 | 16 |
\[\sum (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 12 + 5 + 0 + 6 + 16 = 48\]
\[s = \sqrt{\frac{48}{24}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\]
Svar: For Karis forsentkomminger:
Median = 7 minutter
Gjennomsnitt = 7,0 minutter
Standardavvik \(\approx 1{,}41\) minutter
Median = 7 minutter
Gjennomsnitt = 7,0 minutter
Standardavvik \(\approx 1{,}41\) minutter
Oppgave 6b
Vi vet at Ola har:
- Lavere median enn Kari (altså lavere enn 7)
- Høyere gjennomsnitt enn Kari (altså høyere enn 7,0)
- Høyere standardavvik enn Kari (altså høyere enn 1,41)
Dette forteller oss følgende om Olas forsentkomminger:
- Lavere median: Mer enn halvparten av gangene kommer Ola mindre for sent enn Kari. Den «typiske» forsentkomming er lavere.
- Høyere gjennomsnitt: Til tross for lavere median har Ola et høyere gjennomsnitt. Det betyr at Ola noen ganger kommer veldig mye for sent, noe som drar gjennomsnittet opp.
- Høyere standardavvik: Olas forsentkomminger varierer mer enn Karis. Det er større spredning i dataene – han er mer uforutsigbar.
Svar: Ola kommer vanligvis litt mindre for sent enn Kari (lavere median), men han har noen ganger svært lange forsentkomminger som trekker opp gjennomsnittet. Forsentkommingene hans varierer mer (høyere standardavvik). Kari er mer «jevn» i sine forsentkomminger, mens Ola er mer uforutsigbar – oftest litt mindre forsinket, men noen ganger veldig forsinket.
Oppgave 7
Du skal sette opp et gjerde rundt et rektangelformet område. Området er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av området er 77 m\(^2\).
Hvor langt gjerde trenger du?
Hvor langt gjerde trenger du?
La bredden av rektangelet være \(b\) og lengden \(l\). Vi vet at:
\[l = 2b\]
Arealet er gitt:
\[A = l \cdot b = 2b \cdot b = 2b^2 = 77\]
\[b^2 = \frac{77}{2} = 38{,}5\]
\[b = \sqrt{38{,}5} \approx 6{,}205 \text{ m}\]
Lengden blir:
\[l = 2b = 2 \cdot 6{,}205 \approx 12{,}410 \text{ m}\]
Omkretsen (lengden på gjerdet) er:
\[O = 2l + 2b = 2 \cdot 12{,}410 + 2 \cdot 6{,}205 = 24{,}82 + 12{,}41 = 37{,}23 \text{ m}\]
Vi kan også uttrykke dette eksakt:
\[O = 2(l + b) = 2(2b + b) = 6b = 6\sqrt{38{,}5} = 6\sqrt{\frac{77}{2}} = \frac{6\sqrt{77}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{77} = 3\sqrt{154}\]
Svar: Du trenger omtrent 37,2 meter med gjerde.
Vanlig feil: Mange elever setter opp arealet riktig, men glemmer å finne lengden og bredden eksplisitt før de regner omkretsen. Husk at omkretsen er \(O = 2l + 2b = 2(l + b)\), og at du trenger de faktiske verdiene av \(l\) og \(b\), ikke bare forholdet mellom dem.
(Eksakt: \(O = 3\sqrt{154} \approx 37{,}23\) m.)
Oppgave 8
Marius har fast jobb og god inntekt, men har problemer med økonomien. Han har tatt opp flere lån og har flere kredittkort.
Opplysninger om Marius:
b) Marius får tilbud om å samle alle lånene i ett lån med 8 % rente. Vis hvilke endringer han kan gjøre for å klare å betjene og betale ned det nye lånet.
Opplysninger om Marius:
- Brutto årslønn: 680 000 kr, utbetalt ca. 36 000 kr/mnd
- Gjeld: 1,4 millioner kr, rente 22 % p.a., har ikke klart å betale avdrag
- Leie: 10 000 kr/mnd (strøm og bredbånd inkludert)
- Bil verdi: 400 000 kr
- Klær, sko, utstyr, nett: 6 000 kr/mnd
- Bensinstasjon hverdager: 300–400 kr/dag
- Helger i byen: 600–1000 kr per kveld, fredag og lørdag
- Feriereiser: 60 000 kr/år
- Andre månedlige utgifter: ca. 15 000 kr (dagligvarer, bil, forsikring, telefon, frisør)
b) Marius får tilbud om å samle alle lånene i ett lån med 8 % rente. Vis hvilke endringer han kan gjøre for å klare å betjene og betale ned det nye lånet.
Oppgave 8a
Månedlige inntekter:
| Post | Beløp (kr/mnd) |
|---|---|
| Netto lønn | 36 000 |
| Sum inntekter | 36 000 |
Månedlige utgifter:
Vi beregner de ulike utgiftspostene:
Renter på gjeld:
\[\text{Årlig rente} = 1\,400\,000 \cdot 0{,}22 = 308\,000 \text{ kr}\]
\[\text{Månedlig rente} = \frac{308\,000}{12} \approx 25\,667 \text{ kr}\]
Bensinstasjon (mat etc.): Vi regner med et gjennomsnitt på 350 kr/dag, og antar ca. 22 arbeidsdager per måned:
\[350 \cdot 22 = 7\,700 \text{ kr/mnd}\]
Helgeutgifter: Gjennomsnitt 800 kr per kveld, fredag og lørdag, ca. 4 helger per måned:
\[800 \cdot 2 \cdot 4 = 6\,400 \text{ kr/mnd}\]
Feriereiser:
\[\frac{60\,000}{12} = 5\,000 \text{ kr/mnd}\]
| Utgiftspost | Beløp (kr/mnd) |
|---|---|
| Renter på lån (22 %) | 25 667 |
| Husleie | 10 000 |
| Klær, sko, utstyr, nett | 6 000 |
| Bensinstasjon (mat, frokost, lunsj) | 7 700 |
| Helgeutgifter (by) | 6 400 |
| Feriereiser | 5 000 |
| Andre utgifter (dagligvarer, bil, forsikring osv.) | 15 000 |
| Sum utgifter | 75 767 |
Månedlig underskudd:
\[36\,000 - 75\,767 = -39\,767 \text{ kr}\]
Svar: Marius har et månedlig underskudd på omtrent 39 800 kr. Han bruker nesten 75 800 kr per måned, men tjener bare 36 000 kr netto. Rentene alene utgjør over 25 600 kr per måned – mer enn 70 % av nettolønnen.
Oppgave 8b
Marius samler lånene i ett lån med 8 % rente. Nye månedlige rentekostnader:
\[\text{Årlig rente} = 1\,400\,000 \cdot 0{,}08 = 112\,000 \text{ kr}\]
\[\text{Månedlig rente} = \frac{112\,000}{12} \approx 9\,333 \text{ kr}\]
Dette gir en rentebesparelse på:
\[25\,667 - 9\,333 = 16\,334 \text{ kr/mnd}\]
Nye utgifter med 8 % rente (uten andre endringer):
\[75\,767 - 16\,334 = 59\,433 \text{ kr/mnd}\]
Underskuddet er fortsatt: \(36\,000 - 59\,433 = -23\,433\) kr/mnd. Han må altså kutte ytterligere.
Foreslåtte endringer for å gå i balanse og betale avdrag:
| Tiltak | Besparelse (kr/mnd) |
|---|---|
| Selge bilen (400 000 kr) – nedbetale gjeld, ny gjeld 1 000 000 kr, rente: \(\frac{1\,000\,000 \cdot 0{,}08}{12} \approx 6\,667\) kr/mnd | 2 667 |
| Kutte bensinstasjonutgifter (bruke matpakke): fra 7 700 til 2 000 | 5 700 |
| Kutte helgeutgifter: fra 6 400 til 1 500 | 4 900 |
| Kutte klær/sko/utstyr: fra 6 000 til 2 000 | 4 000 |
| Kutte feriereiser: fra 5 000 til 1 000 | 4 000 |
| Kutte andre utgifter: fra 15 000 til 12 000 | 3 000 |
| Totale besparelser | 24 267 |
Nytt månedlig budsjett etter endringer:
| Post | Beløp (kr/mnd) |
|---|---|
| Netto lønn | 36 000 |
| Renter på lån (1 000 000 kr, 8 %) | -6 667 |
| Husleie | -10 000 |
| Klær, sko, utstyr, nett | -2 000 |
| Mat og lunsj | -2 000 |
| Helgeutgifter | -1 500 |
| Feriereiser | -1 000 |
| Andre utgifter | -12 000 |
| Til overs (avdrag på lån) | 833 |
\[36\,000 - 6\,667 - 10\,000 - 2\,000 - 2\,000 - 1\,500 - 1\,000 - 12\,000 = 833 \text{ kr}\]
Med disse tiltakene går Marius så vidt i pluss og kan betale et lite avdrag. For å betale ned lånet raskere bør han vurdere ytterligere kutt eller forsøke å øke inntekten (for eksempel ekstraarbeid).
Svar: Ved å samle lånene til 8 % rente sparer Marius over 16 000 kr/mnd i renter. Ved i tillegg å selge bilen og bruke pengene til å nedbetale gjeld, kutte kraftig i forbruk (matpakke i stedet for kafé, mindre helgeutgifter, færre klær, billigere ferier), kan han klare å betjene det nye lånet og ha litt igjen til avdrag. Nøkkelen er å redusere det totale forbruket fra ca. 75 800 kr/mnd til under 36 000 kr/mnd.