VG2
Løsningsforslag Matematikk 2PHøst 2024
Løsningsforslag – Matematikk 2P Høst 2024
Eksamen MAT1023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (1 poeng)
Oppgave: På et kart er avstanden mellom to byer 10 cm. I virkeligheten er denne avstanden 5 km.
Bestem målestokken til kartet.
Vi må omregne til samme enhet. Vi gjør om 5 km til centimeter:
\[ 5 \text{ km} = 5 \cdot 1000 \text{ m} = 5000 \text{ m} = 5000 \cdot 100 \text{ cm} = 500\,000 \text{ cm} \]
Målestokken er forholdet mellom avstand på kartet og avstand i virkeligheten:
\[ \text{Målestokk} = \frac{10}{500\,000} = \frac{1}{50\,000} \]
Svar: Målestokken til kartet er \( 1 : 50\,000 \).
Vanlig feil: Den vanligste feilen ved målestokk-oppgaver er å glemme enhetsomregningen. Både kart-avstanden og den virkelige avstanden må ha samme enhet. Husk: 1 km = 100 000 cm. Pass også på å dele kartavstand på virkelig avstand, ikke omvendt.
Oppgave 2 (4 poeng)
Oppgave: Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:
3 3 4 5 6 8 0 3 5 5
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.
3 3 4 5 6 8 0 3 5 5
a) Bestem gjennomsnittet og medianen.
b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 timer og forklar hva dette tallet betyr.
a) Gjennomsnitt og median
Gjennomsnitt:
Vi legger sammen alle verdiene og deler på antallet:
\[ \bar{x} = \frac{3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 0 + 3 + 5 + 5}{10} = \frac{42}{10} = 4{,}2 \]
Median:
Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge:
\[ 0, \; 3, \; 3, \; 3, \; 4, \; 5, \; 5, \; 5, \; 6, \; 8 \]
Vi har 10 observasjoner (partall). Medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:
\[ \text{Median} = \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \]
Svar: Gjennomsnittet er \( 4{,}2 \) timer og medianen er \( 4{,}5 \) timer.
Vanlig feil: Noen elever glemmer å sortere tallene før de finner medianen, og leser av feil verdier fra den usorterte listen. Medianen er alltid basert på den sorterte rekkefølgen. Med 10 verdier (partall) tar du gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien i den sorterte listen.
b) Kumulativ frekvens for 5 timer
Den kumulative frekvensen for 5 timer er antallet observasjoner som er lik 5 eller mindre.
Vi teller opp fra den sorterte lista:
\[ 0, \; 3, \; 3, \; 3, \; 4, \; 5, \; 5, \; 5, \; \underbrace{6, \; 8}_{\text{over 5}} \]
Det er 8 verdier som er 5 eller mindre.
Svar: Den kumulative frekvensen for 5 timer er 8. Det betyr at Lars arbeidet 5 timer eller færre i 8 av de 10 dagene.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave: Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 10 cm, og den andre kateten er 5 cm. Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være 64 cm2.
Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?
Hvor lange må hver av katetene i den nye trekanten være?
Vi finner først arealet av den opprinnelige trekanten:
\[ A_{\text{original}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2 \]
Når to trekanter er formlike med forstørrelsesfaktor \( k \), er forholdet mellom arealene \( k^2 \). Vi finner \( k \):
\[ k^2 = \frac{A_{\text{ny}}}{A_{\text{original}}} = \frac{64}{25} \]
\[ k = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \]
De nye katetene blir:
\[ 10 \cdot 1{,}6 = 16 \text{ cm} \]
\[ 5 \cdot 1{,}6 = 8 \text{ cm} \]
Kontroll: \( \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64 \text{ cm}^2 \) ✔
Svar: Katetene i den nye trekanten må være 16 cm og 8 cm.
Vanlig feil: Mange forveksler forstørrelsesfaktoren for sider med forstørrelsesfaktoren for areal. Arealet vokser med \(k^2\) når sidene vokser med \(k\). Når arealet er 64/25 ganger så stort, er sidene \(\sqrt{64/25} = 8/5 = 1,6\) ganger så lange, ikke 64/25 ganger.
Oppgave 4 (2 poeng)
Oppgave: Markus arbeider med likningssystemet nedenfor. Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet.
\[ \begin{cases} 2x - 6 = y \\ 4x + 2y = 12 \end{cases} \]
Vi bruker innsettingsmetoden. Fra den første likningen har vi allerede et uttrykk for \( y \):
\[ y = 2x - 6 \]
Vi setter dette inn i den andre likningen:
\[ 4x + 2(2x - 6) = 12 \]
Vi løser opp parentesen og forenkler:
\[ 4x + 4x - 12 = 12 \]
\[ 8x - 12 = 12 \]
\[ 8x = 24 \]
\[ x = 3 \]
Vi setter \( x = 3 \) inn i uttrykket for \( y \):
\[ y = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0 \]
Kontroll: Vi setter \( x = 3 \) og \( y = 0 \) inn i den andre likningen:
\[ 4 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 12 + 0 = 12 \quad \checkmark \]
Svar: Løsningen av likningssystemet er \( x = 3 \) og \( y = 0 \).
Oppgave 5 (3 poeng)
Oppgave: Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut 200 tonn CO2 i 2025. Bedriften har som mål å redusere utslippet med 2,5 % hvert år framover.
Sara har laget programmet nedenfor.
b) Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?
1 def f(x): 2 return 200 * 0.975 ** x 3 4 x = 0 5 s = 0 6 7 while x <= 4: 8 s = s + f(x) 9 x = x + 1 10 11 print(s)a) Gi en praktisk tolkning av uttrykket Sara har brukt i linje 2.
b) Hva vil verdien som skrives ut når programmet kjøres, fortelle Sara?
a) Praktisk tolkning av linje 2
Uttrykket i linje 2 er:
\[ f(x) = 200 \cdot 0{,}975^x \]
Dette er en eksponentiell modell der:
- 200 er startverdien, altså utslippet i 2025 (200 tonn CO2).
- 0,975 er vekstfaktoren. Siden \( 0{,}975 = 1 - 0{,}025 \), betyr det en reduksjon på 2,5 % per år.
- \( x \) er antall år etter 2025.
Svar: Uttrykket \( 200 \cdot 0{,}975^x \) beregner hvor mange tonn CO2 bedriften regner med å slippe ut \( x \) år etter 2025, gitt en årlig reduksjon på 2,5 %.
b) Hva verdien som skrives ut forteller
Programmet beregner summen \( s = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) \).
La oss beregne hver verdi:
| \( x \) | År | \( f(x) \) (tonn CO2) |
|---|---|---|
| 0 | 2025 | \( 200 \cdot 0{,}975^0 = 200{,}00 \) |
| 1 | 2026 | \( 200 \cdot 0{,}975^1 = 195{,}00 \) |
| 2 | 2027 | \( 200 \cdot 0{,}975^2 \approx 190{,}13 \) |
| 3 | 2028 | \( 200 \cdot 0{,}975^3 \approx 185{,}37 \) |
| 4 | 2029 | \( 200 \cdot 0{,}975^4 \approx 180{,}74 \) |
\[ s = 200 + 195 + 190{,}13 + 185{,}37 + 180{,}74 \approx 951{,}23 \]
Svar: Verdien som skrives ut (ca. 951,2) forteller Sara det samlede utslippet
Vanlig feil: Mange elever forveksler \(f(4)\) (utslippet i et enkelt år) med den akkumulerte summen \(s\). Programmet summerer utslippet fra alle fem årene (2025-2029). Legg merke til at while-løkken kjører for \(x = 0, 1, 2, 3, 4\), altså 5 iterasjoner, ikke 4.
av CO2 i tonn for bedriften i løpet av de fem årene fra 2025 til og med 2029.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Oppgave: En bedrift produserer iste. Funksjonen \( F \) gitt ved
\[ F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x \]
er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.
For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette \( x = 0 \), for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette \( x = 1 \) og så videre.
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og 2):
1) Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
2) Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?
b) Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og 2):
1) Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
2) Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?
b) Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?
a1) Antall flasker i desember 2025
Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så \( x = 12 \).
Metode 1 – Direkte utregning:
\[ F(12) = 620 \cdot 1{,}045^{12} \approx 620 \cdot 1{,}6959 \approx 1051 \]
Metode 2 – Bruk av graftegner/regneark:
Vi plotter funksjonen \( F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x \) og leser av verdien for \( x = 12 \). Avlesningen gir ca. 1051.
Svar: Bedriften regner med å selge ca. 1051 flasker iste i desember 2025.
Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke feil verdi av \(x\). Husk at \(x = 0\) tilsvarer desember 2024, så desember 2025 er \(x = 12\) (ikke \(x = 1\)). Tell nøye antall måneder fra startmåneden. En annen feil er å bruke lineær vekst i stedet for eksponentiell: 4,5 % vekst per måned betyr at du ganger med 1,045, ikke legger til en fast prosent av startverdien.
a2) Når salget overstiger 2000 flasker
Metode 1 – CAS i GeoGebra:
Vi løser likningen \( F(x) = 2000 \) i CAS:
\[ \texttt{NLøs}(620 \cdot 1{,}045^x = 2000, \; x) \quad \Rightarrow \quad x \approx 26{,}6 \]
Siden \( x \) må være et helt tall (måned), og vi vil ha første gang salget overstiger 2000, må \( x = 27 \).
Metode 2 – Grafisk i GeoGebra:
Vi tegner grafene \( y = 620 \cdot 1{,}045^x \) og \( y = 2000 \) i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktet. Vi ser at skjæringen skjer ved \( x \approx 26{,}6 \), altså mellom \( x = 26 \) og \( x = 27 \).
Vi teller opp månedene fra desember 2024: \( x = 27 \) tilsvarer mars 2027.
Kontroll:
\[ F(26) = 620 \cdot 1{,}045^{26} \approx 1947 < 2000 \]
\[ F(27) = 620 \cdot 1{,}045^{27} \approx 2035 > 2000 \]
Svar: Bedriften vil for første gang selge mer enn 2000 flasker iste i mars 2027 (måned nr. 27).
b) Prosentvis økning fra desember 2024 til desember 2026
Desember 2024 tilsvarer \( x = 0 \), og desember 2026 tilsvarer \( x = 24 \).
\[ F(0) = 620 \cdot 1{,}045^0 = 620 \]
\[ F(24) = 620 \cdot 1{,}045^{24} \approx 620 \cdot 2{,}876 \approx 1783 \]
Prosentvis økning:
\[ \text{Økning} = \frac{F(24) - F(0)}{F(0)} \cdot 100\,\% = \frac{1783 - 620}{620} \cdot 100\,\% \approx 187{,}6\,\% \]
Alternativt kan vi bruke vekstfaktoren direkte:
\[ 1{,}045^{24} \approx 2{,}876 \]
Dette betyr en økning på \( 2{,}876 - 1 = 1{,}876 = 187{,}6\,\% \).
Svar: Salget vil øke med ca. 187,6 % fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
F(x) := 620 · 1.045^x - Finn salget i desember 2025:
F(12)→ gir \(\approx 1051\) flasker - Sjekk når salget passerer 2000:
F(27)→ gir \(\approx 2035 > 2000\), altså i måned 27 (mars 2027)
Oppgave 2 (3 poeng)
Oppgave: Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn og konsumprisindeksen (KPI) i perioden 2015–2022. Undersøk hvordan kjøpekraften har endret seg år for år i perioden. Presenter resultatet på en oversiktlig måte.
| År | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Månedslønn (kr) | 42 580 | 43 640 | 44 660 | 46 010 | 47 720 | 48 750 | 50 790 | 53 150 |
| KPI | 100 | 103,6 | 105,5 | 108,4 | 110,8 | 112,2 | 116,1 | 122,8 |
For å undersøke kjøpekraften beregner vi reallønnen (lønnen justert for prisendringer). Vi regner om alle lønningene til 2015-kroner ved å bruke formelen:
\[ \text{Reallønn} = \frac{\text{Månedslønn}}{\text{KPI}} \cdot 100 \]
| År | Månedslønn (kr) | KPI | Reallønn (2015-kr) | Endring fra året før |
|---|---|---|---|---|
| 2015 | 42 580 | 100,0 | 42 580 | – |
| 2016 | 43 640 | 103,6 | 42 124 | \(-456\) kr (\(-1{,}1\,\%\)) |
| 2017 | 44 660 | 105,5 | 42 332 | \(+208\) kr (\(+0{,}5\,\%\)) |
| 2018 | 46 010 | 108,4 | 42 445 | \(+113\) kr (\(+0{,}3\,\%\)) |
| 2019 | 47 720 | 110,8 | 43 069 | \(+624\) kr (\(+1{,}5\,\%\)) |
| 2020 | 48 750 | 112,2 | 43 449 | \(+381\) kr (\(+0{,}9\,\%\)) |
| 2021 | 50 790 | 116,1 | 43 747 | \(+298\) kr (\(+0{,}7\,\%\)) |
| 2022 | 53 150 | 122,8 | 43 282 | \(-465\) kr (\(-1{,}1\,\%\)) |
Kommentar:
- I 2016 gikk kjøpekraften ned med ca. 1,1 %. Selv om lønnen økte, økte prisene enda mer.
- Fra 2017 til 2021 økte kjøpekraften jevnt hvert år, med størst økning i 2019 (+1,5 %).
- I 2022 gikk kjøpekraften ned igjen med ca. 1,1 %, noe som skyldes den høye prisveksten dette året.
- Samlet sett har kjøpekraften økt noe fra 2015 til 2022: fra 42 580 kr til 43 282 kr (i 2015-kroner), en økning på ca. 1,6 %.
Svar: Kjøpekraften har variert i perioden. Den gikk ned i 2016, økte jevnt fra 2017 til 2021, og gikk ned igjen i 2022. Over hele perioden 2015–2022 har kjøpekraften likevel økt med ca. 1,6 %.
Oppgave 3 (2 poeng)
Oppgave: Chris arbeider med seks oppgaver som er satt opp i oppgavepar:
Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.
| 10 % av 50 | 30 % av 12 | 25 % av 8 |
| 50 % av 10 | 12 % av 30 | 8 % av 25 |
Argumenter for hvorfor to oppgaver som er satt opp i oppgavepar på samme måte som ovenfor, alltid vil ha samme svar.
Å beregne «\( a \) % av \( b \)» betyr å regne ut:
\[ \frac{a}{100} \cdot b \]
I oppgaveparene er prosenttallet og grunnlaget byttet om. La oss se hva som skjer når vi bytter \( a \) og \( b \):
\[ a\,\% \text{ av } b = \frac{a}{100} \cdot b = \frac{a \cdot b}{100} \]
\[ b\,\% \text{ av } a = \frac{b}{100} \cdot a = \frac{b \cdot a}{100} \]
Siden multiplikasjon er kommutativ (\( a \cdot b = b \cdot a \)), får vi:
\[ \frac{a \cdot b}{100} = \frac{b \cdot a}{100} \]
Vi kan verifisere med eksemplene:
- \( 10\,\% \text{ av } 50 = \frac{10 \cdot 50}{100} = 5 \) og \( 50\,\% \text{ av } 10 = \frac{50 \cdot 10}{100} = 5 \) ✔
- \( 30\,\% \text{ av } 12 = \frac{30 \cdot 12}{100} = 3{,}6 \) og \( 12\,\% \text{ av } 30 = \frac{12 \cdot 30}{100} = 3{,}6 \) ✔
- \( 25\,\% \text{ av } 8 = \frac{25 \cdot 8}{100} = 2 \) og \( 8\,\% \text{ av } 25 = \frac{8 \cdot 25}{100} = 2 \) ✔
Svar: Oppgaveparene gir alltid samme svar fordi «\( a \) % av \( b \)» og «\( b \) % av \( a \)» begge er lik \( \frac{a \cdot b}{100} \). Siden multiplikasjon er kommutativ (\( a \cdot b = b \cdot a \)), blir resultatet det samme uansett rekkefølge.
Oppgave 4 (6 poeng)
Oppgave: En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag med seks personer på hvert lag.
Alderen til de seks personene på lag A: 15 60 24 18 45 78
a) Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for lag A.
b) Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med lag A ut fra opplysningene?
c) Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C.
Alderen til de seks personene på lag A: 15 60 24 18 45 78
a) Bestem medianalderen, gjennomsnittsalderen og standardavviket for lag A.
b) Hva kan du si om alderen til personene på lag B og lag C sammenliknet med lag A ut fra opplysningene?
c) Sett opp et eksempel som viser en mulig aldersfordeling for lag B og for lag C.
a) Statistiske mål for lag A
Vi sorterer aldrene i stigende rekkefølge:
\[ 15, \; 18, \; 24, \; 45, \; 60, \; 78 \]
Gjennomsnittsalder:
\[ \bar{x} = \frac{15 + 18 + 24 + 45 + 60 + 78}{6} = \frac{240}{6} = 40 \text{ år} \]
Medianalder:
Med 6 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:
\[ \text{Median} = \frac{24 + 45}{2} = \frac{69}{2} = 34{,}5 \text{ år} \]
Standardavvik:
Vi beregner avvikene fra gjennomsnittet:
| Alder \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) |
|---|---|---|
| 15 | \(-25\) | 625 |
| 18 | \(-22\) | 484 |
| 24 | \(-16\) | 256 |
| 45 | 5 | 25 |
| 60 | 20 | 400 |
| 78 | 38 | 1444 |
| Sum | 3234 |
\[ \sigma = \sqrt{\frac{3234}{6}} = \sqrt{539} \approx 23{,}2 \text{ år} \]
Svar: For lag A er gjennomsnittsalderen 40 år, medianalderen 34,5 år og standardavviket ca. 23,2 år.
b) Sammenligning av lagene
Lag B: Medianalderen og gjennomsnittsalderen er høyere enn for lag A, men standardavviket er mindre.
- Gjennomsnitt > 40 og median > 34,5 betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A.
- At standardavviket er mindre enn 23,2 betyr at aldrene på lag B er jevnere fordelt rundt gjennomsnittet. Personene på laget har mer lik alder.
Lag C: Medianalderen er lavere enn for lag A, gjennomsnittsalderen er høyere, og standardavviket er høyere.
- At medianen er lavere enn 34,5 betyr at de fleste personene er relativt unge.
- At gjennomsnittet likevel er høyere enn 40 betyr at det finnes noen svært gamle personer som trekker gjennomsnittet opp.
- At standardavviket er høyere enn 23,2 betyr at spredningen i alder er stor. Det er stor forskjell mellom de yngste og de eldste på laget.
Svar: Lag B har generelt eldre, men mer jevnaldrende personer. Lag C har en blanding med mange unge og noen svært gamle personer, noe som gir stor spredning.
c) Mulige aldersfordelinger
Lag B: For eksempel: 35, 38, 40, 42, 45, 50
Vi kontrollerer:
\[ \text{Gjennomsnitt} = \frac{35 + 38 + 40 + 42 + 45 + 50}{6} = \frac{250}{6} \approx 41{,}7 > 40 \quad \checkmark \]
\[ \text{Median} = \frac{40 + 42}{2} = 41 > 34{,}5 \quad \checkmark \]
Standardavvik:
| Alder | \( (x_i - 41{,}7)^2 \) |
|---|---|
| 35 | 44,4 |
| 38 | 13,4 |
| 40 | 2,8 |
| 42 | 0,1 |
| 45 | 11,1 |
| 50 | 69,4 |
| Sum | 141,2 |
\[ \sigma = \sqrt{\frac{141{,}2}{6}} = \sqrt{23{,}5} \approx 4{,}9 < 23{,}2 \quad \checkmark \]
Lag C: For eksempel: 10, 15, 20, 25, 80, 95
Vi kontrollerer:
\[ \text{Gjennomsnitt} = \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 80 + 95}{6} = \frac{245}{6} \approx 40{,}8 > 40 \quad \checkmark \]
\[ \text{Median} = \frac{20 + 25}{2} = 22{,}5 < 34{,}5 \quad \checkmark \]
Standardavvik:
| Alder | \( (x_i - 40{,}8)^2 \) |
|---|---|
| 10 | 949,0 |
| 15 | 666,6 |
| 20 | 432,6 |
| 25 | 250,6 |
| 80 | 1536,6 |
| 95 | 2937,6 |
| Sum | 6773,2 |
\[ \sigma = \sqrt{\frac{6773{,}2}{6}} = \sqrt{1128{,}9} \approx 33{,}6 > 23{,}2 \quad \checkmark \]
Svar: En mulig aldersfordeling for lag B er: 35, 38, 40, 42, 45, 50 (gjennomsnitt 41,7 / median 41 / standardavvik 4,9). En mulig aldersfordeling for lag C er: 10, 15, 20, 25, 80, 95 (gjennomsnitt 40,8 / median 22,5 / standardavvik 33,6).
Oppgave 5 (3 poeng)
Oppgave: Tobine har en fast arbeidstid på 162,5 timer hver måned og en fast månedslønn på 35 750 kroner.
Ved overtid får hun et tillegg på 40 %. Tobine har et pensjonstrekk på 2 % og et skattetrekk på 18 %.
En måned arbeidet hun 10 timer overtid.
Bestem nettoinntekten til Tobine denne måneden.
Bestem nettoinntekten til Tobine denne måneden.
Steg 1: Finn timelønnen
\[ \text{Timelønn} = \frac{35\,750}{162{,}5} = 220 \text{ kr/time} \]
Steg 2: Beregn overtidsbetaling
Ved overtid får Tobine et tillegg på 40 %, altså en overtidssats på:
\[ \text{Overtidssats} = 220 \cdot 1{,}40 = 308 \text{ kr/time} \]
\[ \text{Overtidsbetaling} = 10 \cdot 308 = 3\,080 \text{ kr} \]
Steg 3: Beregn bruttoinntekt
\[ \text{Bruttoinntekt} = 35\,750 + 3\,080 = 38\,830 \text{ kr} \]
Steg 4: Beregn pensjonstrekk
Pensjonstrekk beregnes av bruttoinntekten:
\[ \text{Pensjonstrekk} = 38\,830 \cdot 0{,}02 = 776{,}60 \text{ kr} \]
Steg 5: Beregn skattetrekk
Skattetrekk beregnes av bruttoinntekten etter at pensjonstrekket er trukket fra (slik det er i norsk lønnspraksis):
\[ \text{Skattegrunnlag} = 38\,830 - 776{,}60 = 38\,053{,}40 \text{ kr} \]
\[ \text{Skattetrekk} = 38\,053{,}40 \cdot 0{,}18 = 6\,849{,}61 \text{ kr} \]
Steg 6: Beregn nettoinntekt
\[ \text{Nettoinntekt} = 38\,830 - 776{,}60 - 6\,849{,}61 = 31\,203{,}79 \text{ kr} \]
Avrundet:
\[ \text{Nettoinntekt} \approx 31\,204 \text{ kr} \]
Svar: Nettoinntekten til Tobine denne måneden er omtrent 31 204 kroner.
Oppgave 6 (4 poeng)
Oppgave: Tabellen viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010.
Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger for en presentasjon.
| Menn | Kvinner | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| År | 1970 | 1990 | 2010 | 1970 | 1990 | 2010 |
| Inntektsgivende arbeid | 5,48 | 4,50 | 4,17 | 1,93 | 2,80 | 3,02 |
| Husholdsarbeid | 2,22 | 2,60 | 3,00 | 5,92 | 4,37 | 3,83 |
| Utdanning | 0,38 | 0,48 | 0,45 | 0,28 | 0,55 | 0,47 |
Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger for en presentasjon.
1) Total arbeidstid (inntektsgivende arbeid + husholdsarbeid)
| 1970 | 1990 | 2010 | |
|---|---|---|---|
| Menn | \( 5{,}48 + 2{,}22 = 7{,}70 \) t | \( 4{,}50 + 2{,}60 = 7{,}10 \) t | \( 4{,}17 + 3{,}00 = 7{,}17 \) t |
| Kvinner | \( 1{,}93 + 5{,}92 = 7{,}85 \) t | \( 2{,}80 + 4{,}37 = 7{,}17 \) t | \( 3{,}02 + 3{,}83 = 6{,}85 \) t |
Kommentar: I 1970 jobbet kvinner totalt litt mer enn menn (7,85 t mot 7,70 t). I 2010 er det omvendt (menn 7,17 t mot kvinner 6,85 t). Samlet arbeidstid har gått noe ned for begge kjønn.
2) Endring i inntektsgivende arbeid 1970–2010
| Endring (timer) | Prosentvis endring | |
|---|---|---|
| Menn | \( 4{,}17 - 5{,}48 = -1{,}31 \) t | \( \frac{-1{,}31}{5{,}48} \cdot 100 \approx -23{,}9\,\% \) |
| Kvinner | \( 3{,}02 - 1{,}93 = +1{,}09 \) t | \( \frac{1{,}09}{1{,}93} \cdot 100 \approx +56{,}5\,\% \) |
Kommentar: Menn brukte ca. 24 % mindre tid på inntektsgivende arbeid i 2010 enn i 1970, mens kvinner brukte ca. 57 % mer tid. Kjønnsforskjellen har blitt betydelig mindre.
3) Endring i husholdsarbeid 1970–2010
| Endring (timer) | Prosentvis endring | |
|---|---|---|
| Menn | \( 3{,}00 - 2{,}22 = +0{,}78 \) t | \( \frac{0{,}78}{2{,}22} \cdot 100 \approx +35{,}1\,\% \) |
| Kvinner | \( 3{,}83 - 5{,}92 = -2{,}09 \) t | \( \frac{-2{,}09}{5{,}92} \cdot 100 \approx -35{,}3\,\% \) |
Kommentar: Menn gjør ca. 35 % mer husholdsarbeid i 2010 enn i 1970, mens kvinner gjør ca. 35 % mindre. Fordelingen av husholdsarbeid har blitt mye jevnere mellom kjønnene.
4) Forskjell mellom kjønnene i inntektsgivende arbeid
| År | Menn | Kvinner | Forskjell |
|---|---|---|---|
| 1970 | 5,48 t | 1,93 t | 3,55 t |
| 1990 | 4,50 t | 2,80 t | 1,70 t |
| 2010 | 4,17 t | 3,02 t | 1,15 t |
Kommentar: Forskjellen mellom menn og kvinner i inntektsgivende arbeid har krympet fra 3,55 timer i 1970 til 1,15 timer i 2010. Utviklingen viser en klar trend mot mer likestilling i arbeidslivet.
5) Utdanning
Både menn og kvinner brukte mer tid på utdanning i 1990 og 2010 sammenlignet med 1970. Kvinner hadde den største økningen: fra 0,28 timer i 1970 til 0,47 timer i 2010, en økning på ca. 68 %. For menn var økningen fra 0,38 til 0,45 timer, ca. 18 %.
Hovedfunn: Datamaterialet viser en tydelig utvikling mot mer likestilling i perioden 1970–2010. Menn gjør mer husholdsarbeid og mindre inntektsgivende arbeid, mens kvinner gjør mer inntektsgivende arbeid og mindre husholdsarbeid. Begge kjønn bruker mer tid på utdanning. Den totale arbeidsbyrden (inntektsgivende + husholdsarbeid) har blitt noe jevnere.
Oppgave 7 (3 poeng)
Oppgave: Julia har tatt opp et forbrukslån som skal betales ned i løpet av 12 måneder. Bruk betalingsplanen til å avgjøre om lånet er et serielån eller et annuitetslån, hvor mye penger Julia har lånt, og hvor mange prosent Julia betaler i månedlig rente.
| Måned | Terminbeløp | Renter | Avdrag | Restlån |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 962,00 | 1 275,00 | 5 687,00 | 69 313,00 |
| 2 | 6 962,00 | 1 178,32 | 5 783,68 | 63 529,32 |
| 3 | 6 962,00 | 1 080,00 | 5 882,00 | 57 647,32 |
| 4 | 6 962,00 | 980,00 | 5 982,00 | 51 665,32 |
| 5 | 6 962,00 | 878,31 | 6 083,69 | 45 581,63 |
| 6 | 6 962,00 | 774,89 | 6 187,11 | 39 394,52 |
| 7 | 6 962,00 | 669,71 | 6 292,29 | 33 102,23 |
| 8 | 6 962,00 | 562,74 | 6 399,26 | 26 702,97 |
| 9 | 6 962,00 | 453,95 | 6 508,05 | 20 194,92 |
| 10 | 6 962,00 | 343,31 | 6 618,69 | 13 576,23 |
| 11 | 6 962,00 | 230,80 | 6 731,20 | 6 845,03 |
| 12 | 6 961,39 | 116,37 | 6 845,03 | – |
1) Serielån eller annuitetslån?
Vi ser at terminbeløpet er (tilnærmet) konstant på 6 962 kr gjennom hele perioden. Ved et serielån er avdragene konstante og terminbeløpet synker, mens ved et annuitetslån er terminbeløpet konstant.
Svar: Lånet er et annuitetslån, fordi terminbeløpet er (tilnærmet) det samme hver måned.
Vanlig feil: Noen elever forveksler annuitetslån med serielån. Ved annuitetslån er terminbeløpet konstant (avdrag + renter er alltid det samme). Ved serielån er avdragene konstante, men terminbeløpet synker. En enkel huskeregel: ser du et fast beløp i «Terminbeløp»-kolønnen, er det annuitetslån.
2) Hvor mye har Julia lånt?
Etter måned 1 er restlånet 69 313 kr, og avdraget i måned 1 var 5 687 kr. Lånebeløpet er altså:
\[ \text{Lånebeløp} = \text{Restlån etter måned 1} + \text{Avdrag i måned 1} = 69\,313 + 5\,687 = 75\,000 \text{ kr} \]
Svar: Julia har lånt 75 000 kroner.
3) Månedlig rente
Rentene i måned 1 beregnes av hele lånebeløpet:
\[ \text{Rente (måned 1)} = \text{Lånebeløp} \cdot r \]
\[ 1\,275 = 75\,000 \cdot r \]
\[ r = \frac{1\,275}{75\,000} = 0{,}017 = 1{,}7\,\% \]
Kontroll med måned 2: Renter beregnes av restlånet etter måned 1:
\[ 69\,313 \cdot 0{,}017 = 1\,178{,}32 \text{ kr} \quad \checkmark \]
Svar: Julia betaler 1,7 % i månedlig rente.
Oppgave 8 (4 poeng)
Oppgave: En barneskole skal kjøpe lesehuler til de yngste elevene.
En lesehule har mål som vist på tegningen: bredde 1000 mm, dybde 1000 mm, rektangulær hoveddel med høyde 1047 mm, og en trekantformet topp med høyde 480 mm. Inngangen er en regulær sekskant med side 398 mm.
a) Bestem volumet av rommet inne i lesehulen. Gi svaret i kubikkmeter.
b) Bestem arealet av den sekskantede inngangen. Gi svaret i kvadratmeter.
a) Bestem volumet av rommet inne i lesehulen. Gi svaret i kubikkmeter.
b) Bestem arealet av den sekskantede inngangen. Gi svaret i kvadratmeter.
a) Volumet av rommet inne i lesehulen
Tverrsnittet av lesehulen (sett fra siden) består av et rektangel med en trekant på toppen:
Rektangel:
\[ A_{\text{rektangel}} = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 1000 \cdot 1047 = 1\,047\,000 \text{ mm}^2 \]
Trekant (taket):
\[ A_{\text{trekant}} = \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høyde} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 480 = 240\,000 \text{ mm}^2 \]
Totalt tverrsnittsareal:
\[ A_{\text{total}} = 1\,047\,000 + 240\,000 = 1\,287\,000 \text{ mm}^2 \]
Volum: Tverrsnittsarealet multipliseres med dybden (1000 mm):
\[ V = 1\,287\,000 \cdot 1000 = 1\,287\,000\,000 \text{ mm}^3 \]
Vi regner om til kubikkmeter (\( 1 \text{ m}^3 = 10^9 \text{ mm}^3 \)):
\[ V = \frac{1\,287\,000\,000}{1\,000\,000\,000} = 1{,}287 \text{ m}^3 \]
Svar: Volumet av rommet inne i lesehulen er \( 1{,}287 \text{ m}^3 \approx 1{,}29 \text{ m}^3 \).
b) Arealet av den sekskantede inngangen
En regulær sekskant med side \( s \) kan deles inn i 6 likesidede trekanter.
Arealet av en likesidet trekant med side \( s \) er:
\[ A_{\text{trekant}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \]
Arealet av en regulær sekskant er dermed:
\[ A_{\text{sekskant}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2 \]
Med \( s = 398 \text{ mm} \):
\[ A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 398^2 = \frac{3 \cdot 1{,}7321}{2} \cdot 158\,404 \]
\[ A = 2{,}5981 \cdot 158\,404 \approx 411\,546 \text{ mm}^2 \]
Vi regner om til kvadratmeter (\( 1 \text{ m}^2 = 10^6 \text{ mm}^2 \)):
\[ A = \frac{411\,546}{1\,000\,000} \approx 0{,}412 \text{ m}^2 \]
Svar: Arealet av den sekskantede inngangen er ca. \( 0{,}41 \text{ m}^2 \).