Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2025

Eksamen MAT1021

Oppgave 1 (2 poeng)

Vertikal asymptote

Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er lik null:

Vi kontrollerer at telleren ikke også er null for \(x = -\frac{1}{2}\):

Siden telleren er ulik null, har vi en vertikal asymptote \(x = -\dfrac{1}{2}\).

Horisontal asymptote

Telleren og nevneren har begge grad 1. Den horisontale asymptoten er da forholdet mellom koeffisientene foran \(x\):

Vi kan også vise dette ved å utføre polynomdivisjon:

Når \(x \to \pm\infty\), går \(\dfrac{9}{2x+1} \to 0\), slik at \(f(x) \to 6\).

Oppgave 2 (2 poeng)

Steg 1: Faktoriser uttrykket

Vi finner nullpunktene til \(x^2 - 4x - 12 = 0\) ved hjelp av abc-formelen eller ved å faktorisere:

Dette gir:

Uttrykket kan dermed faktoriseres som:

Steg 2: Fortegnslinje

Vi setter opp en fortegnslinje for \((x - 6)(x + 2)\):

Uttrykket er negativt når \(-2 < x < 6\).

Oppgave 3 (1 poeng)

En andregradsfunksjon med nøyaktig ett nullpunkt har et dobbelt nullpunkt, det vil si at diskriminanten er null. Vi kan skrive funksjonen på formen:

der \(r\) er det doble nullpunktet.

Kravet er at \(f(0) = 9\):

Vi velger for eksempel \(a = 1\) og \(r = 3\):

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Løs likningen

Steg 1: Finn en løsning ved å prøve

Vi prøver \(x = 1\):

Dermed er \(x = 1\) en løsning, og \((x - 1)\) er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi utfører polynomdivisjon \(\left(x^3 - 7x^2 - 10x + 16\right) : (x - 1)\):

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

Vi løser \(x^2 - 6x - 16 = 0\):

Fullstendig faktorisering:

b) Hvilken graf passer?

Vi bruker informasjonen fra del a) og analyserer egenskapene til \(f\):

Nullpunkter: Fra del a) vet vi at nullpunktene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\). Grafen krysser \(x\)-aksen tre ganger.

Koeffisienten foran \(x^3\) er positiv (\(+1\)), så:

• Når \(x \to -\infty\), går \(f(x) \to -\infty\)
• Når \(x \to +\infty\), går \(f(x) \to +\infty\)

Skjæring med \(y\)-aksen:

Grafen skjærer \(y\)-aksen over \(x\)-aksen.

Fortegn mellom nullpunktene:

• For \(x < -2\): \(f(x) < 0\) (funksjonen kommer fra \(-\infty\))
• For \(-2 < x < 1\): \(f(x) > 0\) (bekreftet av \(f(0) = 16\))
• For \(1 < x < 8\): \(f(x) < 0\) (bekreftet av f.eks. \(f(2) = 8 - 28 - 20 + 16 = -24\))
• For \(x > 8\): \(f(x) > 0\)

Vi ser at de to første nullpunktene (\(-2\) og \(1\)) ligger tett, mens det tredje (\(8\)) ligger langt til høyre. Grafen har et lokalt maksimum mellom \(x = -2\) og \(x = 1\), og et lokalt minimum mellom \(x = 1\) og \(x = 8\). Det lokale minimumet ligger mye dypere enn det lokale maksimumet.

Oppgave 5 (6 poeng)

a) Vis at \(\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2}\)

Vi har en likesidet trekant med sidelengde 2. Alle vinklene er \(60°\). Høyden fra toppen deler trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter.

I den rettvinklede trekanten er:

• Hypotenusen \(= 2\) (siden i den likesidede trekanten)
• Den ene kateten \(= 1\) (halve grunnlinjen)
• Den andre kateten \(= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\) (høyden)
• Vinklene er \(30°\), \(60°\) og \(90°\)

Vinkelen ved toppen er \(30°\) (halvparten av \(60°\)), og vinkelen ved grunnlinjen er \(60°\).

Beregning av \(\sin 30°\):

Beregning av \(\cos 60°\):

(For \(60°\)-vinkelen ved grunnlinjen er hosliggende katet \(= 1\) og hypotenusen \(= 2\).)

b) Areal av trekant \(ABC\)

Vi bruker arealformelen med to sider og mellomliggende vinkel:

Vi setter inn verdiene:

c) Lengden av \(QR\)

Vi bruker cosinussetningen:

Vi setter inn verdiene:

Oppgave 6 (1 poeng)

Likningen \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er ikke en vanlig likning som har bestemte løsninger. Vi kan sjekke ved å utvide høyre side:

Vi ser at venstre side og høyre side er det samme uttrykket. Likningen \(x^2 - 4 = x^2 - 4\) er sann for alle verdier av \(x\).

Når CAS-verktøyet svarer \(x = x\), betyr det at likningen er sann uansett hva \(x\) er.

Oppgave 7 (2 poeng)

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:
    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)
    x = x + 1

print(verdi)

Analyse av programmet

Funksjonen er \(f(x) = x^2 + 2x - 15\). Programmet starter med \(x = -5\) og beregner \(f(-5)\). Deretter går det gjennom alle heltallsverdier av \(x\) fra \(-5\) til \(5\). For hver verdi sjekker det om \(f(x)\) er mindre enn den hittil minste verdien, og oppdaterer i så fall variabelen verdi.

Programmet finner altså den minste verdien av \(f(x)\) for heltall \(x\) fra \(-5\) til \(5\).

Gjennomgang av løkken

Vi beregner \(f(x)\) for aktuelle verdier:

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Vis at \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) er en god modell

Vi beregner modellverdiene for de oppgitte månedene og sammenligner med tabellverdiene:

Modellverdiene ligger i rimelig avstand fra de faktiske verdiene. Både tabellverdiene og modellen viser en eksponentiell vekst. Avvikene er moderate sammenlignet med de faktiske tallene, og modellen treffer spesielt godt for flere av datapunktene.

b) Stigningstall for den rette linjen gjennom \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\)

Vi beregner funksjonsverdiene:

Stigningstallet til den rette linjen er:

Praktisk tolkning:

Stigningstallet \(\approx 71{,}8\) betyr at i gjennomsnitt økte antall registrerte tilfeller av kikhoste med omtrent 72 tilfeller per måned i perioden fra april 2023 (\(x = 4\)) til september 2024 (\(x = 21\)).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• I CAS: K(x) := 27.8 * 1.2^x
• Skriv: K(4) → gir \(\approx 57{,}6\)
• Skriv: K(21) → gir \(\approx 1278{,}9\)
• Beregn stigningstallet: (K(21) - K(4)) / (21 - 4) → gir \(\approx 71{,}8\)
• Skriv: K(29) → gir \(\approx 5499\) (for deloppgave c)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: K(x) = 27.8 * 1.2^x
• Tegn punktene: A = (4, K(4)) og B = (21, K(21))
• Tegn sekantlinjen gjennom A og B
• Stigningstallet til sekanten er \(\approx 71{,}8\) tilfeller/måned

c) Antall tilfeller i mai 2025

Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).

Vi regner ut \(1{,}2^{29}\):

Oppgave 2 (2 poeng)

La \(x\) = antall små sekker og \(y\) = antall store sekker. Vi setter opp et likningssett:

Fra den første likningen: \(x = 80 - y\). Vi setter inn i den andre:

Da er \(x = 80 - 48 = 32\).

Kontroll:

Oppgave 3 (4 poeng)

a) Diameteren i sirkelen

Tolvkanten er delt i 12 likebeinte trekanter med toppunktet i sentrum av sirkelen. Vinkelen ved sentrum i hver trekant er \(\dfrac{360°}{12} = 30°\), og de to like sidene er lik radien \(r\).

Arealet av én trekant:

Samlet areal av tolvkanten:

b) Omkretsen av tolvkanten

Vi finner sidelengden \(s\) i tolvkanten ved å bruke cosinussetningen i en av de likebeinte trekantene:

Vi setter inn \(r^2 = 40\) og \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

Omkretsen er:

Oppgave 4 (5 poeng)

Analyse av mønsteret

Vi teller antall kvadrater i de første figurene:

• Figur 1: 5 kvadrater
• Figur 2: 13 kvadrater
• Figur 3: 25 kvadrater

Differansene mellom antallene er:

Differansen øker med 4 for hver figur (andregradsmønster). Vi kan utlede en formel:

Kontroll: \(a_1 = 2 + 2 + 1 = 5\), \(a_2 = 8 + 4 + 1 = 13\), \(a_3 = 18 + 6 + 1 = 25\)  \(\checkmark\)

a) Algoritme

1. Sett figurnummer \(n = 1\).
2. Beregn antall kvadrater: \(a = 2n^2 + 2n + 1\).
3. Skriv ut figurnummer og antall kvadrater.
4. Øk \(n\) med 1.
5. Gjenta steg 2–4 så lenge \(n \leq 20\).

b) Program (Python)

for n in range(1, 21):
    a = 2 * n ** 2 + 2 * n + 1
    print(f"Figur {n}: {a} kvadrater")

De første verdiene:

c) Program med 1 000 000 kvadrater

total = 1000000
n = 0
brukt = 0

while True:
    n = n + 1
    antall = 2 * n ** 2 + 2 * n + 1
    if brukt + antall > total:
        n = n - 1
        break
    brukt = brukt + antall

igjen = total - brukt

print(f"Antall figurer: {n}")
print(f"Kvadrater brukt: {brukt}")
print(f"Kvadrater igjen: {igjen}")

Vi kan også beregne dette analytisk. Summen av de \(n\) første figurene er:

Kjøring av programmet gir:

Antall figurer: 113
Kvadrater brukt: 987733
Kvadrater igjen: 12267

Oppgave 5 (6 poeng)

a) Fyll inn tabellen

Fra \(V = \pi r^2 h = 450\) får vi \(h = \dfrac{450}{\pi r^2}\).

Vi setter dette inn i overflateformelen:

For \(r = 4\):

For \(r = 6\):

For \(r = 8\):

b) Funksjonsuttrykk og grafisk fremstilling

Fra beregningene ovenfor har vi overflaten som funksjon av radius:

Denne funksjonen kan tegnes i et digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra). Grafen viser at overflaten er stor for små \(r\) (fordi \(\frac{900}{r}\) dominerer), synker til et minimum, og deretter øker igjen for store \(r\) (fordi \(\pi r^2\) dominerer).

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: O(x) = pi * x^2 + 900/x
• Grafen viser et tydelig minimumspunkt ved \(r \approx 5{,}2\)
• Minimumsverdien er \(O \approx 258\) cm\(^2\)

c) Optimal radius

Vi deriverer \(O(r)\) og setter lik null:

Vi kontrollerer at dette er et minimumspunkt ved å se på den andrederiverte:

Siden \(O''(r) > 0\), er dette et minimumspunkt.

Overflaten ved \(r = \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• I CAS: O(r) := pi * r^2 + 900 / r
• Skriv: O'(r) → gir \(2\pi r - \frac{900}{r^2}\)
• Skriv: Løs(O'(r) = 0, r) → gir \(r = \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}} \approx 5{,}23\)
• Sjekk: O(5.23) → gir \(\approx 258\)

Oppgave 6 (4 poeng)

Analyse av grafen til \(f\)

Fra grafene leser vi av følgende egenskaper for \(f\):

• To vertikale asymptoter: Det ser ut til å være vertikale asymptoter ved \(x = -2\) og \(x = 1\) (basert på de stiplete linjene).
• Horisontal asymptote: \(y = 0\) (grafen nærmer seg \(x\)-aksen for store \(|x|\)).
• Nullpunkt: Grafen krysser \(x\)-aksen i ett punkt.

Siden \(f\) har to vertikale asymptoter, må nevneren ha to reelle nullpunkter. Vi velger nevneren \((x + 2)(x - 1)\). Siden den horisontale asymptoten er \(y = 0\), må telleren ha lavere grad enn nevneren. Vi prøver en lineær teller.

Et mulig funksjonsuttrykk:

Kontroll:

• Vertikale asymptoter der nevneren er null: \(x = -2\) og \(x = 1\)  \(\checkmark\)
• Horisontal asymptote: Teller har grad 1, nevner har grad 2, så \(y = 0\)  \(\checkmark\)
• Nullpunkt: \(f(x) = 0\) når \(x = 0\)  \(\checkmark\)
• Skjæring med \(y\)-aksen: \(f(0) = 0\)  \(\checkmark\)

Analyse av grafen til \(g\)

Fra grafene leser vi av følgende egenskaper for \(g\):

• Ingen vertikale asymptoter: Nevneren har ingen reelle nullpunkter.
• Horisontal asymptote: Grafen nærmer seg en horisontal linje (ser ut som \(y = 0\) eller en liten negativ verdi).
• Ett nullpunkt: Grafen krysser \(x\)-aksen i ett punkt.

Siden \(g\) ikke har noen vertikale asymptoter, har nevneren ingen reelle nullpunkter. Vi bruker et andregradsuttrykk med negativ diskriminant, for eksempel \(x^2 + 1\).

Et mulig funksjonsuttrykk:

Kontroll:

• Ingen vertikale asymptoter: \(x^2 + 1 > 0\) for alle \(x\)  \(\checkmark\)
• Horisontal asymptote: Teller har grad 1, nevner har grad 2, så \(y = 0\)  \(\checkmark\)
• Nullpunkt: \(g(0) = 0\)  \(\checkmark\)
• Grafen er definert for alle \(x\) og har en «bølgeform» som passer med figuren  \(\checkmark\)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: f(x) = x / ((x+2)*(x-1))
• Skriv inn: g(x) = x / (x^2 + 1)
• Blå kurve: \(f\) med vertikale asymptoter ved \(x = -2\) og \(x = 1\)
• Rød kurve: \(g\) uten vertikale asymptoter, glatt kurve