Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2025

Eksamen MAT1021

Oppgave 1 (2 poeng)

Vertikal asymptote

Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er lik null:

Vi kontrollerer at telleren ikke også er null for \(x = -\frac{1}{2}\):

Siden telleren er ulik null, har vi en vertikal asymptote \(x = -\dfrac{1}{2}\).

Horisontal asymptote

Telleren og nevneren har begge grad 1. Den horisontale asymptoten er da forholdet mellom koeffisientene foran \(x\):

Vi kan også vise dette ved å utføre polynomdivisjon:

Når \(x \to \pm\infty\), går \(\dfrac{9}{2x+1} \to 0\), slik at \(f(x) \to 6\).

Oppgave 2 (2 poeng)

Steg 1: Faktoriser uttrykket

Vi finner nullpunktene til \(x^2 - 4x - 12 = 0\) ved hjelp av abc-formelen eller ved å faktorisere:

Dette gir:

Uttrykket kan dermed faktoriseres som:

Steg 2: Fortegnslinje

Vi setter opp en fortegnslinje for \((x - 6)(x + 2)\):

Uttrykket er negativt når \(-2 < x < 6\).

Oppgave 3 (1 poeng)

En andregradsfunksjon med nøyaktig ett nullpunkt har et dobbelt nullpunkt, det vil si at diskriminanten er null. Vi kan skrive funksjonen på formen:

der \(r\) er det doble nullpunktet.

Kravet er at \(f(0) = 9\):

Vi velger for eksempel \(a = 1\) og \(r = 3\):

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Løs likningen

Steg 1: Finn en løsning ved å prøve

Vi prøver \(x = 1\):

Dermed er \(x = 1\) en løsning, og \((x - 1)\) er en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi utfører polynomdivisjon \(\left(x^3 - 7x^2 - 10x + 16\right) : (x - 1)\):

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

Vi løser \(x^2 - 6x - 16 = 0\):

Fullstendig faktorisering:

b) Hvilken graf passer?

Oppgave: Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16\). Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)? Husk å begrunne svaret.

Vi bruker informasjonen fra del a) og analyserer egenskapene til \(f\):

Nullpunkter: Fra del a) vet vi at nullpunktene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 8\). Grafen krysser \(x\)-aksen tre ganger.

Koeffisienten foran \(x^3\) er positiv (\(+1\)), så:

• Når \(x \to -\infty\), går \(f(x) \to -\infty\)
• Når \(x \to +\infty\), går \(f(x) \to +\infty\)

Skjæring med \(y\)-aksen:

Grafen skjærer \(y\)-aksen over \(x\)-aksen.

Fortegn mellom nullpunktene:

• For \(x < -2\): \(f(x) < 0\) (funksjonen kommer fra \(-\infty\))
• For \(-2 < x < 1\): \(f(x) > 0\) (bekreftet av \(f(0) = 16\))
• For \(1 < x < 8\): \(f(x) < 0\) (bekreftet av f.eks. \(f(2) = 8 - 28 - 20 + 16 = -24\))
• For \(x > 8\): \(f(x) > 0\)

Vi ser at de to første nullpunktene (\(-2\) og \(1\)) ligger tett, mens det tredje (\(8\)) ligger langt til høyre. Grafen har et lokalt maksimum mellom \(x = -2\) og \(x = 1\), og et lokalt minimum mellom \(x = 1\) og \(x = 8\). Det lokale minimumet ligger mye dypere enn det lokale maksimumet.

Oppgave 5 (6 poeng)

a) Vis at \(\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2}\)

Oppgave: Bruk den likesidede trekanten nedenfor til å vise at \(\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}\).

Vi har en likesidet trekant med sidelengde 2. Alle vinklene er \(60°\). Høyden fra toppen deler trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter.

I den rettvinklede trekanten er:

• Hypotenusen \(= 2\) (siden i den likesidede trekanten)
• Den ene kateten \(= 1\) (halve grunnlinjen)
• Den andre kateten \(= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\) (høyden)
• Vinklene er \(30°\), \(60°\) og \(90°\)

Vinkelen ved toppen er \(30°\) (halvparten av \(60°\)), og vinkelen ved grunnlinjen er \(60°\).

Beregning av \(\sin 30°\):

Beregning av \(\cos 60°\):

(For \(60°\)-vinkelen ved grunnlinjen er hosliggende katet \(= 1\) og hypotenusen \(= 2\).)

b) Areal av trekant \(ABC\)

Vi bruker arealformelen med to sider og mellomliggende vinkel:

Vi setter inn verdiene:

c) Lengden av \(QR\)

Vi bruker cosinussetningen:

Vi setter inn verdiene:

Oppgave 6 (1 poeng)

Likningen \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) er ikke en vanlig likning som har bestemte løsninger. Vi kan sjekke ved å utvide høyre side:

Vi ser at venstre side og høyre side er det samme uttrykket. Likningen \(x^2 - 4 = x^2 - 4\) er sann for alle verdier av \(x\).

Når CAS-verktøyet svarer \(x = x\), betyr det at likningen er sann uansett hva \(x\) er.

Oppgave 7 (2 poeng)

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:
    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)
    x = x + 1

print(verdi)

Analyse av programmet

Funksjonen er \(f(x) = x^2 + 2x - 15\). Programmet starter med \(x = -5\) og beregner \(f(-5)\). Deretter går det gjennom alle heltallsverdier av \(x\) fra \(-5\) til \(5\). For hver verdi sjekker det om \(f(x)\) er mindre enn den hittil minste verdien, og oppdaterer i så fall variabelen verdi.

Programmet finner altså den minste verdien av \(f(x)\) for heltall \(x\) fra \(-5\) til \(5\).

Gjennomgang av løkken

Vi beregner \(f(x)\) for aktuelle verdier:

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Vis at \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) er en god modell

Vi beregner modellverdiene for de oppgitte månedene og sammenligner med tabellverdiene:

Modellverdiene ligger i rimelig avstand fra de faktiske verdiene. Både tabellverdiene og modellen viser en eksponentiell vekst. Avvikene er moderate sammenlignet med de faktiske tallene, og modellen treffer spesielt godt for flere av datapunktene.

b) Stigningstall for den rette linjen gjennom \((4, K(4))\) og \((21, K(21))\)

Vi beregner funksjonsverdiene:

Stigningstallet til den rette linjen er:

Praktisk tolkning:

Stigningstallet \(\approx 71{,}8\) betyr at i gjennomsnitt økte antall registrerte tilfeller av kikhoste med omtrent 72 tilfeller per måned i perioden fra april 2023 (\(x = 4\)) til september 2024 (\(x = 21\)).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• I CAS: K(x) := 27.8 * 1.2^x
• Skriv: K(4) → gir \(\approx 57{,}6\)
• Skriv: K(21) → gir \(\approx 1278{,}9\)
• Beregn stigningstallet: (K(21) - K(4)) / (21 - 4) → gir \(\approx 71{,}8\)
• Skriv: K(29) → gir \(\approx 5499\) (for deloppgave c)

📊 Slik ser grafen ut:

• Skriv inn: K(x) = 27.8 * 1.2^x
• Tegn punktene: A = (4, K(4)) og B = (21, K(21))
• Tegn sekantlinjen gjennom A og B
• Stigningstallet til sekanten er \(\approx 71{,}8\) tilfeller/måned

c) Antall tilfeller i mai 2025

Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).

Vi regner ut \(1{,}2^{29}\):

Oppgave 2 (2 poeng)

La \(x\) = antall små sekker og \(y\) = antall store sekker. Vi setter opp et likningssett:

Fra den første likningen: \(x = 80 - y\). Vi setter inn i den andre:

Da er \(x = 80 - 48 = 32\).

Kontroll:

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave: En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren nedenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

a) Bestem diameteren i sirkelen. Gi svaret eksakt.
b) Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.

a) Diameteren i sirkelen

Tolvkanten er delt i 12 likebeinte trekanter med toppunktet i sentrum av sirkelen. Vinkelen ved sentrum i hver trekant er \(\dfrac{360°}{12} = 30°\), og de to like sidene er lik radien \(r\).

Arealet av én trekant:

Samlet areal av tolvkanten:

b) Omkretsen av tolvkanten

Vi finner sidelengden \(s\) i tolvkanten ved å bruke cosinussetningen i en av de likebeinte trekantene:

Vi setter inn \(r^2 = 40\) og \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

Omkretsen er:

Oppgave 4 (5 poeng)

Oppgave: Figurene nedenfor er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.
a) Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen fra oppgave a) og lag programmet.
c) Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Lag et program som du kan bruke for å finne ut hvor mange figurer du kan lage, og hvor mange små kvadrater du har igjen når du har laget alle figurene.

Analyse av mønsteret

Vi teller antall kvadrater i de første figurene. Legg merke til at midten av figurene er hul — de hvite feltene skal ikke telles med:

• Figur 1: 4 kvadrater (kors med hull i midten)
• Figur 2: 9 kvadrater
• Figur 3: 16 kvadrater

Differansene mellom antallene er:

Differansen øker med 2 for hver figur, så uttrykket er av andre grad. Tallene 4, 9, 16 er kvadrattallene \(2^2, 3^2, 4^2\):

Hvorfor blir det slik? Figur \(n\) består av

• en blokk øverst på \(n \times n = n^2\) kvadrater,
• en trapp på \(n\) kvadrater ned mot venstre og en loddrett arm på \(n\) kvadrater til høyre, til sammen \(2n\),
• ett kvadrat nederst.

Kontroll: \(a_1 = 2^2 = 4\), \(a_2 = 3^2 = 9\), \(a_3 = 4^2 = 16\) \(\checkmark\)

a) Algoritme

1. Sett figurnummer \(n = 1\).
2. Beregn antall kvadrater: \(a = (n+1)^2\).
3. Skriv ut figurnummer og antall kvadrater.
4. Øk \(n\) med 1.
5. Gjenta steg 2–4 så lenge \(n \leq 20\).

b) Program (Python)

for n in range(1, 21):
    a = (n + 1) ** 2
    print(f"Figur {n}: {a} kvadrater")

De første verdiene:

c) Program med 1 000 000 kvadrater

total = 1000000
n = 0
brukt = 0

while True:
    n = n + 1
    antall = (n + 1) ** 2
    if brukt + antall > total:
        n = n - 1
        break
    brukt = brukt + antall

igjen = total - brukt

print(f"Antall figurer: {n}")
print(f"Kvadrater brukt: {brukt}")
print(f"Kvadrater igjen: {igjen}")

Kontroll i CAS: Sum((k+1)^2, k, 1, 142) → gir \(984\,983 \leq 1\,000\,000\), og Sum((k+1)^2, k, 1, 143) → gir \(1\,005\,719 > 1\,000\,000\). Altså rekker kvadratene til nøyaktig 142 figurer.

Kjøring av programmet gir:

Antall figurer: 142
Kvadrater brukt: 984983
Kvadrater igjen: 15017

Oppgave 5 (6 poeng)

a) Fyll inn tabellen

Fra \(V = \pi r^2 h = 450\) får vi \(h = \dfrac{450}{\pi r^2}\).

Vi setter dette inn i overflateformelen:

For \(r = 4\):

For \(r = 6\):

For \(r = 8\):

b) Funksjonsuttrykk og grafisk fremstilling

Fra beregningene ovenfor har vi overflaten som funksjon av radius:

Denne funksjonen kan tegnes i et digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra). Grafen viser at overflaten er stor for små \(r\) (fordi \(\frac{900}{r}\) dominerer), synker til et minimum, og deretter øker igjen for store \(r\) (fordi \(\pi r^2\) dominerer).

📊 Slik ser grafen ut:

• Skriv inn: O(x) = pi * x^2 + 900/x
• Grafen viser et tydelig minimumspunkt ved \(r \approx 5{,}2\)
• Minimumsverdien er \(O \approx 258\) cm\(^2\)

c) Optimal radius

Vi deriverer \(O(r)\) og setter lik null:

Fortegnet til \(O'\) på hver side av \(r \approx 5{,}23\):

\(O'\) skifter fra negativ til positiv, så \(r \approx 5{,}23\) gir et bunnpunkt.

Overflaten ved \(r = \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• I CAS: O(r) := pi * r^2 + 900 / r
• Skriv: O'(r) → gir \(2\pi r - \frac{900}{r^2}\)
• Skriv: Løs(O'(r) = 0, r) → gir \(r = \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}} \approx 5{,}23\)
• Sjekk: O(5.23) → gir \(\approx 258\)

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave: Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.

Grafen til f

Grafen til g

Noah: «Grafen til \(f\) har to vertikale asymptoter. Hvordan må nevneren i brøken da se ut?»

Johanne: «Jeg tror jeg vet det! Tenk på hvordan vi har funnet den vertikale asymptoten til de rasjonale funksjonene vi har arbeidet med tidligere.»

Noah: «Ja! Da skjønner jeg også hvordan nevneren til \(g\) kan se ut! Den grafen har jo ingen vertikale asymptoter!»

Johanne: «Vi må passe på at nullpunktet, skjæringspunktet med \(y\)-aksen og den horisontale asymptoten også blir riktig.»

Hjelp Noah og Johanne med å finne fram til et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\) for funksjonen \(f\) og et mulig funksjonsuttrykk \(g(x)\) for funksjonen \(g\). Husk å argumentere for dine valg av funksjonsuttrykk.

Analyse av grafen til \(f\)

Aksene i figuren har ingen tall. Det vi kan lese av, er derfor plasseringene i forhold til hverandre — og det er nok til å bestemme et uttrykk:

• To vertikale asymptoter: De stiplede loddrette linjene ligger like langt fra \(y\)-aksen på hver side, altså symmetrisk om \(y\)-aksen. Vi velger \(x = -2\) og \(x = 2\).
• Horisontal asymptote: \(y = 0\) — grafen nærmer seg \(x\)-aksen for store \(|x|\).
• Nullpunkt: Midtgrenen krysser \(x\)-aksen litt til høyre for \(y\)-aksen, omtrent halvveis ut mot den høyre asymptoten. Vi velger \(x = 1\).
• Skjæring med \(y\)-aksen: I \(x = 0\) ligger grafen over \(x\)-aksen, så \(f(0) > 0\).
• Grenene: Venstre ytre gren ligger under \(x\)-aksen, midtgrenen faller fra \(+\infty\) til \(-\infty\), og høyre ytre gren ligger over \(x\)-aksen.

Siden \(f\) har to vertikale asymptoter, må nevneren ha to reelle nullpunkter — og siden asymptotene ligger symmetrisk om \(y\)-aksen, velger vi nevneren \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4\). Den horisontale asymptoten \(y = 0\) krever at telleren har lavere grad enn nevneren, så vi prøver en lineær teller. Nullpunktet \(x = 1\) gir telleren \(x - 1\).

Et mulig funksjonsuttrykk:

Kontroll:

• Vertikale asymptoter der nevneren er null og telleren ikke er det: \(x = -2\) og \(x = 2\) — symmetrisk om \(y\)-aksen, som i figuren  \(\checkmark\)
• Horisontal asymptote: teller har grad 1, nevner grad 2, så \(y = 0\)  \(\checkmark\)
• Nullpunkt: \(f(x) = 0\) når \(x = 1\), altså til høyre for \(y\)-aksen  \(\checkmark\)
• Skjæring med \(y\)-aksen: \(f(0) = \dfrac{-1}{-4} = \dfrac{1}{4} > 0\)  \(\checkmark\)
• Grenene: like til venstre for \(x = -2\) er \(f(x)\) stor og negativ, like til høyre stor og positiv; like til venstre for \(x = 2\) er \(f(x)\) stor og negativ, like til høyre stor og positiv. Det gir nøyaktig grenmønsteret i figuren  \(\checkmark\)

Analyse av grafen til \(g\)

Fra figuren leser vi av:

• Ingen vertikale asymptoter: Nevneren har ingen reelle nullpunkter.
• Horisontal asymptote: \(y = 0\) — grafen flater ut mot \(x\)-aksen begge veier.
• Nullpunkt: Grafen krysser \(x\)-aksen like til venstre for \(y\)-aksen.
• Skjæring med \(y\)-aksen: \(g(0) > 0\) — grafen har allerede krysset \(x\)-aksen når den passerer \(y\)-aksen.
• Form: Et grunt bunnpunkt til venstre og et klart høyere toppunkt til høyre. Toppen er omtrent \(2{,}5\) ganger så høy som bunnen er dyp, og de to ekstremalpunktene ligger omtrent like langt fra nullpunktet.

Siden \(g\) ikke har noen vertikale asymptoter, må nevneren være uten reelle nullpunkter. Vi bruker \(x^2 + 1\), som er positiv for alle \(x\) (diskriminanten er \(-4\)). Den horisontale asymptoten \(y = 0\) gir igjen lineær teller, og nullpunktet like til venstre for origo gir telleren \(2x + 1\), som er null i \(x = -\tfrac{1}{2}\).

Et mulig funksjonsuttrykk:

Kontroll:

• Ingen vertikale asymptoter: \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) for alle \(x\)  \(\checkmark\)
• Horisontal asymptote: teller har grad 1, nevner grad 2, så \(y = 0\)  \(\checkmark\)
• Nullpunkt: \(2x + 1 = 0\) gir \(x = -\tfrac{1}{2}\), altså like til venstre for \(y\)-aksen  \(\checkmark\)
• Skjæring med \(y\)-aksen: \(g(0) = 1 > 0\)  \(\checkmark\)
• Form: Løs(g'(x) = 0, x) i CAS gir \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt5}{2}\), altså bunnpunkt \((-1{,}618 \; ; -0{,}618)\) og toppunkt \((0{,}618 \; ; 1{,}618)\): toppen er \(1{,}618/0{,}618 \approx 2{,}6\) ganger så høy som bunnen er dyp, og begge ligger \(1{,}118\) fra nullpunktet \(x = -\tfrac{1}{2}\)  \(\checkmark\)

Merk: Oppgaven ber om et mulig uttrykk, ikke om det uttrykket. Alle valg som gir de samme trekkene duger — for eksempel er \(\dfrac{k(x-1)}{x^2-4}\) like god for enhver \(k > 0\). Det som må stemme, er antall og plassering av asymptotene, hvor nullpunktet ligger, og fortegnet til \(f(0)\) og \(g(0)\).

📊 Slik ser grafen ut:

• Skriv inn: f(x) = (x - 1) / (x^2 - 4)
• Skriv inn: g(x) = (2*x + 1) / (x^2 + 1)
• Blå kurve: \(f\) med vertikale asymptoter ved \(x = -2\) og \(x = 2\)
• Rød kurve: \(g\) uten vertikale asymptoter, glatt kurve med nullpunkt \(x = -\tfrac{1}{2}\)