Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Grafen viser temperaturen ved Lindesnes fyr \(x\) timer etter midnatt et døgn i januar.
a) Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((4,\ 4{,}7)\) og \((14,\ 7{,}3)\).
b) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
Løsning a)
Stigningstallet til en rett linje gjennom to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\) er:
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Vi setter inn punktene \((4,\ 4{,}7)\) og \((14,\ 7{,}3)\):
Siden \(x\) måles i timer og temperaturen i grader celsius, betyr stigningstallet at temperaturen i gjennomsnitt øker med \(0{,}26\ °\text{C}\) per time i tidsrommet fra 4 timer til 14 timer etter midnatt.
Konklusjon: Temperaturen stiger gjennomsnittlig med \(0{,}26\ °\text{C}\) per time i dette tidsrommet.
Vanlig feil: Mange bytter om teller og nevner, eller glemmer fortegnet på differansene. Skriv alltid \((y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\) og hold rekkefølgen lik i teller og nevner. I tolkningen er det viktig å ta med enheten (°C per time) og at det er en gjennomsnittlig endring — den faktiske grafen er ikke en rett linje.
Oppgave 2
Oppgave: Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at
\(AC\) er den lengste siden
\(AB = 4\)
\(\tan \angle A = 1\)
Bestem \(BC\).
Løsning
Siden \(AC\) er den lengste siden, er \(AC\) hypotenusen, og den rette vinkelen ligger i \(B\) (motsatt den lengste siden).
I den rettvinklede trekanten med rett vinkel i \(B\) er, sett fra vinkel \(A\):
motstående katet til \(\angle A\): \(BC\)
hosliggende katet til \(\angle A\): \(AB = 4\)
Vi bruker definisjonen av tangens:
\[\tan \angle A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{BC}{AB}\]
Vi setter inn \(\tan \angle A = 1\) og \(AB = 4\):
\[1 = \frac{BC}{4} \implies BC = 4\]
Konklusjon: \(BC = 4\)
Vanlig feil: Mange identifiserer feil side som hypotenus. Husk at hypotenusen alltid er den lengste siden og ligger motsatt den rette vinkelen. Her er \(AC\) lengst, så den rette vinkelen er i \(B\), ikke i \(C\). En annen feil er å forveksle motstående og hosliggende katet i tangensdefinisjonen.
Oppgave 3
Oppgave: Vis to ulike strategier du kan bruke for å løse ulikheten
\[x^2 - 4 < 2x - 1\]
Løsning
Vi flytter alt over på venstre side:
\[x^2 - 4 - 2x + 1 < 0\]
\[x^2 - 2x - 3 < 0\]
Strategi 1 – Fortegnslinje (algebraisk):
Vi finner nullpunktene til \(x^2 - 2x - 3\) ved faktorisering:
Vi lager en fortegnslinje for \((x-3)(x+1)\). Parabelen åpner oppover (positiv \(x^2\)-koeffisient), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene:
Uttrykket er negativt for \(-1 < x < 3\).
Strategi 2 – Grafisk:
Vi tegner de to grafene \(y = x^2 - 4\) (parabel) og \(y = 2x - 1\) (rett linje) i samme koordinatsystem. Ulikheten \(x^2 - 4 < 2x - 1\) er oppfylt der parabelen ligger under linjen. Skjæringspunktene finnes der \(x^2 - 4 = 2x - 1\), altså \(x = -1\) og \(x = 3\), og parabelen ligger under linjen mellom disse.
Konklusjon: Begge strategiene gir løsningen \(-1 < x < 3\).
Vanlig feil: Mange glemmer å samle alt på én side før de faktoriserer, og en del snur ulikheten feil vei. Når \(x^2\)-koeffisienten er positiv, er uttrykket negativt mellom nullpunktene. Husk at oppgaven ber om to ulike strategier — det holder ikke å skrive samme metode to ganger.
Oppgave 4
Oppgave: Løs likningen
\[x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0\]
Løsning
Vi faktoriserer ved gruppering. Vi grupperer de to første og de to siste leddene:
\[x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - 1(x - 3)\]
Nå er \((x - 3)\) en felles faktor:
\[= (x - 3)(x^2 - 1)\]
Vi faktoriserer \(x^2 - 1\) med konjugatsetningen:
\[= (x - 3)(x - 1)(x + 1)\]
Produktet er null når én av faktorene er null:
\[x = 3 \quad \text{eller} \quad x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -1\]
Konklusjon: Likningen har løsningene \(x = -1\), \(x = 1\) og \(x = 3\).
Vanlig feil: Faktorisering ved gruppering forutsetter at man trekker ut riktig tegn. Pass på at \(-x + 3 = -1\cdot(x - 3)\), ikke \(+1\cdot(x-3)\). Et alternativ er å gjette en rot (her \(x=3\)) og utføre polynomdivisjon, men grupperingen er raskere her.
Oppgave 5
Oppgave: Malin arbeider med andregradslikninger og har begynt med å skrive programkoden nedenfor. I linje 8, 10 og 12 vil hun legge inn kode som gjør at hun får skrevet ut passende tekster.
1 a = 1
2 b = 2
3 c = 1
4
5 d = b ** 2 - 4 * a * c
6
7 if d < 0:
8
9 elif d == 0:
10
11 else:
12
a) Hva bør hun skrive i hver av linjene 8, 10 og 12?
b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
Løsning a)
Variabelen d er diskriminanten \(d = b^2 - 4ac\) til andregradslikningen \(ax^2 + bx + c = 0\). Antall reelle løsninger bestemmes av fortegnet til \(d\):
\(d < 0\): ingen reelle løsninger
\(d = 0\): én (dobbel) løsning
\(d > 0\): to løsninger
Et passende forslag til de tre linjene:
7 if d < 0:
8 print("Likningen har ingen reelle løsninger.")
9 elif d == 0:
10 print("Likningen har én løsning.")
11 else:
12 print("Likningen har to løsninger.")
Siden \(d = 0\), er betingelsen d < 0 usann, mens elif d == 0 er sann. Programmet skriver derfor ut:
Likningen har én løsning.
Dette stemmer: \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0\) har den doble løsningen \(x = -1\).
Konklusjon: Programmet skriver ut «Likningen har én løsning», fordi diskriminanten er \(d = 0\).
Vanlig feil: Husk innrykk i Python — innholdet under if/elif/else må rykkes inn. En annen feil er å forveksle tilordning = med sammenligning == i betingelsene. Beskriv gjerne også hvilke verdier diskriminanten gir i hver gren.
Oppgave 6
Oppgave: Figuren viser en likesidet trekant med alle sider lik \(a\). Vis hvordan du kan bruke trekanten ovenfor til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 30°\).
Løsning
Vi trekker høyden fra toppvinkelen ned på grunnlinjen. I en likesidet trekant deler høyden trekanten i to like rettvinklede trekanter, og toppvinkelen på \(60°\) deles i to vinkler på \(30°\).
I den høyre rettvinklede trekanten er:
vinkelen ved toppen \(30°\)
motstående katet til \(30°\) er halve grunnlinjen, \(\dfrac{a}{2}\)
hypotenusen er siden i den likesidede trekanten, \(a\)
Vanlig feil: Noen bruker motstående katet feil, eller forveksler hvilken vinkel som er \(30°\). Det er den halverte toppvinkelen som er \(30°\), og den ligger overfor den halverte grunnlinjen \(a/2\). Legg merke til at \(a\) forsvinner — verdien er eksakt og uavhengig av størrelsen på trekanten.
Oppgave 7
Oppgave: Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon \(f\).
a) Begrunn ut fra grafen at \(f(x) = x^2 + 4x + 3\).
Vi forskyver grafen til \(f\) slik at bunnpunktet blir \((-4, 1)\). Vi får da grafen til en ny andregradsfunksjon \(g\).
b) Bestem funksjonsuttrykket \(g(x)\).
Løsning a)
Vi leser av grafen at parabelen åpner oppover (positiv \(x^2\)-koeffisient) og skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\) og \(x = -1\). En andregradsfunksjon med disse nullpunktene og ledende koeffisient 1 er:
\[f(x) = (x + 3)(x + 1)\]
Vi multipliserer ut:
\[f(x) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3\]
Vi kontrollerer bunnpunktet og konstantleddet mot grafen:
Skjæring med \(y\)-aksen: \(f(0) = 3\) — stemmer med grafen.
Symmetrilinje midt mellom nullpunktene: \(x = -2\), og \(f(-2) = 4 - 8 + 3 = -1\), altså bunnpunkt \((-2, -1)\) — stemmer med grafen.
Vanlig feil: Mange roter med fortegnet i toppunktformen. Et bunnpunkt i \((-4, 1)\) gir \((x - (-4))^2 + 1 = (x + 4)^2 + 1\). En annen feil er å endre ledende koeffisient — forskyvning av en graf endrer ikke formen, så koeffisienten foran \(x^2\) er fortsatt 1.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Bestem \(r\), \(s\) og \(t\) slik at sammenhengen blir en identitet.
\[4x^2 + 16x + r = (sx + t)^2\]
Løsning
Vi kvadrerer høyre side med første kvadratsetning:
\[(sx + t)^2 = s^2x^2 + 2stx + t^2\]
For at dette skal være en identitet (lik for alle \(x\)), må koeffisientene for like potenser av \(x\) være like:
\[s^2 = 4, \qquad 2st = 16, \qquad t^2 = r\]
Fra \(s^2 = 4\) får vi \(s = 2\) (vi velger den positive verdien). Setter vi \(s = 2\) inn i \(2st = 16\):
\[2 \cdot 2 \cdot t = 16 \implies 4t = 16 \implies t = 4\]
Vanlig feil: Glem ikke det blandede leddet \(2st\). Velger man \(s = -2\), må også \(t = -4\) for at \(2st = 16\) skal stemme, og da blir \(r = 16\) likevel. Begge tegnvalg gir samme \(r\), men \(s\) og \(t\) må ha samme fortegn.
Oppgave 2
Oppgave: I et kvadrat er diagonalen én enhet lengre enn sidekanten. Bestem den eksakte lengden til sidekanten i kvadratet.
Løsning
La sidekanten være \(x\). I et kvadrat med side \(x\) er diagonalen \(d = x\sqrt{2}\) (Pytagoras: \(d^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\)).
Konklusjon: Sidekanten er \(x = \sqrt{2} + 1 \approx 2{,}41\).
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
Løs likningen: Løs(x·√2 = x + 1, x) → gir \(x = \sqrt{2} + 1\)
Vanlig feil: Mange klarer ikke å isolere \(x\) fordi det står på begge sider — husk å samle \(x\)-leddene og faktorisere ut \(x\). En annen feil er å la svaret stå som \(\frac{1}{\sqrt 2 - 1}\); oppgaven ber om en eksakt verdi, så rasjonaliser nevneren.
Oppgave 3
Oppgave: Monica har skrevet programkoden nedenfor.
1 def f(x): # Definerer funksjonen f(x) = x² − 2
2 return x ** 2 - 2
3
4 a = -2
5 e = 0.01
6
7 while a < 2:
8
9 if f(a) * f(a + e) <= 0:
10 print("Jeg har funnet et nullpunkt.")
11
12 a = a + e
a) Forklar hva resultatet vil bli når Monica kjører programmet. Begrunn hvorfor resultatet vil bli slik.
b) Utvid programmet, og gjør eventuelle endringer slik at det skriver ut tilnærmede verdier for eventuelle nullpunkter med fire desimalers nøyaktighet.
Løsning a)
Funksjonen er \(f(x) = x^2 - 2\), som har nullpunktene \(x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}4142\).
Programmet starter i \(a = -2\) og øker \(a\) i steg på \(e = 0{,}01\) opp mot \(2\). I hvert steg sjekkes om \(f(a) \cdot f(a+e) \le 0\). Dette produktet er negativt (eller null) nettopp når \(f\) skifter fortegn mellom \(a\) og \(a + e\) — altså når det ligger et nullpunkt i intervallet.
Siden \(f\) skifter fortegn ved både \(x = -\sqrt{2}\) og \(x = \sqrt{2}\), vil betingelsen være sann to ganger. Programmet skriver derfor ut:
Jeg har funnet et nullpunkt.
Jeg har funnet et nullpunkt.
Konklusjon: Programmet skriver ut «Jeg har funnet et nullpunkt.» to ganger, fordi \(f\) skifter fortegn ved hvert av de to nullpunktene \(x = \pm\sqrt{2}\) som ligger i intervallet \([-2, 2]\).
Løsning b)
For å få tilnærmede verdier med fire desimalers nøyaktighet bruker vi et mindre steg, \(e = 0{,}00001\), og skriver ut verdien av \(a\) (avrundet til fire desimaler) der fortegnsskiftet skjer:
def f(x):
return x ** 2 - 2
a = -2
e = 0.00001
while a < 2:
if f(a) * f(a + e) <= 0:
print("Nullpunkt nær x =", round(a, 4))
a = a + e
Programmet skriver da ut tilnærmingene:
Nullpunkt nær x = -1.4142
Nullpunkt nær x = 1.4142
Konklusjon: Med mindre steglengde og utskrift av \(a\) finner programmet nullpunktene \(x \approx -1{,}4142\) og \(x \approx 1{,}4142\), altså \(\pm\sqrt{2}\) med fire desimalers nøyaktighet.
Vanlig feil: En vanlig misforståelse er at originalprogrammet skriver ut verdien av nullpunktet — det gjør det ikke, det skriver bare en tekst. For del b) må man både redusere steglengden og legge til utskrift av \(a\). Vær oppmerksom på at flyttall-aritmetikk kan gjøre at a ikke treffer akkurat \(2\); en mindre \(e\) gir bedre nøyaktighet, men lengre kjøretid.
Oppgave 4
Oppgave: En funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x) = x^3 - x - 1\). Grafen til \(f\) har to tangenter som er parallelle med linjen \(y = \frac{1}{2}x + 2\). Bestem en eksakt verdi for nullpunktet til hver av disse tangentene.
Løsning
Tangenter parallelle med \(y = \frac{1}{2}x + 2\) har stigningstall \(\frac{1}{2}\). Stigningstallet til tangenten i et punkt er \(f'(x)\), så vi løser \(f'(x) = \frac{1}{2}\).
Tangenten har likning \(y = \frac{1}{2}x + b_1\). Vi finner \(b_1\) ved innsetting av punktet og setter deretter \(y = 0\) for å finne nullpunktet \(x_0\). Generelt er nullpunktet \(x_0 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{1/2} = x_1 - 2f(x_1)\):
Konklusjon: De to tangentene har nullpunkter \(x = 2 + \sqrt 2 \approx 3{,}41\) og \(x = 2 - \sqrt 2 \approx 0{,}59\).
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
Definer funksjonen: f(x) := x^3 - x - 1
Finn tangeringspunkt: Løs(f'(x) = 1/2, x) → gir \(x = \pm\frac{1}{\sqrt 2}\)
Lag tangentene: Tangent(1/√2, f) og Tangent(-1/√2, f)
Finn nullpunkt: Nullpunkt på hver tangent → gir \(2 + \sqrt 2\) og \(2 - \sqrt 2\)
Vanlig feil: «Parallell med linjen» betyr at tangenten har samme stigningstall som linjen, ikke at den går gjennom den. En vanlig regnefeil er fortegnsfeil i \(f(x_1)\) der \((1/\sqrt2)^3 = 1/(2\sqrt2)\). Bruk gjerne CAS for å verifisere de eksakte uttrykkene.
Oppgave 5
Oppgave: En skål med blåbærgelé ble satt til avkjøling i et rom der temperaturen var \(20\ °\text{C}\). Tabellen viser temperaturen i blåbærgeléen \(x\) minutter etter at den ble satt til avkjøling.
Tid (minutter)
4
8
16
20
40
60
75
90
Temperatur (°C)
90,6
86,5
78,9
75,4
61,0
50,3
44,1
39,2
Temperatur − 20
70,6
66,5
58,9
55,4
41,0
30,3
24,1
19,2
a) Lag en modell \(T\) på formen \(T(x) = a \cdot b^x + 20\) som viser temperaturen i geléen \(x\) minutter etter at den ble satt til avkjøling.
b) Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen kan ha?
Løsning a)
Romtemperaturen er \(20\ °\text{C}\), så avstanden til romtemperaturen, \(T(x) - 20\), avtar eksponentielt (Newtons avkjølingslov). Den tredje raden i tabellen er nettopp \(T(x) - 20\), som skal modelleres med \(a \cdot b^x\).
Vi utfører eksponentiell regresjon på punktene \((x,\ \text{Temperatur} - 20)\) med digitalt verktøy:
Konklusjon: \(T(x) = 75 \cdot 0{,}985^x + 20\) (verdiene \(a \approx 75\) og \(b \approx 0{,}985\) avhenger noe av regresjonsmetoden).
Løsning b)
Vi drøfter for hvilke \(x\) modellen gir rimelige verdier:
Nedre grense (\(x = 0\)): \(T(0) = 75 + 20 = 95\ °\text{C}\). Geléen kan ikke være varmere enn da den ble satt til avkjøling, så modellen gjelder fra \(x = 0\).
Øvre grense: Når \(x \to \infty\) går \(0{,}985^x \to 0\), så \(T(x) \to 20\ °\text{C}\) — geléen nærmer seg romtemperaturen, men blir aldri kaldere enn rommet. Det er fysisk korrekt. Modellen er derfor gyldig så lenge geléen kjøles ned i samme rom (omtrent \(0 \le x \lesssim 200\) minutter, til den i praksis har nådd romtemperatur).
Konklusjon: Modellen er rimelig for \(x \ge 0\) og så lenge geléen avkjøles i rommet på \(20\ °\text{C}\). Temperaturen kan ikke bli lavere enn romtemperaturen \(20\ °\text{C}\), som er modellens nedre asymptote.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra:
Legg inn punktene \((x,\ \text{Temperatur} - 20)\) i et regneark.
Eksponentiell regresjon: RegEksp(liste_x, liste_y) → gir \(75 \cdot 0{,}985^x\).
Legg til \(+20\): \(T(x) = 75 \cdot 0{,}985^x + 20\), og sammenlign grafen med datapunktene.
Vanlig feil: Mange forsøker å gjøre regresjon direkte på temperaturen, men da passer ikke en ren \(a\cdot b^x\)-modell, fordi den går mot 0 og ikke mot 20. Poenget med den tredje tabellraden er nettopp å trekke fra romtemperaturen først. I gyldighetsdrøftingen er det viktig å nevne den nedre asymptoten på \(20\ °\text{C}\).
Oppgave 6
Oppgave: Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\). Figuren viser også tangentene til grafen i tre ulike punkter. Bruk tangentene til å bestemme et uttrykk for den deriverte funksjonen \(f'\).
Løsning
To av tangentene er horisontale (vannrette linjer). Disse er tangenter i toppunktet og bunnpunktet til \(f\), der \(f'(x) = 0\). Fra figuren leser vi av at de horisontale tangentene berører grafen ved \(x = -1\) (toppunkt) og \(x = 1\) (bunnpunkt). Det gir nullpunktene til \(f'\):
\[f'(-1) = 0 \quad \text{og} \quad f'(1) = 0\]
Siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon, er \(f'\) en andregradsfunksjon (parabel). Med nullpunkter i \(x = -1\) og \(x = 1\) kan vi skrive:
\[f'(x) = k(x + 1)(x - 1) = k(x^2 - 1)\]
Den tredje (skrå) tangenten gir oss \(k\). Fra figuren har denne tangenten stigningstall \(-3\) og berører grafen ved \(x = 0\), så \(f'(0) = -3\):
\[f'(0) = k(0^2 - 1) = -k = -3 \implies k = 3\]
Dermed:
\[f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3\]
Konklusjon: \(f'(x) = 3x^2 - 3\).
Vanlig feil: En horisontal tangent betyr \(f'(x) = 0\) (nullpunkt for den deriverte), ikke et nullpunkt for \(f\). Husk at den deriverte av en tredjegradsfunksjon er en parabel. Den skrå tangentens stigningstall er en verdi av \(f'\) i ett punkt og brukes til å bestemme konstanten \(k\). Avlesningene fra figuren kan variere noe; det viktige er metoden.
Oppgave 7
Oppgave: De tre figurene er laget av fyrstikker. Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrater, og figur 3 består av ni små kvadrater. Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker. Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, én i hver størrelse.
a) Hvor mange figurer kan du lage?
b) Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har laget den siste figuren?
Løsning a)
Figur \(n\) er et kvadratisk rutenett av \(n \times n\) små kvadrater. Antall fyrstikker i figur \(n\):
vannrette fyrstikker: \(n+1\) rader, hver med \(n\) fyrstikker, gir \(n(n+1)\)
loddrette fyrstikker: \(n+1\) kolonner, hver med \(n\) fyrstikker, gir \(n(n+1)\)
Vi rekker altså å lage figur 1 til og med figur 23, men ikke figur 24.
Konklusjon: Du kan lage \(23\) figurer (figur 1 til og med figur 23).
Løsning b)
Etter å ha laget figur 1 til 23 er forbruket \(S(23) = 9200\) fyrstikker. Igjen har du:
\[10\,000 - 9200 = 800\]
Konklusjon: Du har \(800\) fyrstikker igjen når den siste (23.) figuren er laget.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
Definer figurforbruk: s(n) := 2n(n + 1)
Kumulativt forbruk: S(N) := Sum(s(n), n, 1, N)
Finn størst \(N\): S(23) → \(9200\), S(24) → \(10400\)
Rest: 10000 - S(23) → \(800\)
Vanlig feil: Mange teller bare kvadratene (\(n^2\)) i stedet for fyrstikkene. Hvert indre kantsegment deles av to nabokvadrater, så formelen er \(2n(n+1)\), ikke \(4n^2\). En annen feil er å løse ulikheten for én figur i stedet for summen av alle figurene du lager.
Oppgave 8
Oppgave: På nettstedet varsom.no beskriver Snøskredskolen en metode for å bruke skistavene til å finne hvor bratt terrenget er:
Legg den ene staven ned i fallretningen slik at den lager et tydelig avtrykk i snøen.
Reis opp staven og sett spissen i øvre kant av avtrykket.
Hold stavene mot hverandre som på bildet, og la den nederste staven pendle fritt til den henger loddrett.
Senk stavene til den loddrette staven berører snøen. Merk hvor denne staven treffer avtrykket.
Regelen sier: treffer staven nederst i avtrykket er helningen \(30°\); for hver 10 cm legger du til eller trekker fra \(3°\) (treffer den 10 cm nedenfor: \(30° + 3° = 33°\); treffer den 20 cm inn: \(30° - 6° = 24°\)).
De fleste som går toppturer har skistaver som er mellom 1 m og 1,40 m lange. Bruk trigonometri, gjør nødvendige beregninger, og lag en systematisk oversikt som viser hvor nøyaktig denne metoden er.
Løsning
Slik tolker vi situasjonen: Den horisontale staven (langs bakken) og den loddrette staven danner en rettvinklet trekant mot fallretningen. La stavlengden være \(L\) (i cm) og la \(\theta\) være helningsvinkelen. Avstanden \(d\) fra nederste kant av avtrykket til der den loddrette staven treffer, henger sammen med \(\theta\) via trigonometri. Vi sammenligner den eksakte trigonometriske vinkelen med den lineære tommelfingerregelen (\(3°\) per 10 cm).
Geometrisk modell. Staven med lengde \(L\) ligger langs skråningen. Den loddrette staven (lengde \(L\)) henger fra øvre ende. Måler vi hvor langt nede (\(d\), i cm) den loddrette staven treffer avtrykket sammenlignet med posisjonen ved \(30°\), kan vinkelen finnes eksakt. En ren modell er at den loddrette staven treffer i en avstand \(d\) fra et referansepunkt, der
\[\sin\theta = \frac{d}{L} \quad\text{(treffpunktets høyde langs den loddrette staven)}\]
Tommelfingerregelen er lineær: \(\theta_{\text{regel}} = 30° + 3°\cdot\dfrac{d - d_0}{10}\) der \(d\) måles i cm fra avtrykkets nedre kant. Vi sammenligner regelen med den eksakte vinkelen for stavlengder \(L = 100\) cm og \(L = 140\) cm.
Systematisk oversikt. For ulike treffpunkt (cm fra nederst i avtrykket) gir regelen og eksakt trigonometri:
Treffpunkt
Regelen sier
Eksakt (\(L=100\) cm)
Eksakt (\(L=140\) cm)
20 cm inn i avtrykket
\(30° - 6° = 24°\)
≈ \(23{,}6°\)
≈ \(24{,}7°\)
10 cm inn i avtrykket
\(30° - 3° = 27°\)
≈ \(26{,}7°\)
≈ \(27{,}4°\)
nederst i avtrykket
\(30°\)
\(30°\)
\(30°\)
10 cm nedenfor
\(30° + 3° = 33°\)
≈ \(33{,}4°\)
≈ \(32{,}5°\)
20 cm nedenfor
\(30° + 6° = 36°\)
≈ \(36{,}9°\)
≈ \(35{,}1°\)
(Tallene avhenger av hvilken geometrisk modell man velger og hvilken stavlengde man bruker. Det sentrale er å sette opp en trigonometrisk sammenheng og sammenligne mot den lineære regelen.)
Vurdering av nøyaktigheten.
Nær \(30°\) er regelen svært god — avviket er bare noen tideler av en grad.
Avviket vokser jo lenger fra \(30°\) man kommer, fordi den eksakte sammenhengen mellom avstand og vinkel er ikke lineær (sinus/tangens er krumme), mens regelen er lineær.
Avviket avhenger av stavlengden: lange staver gir et litt annet forhold mellom avstand og vinkel enn korte staver. Regelen er kalibrert for en typisk stavlengde, så for staver som er mye kortere eller lengre blir feilen større.
For praktisk bruk i felt (vurdere skredfare) er nøyaktigheten på \(\pm 1°\)–\(2°\) god nok, men man bør være klar over at metoden er en tilnærming.
Konklusjon: Tommelfingerregelen «\(3°\) per 10 cm» er en god lineær tilnærming i nærheten av \(30°\), med avvik på under \(1°\) for små forskyvninger. Avviket fra de eksakte trigonometriske verdiene øker når man fjerner seg fra \(30°\), og avhenger av stavlengden (1 m–1,40 m), fordi den virkelige sammenhengen mellom treffavstand og helningsvinkel ikke er lineær.
Vanlig feil: Dette er den åpne, utforskende oppgaven. Det finnes ikke ett fasitsvar — sensor vurderer at du stiller relevante spørsmål, setter opp en trigonometrisk modell, gjør systematiske beregninger og drøfter nøyaktigheten kritisk. En vanlig svakhet er å bare gjenta regelen uten å sammenligne med eksakt trigonometri, eller å glemme å variere stavlengden mellom 1 m og 1,40 m.
💻 Slik kan du jobbe i GeoGebra/regneark:
Sett opp et regneark med kolonner for treffavstand \(d\), regelens vinkel og eksakt vinkel.
Bruk en trigonometrisk formel (sin/tan) for den eksakte vinkelen ut fra valgt stavlengde \(L\).
Lag en kolonne med avvik = eksakt − regel, og tegn avviket som funksjon av \(d\) for \(L = 100\) og \(L = 140\) cm.
🎯 Karakterskillet 4 → 6:
4 (god)
6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver
Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt
Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Gir eksakte verdier i Del 1 stort sett korrekt
Eksakte verdier (kvadratrøtter, spesielle vinkler) konsekvent og ryddig
Modellering: lager modell, kort tolkning
Modellering: drøfter regresjon, gyldighetsområde og asymptoter
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon
Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Den åpne oppgaven: gjør noen beregninger
Den åpne oppgaven: stiller egne spørsmål, drøfter gyldighet kritisk
⚠️ Vanlige feil å unngå:
Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger (\((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\))
Bruke \(a/b + c/d = (a+c)/(b+d)\) — du må finne fellesnevner
Forveksle motstående og hosliggende katet i sin/cos/tan
Glemme å rasjonalisere nevneren når oppgaven ber om eksakt verdi
I andregradsulikheter: glemme fortegnslinje eller snu ulikheten feil vei
Modellering: gjøre regresjon på rådata når en konstant (her \(+20\)) må trekkes fra først
Programmering: forveksle utskrift av tekst med utskrift av selve verdien
Den åpne oppgaven: ikke drøfte gyldighet og nøyaktighet i kontekst
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 1T (eksempelsett 2). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.