Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2022

Eksamen MAT1021

Oppgave 1a

Vi setter hver faktor lik null:

Oppgave 1b

Fra oppgave 1a vet vi at \((x - 2)(x + 1) = 0\) har nullpunktene \(x = -1\) og \(x = 2\). Vi lager en fortegnslinje for å se når produktet er positivt:

Produktet \((x-2)(x+1)\) er positivt nettopp når \(x < -1\) eller \(x > 2\). Det er akkurat den oppgitte løsningen.

Oppgave 2

Høyre side utvides med andre kvadratsetning \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

Vi sammenlikner med venstre side \(9x^2 - 30x + r\):

Koeffisienten foran \(x\):

Konstantleddet:

Oppgave 3

Med motstående katet \(= 3k\) og hosliggende katet \(= 4k\) gir Pytagoras' setning:

Delspørsmål 1: Kan \(\sin \angle B = \frac{3}{10}\)?

Vi beregner \(\sin \angle B\):

Verdien \(\frac{3}{5}\) er ikke lik \(\frac{3}{10}\). Legg merke til at \(\sin \angle B\) er uavhengig av \(k\) – forholdet er alltid \(\frac{3}{5}\).

Delspørsmål 2: Kan katetene være 6 og 8?

Hvis motstående katet \(= 6\) og hosliggende katet \(= 8\), setter vi \(3k = 6\) og \(4k = 8\), som begge gir \(k = 2\). Da er:

Delspørsmål 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Hypotenusen er \(c = 5k\). For at \(c < 4\) trenger vi:

Siden \(k\) kan være et hvilket som helst positivt tall, kan vi for eksempel velge \(k = 0{,}5\). Da får vi:

• Kateter: \(1{,}5\) og \(2\)
• Hypotenuse: \(2{,}5 < 4\) ✔

Oppgave 4

def f(x):
    return x ** 2    # f(x) = x^2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Linje 1–2: Definerer funksjonen \(f(x) = x^2\).

Linje 4: Setter startverdien \(x = 1\).

Linje 6–8: En while-løkke som gjentar så lenge \(f(x) = x^2 \leq 400\):

• Skriver ut verdien \(f(x) = x^2\)
• Øker \(x\) med 1

Gjennomgang av de første og siste iterasjonene:

Når \(x = 21\) er \(f(21) = 441 > 400\), så betingelsen i while-løkken er ikke oppfylt, og løkken stopper.

Oppgave 5

Forslag 1: Vi prøver den enkleste formen:

Forslag 2: Vi legger til en konstant i telleren for å fa en annen funksjon:

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi sjekker om \(f(3) = 0\):

Siden \(f(3) = 0\), er \((x - 3)\) en faktor i \(f(x)\), og divisjonen går opp.

Vi utfører polynomdivisjonen for å finne kvotienten:

Oppgave 6b

Vi løser \(2x^2 + 7x + 3 = 0\) med abc-formelen:

Fullstendig faktorisering:

Viktige egenskaper for å identifisere grafen:

• Nullpunkter: \(x = -3\), \(x = -\frac{1}{2}\) og \(x = 3\) – to negative og ett positivt
• Skjaering med \(y\)-aksen: \(f(0) = -9\), altså punktet \((0{,}\ {-9})\) – under \(x\)-aksen
• Ledende koeffisient: \(2 > 0\), så \(f(x) \to -\infty\) når \(x \to -\infty\) og \(f(x) \to +\infty\) når \(x \to +\infty\)

Oppgave 1

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Vi setter \(u = 1 - \frac{x}{40}\). Når \(x\) går fra 0 til 40, går \(u\) fra 1 ned til 0, og \(u^2\) går fra 1 ned til 0.

• Når \(u = 1\) (\(x = 0\)): \(V = 2000 - 2000 = 0\)
• Når \(u = 0\) (\(x = 40\)): \(V = 2000 - 0 = 2000\)

Funksjonen \(V(x)\) er voksende på hele intervallet \([0{,}\ 40]\) fordi den deriverte er ikke-negativ (vi viser dette i oppgave 1e). Dermed tar \(V\) alle verdier mellom 0 og 2000.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Les av at grafen starter i \((0{,}\ 0)\) og slutter i \((40{,}\ 2000)\)

Oppgave 1c

(Vi velger positiv rot fordi \(0 \leq x \leq 40\) gir \(1 - \frac{x}{40} \geq 0\).)

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Definer funksjonen: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Skriv: Løs(V(x) = 1000, x)
• GeoGebra gir \(x \approx 11{,}72\)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Tegn linjen: y = 1000
• Skjæringspunktet viser \(x \approx 11{,}7\)

Oppgave 1d

Vi har \(V(0) = 0\) fra oppgave 1a. Vi beregner \(V(30)\):

Stigningstallet er:

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Tegn punktene: A = (0, V(0)) og D = (30, V(30))
• Tegn sekantlinjen: Linje(A, D)
• Stigningstallet til sekanten er \(62{,}5\) liter/min

Oppgave 1e

Vi deriverer med kjerneregelen. Sett \(u = 1 - \frac{x}{40}\), da \(u' = -\frac{1}{40}\):

\(V'(x)\) er størst når \(x\) er minst, altså ved \(x = 0\):

For \(x > 0\) er \(V'(x) < 100\), og \(V'(x)\) avtar mot 0 når \(x \to 40\). Den deriverte er en lineært avtagende funksjon, så den største verdien er \(V'(0) = 100\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Definer: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Skriv: V'(x) for å fa den deriverte
• Les av at \(V'(0) = 100\) er maksimalverdien

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: V(x) = 2000 - 2000*(1 - x/40)^2
• Tegn tangentlinjen i origo: y = 100x
• Tangenten har stigningstall \(V'(0) = 100\), som er mindre enn 105

Oppgave 2

Vi undersøker mønsteret:

• Figur 1: \(1^2 = 1\) kloss
• Figur 2: \(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\) klosser
• Figur 3: \(1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14\) klosser

Generelt for figur \(n\):

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Vi skal finne:

Vi kan omskrive dette. Leddet \(k^2\) opptrer i \(a_n\) for alle \(n \geq k\), altså \((10 - k + 1)\) ganger:

Vi bruker kjente summeformler:

Oppgave 2c

Vi beregner den kumulative summen \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\) og finner største \(n\) slik at \(S_n \leq 10\,000\):

Vi ser at \(S_{17} = 8721 \leq 10\,000\) og \(S_{18} = 10\,830 > 10\,000\).

Antall klosser igjen:

Oppgave 3

Oppgave 3a

Steg 1: Finn \(BD\) i trekant \(BCD\)

I trekant \(BCD\) kjenner vi \(DC = CB = 2a\) og \(\angle BCD = 120°\). Vi bruker cosinussetningen:

Steg 2: Finn vinkler i trekant \(BCD\)

Siden \(DC = CB = 2a\), er trekant \(BCD\) likebeint, og de to like grunnvinklene er:

Steg 3: Analyser trekant \(ABD\)

I trekant \(ABD\) kjenner vi \(\angle DAB = 45°\) og \(\angle DBA = 75°\) (avlest fra figuren). Den tredje vinkelen er:

Vi finner \(AB\) og \(AD\) med sinussetningen i trekant \(ABD\). Siden \(BD = 2a\sqrt{3}\) ligger overfor \(\angle A = 45°\):

Side \(AB\) ligger overfor \(\angle ADB = 60°\):

Side \(AD\) ligger overfor \(\angle ABD = 75°\), der \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\):

Steg 4: Beregn omkretsen

Oppgave 3b

Areal av \(\triangle ABD\):

Vi bruker arealsetningen med sidene \(AB = 3a\sqrt{2}\) og \(AD = a(3+\sqrt{3})\) og mellomliggende vinkel \(\angle A = 45°\):

Areal av \(\triangle BCD\):

Vi har \(DC = CB = 2a\) og \(\angle BCD = 120°\):

Forholdet:

(Vi brukte at \(3 + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)\).)

Oppgave 4

Oppgave 4a

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Åpne Regneark-visningen
• Legg inn tidsverdiene i kolonne A: 1, 5, 10, 20, 30, 50, 80, 120
• Legg inn temperaturverdiene i kolonne B: 2.0, 3.7, 5.3, 8.0, 10.2, 13.4, 16.4, 18.4
• Marker alle cellene, høyreklikk og velg Lag liste med punkt
• I CAS eller inntastingsfeltet: RegPot(<liste>)
• Resultatet gir \(a \approx 1{,}96\) og \(b \approx 0{,}47\)

Oppgave 4b

Modellen \(T_1(x) = 1{,}96 \cdot x^{0{,}47}\) har flere svakheter:

• Ved \(x = 0\): \(T_1(0) = 0\), men den faktiske starttemperaturen er \(2{,}0\) °C. Modellen treffer ikke startbetingelsen.
• For store \(x\): \(T_1\) vokser uten begrensning. Men temperaturen vil i virkeligheten nærme seg termostattemperaturen \(20\) °C og aldri overstige den. For eksempel gir \(T_1(200) \approx 22{,}8\), noe som er urealistisk.
• For \(x < 0\): Negative tider gir ikke mening i konteksten.

Oppgave 4c

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Legg inn tidsverdiene og de korrigerte temperaturverdiene i regnearket
• Lag en punktliste
• Bruk: RegEks(<liste>) (eksponentialregresjon)
• Resultatet gir \(f(x) \approx -18{,}2 \cdot 0{,}980^x\)

Oppgave 4d

De viktigste forskjellene:

• \(T_1\) er en potensfunksjon med positive verdier. Den starter i \((0{,}\ 0)\) og vokser ubegrenset. Den beskriver temperaturen direkte.
• \(f\) er en eksponentialfunksjon med negative verdier. Den starter nær \(-18\) og øker mot 0. Den beskriver avviket fra termostattemperaturen 20 °C.
• \(T_1\)-grafen ligger i 1. kvadrant (positiv \(x\), positiv \(y\)), mens \(f\)-grafen ligger i 4. kvadrant (positiv \(x\), negativ \(y\)).
• \(T_1\) vokser saktere og saktere, men stopper aldri – den vil overstige 20 °C etter lang tid. \(f\) nærmer seg asymptotisk verdien 0, noe som betyr at avviket fra 20 °C går mot null.

Oppgave 4e

Temperaturen etter 4 timer = 240 minutter:

Vi regner ut \(0{,}980^{240}\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Definer: T2(x) = -18.2 * 0.980^x + 20
• Skriv: T2(240) → gir ca. 19,9

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi setter \(f'(x) = ax + b\) og bruker de gitte opplysningene:

• \(f'(1) = 0\): \(\quad a + b = 0\)
• \(f'(4) = 6\): \(\quad 4a + b = 6\)

Vi trekker den første likningen fra den andre:

Oppgave 5b

Vi integrerer (antideriverer) \(f'(x) = 2x - 2\):

Vi bruker at \(f(0) = 4\):

💻 Slik gjør du det i GeoGebra:

• Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
• Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)
• Kontroller at stigningstallene er 0 og 6

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: f(x) = x^2 - 2x + 4
• Tegn tangentene: Tangent((1, f(1)), f) og Tangent((4, f(4)), f)

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi faktoriserer ut \(x\):

Vi ser at \(x = 0\) alltid er et nullpunkt. Vi undersøker om andregradsuttrykket \(x^2 - 2bx + b^2 + 3\) har nullpunkter:

Diskriminanten er \(\Delta = -12 < 0\) for alle verdier av \(b\). Ledd med \(b^2\) kansellerer, så diskriminanten er konstant negativ – uavhengig av \(b\).

Oppgave 6b

Vi deriverer:

Vi løser \(f'(x) = 0\) med abc-formelen:

Antall stasjonære punkter avhenger av diskriminanten \(b^2 - 9\):

• Når \(b^2 - 9 > 0\), dvs. \(|b| > 3\): to løsninger → to stasjonære punkter
• Når \(b^2 - 9 = 0\), dvs. \(b = \pm 3\): en dobbeltrot → ett stasjonært punkt (terrassepunkt)
• Når \(b^2 - 9 < 0\), dvs. \(|b| < 3\): ingen reelle løsninger → ingen stasjonære punkter (funksjonen er strengt monoton)

Oppgave 6c

Steg 1: Finn \(x\)-verdiene der \(f'(x) = 3\)

For \(b > 0\) (altså \(|b| = b\)):

For \(b < 0\) (altså \(|b| = -b\)):

I begge tilfeller er tangentpunktene ved \(x = b\) og \(x = \frac{b}{3}\).

Steg 2: Finn \(y\)-verdiene

For \(x = b\):

For \(x = \frac{b}{3}\):

Steg 3: Sett opp tangentlinjene

Tangentlinjen i \((x_0{,}\ f(x_0))\) med stigningstall 3 er \(y = 3(x - x_0) + f(x_0) = 3x - 3x_0 + f(x_0)\).

Tangent 1 (i \(x = b\)):

Tangent 2 (i \(x = \frac{b}{3}\)):