Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Løs ulikheten \[x^2 + 4x - 5 < 0\]

Vi faktoriserer venstresiden. Vi leter etter to tall som multiplisert gir \(-5\) og addert gir \(4\). Tallene \(5\) og \(-1\) oppfyller dette:

\[x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\]

Vi kan verifisere: \((x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5\). Stemmer.

Ulikheten blir:

\[(x + 5)(x - 1) < 0\]

Produktet av to faktorer er negativt når den ene faktoren er positiv og den andre er negativ. Nullpunktene er \(x = -5\) og \(x = 1\).

Vi setter opp en fortegnslinje:

	\(x < -5\)	\(-5 < x < 1\)	\(x > 1\)
\(x + 5\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(x - 1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Produkt	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Produktet er negativt (dvs. \(< 0\)) i intervallet mellom nullpunktene.

Svar: Løsningen er \(-5 < x < 1\).

Vanlig feil: Mange elever skriver løsningen som to separate ulikheter \(x > -5\) og \(x < 1\) uten å kombinere dem til ett intervall. Den korrekte skrivemåten er \(-5 < x < 1\) eller \(x \in \langle -5, 1 \rangle\). Husk at en parabel med positiv ledende koeffisient er negativ mellom nullpunktene og positiv utenfor.

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave: Bestem nullpunktene til funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\]

Vi prøver å finne ett nullpunkt ved å teste heltallsfaktorer av konstantleddet 12. Vi prøver \(x = 1\):

\[f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\]

Siden \(f(1) = 0\), er \((x - 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12)\]

Vi kan verifisere: \((x-1)(x^2 - 4x - 12) = x^3 - 4x^2 - 12x - x^2 + 4x + 12 = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\). Stemmer.

Vi faktoriserer andregradsfaktoren \(x^2 - 4x - 12\). Vi leter etter to tall som multiplisert gir \(-12\) og addert gir \(-4\). Tallene \(-6\) og \(2\) oppfyller dette:

\[x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\]

Dermed er:

\[f(x) = (x - 1)(x - 6)(x + 2)\]

Nullpunktene finner vi ved å sette \(f(x) = 0\):

Svar: Nullpunktene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 6\).

Vanlig feil: Mange elever prøver bare positive verdier av \(x\) når de leter etter røtter. Husk å prøve både positive og negative heltall som er divisorer av konstantleddet (her \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\)). Etter å ha funnet én rot og utført polynomdivisjon, husk å løse andregradslikningen som gjenstår for å finne de resterende røttene.

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave: En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\] Avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige. Begrunn svarene dine.

Påstand 1: Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunktene finner vi ved å sette telleren lik null (nevneren kan ikke være null):

\[2x + 6 = 0 \implies x = -3\]

Vi sjekker at nevneren ikke er null for \(x = -3\): \((-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13 \neq 0\).

Påstand 1 er RIKTIG. Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt, \(x = -3\).

Påstand 2: Grafen til \(f\) har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null. Vi undersøker:

\[x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, siden \(x^2 \geq 0\) for alle reelle \(x\). Nevneren er alltid positiv (\(x^2 + 4 \geq 4 > 0\)).

Påstand 2 er RIKTIG. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til \(f\) skjærer aldri \(y\)-aksen.

Grafen skjærer \(y\)-aksen der \(x = 0\):

\[f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Påstand 3 er FEIL. Grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\).

Påstand 4: Grafen til \(f\) har horisontal asymptote \(y = 2\).

Vi deler teller og nevner med \(x^2\):

\[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4} = \frac{\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}}\]

Når \(x\) blir stor (positiv eller negativ), blir \(\frac{2}{x}\), \(\frac{6}{x^2}\) og \(\frac{4}{x^2}\) svært små, så \(f(x)\) nærmer seg \(\frac{0}{1} = 0\).

Påstand 4 er FEIL. Den horisontale asymptoten er \(y = 0\), ikke \(y = 2\).

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave: For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått 4,5 % rente per år. I dag har han 250 000 kroner på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

1) \(250\,000 \cdot 0{,}955^5\) 2) \(\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}\) 3) \(250\,000 \cdot 1{,}045^5\)

4) \(250\,000 \cdot 0{,}955^{-5}\) 5) \(\dfrac{250\,000}{0{,}955^5}\) 6) \(250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\)

La \(K_0\) være beløpet Oskar vant (startkapitalen). Med 4,5 % rente per år og vekstfaktor \(1{,}045\) har vi etter 5 år:

\[K_0 \cdot 1{,}045^5 = 250\,000\]

Vi løser for \(K_0\):

\[K_0 = \frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\]

Vi sjekker alle alternativene:

Uttrykk 1: \(250\,000 \cdot 0{,}955^5\) -- Her er \(0{,}955 = 1 - 0{,}045\), som ikke er det samme som \(1{,}045^{-1} \approx 0{,}9569\). Feil.
Uttrykk 2: \(\frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\). Riktig!
Uttrykk 3: \(250\,000 \cdot 1{,}045^5\) gir et større beløp, ikke startkapitalen. Feil.
Uttrykk 4: \(250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} = \frac{250\,000}{0{,}955^5}\). Siden \(0{,}955 \neq 1{,}045^{-1}\), gir dette feil svar. Feil.
Uttrykk 5: \(\frac{250\,000}{0{,}955^5}\). Samme som uttrykk 4, feil av samme grunn. Feil.
Uttrykk 6: \(250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} = \frac{250\,000}{1{,}045^5}\). Riktig!

Svar: Uttrykk 2 og 6 kan brukes for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto.

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 5a: Bruk trekanten nedenfor til å vise at \(\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Rettvinklet likebeint trekant med det rette hjørnet nede til venstre. Begge katetene er merket 1, hypotenusen er umerket.

Vi har en rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Vi bruker Pytagoras' setning for å finne hypotenusen \(c\):

\[c^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies c = \sqrt{2}\]

Trekanten er likebeint og rettvinklet, så de to spisse vinklene er like store. Vinkelsummen i en trekant er \(180°\):

\[90° + v + v = 180° \implies 2v = 90° \implies v = 45°\]

Sinusverdien for \(45°\) er motstående katet delt på hypotenusen:

\[\sin 45° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Konklusjon: Vi har vist at \(\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Vanlig feil: Mange elever skriver \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) uten å vise at dette er ekvivalent med \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Begge skrivemåtene er korrekte, men husk at rasjonalisering av nevneren gir \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). I en 45-45-90-trekant med kateter 1 er hypotenusen \(\sqrt{2}\), noe som direkte gir \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Oppgave 5b: Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45°\). Bestem arealet av trekanten.

Vi bruker arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel:

\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]

Vi setter inn verdiene:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45°\]

Vi vet at \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\), så:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 1 = 12\]

Svar: Arealet av trekant \(ABC\) er \(12\).

Oppgave 5c: Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 3\sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140°\). Hvilken av trekantene \(ABC\) og \(PQR\) har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vi regner ut arealet av trekant \(PQR\):

\[T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR \cdot \sin P = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140°\]

Vi vet at \(\sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°\).

Nå sammenligner vi arealene. Begge trekantene har de samme sidelengdene (\(3\sqrt{2}\) og \(8\)), men forskjellige vinkler mellom dem. Arealet er proporsjonalt med sinusverdien til vinkelen:

\[\frac{T_{PQR}}{T_{ABC}} = \frac{\sin 140°}{\sin 45°} = \frac{\sin 40°}{\sin 45°}\]

Siden \(40° < 45° < 90°\), og sinusfunksjonen er voksende i intervallet \([0°, 90°]\), har vi:

\[\sin 40° < \sin 45°\]

Dermed er \(T_{PQR} < T_{ABC}\).

Svar: Trekant \(ABC\) har størst areal, fordi \(\sin 45° > \sin 140° = \sin 40°\), og begge trekantene har de samme to sidelengdene.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: Siri arbeider med femkanttall (se figuren nedenfor — Figur 1, 2, 3 og 4). Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet:

Figur 1 (1)

Figur 2 (5)

Figur 3 (12)

Figur 4 (22)

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
    print(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vi følger programmet steg for steg og noterer verdiene:

Runde	tall (skrives ut)	differanse (brukes)	Ny tall	Ny differanse
1	1	4	5	7
2	5	7	12	10
3	12	10	22	13
4	22	13	35	16
5	35	16	51	19
6	51	19	70	22

Etter runde 6 er \(\text{tall} = 70 > 60\), så løkken stopper.

Tallene som skrives ut er: 1, 5, 12, 22, 35, 51

Sammenhengen Siri har oppdaget:

Dette er femkanttallene (pentagonaltallene). De \(n\)-te femkanttallet er gitt ved formelen:

\[P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}\]

Vi verifiserer:

\(P_1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)
\(P_2 = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5\)
\(P_3 = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12\)
\(P_4 = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22\)
\(P_5 = \frac{5 \cdot 14}{2} = 35\)
\(P_6 = \frac{6 \cdot 17}{2} = 51\)

Differansen mellom påfølgende femkanttall øker med 3 for hvert steg (\(4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots\)), noe som er en aritmetisk følge med fellesforskjell 3. Dette er sammenhengen Siri har oppdaget og som programmet utnytter.

Svar: Tallene som skrives ut er 1, 5, 12, 22, 35, 51. Dette er femkanttallene, der differansen mellom påfølgende tall øker med 3 for hvert steg. Formelen for det \(n\)-te femkanttallet er \(P_n = \frac{n(3n-1)}{2}\).

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Oppgave: Tabellen viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk:

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell \(F(x) = a \cdot x^b\), der \(F(x)\) gram er vekten til en fisk som er \(x\) centimeter lang.

a) Bestem tallene \(a\) og \(b\). Tegn grafen til \(F\).

Vi bruker to av datapunktene for å sette opp et likningssystem. Vi velger \((50, 1190)\) og \((100, 9610)\):

\[F(50) = a \cdot 50^b = 1190 \quad \text{...(1)}\] \[F(100) = a \cdot 100^b = 9610 \quad \text{...(2)}\]

Vi deler likning (2) på likning (1):

\[\frac{a \cdot 100^b}{a \cdot 50^b} = \frac{9610}{1190}\]

\[\left(\frac{100}{50}\right)^b = \frac{9610}{1190}\]

\[2^b = 8{,}076...\]

Siden \(2^3 = 8\), ser vi at \(b\) er litt større enn 3:

\[2^3 = 8 < 8{,}076... \]

GeoGebra CAS gir en mer nøyaktig verdi: NLøs(2^b = 9610 / 1190, b) → gir

\[b \approx 3{,}013\]

Vi runder av til \(b \approx 3\).

Vi setter \(b = 3\) inn i likning (1) for å finne \(a\):

\[a \cdot 50^3 = 1190\]

\[a = \frac{1190}{125\,000} = 0{,}00952\]

Vi kontrollerer med et annet punkt, f.eks. \(x = 100\):

\[F(100) = 0{,}00952 \cdot 100^3 = 0{,}00952 \cdot 1\,000\,000 = 9520\]

Dette er nær den oppgitte verdien 9610. Vi kan bruke regresjon (CAS/GeoGebra) for bedre nøyaktighet.

Potensregresjon (RegPot i GeoGebra) på alle seks datapunktene gir

\[a \approx 0{,}0097 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}00\]

Regresjonen bekrefter at \(b = 3\) er riktig, og at \(a\) ligger rundt \(0{,}0095\)–\(0{,}0097\). Vi regner videre med modellen fra de to punktene, \(F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\). Bruker du regresjonsmodellen i stedet, får du svar i samme størrelsesorden i b), c) og d).

Svar: \(a \approx 0{,}00952\) og \(b \approx 3\), slik at modellen er \(F(x) \approx 0{,}00952 \cdot x^3\). Grafen tegnes med digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: F(x) := 0.00952 * x^3
Skriv: F(75) → gir \(\approx 4016\)
Skriv: F(95) → gir \(\approx 8162\)
Beregn stigningstallet: (F(95) - F(75)) / (95 - 75) → gir \(\approx 207{,}3\)
Den deriverte i \(x = 100\): F'(100) → gir \(\approx 285{,}6\)

GeoGebra CAS: F(x) = 0.00952x³, F(75) ≈ 4016, F(95) ≈ 8162, stigningstall ≈ 207, F'(100) ≈ 286

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn: F(x) = 0.00952 * x^3
Legg inn datapunktene fra tabellen som grønne punkter
Tegn punktene: A = (75, F(75)) og B = (95, F(95))
Tegn sekantlinjen gjennom A og B (stiplet rød linje)
Stigningstallet til sekanten er \(\approx 207\) gram/cm

Grafen til F(x) = 0,00952 gange x i tredje i blått, med de seks grønne målepunktene fra tabellen og en rød stiplet sekantlinje gjennom de to lilla punktene ved x = 75 og x = 95.

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom \((75, F(75))\) og \((95, F(95))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi beregner funksjonsverdiene med \(F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\):

\[F(75) = 0{,}00952 \cdot 75^3 = 0{,}00952 \cdot 421\,875 \approx 4016\]

\[F(95) = 0{,}00952 \cdot 95^3 = 0{,}00952 \cdot 857\,375 \approx 8162\]

Stigningstallet er:

\[\frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8162 - 4016}{20} = \frac{4146}{20} \approx 207\]

Svar: Stigningstallet er omtrent \(207\) gram per cm.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt øker vekten til fisken med ca. 207 gram for hver centimeter den vokser i lengde, i intervallet fra 75 cm til 95 cm.

c) Bestem den momentane vekstfarten når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av \(F(x)\) evaluert i \(x = 100\).

\[F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\]

\[F'(x) = 0{,}00952 \cdot 3x^2 = 0{,}02856 \cdot x^2\]

\[F'(100) = 0{,}02856 \cdot 100^2 = 0{,}02856 \cdot 10\,000 = 285{,}6\]

Svar: Den momentane vekstfarten når \(x = 100\) er omtrent \(286\) gram per cm.
Praktisk tolkning: Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 286 gram for hver centimeter den vokser i lengde.

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden \(1{,}2 \cdot x\). Den nye vekten er:

\[F(1{,}2x) = a \cdot (1{,}2x)^b = a \cdot 1{,}2^b \cdot x^b = 1{,}2^b \cdot F(x)\]

Med \(b = 3\):

\[F(1{,}2x) = 1{,}2^3 \cdot F(x) = 1{,}728 \cdot F(x)\]

Prosentvis økning:

\[\frac{F(1{,}2x) - F(x)}{F(x)} \cdot 100\% = (1{,}728 - 1) \cdot 100\% = 72{,}8\%\]

Svar: Dersom lengden øker med 20 %, øker vekten med omtrent 72,8 %. Dette gjelder uansett opprinnelig lengde, fordi modellen er en potensfunksjon.

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave: I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid. Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald. Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?

La oss kalle alderen til Abid, Therese og Harald i dag for henholdsvis \(A\), \(T\) og \(H\).

Vi setter opp likningssystemet:

\[A + T + H = 68 \quad \text{...(1)}\] \[T = A + 17 \quad \text{...(2)}\] \[A + 3 = 2(H + 3) \quad \text{...(3)}\]

Fra likning (3):

\[A + 3 = 2H + 6 \implies A = 2H + 3 \implies H = \frac{A - 3}{2} \quad \text{...(4)}\]

Vi setter (2) og (4) inn i (1):

\[A + (A + 17) + \frac{A - 3}{2} = 68\]

Vi ganger hele likningen med 2:

\[2A + 2A + 34 + A - 3 = 136\]

\[5A + 31 = 136\]

\[5A = 105 \implies A = 21\]

Da finner vi:

\[T = 21 + 17 = 38\]

\[H = \frac{21 - 3}{2} = 9\]

Kontroll: \(21 + 38 + 9 = 68\) ✓. Om 3 år: Abid er 24, Harald er 12, og \(24 = 2 \cdot 12\) ✓.

Svar: Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.

Vanlig feil: Mange elever setter opp likningssystemet feil fordi de ikke er nøye med tidsreferansene. Når oppgaven sier «om 3 år», må alle personene bli 3 år eldre: Abid blir \(A + 3\), Harald blir \(H + 3\). En vanlig feil er å skrive \(A = 2H\) i stedet for \(A + 3 = 2(H + 3)\). Kontroller alltid svaret ved å sette tilbake i alle opplysningene.

💻 Slik løser du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({A + T + H = 68, T = A + 17, A + 3 = 2(H + 3)}, {A, T, H})
GeoGebra gir: \(A = 21\), \(T = 38\), \(H = 9\)

Oppgave 3 (5 poeng)

Oppgave: Gitt figuren nedenfor. \(\angle A = 45°\), \(\angle D = 120°\), \(\angle ACD = 30°\), \(DC = \sqrt{3}\) og \(CB = \sqrt{6}\).

Firkanten ABCD med A til venstre, D øverst, C til høyre og B nederst. Diagonalen AC er tegnet vannrett. Vinkelen i D er merket 120 grader, vinkelen mellom CD og diagonalen 30 grader, og vinkelen mellom diagonalen og AB 45 grader. Siden DC er merket kvadratrot av 3 og siden CB kvadratrot av 6.

a) Gjør beregninger og vis at \(AC = 3\).
b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\). Gi svaret eksakt.

a) Vis at \(AC = 3\)

I trekant \(ACD\) kjenner vi \(\angle D = 120°\), \(\angle C = 30°\) og \(CD = \sqrt{3}\).

Vinkelsummen gir:

\[\angle A_{ACD} = 180° - 120° - 30° = 30°\]

Vi bruker sinussetningen i trekant \(ACD\):

\[\frac{AC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin A_{ACD}}\]

\[\frac{AC}{\sin 120°} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30°}\]

Vi vet at \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) og \(\sin 30° = \frac{1}{2}\):

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\]

\[AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\]

Konklusjon: Vi har vist at \(AC = 3\).

b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\)

Firkanten \(ABCD\) kan deles i trekantene \(ACD\) og \(ABC\) ved diagonalen \(AC\).

Arealet av trekant \(ACD\):

Vi bruker formelen med to sider og mellomliggende vinkel. Vi kjenner \(AC = 3\), \(CD = \sqrt{3}\) og \(\angle C = 30°\):

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30°\]

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Arealet av trekant \(ABC\):

Vi kjenner \(AC = 3\), \(BC = \sqrt{6}\) og \(\angle ACB\). Fra figuren ser vi at \(\angle A = 45°\) i trekant \(ABC\) (vinkelen ved \(A\)). Vi trenger å finne \(\angle ACB\).

Vi bruker sinussetningen i trekant \(ABC\):

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

\[\frac{\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{3}{\sin B}\]

\[\sin B = \frac{3 \cdot \sin 45°}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Dermed er \(\angle B = 60°\) eller \(\angle B = 120°\) — den tvetydige situasjonen i sinussetningen. Figuren avgjør: der er \(AB\) den lengste siden i trekant \(ABC\), litt lengre enn \(AC = 3\). Med \(\angle B = 120°\) ville \(\angle ACB = 180° - 45° - 120° = 15°\) og \(AB = \dfrac{\sqrt{6}}{\sin 45°} \cdot \sin 15° \approx 0{,}90\), altså mye kortere enn \(AC\) — det strider mot figuren. Med \(\angle B = 60°\) blir \(AB = \dfrac{\sqrt{6}}{\sin 45°} \cdot \sin 75° \approx 3{,}35\), som stemmer med figuren. Vi bruker derfor \(\angle B = 60°\).

Med \(\angle B = 60°\) får vi \(\angle C_{ABC} = 180° - 45° - 60° = 75°\).

Vi bruker arealformelen for trekant \(ABC\) med sidene \(AC\) og \(BC\) og vinkelen mellom dem (\(\angle ACB = 75°\)):

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 75°\]

Vi trenger den eksakte verdien av \(\sin 75°\):

\[\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}\]

\[= \frac{3(6 + \sqrt{12})}{8} = \frac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}\]

Totalt areal:

\[T_{ABCD} = T_{ACD} + T_{ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\]

Svar: Arealet av firkanten \(ABCD\) er \(\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\).

Vanlig feil: Mange elever gjør regnefeil når de forenkler uttrykk med røtter. Husk at \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\) og \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Vær spesielt forsiktig med å multiplisere ut parenteser som inneholder røtter. Det kan også lønne seg å dele firkanten i trekanter med en diagonal og beregne hvert areal separat med arealformelen \(T = \frac{1}{2}ab\sin C\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

a) Bruk sinussetningen: Løs(AC / sin(120°) = sqrt(3) / sin(30°), AC) → gir \(AC = 3\)
b) Areal trekant ACD: 1/2 * 3 * sqrt(3) * sin(30°) → gir \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Finn vinkel B: Løs(sin(B) = 3 * sin(45°) / sqrt(6), B) → gir \(B = 60°\)
Areal trekant ABC: 1/2 * 3 * sqrt(6) * sin(75°) → gir \(\frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}\)
Totalt areal: 3*sqrt(3)/4 + (9 + 3*sqrt(3))/4 → gir \(\frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\)

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave: Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

Figur 2: likesidet trekant delt i fire, der den midterste opp-ned-vendte er grå.

Figur 3: likesidet trekant med to grå opp-ned-vendte deltrekanter.

Figur 4: likesidet trekant med tre grå opp-ned-vendte deltrekanter i avtagende størrelse.

a) Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.

a) Sett opp en algoritme

Vi studerer mønsteret i figurene. La \(A\) være arealet av trekanten Maria starter med.

Figur 2: Trekanten deles i 4 like store trekanter. Den midterste (den som står opp ned) farges grå. Den har areal \(\frac{A}{4}\).
Figur 3: Bare den øverste av de hvite trekantene deles i 4, og den midterste av disse farges grå. Den nye grå trekanten har areal \(\frac{1}{4} \cdot \frac{A}{4} = \frac{A}{16}\).
Figur 4: Samme operasjon gjentas i den øverste hvite trekanten. Den nye grå trekanten har areal \(\frac{A}{64}\).

Det kommer altså én ny grå trekant per steg, og arealet blir delt på 4 hver gang. Trekant nummer \(n\) som blir grå, har areal

\[a_n = \frac{A}{4^n}\]

Algoritme:

Sett \(\text{sum} = 0\) og \(\text{trekantAreal} = \frac{A}{4}\).
Gjenta 100 ganger:
- Legg til: \(\text{sum} = \text{sum} + \text{trekantAreal}\)
- Oppdater: \(\text{trekantAreal} = \frac{\text{trekantAreal}}{4}\)
Skriv ut \(\text{sum}\).

b) Program med startareal 36

A = 36
sumAreal = 0
trekantAreal = A / 4

for i in range(100):
    sumAreal = sumAreal + trekantAreal
    trekantAreal = trekantAreal / 4

print("Summen av arealene:", sumAreal)

Programmet skriver ut 12.0. De første delsummene viser hvordan summen bygger seg opp: \(9\); \(9 + 2{,}25 = 11{,}25\); \(+\,0{,}5625 = 11{,}8125\); \(+\,0{,}140625 = 11{,}953125\); \(\ldots\) Hvert nytt ledd er en firedel av det forrige, så etter 100 ledd er tillegget for lite til at programmet viser det.

Svar: Summen av arealene av de 100 første grå trekantene er \(\approx 12\) når starttrekanten har areal 36 (programmet skriver ut 12.0).

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave: Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x) = \frac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0\] Punktene \(A\), \(B\), \(C\) og \(D\) danner et rektangel. Punktet \(A\) ligger i origo, punktet \(B\) ligger på \(x\)-aksen, punktet \(C\) ligger på grafen til \(f\), og punktet \(D\) ligger på \(y\)-aksen. Se figuren nedenfor.

Grafen til f(x) = 10 delt på (x i andre + 3) for x større enn 0. Under kurven står et gråfylt rektangel ABCD med A i origo, B på x-aksen, C på grafen og D på y-aksen. Alle fire hjørnene er merket med punkter. Aksene har ingen tall.

a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet \(B\) har koordinatene \((3, 0)\).

Når \(B = (3, 0)\), har rektangelet bredde 3. Høyden er \(f(3)\) (fordi \(C\) ligger på grafen rett over \(B\)):

\[f(3) = \frac{10}{3^2 + 3} = \frac{10}{9 + 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\]

Arealet av rektangelet er:

\[T = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\]

Svar: Arealet av rektangelet er \(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\).

b) Hvor på \(x\)-aksen må punktet \(B\) ligge for at arealet av rektangelet \(ABCD\) skal bli størst mulig?

La \(B = (x, 0)\) for \(x > 0\). Da er bredden \(x\) og høyden \(f(x) = \frac{10}{x^2+3}\). Arealet er:

\[T(x) = x \cdot \frac{10}{x^2 + 3} = \frac{10x}{x^2 + 3}\]

For å finne maksimalt areal deriverer vi i CAS (Faktoriser(T'(x))) og setter lik null:

\[T'(x) = \frac{-10(x^2 - 3)}{(x^2+3)^2} = \frac{30 - 10x^2}{(x^2+3)^2}\]

Vi setter \(T'(x) = 0\):

\[30 - 10x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}\]

(Vi velger \(x = \sqrt{3}\) siden \(x > 0\).)

Vi sjekker at dette er et maksimum. Nevneren \((x^2+3)^2\) er alltid positiv. For \(x < \sqrt{3}\) er \(30 - 10x^2 > 0\), altså \(T'(x) > 0\) (voksende). For \(x > \sqrt{3}\) er \(30 - 10x^2 < 0\), altså \(T'(x) < 0\) (avtagende). Dermed er \(x = \sqrt{3}\) et maksimumspunkt.

Det maksimale arealet er:

\[T(\sqrt{3}) = \frac{10\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Svar: Punktet \(B\) må ligge i \((\sqrt{3}, 0)\) for at arealet skal bli størst mulig. Det maksimale arealet er \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: T(x) := 10x / (x^2 + 3)
Finn den deriverte: T'(x) → gir \(\frac{-10x^2 + 30}{(x^2 + 3)^2}\)
Sett \(T'(x) = 0\): telleren \(30 - 10x^2 = 0\) gir \(x = \sqrt{3}\)
Beregn maks areal: T(sqrt(3)) → gir \(\frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\)

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn: T(x) = 10x / (x^2 + 3)
Finn toppunktet: M = (sqrt(3), T(sqrt(3)))
Grafen viser tydelig at maksimum er ved \(x = \sqrt{3} \approx 1{,}73\)

Grafen til arealfunksjonen T(x) = 10x delt på (x i andre + 3) med rødt merket toppunkt M i (kvadratrot av 3 ; 2,89).

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved \[p(x) = -\frac{1}{12}x^2 + 20\] På taket skal det plasseres et webkamera festet på en stang som er 3 meter lang. Den rette linjen på figuren går gjennom punktet \((0, 23)\) og er en tangent til grafen.

Parabelen p(x) = -x i andre delt på 12 + 20 i grått, med toppunkt på y-aksen og to nullpunkter symmetrisk om den. En oransje rett linje med negativ stigning går gjennom et rødt merket punkt på y-aksen over toppunktet og tangerer parabelen på høyre side. Aksene har ingen tall.

a) Bestem likningen for tangenten.
b) Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

a) Bestem likningen for tangenten

Webkameraet sitter i punktet \((0, 23)\) (toppen av parabelen er 20 m, pluss 3 m stang). Tangenten går gjennom \((0, 23)\) og tangerer parabelen i et punkt \((t, p(t))\).

Den deriverte av \(p(x)\) er:

\[p'(x) = -\frac{1}{6}x\]

Stigningstallet til tangenten i punktet \(x = t\) er \(p'(t) = -\frac{t}{6}\).

Tangentlinjen gjennom \((t, p(t))\) med stigningstall \(-\frac{t}{6}\) er:

\[y - p(t) = -\frac{t}{6}(x - t)\]

Denne linjen skal gå gjennom \((0, 23)\). Vi setter inn \(x = 0\) og \(y = 23\):

\[23 - p(t) = -\frac{t}{6}(0 - t) = \frac{t^2}{6}\]

Vi setter inn \(p(t) = -\frac{t^2}{12} + 20\):

\[23 - \left(-\frac{t^2}{12} + 20\right) = \frac{t^2}{6}\]

\[23 + \frac{t^2}{12} - 20 = \frac{t^2}{6}\]

\[3 + \frac{t^2}{12} = \frac{t^2}{6}\]

\[3 = \frac{t^2}{6} - \frac{t^2}{12} = \frac{2t^2 - t^2}{12} = \frac{t^2}{12}\]

\[t^2 = 36 \implies t = \pm 6\]

Vi velger den tangenten som tangerer på den positive siden (den høyre veggen av lagerhallen), altså \(t = 6\) (tangenten til høyre). Grunnet symmetri er tilfellet analogt for \(t = -6\).

Stigningstallet er \(p'(6) = -\frac{6}{6} = -1\).

Tangentlinjen gjennom \((0, 23)\) med stigningstall \(-1\):

\[y = -x + 23\]

Vi verifiserer at denne tangerer parabelen i \(x = 6\):

\[p(6) = -\frac{36}{12} + 20 = -3 + 20 = 17\]

\[y(6) = -6 + 23 = 17 \quad \checkmark\]

Svar: Likningen for tangenten er \(y = -x + 23\) (for den positive siden). Grunnet symmetri er den andre tangenten \(y = x + 23\).

b) Hvor langt fra veggen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert?

Webkameraet i \((0, 23)\) ser langs tangentlinjen ned til tangeringspunktet \((6, 17)\) på den ene siden, og \((-6, 17)\) på den andre. Alt som er under tangentlinjen og bak parabelen (dvs. utenfor synsfeltet) er ikke synlig.

Veggen til lagerhallen er der parabelen treffer bakken (\(y = 0\)):

\[-\frac{1}{12}x^2 + 20 = 0 \implies x^2 = 240 \implies x = \pm\sqrt{240} = \pm 4\sqrt{15}\]

Tangentlinjen \(y = -x + 23\) treffer bakken (\(y = 0\)) i:

\[0 = -x + 23 \implies x = 23\]

Kameraet i \((0,\,23)\) ser lengst mulig «ned langs taket» akkurat langs tangenten. Alt som ligger under tangentlinjen, er skjult bak taket. Veggen står der parabelen treffer bakken, i \(x = 4\sqrt{15} \approx 15{,}49\), og tangentlinjen treffer bakken i \(x = 23\).

En tyv som går langs bakken fra veggen og utover til \(x = 23\), ligger under tangentlinjen og er dermed i blindsonen. Fra \(x = 23\) og utover ligger tyven over tangentlinjen og blir fotografert.

Avstanden fra veggen til der tangentlinjen treffer bakken er:

\[23 - 4\sqrt{15} \approx 23 - 15{,}49 = 7{,}51 \text{ m}\]

Svar: En tyv kan bevege seg \(23 - 4\sqrt{15} \approx 7{,}5\) meter fra veggen på lagerhallen uten å bli fotografert av webkameraet.

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn parabelen: p(x) = -(1/12) * x^2 + 20
Tegn tangentlinjene: t(x) = -x + 23 og t2(x) = x + 23
Marker kamerapunktet: K = (0, 23)
Marker tangeringspunktene: T1 = (6, 17) og T2 = (-6, 17)
Veggen er der \(p(x) = 0\), dvs. \(x \approx \pm 15{,}5\)
Tangenten treffer bakken i \(x = 23\), så blindsonen er \(23 - 15{,}5 \approx 7{,}5\) m

Parabelen p(x) = -x i andre delt på 12 + 20 i blått med to tangenter fra kamerapunktet (0, 23): den oransje y = 23 - x og den røde y = 23 + x. Tangeringspunktene (6, 17) og (-6, 17) er merket grønne.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer: p(x) := -(1/12) * x^2 + 20
Finn deriverte: p'(x) → gir \(-\frac{x}{6}\)
Tangentligning gjennom \((0, 23)\): Løs \(23 - p(t) = -p'(t) \cdot t\) for \(t\):
Løs(23 - (-(1/12)*t^2 + 20) = (t/6)*t, t) → gir \(t = \pm 6\)
Stigningstall: p'(6) → gir \(-1\), så tangenten er \(y = -x + 23\)
Vegg: Løs(p(x) = 0, x) → gir \(x = \pm 4\sqrt{15} \approx \pm 15{,}49\)

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger (\((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\))
Bruke \(a/b + c/d = (a+c)/(b+d)\) — du må finne fellesnevner
Kalle et stasjonært punkt topp- eller bunnpunkt uten å sjekke fortegnet til den deriverte på begge sider
Ha kalkulatoren i feil vinkelmodus (den skal stå på grader, DEG) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Løs ulikheten \[x^2 + 4x - 5 < 0\]

Vi faktoriserer venstresiden. Vi leter etter to tall som multiplisert gir \(-5\) og addert gir \(4\). Tallene \(5\) og \(-1\) oppfyller dette:

\[x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\]

Vi kan verifisere: \((x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5\). Stemmer.

Ulikheten blir:

\[(x + 5)(x - 1) < 0\]

Produktet av to faktorer er negativt når den ene faktoren er positiv og den andre er negativ. Nullpunktene er \(x = -5\) og \(x = 1\).

Vi setter opp en fortegnslinje:

	\(x < -5\)	\(-5 < x < 1\)	\(x > 1\)
\(x + 5\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(x - 1\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Produkt	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Produktet er negativt (dvs. \(< 0\)) i intervallet mellom nullpunktene.

Svar: Løsningen er \(-5 < x < 1\).

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave: Bestem nullpunktene til funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\]

Vi prøver å finne ett nullpunkt ved å teste heltallsfaktorer av konstantleddet 12. Vi prøver \(x = 1\):

\[f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0\]

Siden \(f(1) = 0\), er \((x - 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12)\]

Vi kan verifisere: \((x-1)(x^2 - 4x - 12) = x^3 - 4x^2 - 12x - x^2 + 4x + 12 = x^3 - 5x^2 - 8x + 12\). Stemmer.

Vi faktoriserer andregradsfaktoren \(x^2 - 4x - 12\). Vi leter etter to tall som multiplisert gir \(-12\) og addert gir \(-4\). Tallene \(-6\) og \(2\) oppfyller dette:

\[x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\]

Dermed er:

\[f(x) = (x - 1)(x - 6)(x + 2)\]

Nullpunktene finner vi ved å sette \(f(x) = 0\):

Svar: Nullpunktene er \(x = -2\), \(x = 1\) og \(x = 6\).

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave: En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}\] Avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige. Begrunn svarene dine.

Påstand 1: Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt.

Nullpunktene finner vi ved å sette telleren lik null (nevneren kan ikke være null):

\[2x + 6 = 0 \implies x = -3\]

Vi sjekker at nevneren ikke er null for \(x = -3\): \((-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13 \neq 0\).

Påstand 1 er RIKTIG. Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt, \(x = -3\).

Påstand 2: Grafen til \(f\) har ingen vertikale asymptoter.

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null. Vi undersøker:

\[x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, siden \(x^2 \geq 0\) for alle reelle \(x\). Nevneren er alltid positiv (\(x^2 + 4 \geq 4 > 0\)).

Påstand 2 er RIKTIG. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til \(f\) skjærer aldri \(y\)-aksen.

Grafen skjærer \(y\)-aksen der \(x = 0\):

\[f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Påstand 3 er FEIL. Grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\).

Påstand 4: Grafen til \(f\) har horisontal asymptote \(y = 2\).

Vi deler teller og nevner med \(x^2\):

\[f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4} = \frac{\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}}\]

Når \(x\) blir stor (positiv eller negativ), blir \(\frac{2}{x}\), \(\frac{6}{x^2}\) og \(\frac{4}{x^2}\) svært små, så \(f(x)\) nærmer seg \(\frac{0}{1} = 0\).

Påstand 4 er FEIL. Den horisontale asymptoten er \(y = 0\), ikke \(y = 2\).

Oppgave 4 (2 poeng)

La \(K_0\) være beløpet Oskar vant (startkapitalen). Med 4,5 % rente per år og vekstfaktor \(1{,}045\) har vi etter 5 år:

\[K_0 \cdot 1{,}045^5 = 250\,000\]

Vi løser for \(K_0\):

\[K_0 = \frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\]

Vi sjekker alle alternativene:

Uttrykk 1: \(250\,000 \cdot 0{,}955^5\) -- Her er \(0{,}955 = 1 - 0{,}045\), som ikke er det samme som \(1{,}045^{-1} \approx 0{,}9569\). Feil.
Uttrykk 2: \(\frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}\). Riktig!
Uttrykk 3: \(250\,000 \cdot 1{,}045^5\) gir et større beløp, ikke startkapitalen. Feil.
Uttrykk 4: \(250\,000 \cdot 0{,}955^{-5} = \frac{250\,000}{0{,}955^5}\). Siden \(0{,}955 \neq 1{,}045^{-1}\), gir dette feil svar. Feil.
Uttrykk 5: \(\frac{250\,000}{0{,}955^5}\). Samme som uttrykk 4, feil av samme grunn. Feil.
Uttrykk 6: \(250\,000 \cdot 1{,}045^{-5} = \frac{250\,000}{1{,}045^5}\). Riktig!

Svar: Uttrykk 2 og 6 kan brukes for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto.

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 5a: Bruk trekanten nedenfor til å vise at \(\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Vi har en rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Vi bruker Pytagoras' setning for å finne hypotenusen \(c\):

\[c^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies c = \sqrt{2}\]

Trekanten er likebeint og rettvinklet, så de to spisse vinklene er like store. Vinkelsummen i en trekant er \(180°\):

\[90° + v + v = 180° \implies 2v = 90° \implies v = 45°\]

Sinusverdien for \(45°\) er motstående katet delt på hypotenusen:

\[\sin 45° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Konklusjon: Vi har vist at \(\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Oppgave 5b: Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45°\). Bestem arealet av trekanten.

Vi bruker arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel:

\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]

Vi setter inn verdiene:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45°\]

Vi vet at \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\), så:

\[T = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 1 = 12\]

Svar: Arealet av trekant \(ABC\) er \(12\).

Oppgave 5c: Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 3\sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140°\). Hvilken av trekantene \(ABC\) og \(PQR\) har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vi regner ut arealet av trekant \(PQR\):

\[T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR \cdot \sin P = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140°\]

Vi vet at \(\sin 140° = \sin(180° - 40°) = \sin 40°\).

Nå sammenligner vi arealene. Begge trekantene har de samme sidelengdene (\(3\sqrt{2}\) og \(8\)), men forskjellige vinkler mellom dem. Arealet er proporsjonalt med sinusverdien til vinkelen:

\[\frac{T_{PQR}}{T_{ABC}} = \frac{\sin 140°}{\sin 45°} = \frac{\sin 40°}{\sin 45°}\]

Siden \(40° < 45° < 90°\), og sinusfunksjonen er voksende i intervallet \([0°, 90°]\), har vi:

\[\sin 40° < \sin 45°\]

Dermed er \(T_{PQR} < T_{ABC}\).

Svar: Trekant \(ABC\) har størst areal, fordi \(\sin 45° > \sin 140° = \sin 40°\), og begge trekantene har de samme to sidelengdene.

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave: Siri arbeider med femkanttall (se figuren nedenfor — Figur 1, 2, 3 og 4). Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet:

Figur 1 (1)

Figur 2 (5)

Figur 3 (12)

Figur 4 (22)

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
    print(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Vi følger programmet steg for steg og noterer verdiene:

Runde	tall (skrives ut)	differanse (brukes)	Ny tall	Ny differanse
1	1	4	5	7
2	5	7	12	10
3	12	10	22	13
4	22	13	35	16
5	35	16	51	19
6	51	19	70	22

Etter runde 6 er \(\text{tall} = 70 > 60\), så løkken stopper.

Tallene som skrives ut er: 1, 5, 12, 22, 35, 51

Sammenhengen Siri har oppdaget:

Dette er femkanttallene (pentagonaltallene). De \(n\)-te femkanttallet er gitt ved formelen:

\[P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}\]

Vi verifiserer:

\(P_1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)
\(P_2 = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5\)
\(P_3 = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12\)
\(P_4 = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22\)
\(P_5 = \frac{5 \cdot 14}{2} = 35\)
\(P_6 = \frac{6 \cdot 17}{2} = 51\)

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Oppgave: Tabellen viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk:

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell \(F(x) = a \cdot x^b\), der \(F(x)\) gram er vekten til en fisk som er \(x\) centimeter lang.

a) Bestem tallene \(a\) og \(b\). Tegn grafen til \(F\).

Vi bruker to av datapunktene for å sette opp et likningssystem. Vi velger \((50, 1190)\) og \((100, 9610)\):

\[F(50) = a \cdot 50^b = 1190 \quad \text{...(1)}\] \[F(100) = a \cdot 100^b = 9610 \quad \text{...(2)}\]

Vi deler likning (2) på likning (1):

\[\frac{a \cdot 100^b}{a \cdot 50^b} = \frac{9610}{1190}\]

\[\left(\frac{100}{50}\right)^b = \frac{9610}{1190}\]

\[2^b = 8{,}076...\]

Siden \(2^3 = 8\), ser vi at \(b\) er litt større enn 3:

\[2^3 = 8 < 8{,}076... \]

GeoGebra CAS gir en mer nøyaktig verdi: NLøs(2^b = 9610 / 1190, b) → gir

\[b \approx 3{,}013\]

Vi runder av til \(b \approx 3\).

Vi setter \(b = 3\) inn i likning (1) for å finne \(a\):

\[a \cdot 50^3 = 1190\]

\[a = \frac{1190}{125\,000} = 0{,}00952\]

Vi kontrollerer med et annet punkt, f.eks. \(x = 100\):

\[F(100) = 0{,}00952 \cdot 100^3 = 0{,}00952 \cdot 1\,000\,000 = 9520\]

Dette er nær den oppgitte verdien 9610. Vi kan bruke regresjon (CAS/GeoGebra) for bedre nøyaktighet.

Potensregresjon (RegPot i GeoGebra) på alle seks datapunktene gir

\[a \approx 0{,}0097 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}00\]

Svar: \(a \approx 0{,}00952\) og \(b \approx 3\), slik at modellen er \(F(x) \approx 0{,}00952 \cdot x^3\). Grafen tegnes med digitalt verktøy.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: F(x) := 0.00952 * x^3
Skriv: F(75) → gir \(\approx 4016\)
Skriv: F(95) → gir \(\approx 8162\)
Beregn stigningstallet: (F(95) - F(75)) / (95 - 75) → gir \(\approx 207{,}3\)
Den deriverte i \(x = 100\): F'(100) → gir \(\approx 285{,}6\)

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn: F(x) = 0.00952 * x^3
Legg inn datapunktene fra tabellen som grønne punkter
Tegn punktene: A = (75, F(75)) og B = (95, F(95))
Tegn sekantlinjen gjennom A og B (stiplet rød linje)
Stigningstallet til sekanten er \(\approx 207\) gram/cm

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom \((75, F(75))\) og \((95, F(95))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi beregner funksjonsverdiene med \(F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\):

\[F(75) = 0{,}00952 \cdot 75^3 = 0{,}00952 \cdot 421\,875 \approx 4016\]

\[F(95) = 0{,}00952 \cdot 95^3 = 0{,}00952 \cdot 857\,375 \approx 8162\]

Stigningstallet er:

\[\frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8162 - 4016}{20} = \frac{4146}{20} \approx 207\]

c) Bestem den momentane vekstfarten når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Den momentane vekstfarten er den deriverte av \(F(x)\) evaluert i \(x = 100\).

\[F(x) = 0{,}00952 \cdot x^3\]

\[F'(x) = 0{,}00952 \cdot 3x^2 = 0{,}02856 \cdot x^2\]

\[F'(100) = 0{,}02856 \cdot 100^2 = 0{,}02856 \cdot 10\,000 = 285{,}6\]

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden \(1{,}2 \cdot x\). Den nye vekten er:

\[F(1{,}2x) = a \cdot (1{,}2x)^b = a \cdot 1{,}2^b \cdot x^b = 1{,}2^b \cdot F(x)\]

Med \(b = 3\):

\[F(1{,}2x) = 1{,}2^3 \cdot F(x) = 1{,}728 \cdot F(x)\]

Prosentvis økning:

\[\frac{F(1{,}2x) - F(x)}{F(x)} \cdot 100\% = (1{,}728 - 1) \cdot 100\% = 72{,}8\%\]

Svar: Dersom lengden øker med 20 %, øker vekten med omtrent 72,8 %. Dette gjelder uansett opprinnelig lengde, fordi modellen er en potensfunksjon.

Oppgave 2 (2 poeng)

La oss kalle alderen til Abid, Therese og Harald i dag for henholdsvis \(A\), \(T\) og \(H\).

Vi setter opp likningssystemet:

\[A + T + H = 68 \quad \text{...(1)}\] \[T = A + 17 \quad \text{...(2)}\] \[A + 3 = 2(H + 3) \quad \text{...(3)}\]

Fra likning (3):

\[A + 3 = 2H + 6 \implies A = 2H + 3 \implies H = \frac{A - 3}{2} \quad \text{...(4)}\]

Vi setter (2) og (4) inn i (1):

\[A + (A + 17) + \frac{A - 3}{2} = 68\]

Vi ganger hele likningen med 2:

\[2A + 2A + 34 + A - 3 = 136\]

\[5A + 31 = 136\]

\[5A = 105 \implies A = 21\]

Da finner vi:

\[T = 21 + 17 = 38\]

\[H = \frac{21 - 3}{2} = 9\]

Kontroll: \(21 + 38 + 9 = 68\) ✓. Om 3 år: Abid er 24, Harald er 12, og \(24 = 2 \cdot 12\) ✓.

Svar: Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.

💻 Slik løser du det i GeoGebra CAS:

Skriv: Løs({A + T + H = 68, T = A + 17, A + 3 = 2(H + 3)}, {A, T, H})
GeoGebra gir: \(A = 21\), \(T = 38\), \(H = 9\)

Oppgave 3 (5 poeng)

Oppgave: Gitt figuren nedenfor. \(\angle A = 45°\), \(\angle D = 120°\), \(\angle ACD = 30°\), \(DC = \sqrt{3}\) og \(CB = \sqrt{6}\).

a) Gjør beregninger og vis at \(AC = 3\).
b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\). Gi svaret eksakt.

a) Vis at \(AC = 3\)

I trekant \(ACD\) kjenner vi \(\angle D = 120°\), \(\angle C = 30°\) og \(CD = \sqrt{3}\).

Vinkelsummen gir:

\[\angle A_{ACD} = 180° - 120° - 30° = 30°\]

Vi bruker sinussetningen i trekant \(ACD\):

\[\frac{AC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin A_{ACD}}\]

\[\frac{AC}{\sin 120°} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30°}\]

Vi vet at \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) og \(\sin 30° = \frac{1}{2}\):

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\]

\[AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\]

Konklusjon: Vi har vist at \(AC = 3\).

b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\)

Firkanten \(ABCD\) kan deles i trekantene \(ACD\) og \(ABC\) ved diagonalen \(AC\).

Arealet av trekant \(ACD\):

Vi bruker formelen med to sider og mellomliggende vinkel. Vi kjenner \(AC = 3\), \(CD = \sqrt{3}\) og \(\angle C = 30°\):

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30°\]

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Arealet av trekant \(ABC\):

Vi kjenner \(AC = 3\), \(BC = \sqrt{6}\) og \(\angle ACB\). Fra figuren ser vi at \(\angle A = 45°\) i trekant \(ABC\) (vinkelen ved \(A\)). Vi trenger å finne \(\angle ACB\).

Vi bruker sinussetningen i trekant \(ABC\):

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

\[\frac{\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{3}{\sin B}\]

Med \(\angle B = 60°\) får vi \(\angle C_{ABC} = 180° - 45° - 60° = 75°\).

Vi bruker arealformelen for trekant \(ABC\) med sidene \(AC\) og \(BC\) og vinkelen mellom dem (\(\angle ACB = 75°\)):

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 75°\]

Vi trenger den eksakte verdien av \(\sin 75°\):

\[\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}\]

\[= \frac{3(6 + \sqrt{12})}{8} = \frac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}\]

Totalt areal:

\[T_{ABCD} = T_{ACD} + T_{ABC} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\]

Svar: Arealet av firkanten \(ABCD\) er \(\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

a) Bruk sinussetningen: Løs(AC / sin(120°) = sqrt(3) / sin(30°), AC) → gir \(AC = 3\)
b) Areal trekant ACD: 1/2 * 3 * sqrt(3) * sin(30°) → gir \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Finn vinkel B: Løs(sin(B) = 3 * sin(45°) / sqrt(6), B) → gir \(B = 60°\)
Areal trekant ABC: 1/2 * 3 * sqrt(6) * sin(75°) → gir \(\frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}\)
Totalt areal: 3*sqrt(3)/4 + (9 + 3*sqrt(3))/4 → gir \(\frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}\)

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave: Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

a) Sett opp en algoritme

Vi studerer mønsteret i figurene. La \(A\) være arealet av trekanten Maria starter med.

Figur 2: Trekanten deles i 4 like store trekanter. Den midterste (den som står opp ned) farges grå. Den har areal \(\frac{A}{4}\).
Figur 3: Bare den øverste av de hvite trekantene deles i 4, og den midterste av disse farges grå. Den nye grå trekanten har areal \(\frac{1}{4} \cdot \frac{A}{4} = \frac{A}{16}\).
Figur 4: Samme operasjon gjentas i den øverste hvite trekanten. Den nye grå trekanten har areal \(\frac{A}{64}\).

Det kommer altså én ny grå trekant per steg, og arealet blir delt på 4 hver gang. Trekant nummer \(n\) som blir grå, har areal

\[a_n = \frac{A}{4^n}\]

Algoritme:

Sett \(\text{sum} = 0\) og \(\text{trekantAreal} = \frac{A}{4}\).
Gjenta 100 ganger:
- Legg til: \(\text{sum} = \text{sum} + \text{trekantAreal}\)
- Oppdater: \(\text{trekantAreal} = \frac{\text{trekantAreal}}{4}\)
Skriv ut \(\text{sum}\).

b) Program med startareal 36

A = 36
sumAreal = 0
trekantAreal = A / 4

for i in range(100):
    sumAreal = sumAreal + trekantAreal
    trekantAreal = trekantAreal / 4

print("Summen av arealene:", sumAreal)

Svar: Summen av arealene av de 100 første grå trekantene er \(\approx 12\) når starttrekanten har areal 36 (programmet skriver ut 12.0).

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet \(B\) har koordinatene \((3, 0)\).

Når \(B = (3, 0)\), har rektangelet bredde 3. Høyden er \(f(3)\) (fordi \(C\) ligger på grafen rett over \(B\)):

\[f(3) = \frac{10}{3^2 + 3} = \frac{10}{9 + 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\]

Arealet av rektangelet er:

\[T = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\]

Svar: Arealet av rektangelet er \(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\).

b) Hvor på \(x\)-aksen må punktet \(B\) ligge for at arealet av rektangelet \(ABCD\) skal bli størst mulig?

La \(B = (x, 0)\) for \(x > 0\). Da er bredden \(x\) og høyden \(f(x) = \frac{10}{x^2+3}\). Arealet er:

\[T(x) = x \cdot \frac{10}{x^2 + 3} = \frac{10x}{x^2 + 3}\]

For å finne maksimalt areal deriverer vi i CAS (Faktoriser(T'(x))) og setter lik null:

\[T'(x) = \frac{-10(x^2 - 3)}{(x^2+3)^2} = \frac{30 - 10x^2}{(x^2+3)^2}\]

Vi setter \(T'(x) = 0\):

\[30 - 10x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}\]

(Vi velger \(x = \sqrt{3}\) siden \(x > 0\).)

Det maksimale arealet er:

\[T(\sqrt{3}) = \frac{10\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Svar: Punktet \(B\) må ligge i \((\sqrt{3}, 0)\) for at arealet skal bli størst mulig. Det maksimale arealet er \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: T(x) := 10x / (x^2 + 3)
Finn den deriverte: T'(x) → gir \(\frac{-10x^2 + 30}{(x^2 + 3)^2}\)
Sett \(T'(x) = 0\): telleren \(30 - 10x^2 = 0\) gir \(x = \sqrt{3}\)
Beregn maks areal: T(sqrt(3)) → gir \(\frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\)

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn: T(x) = 10x / (x^2 + 3)
Finn toppunktet: M = (sqrt(3), T(sqrt(3)))
Grafen viser tydelig at maksimum er ved \(x = \sqrt{3} \approx 1{,}73\)

Oppgave 6 (3 poeng)

a) Bestem likningen for tangenten.
b) Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

a) Bestem likningen for tangenten

Webkameraet sitter i punktet \((0, 23)\) (toppen av parabelen er 20 m, pluss 3 m stang). Tangenten går gjennom \((0, 23)\) og tangerer parabelen i et punkt \((t, p(t))\).

Den deriverte av \(p(x)\) er:

\[p'(x) = -\frac{1}{6}x\]

Stigningstallet til tangenten i punktet \(x = t\) er \(p'(t) = -\frac{t}{6}\).

Tangentlinjen gjennom \((t, p(t))\) med stigningstall \(-\frac{t}{6}\) er:

\[y - p(t) = -\frac{t}{6}(x - t)\]

Denne linjen skal gå gjennom \((0, 23)\). Vi setter inn \(x = 0\) og \(y = 23\):

\[23 - p(t) = -\frac{t}{6}(0 - t) = \frac{t^2}{6}\]

Vi setter inn \(p(t) = -\frac{t^2}{12} + 20\):

\[23 - \left(-\frac{t^2}{12} + 20\right) = \frac{t^2}{6}\]

\[23 + \frac{t^2}{12} - 20 = \frac{t^2}{6}\]

\[3 + \frac{t^2}{12} = \frac{t^2}{6}\]

\[3 = \frac{t^2}{6} - \frac{t^2}{12} = \frac{2t^2 - t^2}{12} = \frac{t^2}{12}\]

\[t^2 = 36 \implies t = \pm 6\]

Vi velger den tangenten som tangerer på den positive siden (den høyre veggen av lagerhallen), altså \(t = 6\) (tangenten til høyre). Grunnet symmetri er tilfellet analogt for \(t = -6\).

Stigningstallet er \(p'(6) = -\frac{6}{6} = -1\).

Tangentlinjen gjennom \((0, 23)\) med stigningstall \(-1\):

\[y = -x + 23\]

Vi verifiserer at denne tangerer parabelen i \(x = 6\):

\[p(6) = -\frac{36}{12} + 20 = -3 + 20 = 17\]

\[y(6) = -6 + 23 = 17 \quad \checkmark\]

Svar: Likningen for tangenten er \(y = -x + 23\) (for den positive siden). Grunnet symmetri er den andre tangenten \(y = x + 23\).

b) Hvor langt fra veggen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert?

Veggen til lagerhallen er der parabelen treffer bakken (\(y = 0\)):

\[-\frac{1}{12}x^2 + 20 = 0 \implies x^2 = 240 \implies x = \pm\sqrt{240} = \pm 4\sqrt{15}\]

Tangentlinjen \(y = -x + 23\) treffer bakken (\(y = 0\)) i:

\[0 = -x + 23 \implies x = 23\]

En tyv som går langs bakken fra veggen og utover til \(x = 23\), ligger under tangentlinjen og er dermed i blindsonen. Fra \(x = 23\) og utover ligger tyven over tangentlinjen og blir fotografert.

Avstanden fra veggen til der tangentlinjen treffer bakken er:

\[23 - 4\sqrt{15} \approx 23 - 15{,}49 = 7{,}51 \text{ m}\]

Svar: En tyv kan bevege seg \(23 - 4\sqrt{15} \approx 7{,}5\) meter fra veggen på lagerhallen uten å bli fotografert av webkameraet.

📊 Slik ser grafen ut:

Skriv inn parabelen: p(x) = -(1/12) * x^2 + 20
Tegn tangentlinjene: t(x) = -x + 23 og t2(x) = x + 23
Marker kamerapunktet: K = (0, 23)
Marker tangeringspunktene: T1 = (6, 17) og T2 = (-6, 17)
Veggen er der \(p(x) = 0\), dvs. \(x \approx \pm 15{,}5\)
Tangenten treffer bakken i \(x = 23\), så blindsonen er \(23 - 15{,}5 \approx 7{,}5\) m

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer: p(x) := -(1/12) * x^2 + 20
Finn deriverte: p'(x) → gir \(-\frac{x}{6}\)
Tangentligning gjennom \((0, 23)\): Løs \(23 - p(t) = -p'(t) \cdot t\) for \(t\):
Løs(23 - (-(1/12)*t^2 + 20) = (t/6)*t, t) → gir \(t = \pm 6\)
Stigningstall: p'(6) → gir \(-1\), så tangenten er \(y = -x + 23\)
Vegg: Løs(p(x) = 0, x) → gir \(x = \pm 4\sqrt{15} \approx \pm 15{,}49\)

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger (\((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\))
Bruke \(a/b + c/d = (a+c)/(b+d)\) — du må finne fellesnevner
Kalle et stasjonært punkt topp- eller bunnpunkt uten å sjekke fortegnet til den deriverte på begge sider
Ha kalkulatoren i feil vinkelmodus (den skal stå på grader, DEG) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag Matematikk 1THøst 2025

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

Påstand 1: Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2: Grafen til \(f\) har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til \(f\) skjærer aldri \(y\)-aksen.

Påstand 4: Grafen til \(f\) har horisontal asymptote \(y = 2\).

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave 1 (8 poeng)

a) Bestem tallene \(a\) og \(b\). Tegn grafen til \(F\).

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom \((75, F(75))\) og \((95, F(95))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

c) Bestem den momentane vekstfarten når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (5 poeng)

a) Vis at \(AC = 3\)

b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\)

Oppgave 4 (3 poeng)

a) Sett opp en algoritme

b) Program med startareal 36

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet \(B\) har koordinatene \((3, 0)\).

b) Hvor på \(x\)-aksen må punktet \(B\) ligge for at arealet av rektangelet \(ABCD\) skal bli størst mulig?

Oppgave 6 (3 poeng)

a) Bestem likningen for tangenten

b) Hvor langt fra veggen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert?

Løsningsforslag Matematikk 1THøst 2025

Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2025

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave 2 (3 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

Påstand 1: Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2: Grafen til \(f\) har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til \(f\) skjærer aldri \(y\)-aksen.

Påstand 4: Grafen til \(f\) har horisontal asymptote \(y = 2\).

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave 5 (5 poeng)

Oppgave 6 (3 poeng)

Oppgave 1 (8 poeng)

a) Bestem tallene \(a\) og \(b\). Tegn grafen til \(F\).

b) Bestem stigningstallet til den rette linjen gjennom \((75, F(75))\) og \((95, F(95))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

c) Bestem den momentane vekstfarten når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 %?

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (5 poeng)

a) Vis at \(AC = 3\)

b) Bestem arealet av firkanten \(ABCD\)

Oppgave 4 (3 poeng)

a) Sett opp en algoritme

b) Program med startareal 36

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet \(B\) har koordinatene \((3, 0)\).

b) Hvor på \(x\)-aksen må punktet \(B\) ligge for at arealet av rektangelet \(ABCD\) skal bli størst mulig?

Oppgave 6 (3 poeng)

a) Bestem likningen for tangenten

b) Hvor langt fra veggen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert?