Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2024

Eksamen MAT1021

Oppgave 1 (2 poeng)

a) Vis at Tom har rett

Vi leser av trekanten. Vinkelen \(u\) ligger øverst, og vinkelen \(v\) ligger nederst til høyre. Trekanten har:

• Hypotenus = 10
• Vertikal katet = 8 (motstående side til \(v\), hosliggende side til \(u\))
• Horisontal katet = 6 (motstående side til \(u\), hosliggende side til \(v\))

Vi regner ut tangensverdiene:

Da får vi:

b) Gjelder dette for alle rettvinklede trekanter?

I en rettvinklet trekant er summen av de to spisse vinklene \(90°\), altså \(u + v = 90°\), som gir \(v = 90° - u\).

Vi bruker at \(\tan(90° - u) = \frac{\cos u}{\sin u} = \frac{1}{\tan u}\).

Dermed:

Oppgave 2 (3 poeng)

Faktoriseringen \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)\) innebærer to mulige divisjoner:

Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)\)

Vi utfører polynomdivisjonen:

Resten er 0, og kvotienten er \(2x^2 + 7x + 3\). Dermed er:

Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3)\)

Vi utfører polynomdivisjonen:

Resten er 0, og kvotienten er \(x - 2\). Dermed er:

Oppgave 3 (2 poeng)

Hele det store kvadratet har sidelengde \(a\), så arealet er \(a^2\). Det eneste hvite området er det lille kvadratet nederst til høyre med sider \(b\) og \(b\), altså areal \(b^2\). Det grønne området er derfor hele kvadratet minus det hvite hjørnet:

Vi kan også regne ut det grønne arealet direkte ved å dele det opp i to rektangler langs delelinjene i figuren:

• Den venstre, loddrette stripen med bredde \((a-b)\) og høyde \(a\), altså areal \(a(a-b)\)
• Rektangelet øverst til høyre med bredde \(b\) og høyde \((a-b)\), altså areal \(b(a-b)\)

Til sammen blir det grønne arealet:

Siden de to oppdelingene beskriver det samme grønne området, må de være like. Det gir identiteten:

Vi kan forenkle høyre side ved å sette \((a-b)\) utenfor en parentes:

Dette er nettopp konjugatsetningen \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), som figuren altså gir en geometrisk begrunnelse for.

Oppgave 4 (2 poeng)

def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x + 7

a = 0
b = 5

v = (f(b) - f(a)) / (b - a)

print(v)

Steg 1: Beregn funksjonsverdiene

Funksjonen er \(f(x) = x^2 - 3x + 7\).

Steg 2: Beregn verdien v

Steg 3: Tolkning

Uttrykket \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) er den gjennomsnittlige endringsraten (stigningstallet til sekanten) til funksjonen \(f\) i intervallet \([0, 5]\).

Dette betyr at funksjonen \(f(x) = x^2 - 3x + 7\) i gjennomsnitt øker med 2 per enhet i \(x\)-retning i intervallet fra \(x = 0\) til \(x = 5\).

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Bestem \(f(x)\)

Fra grafen ser vi at \(f\) er en andregradsfunksjon (parabel) som åpner nedover, med nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = 4\).

Vi kan skrive funksjonen på faktorisert form:

Vi bruker punktet \((0, 24)\) for å finne \(a\):

Vi utvider til standardform:

b) Løs ulikheten \(f(x) > 12\)

Vi setter opp ulikheten:

Vi deler på \(-2\) (og snur ulikhetstegnet):

Vi faktoriserer:

Vi lager en fortegnslinje. Uttrykket \((x-3)(x+2)\) skifter fortegn ved \(x = -2\) og \(x = 3\).

Produktet er negativt (dvs. \(< 0\)) når \(-2 < x < 3\).

Oppgave 1 (8 poeng)

a) Vis at modellen er god

Vi setter inn verdiene fra tabellen i modellen \(O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98\) og sammenligner:

Avvikene er relativt små sammenlignet med overskuddsverdiene. Modellverdiene følger det samme mønsteret som de faktiske dataene, og avvikene er typisk under 2 % av de faktiske verdiene.

b) Størst overskudd

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi \(O(x)\) og setter den deriverte lik null:

Siden \(O''(x) = -0{,}18 < 0\), bekrefter dette at vi har et toppunkt.

Vi runder av til et heltall: \(x \approx 284\) bagetter (siden man ikke kan selge deler av en bagett).

Vi regner ut overskuddet:

(Bruker vi den eksakte verdien \(x = 283{,}6\):

c) Stigningstall for sekantlinjen

Vi skal finne stigningstallet til linjen gjennom \((100, O(100))\) og \((200, O(200))\).

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Stigningstallet blir:

Praktisk tolkning: Når kantinen øker salget fra 100 til 200 bagetter per uke, øker overskuddet i gjennomsnitt med ca. 24 kroner per ekstra bagett som selges.

d) Momentan vekstfart når \(x = 235\)

Den momentane vekstfarten er gitt ved den deriverte:

Praktisk tolkning: Når kantinen selger 235 bagetter i løpet av en uke, vil overskuddet øke med omtrent 8,74 kroner dersom de selger én bagett mer. Vekstfarten er positiv, men ganske lav, noe som betyr at overskuddet nærmer seg toppunktet.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer funksjonen: O(x) := -0.09x² + 51.04x - 2776.98
• Skriv: O(100) → gir \(1427{,}02\)
• Skriv: O(200) → gir \(3831{,}02\)
• Finn toppunktet: Løs(O'(x) = 0, x) → gir \(x \approx 283{,}6\)
• Skriv: O(284) → gir \(4459{,}34\)
• Finn momentan vekstfart: O'(235) → gir \(8{,}74\)

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: O(x) = -0.09x² + 51.04x - 2776.98
• Legg inn datapunktene fra tabellen som punkter
• Grafen viser parabelen med toppunktet nær \(x \approx 284\)

Oppgave 2 (3 poeng)

a) Finn \(u\) når \(v = 39°\)

Vi bruker Snells lov:

b) Hva skjer med \(v\) når \(u \to 90°\)?

Når \(u \to 90°\), har vi \(\sin u \to 1\). Da gir formelen:

Vinkelen \(v\) nærmer seg omtrent \(48{,}8°\). Denne grensevinkelen kalles den kritiske vinkelen for totalrefleksjon (sett fra vannsiden).

c) Kan \(u\) og \(v\) bli like store?

Dersom \(u = v\), gir formelen:

Den eneste løsningen er \(u = v = 0°\), men da går lysstrålen rett ned (vinkelrett på overflaten) og skifter ikke retning. For alle andre vinkler er \(u > v\) fordi \(1{,}33 > 1\).

Oppgave 3 (4 poeng)

Steg 1: Finn \(AC\) fra arealformelen

Arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel er:

Vi vet at \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

Steg 2: Finn \(BC\) med cosinussetningen

Vi bruker cosinussetningen med \(\angle A = 120°\):

Vi vet at \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\):

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Program

for n in range(1, 21):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + (2 * k - 1)
    print(f"S_{n} = {s}")

Programmet gir følgende utskrift:

b) Beskriv sammenhengen

Vi ser at \(S_n = n^2\) for alle \(n\). Det vil si:

Argumentasjon med figuren:

Figuren viser kuler ordnet i et kvadratisk mønster (for eksempel \(5 \times 5\)). Vi kan bygge opp kvadratet lag for lag:

• Det første laget (øverst til venstre) er 1 kule: \(S_1 = 1 = 1^2\)
• Det andre laget legger til en L-form med 3 kuler rundt det første: \(S_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\)
• Det tredje laget legger til en L-form med 5 kuler: \(S_3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)
• Det fjerde laget legger til en L-form med 7 kuler: \(S_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\)
• Det femte laget legger til en L-form med 9 kuler: \(S_5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2\)

Hvert nytt lag \(n\) danner en L-form (eller «vinkel») som har \(n\) kuler nedover og \(n-1\) kuler bortover (eller omvendt), totalt \(n + (n-1) = 2n - 1\) kuler. Dette er akkurat det \(n\)-te oddetallet. Når vi legger til alle lagene, bygger vi et fullstendig \(n \times n\) kvadrat.

Oppgave 5 (8 poeng)

a) Bestem modellen \(K(x) = a \cdot x^b\)

Vi bruker to av datapunktene for å bestemme \(a\) og \(b\). Vi velger \((1000, 100)\) og \((40, 29)\).

Fra \(K(x) = a \cdot x^b\) får vi to likninger:

Vi deler likning (1) på likning (2):

Vi tar logaritmen:

Vi finner \(a\) fra likning (1):

Vi kan kontrollere med de andre datapunktene:

• \(K(500) = 7{,}03 \cdot 500^{0{,}3844} \approx 7{,}03 \cdot 10{,}90 \approx 76{,}6\) (tabell: 81,4)
• \(K(200) = 7{,}03 \cdot 200^{0{,}3844} \approx 7{,}03 \cdot 7{,}66 \approx 53{,}8\) (tabell: 60,1)
• \(K(80) = 7{,}03 \cdot 80^{0{,}3844} \approx 7{,}03 \cdot 5{,}39 \approx 37{,}9\) (tabell: 41,5)

Modellen basert på to datapunkter gir bare en grov tilnærming. Med regresjonsverktøy (f.eks. GeoGebra PotReg) på alle fem datapunktene får man en bedre modell, typisk med \(a \approx 7{,}5\) og \(b \approx 0{,}38\).

b) Modellene for Ari og Lisa

Aris modell: Lufttrykket minker med ca. 12 % per km. Ved havets overflate er trykket 1000 hPa. For hver kilometer oppover beholder vi 88 % av trykket:

der \(x\) er antall kilometer over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Vi bruker halveringsformelen:

der \(x\) er antall kilometer over havet.

Vi kan også skrive Lisas modell på formen \(L_L(x) = 1000 \cdot a^x\) der \(a = 0{,}5^{1/5{,}5} = 2^{-1/5{,}5} \approx 0{,}8816\):

Vi ser at Aris og Lisas modeller gir nesten samme resultat (0,88 vs. 0,882), noe som er naturlig siden begge beskriver samme fysiske fenomen.

c) Hvor høyt over havet kan man koke egg?

Egg blir hardkokt når vanntemperaturen er minst 85 °C. Vi trenger å finne lufttrykket som gir kokepunkt 85 °C, og deretter finne tilsvarende høyde.

Steg 1: Finn lufttrykket der \(K(x) = 85\):

Steg 2: Finn høyden der lufttrykket er 659 hPa. Vi bruker Aris modell:

Vi sjekker med Lisas modell:

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn: K(x) = 7.03 * x^0.384
• Legg inn datapunktene fra tabellen
• Tegn linjen \(y = 85\) og finn skjæringspunktet \(G \approx (659, 85)\)

Oppgave 6 (2 poeng)

Steg 1: Les av den deriverte fra grafen

Fra grafen ser vi at den deriverte \(f'(x)\) er en rett linje. Vi leser av at linjen skjærer \(x\)-aksen i \((2, 0)\) og passerer gjennom punktet \((4, 4)\). Dermed har den deriverte:

• Stigningstall: \(\frac{4 - 0}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\)
• Konstantledd: linjen skjærer \(y\)-aksen i \(-4\) (fra \(y = 2(x - 2) = 2x - 4\))

Steg 2: Finn tangentens stigningstall i \(P(1, 2)\)

Tangentens stigningstall i \(x = 1\) er:

Steg 3: Sett opp tangentlikningen

Tangenten går gjennom \(P(1, 2)\) med stigningstall \(-2\):

Argumentasjon

Vi leser fra grafen at \(f'(x)\) er en lineær funksjon som skjærer \(x\)-aksen i \((2, 0)\) og går gjennom \((4, 4)\), altså \(f'(x) = 2x - 4\). Verdien \(f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2\) er stigningstallet til tangenten i punktet der \(x = 1\). Siden \(P(1, 2)\) ligger på grafen til \(f\), bruker vi ettpunktsformelen for en rett linje til å finne tangentlikningen.

Oppgave 7 (6 poeng)

Strategi

Vi trenger tre funksjonsuttrykk som til sammen danner en lukket kurve. Fra figuren ser vi:

• En kurve øverst til venstre (parabel som åpner oppover, bunnpunkt på \(y\)-aksen) -- den grønne grafen.
• En kurve øverst til høyre (parabel som åpner oppover, bunnpunkt på \(y\)-aksen) -- den grå/lyse grafen.
• En kurve nederst (bue som går nedover, kobler de to grafene sammen) -- den mørke/blå grafen.

Vi velger å lage dette med tre funksjoner. La oss si at punktene \(A\) og \(B\) har samme \(y\)-koordinat, for eksempel \(y = 2\).

Valg av funksjoner

Funksjon 1 (øvre venstre kurve): En parabel med bunnpunkt på \(y\)-aksen.

Bunnpunktet er \((0, 1)\) som ligger på \(y\)-aksen. Ved \(x = -2\): \(f_1(-2) = 4 + 1 = 5\). Punktet \(A\) er der \(f_1(x) = 2\): \(x^2 + 1 = 2 \Rightarrow x = -1\), altså \(A = (-1, 2)\).

Men vi trenger at \(A\) er et endepunkt. La oss velge litt annerledes slik at kurven passer bedre.

Vi definerer tre funksjoner slik:

Funksjon 1: Parabel med bunnpunkt i \((0, -1)\), brukt for \(x \in [-3, 0]\):

Bunnpunkt: \((0, -1)\) på \(y\)-aksen. Ved \(x = -3\): \(f_1(-3) = 9 - 1 = 8\). Punktet \(A = (-3, 8)\).

Funksjon 2: Parabel med bunnpunkt i \((0, -1)\), brukt for \(x \in [0, 3]\):

Bunnpunkt: \((0, -1)\) på \(y\)-aksen. Denne kobles til \(f_1\) i \(x = 0\) der begge gir \(y = -1\). Ved \(x = 3\): \(f_2(3) = 3 - 1 = 2\). Punkt \(B = (3, 2)\).

Men da må \(A\) ha \(y = 2\) også. Vi trenger \(f_1(x_A) = 2\): \(x^2 - 1 = 2 \Rightarrow x = -\sqrt{3}\). Altså \(A = (-\sqrt{3}, 2)\).

Funksjon 3: Lineær funksjon (rett linje) som forbinder \(A = (-\sqrt{3}, 2)\) og \(B = (3, 2)\):

Men en konstant funksjon er kanskje for enkel. La oss justere slik at det ser mer ut som figuren med en kurve som går nedover. Fra figuren ser det ut som den nederste kurven går under \(x\)-aksen.

La oss revidere løsningen for å bedre matche figuren:

Funksjon 1 (øvre venstre, grønn kurve):

Bunnpunkt: \((0, 2)\) på \(y\)-aksen. Ved \(x = -3\): \(f_1(-3) = 9 + 2 = 11\).

Funksjon 2 (øvre høyre, grå kurve):

Bunnpunkt: \((3, 2)\). Men denne har ikke bunnpunkt på \(y\)-aksen.

La oss tenke om igjen og velge en enklere, tydelig løsning:

Endelig løsning

Funksjon 1 (venstre kurve):

Denne har bunnpunkt i \((-2, 0)\), ikke på \(y\)-aksen. La oss i stedet velge:

Funksjon 1 (øvre venstre): \(f_1(x) = x^2 + 3\) for \(x \in [-2, 0]\)

Bunnpunkt: \((0, 3)\) -- på \(y\)-aksen. \(f_1(-2) = 4 + 3 = 7\). Punkt \(A = (-2, 7)\).

Funksjon 2 (øvre høyre): \(f_2(x) = \frac{4}{9}x^2 + 3\) for \(x \in [0, 3]\)

Bunnpunkt: \((0, 3)\) -- på \(y\)-aksen. \(f_2(3) = 4 + 3 = 7\). Punkt \(B = (3, 7)\).

\(A = (-2, 7)\) og \(B = (3, 7)\) har samme \(y\)-koordinat. Begge funksjoner har bunnpunkt i \((0, 3)\) på \(y\)-aksen.

Funksjon 3 (nedre kurve som forbinder \(A\) og \(B\)):

Sjekk: \(f_3(-2) = -4 - 2 + 13 = 7\) og \(f_3(3) = -9 + 3 + 13 = 7\). Men denne parabelen åpner nedover og har toppunkt over 7, som ikke gir en lukket kurve under de andre grafene.

Vi trenger at den nedre kurven går under de to øvre kurvene. La oss bruke:

Sjekk: \(f_3(-2) = 4 + 2 + 1 = 7\) og \(f_3(3) = 9 - 3 + 1 = 7\). Bunnpunkt: \(x = \frac{1}{2}\), \(f_3(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 + 1 = 0{,}75\).

Denne parabelen åpner oppover, har bunnpunkt i \((0{,}5;\; 0{,}75)\), og passerer gjennom \(A = (-2, 7)\) og \(B = (3, 7)\). Den går godt under grafene \(f_1\) og \(f_2\), og danner dermed en lukket kurve.

Skisse av den lukkede kurven:

(De tre grafene danner en lukket kurve. f₁ og f₂ (blå og grønn) har bunnpunkt i M = (0, 3) på y-aksen. Punktene A(-2, 7) og B(3, 7) har samme y-koordinat.)

Oppsummering og kontroll

Kontroll av kravene:

• To av grafene (\(f_1\) og \(f_2\)) har bunnpunkter på \(y\)-aksen: \((0, 3)\).
• \(A = (-2, 7)\) og \(B = (3, 7)\) har samme \(y\)-koordinat (\(y = 7\)).
• Grafene møtes: \(f_1(0) = f_2(0) = 3\) (kobling i topp), \(f_1(-2) = f_3(-2) = 7\) (punkt \(A\)), og \(f_2(3) = f_3(3) = 7\) (punkt \(B\)). Kurven er lukket.

📊 Slik ser det ut i GeoGebra Grafisk:

• Skriv inn med begrenset definisjonsmengde: f1 = If(-2 ≤ x ≤ 0, x² + 3)
f2 = If(0 ≤ x ≤ 3, (4/9)x² + 3)
f3 = If(-2 ≤ x ≤ 3, x² - x + 1)
• Legg inn punktene: A = (-2, 7), B = (3, 7), M = (0, 3)
• Grafen viser tre kurver som danner en lukket figur