Løsningsforslag – Matematikk 1T Vår 2024

Eksamen MAT1021

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Tom har arbeidet med trekanten nedenfor og påstår at \(\tan u \cdot \tan v = 1\).

a) Vis at Tom har rett.
b) Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler \(u\) og \(v\).

a) Vis at Tom har rett

Vi leser av trekanten. Vinkelen \(u\) ligger øverst, og vinkelen \(v\) ligger nederst til høyre. Trekanten har:

• Hypotenus = 10
• Vertikal katet = 8 (motstående side til \(v\), hosliggende side til \(u\))
• Horisontal katet = 6 (motstående side til \(u\), hosliggende side til \(v\))

Vi regner ut tangensverdiene:

Da får vi:

b) Gjelder dette for alle rettvinklede trekanter?

I en rettvinklet trekant er summen av de to spisse vinklene \(90°\), altså \(u + v = 90°\), som gir \(v = 90° - u\).

Vi bruker at \(\tan(90° - u) = \frac{\cos u}{\sin u} = \frac{1}{\tan u}\).

Dermed:

Oppgave 2 (3 poeng)

Faktoriseringen \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)\) innebærer to mulige divisjoner:

Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)\)

Vi utfører polynomdivisjonen:

Resten er 0, og kvotienten er \(2x^2 + 7x + 3\). Dermed er:

Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3)\)

Vi utfører polynomdivisjonen:

Resten er 0, og kvotienten er \(x - 2\). Dermed er:

Oppgave 3 (2 poeng)

Hele det store kvadratet har sidelengde \(a\), så arealet er \(a^2\). Det eneste hvite området er det lille kvadratet nederst til høyre med sider \(b\) og \(b\), altså areal \(b^2\). Det grønne området er derfor hele kvadratet minus det hvite hjørnet:

Vi kan også regne ut det grønne arealet direkte ved å dele det opp i to rektangler langs delelinjene i figuren:

• Den venstre, loddrette stripen med bredde \((a-b)\) og høyde \(a\), altså areal \(a(a-b)\)
• Rektangelet øverst til høyre med bredde \(b\) og høyde \((a-b)\), altså areal \(b(a-b)\)

Til sammen blir det grønne arealet:

Siden de to oppdelingene beskriver det samme grønne området, må de være like. Det gir identiteten:

Vi kan forenkle høyre side ved å sette \((a-b)\) utenfor en parentes:

Dette er nettopp konjugatsetningen \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), som figuren altså gir en geometrisk begrunnelse for.

Oppgave 4 (2 poeng)

def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x + 7

a = 0
b = 5

v = (f(b) - f(a)) / (b - a)

print(v)

Steg 1: Beregn funksjonsverdiene

Funksjonen er \(f(x) = x^2 - 3x + 7\).

Steg 2: Beregn verdien v

Steg 3: Tolkning

Uttrykket \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) er den gjennomsnittlige endringsraten (stigningstallet til sekanten) til funksjonen \(f\) i intervallet \([0, 5]\).

Dette betyr at funksjonen \(f(x) = x^2 - 3x + 7\) i gjennomsnitt øker med 2 per enhet i \(x\)-retning i intervallet fra \(x = 0\) til \(x = 5\).

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave: Figuren viser grafen til en funksjon \(f\).

a) Bestem \(f(x)\)
b) Løs ulikheten \(f(x) > 12\)

a) Bestem \(f(x)\)

Fra grafen ser vi at \(f\) er en andregradsfunksjon (parabel) som åpner nedover, med nullpunkter i \(x = -3\) og \(x = 4\).

Vi kan skrive funksjonen på faktorisert form:

Vi bruker punktet \((0, 24)\) for å finne \(a\):

Vi utvider til standardform:

b) Løs ulikheten \(f(x) > 12\)

Vi setter opp ulikheten:

Vi deler på \(-2\) (og snur ulikhetstegnet):

Vi faktoriserer:

Vi lager en fortegnslinje. Uttrykket \((x-3)(x+2)\) skifter fortegn ved \(x = -2\) og \(x = 3\).

Produktet er negativt (dvs. \(< 0\)) når \(-2 < x < 3\).

Oppgave 1 (8 poeng)

a) Vis at modellen er god

Vi setter inn verdiene fra tabellen i modellen \(O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98\) og sammenligner:

Avvikene er relativt små sammenlignet med overskuddsverdiene. Modellverdiene følger det samme mønsteret som de faktiske dataene, og avvikene er typisk under 2 % av de faktiske verdiene.

b) Størst overskudd

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi \(O(x)\) og setter den deriverte lik null:

\(O\) er en andregradsfunksjon med negativ \(x^2\)-koeffisient, så grafen vender den hule siden ned, og dette er toppunktet.

Vi runder av til et heltall: \(x \approx 284\) bagetter (siden man ikke kan selge deler av en bagett).

Vi regner ut overskuddet:

(Bruker vi den eksakte verdien \(x = 283{,}6\):

c) Stigningstall for sekantlinjen

Vi skal finne stigningstallet til linjen gjennom \((100, O(100))\) og \((200, O(200))\).

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Stigningstallet blir:

Praktisk tolkning: Når kantinen øker salget fra 100 til 200 bagetter per uke, øker overskuddet i gjennomsnitt med ca. 24 kroner per ekstra bagett som selges.

d) Momentan vekstfart når \(x = 235\)

Den momentane vekstfarten er gitt ved den deriverte:

Praktisk tolkning: Når kantinen selger 235 bagetter i løpet av en uke, vil overskuddet øke med omtrent 8,74 kroner dersom de selger én bagett mer. Vekstfarten er positiv, men ganske lav, noe som betyr at overskuddet nærmer seg toppunktet.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer funksjonen: O(x) := -0.09x² + 51.04x - 2776.98
• Skriv: O(100) → gir \(1427{,}02\)
• Skriv: O(200) → gir \(3831{,}02\)
• Finn toppunktet: Løs(O'(x) = 0, x) → gir \(x \approx 283{,}6\)
• Skriv: O(284) → gir \(4459{,}34\)
• Finn momentan vekstfart: O'(235) → gir \(8{,}74\)

📊 Slik ser grafen ut:

• Skriv inn: O(x) = -0.09x² + 51.04x - 2776.98
• Legg inn datapunktene fra tabellen som punkter
• Grafen viser parabelen med toppunktet nær \(x \approx 284\)

Oppgave 2 (3 poeng)

a) Finn \(u\) når \(v = 39°\)

Vi bruker Snells lov:

b) Hva skjer med \(v\) når \(u \to 90°\)?

Når \(u \to 90°\), har vi \(\sin u \to 1\). Da gir formelen:

Vinkelen \(v\) nærmer seg omtrent \(48{,}8°\). Denne grensevinkelen kalles den kritiske vinkelen for totalrefleksjon (sett fra vannsiden).

c) Kan \(u\) og \(v\) bli like store?

Dersom \(u = v\), gir formelen:

Den eneste løsningen er \(u = v = 0°\), men da går lysstrålen rett ned (vinkelrett på overflaten) og skifter ikke retning. For alle andre vinkler er \(u > v\) fordi \(1{,}33 > 1\).

Oppgave 3 (4 poeng)

Steg 1: Finn \(AC\) fra arealformelen

Arealformelen for en trekant med to sider og mellomliggende vinkel er:

Vi vet at \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

Steg 2: Finn \(BC\) med cosinussetningen

Vi bruker cosinussetningen med \(\angle A = 120°\):

Vi vet at \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\):

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave: Vi skal arbeide med summer av oddetall: \[S_1 = 1, \quad S_2 = 1+3, \quad S_3 = 1+3+5, \quad \ldots\] a) Lag et program som summerer og skriver ut summene \(S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{20}\).
b) Beskriv sammenhengen du oppdager når du ser på summene. Bruk figuren nedenfor til å argumentere for at sammenhengen må være riktig.

a) Program

for n in range(1, 21):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + (2 * k - 1)
    print(f"S_{n} = {s}")

Programmet gir følgende utskrift:

b) Beskriv sammenhengen

Vi ser at \(S_n = n^2\) for alle \(n\). Det vil si:

Argumentasjon med figuren:

Figuren viser kuler ordnet i et kvadratisk mønster (for eksempel \(5 \times 5\)). Vi kan bygge opp kvadratet lag for lag:

• Det første laget (nederst til venstre) er 1 kule: \(S_1 = 1 = 1^2\)
• Det andre laget legger til en L-form med 3 kuler rundt det første: \(S_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\)
• Det tredje laget legger til en L-form med 5 kuler: \(S_3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)
• Det fjerde laget legger til en L-form med 7 kuler: \(S_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\)
• Det femte laget legger til en L-form med 9 kuler: \(S_5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2\)

Hvert nytt lag \(n\) danner en L-form (eller «vinkel») som har \(n\) kuler nedover og \(n-1\) kuler bortover (eller omvendt), totalt \(n + (n-1) = 2n - 1\) kuler. Dette er akkurat det \(n\)-te oddetallet. Når vi legger til alle lagene, bygger vi et fullstendig \(n \times n\) kvadrat.

Oppgave 5 (8 poeng)

a) Bestem modellen \(K(x) = a \cdot x^b\)

Vi bruker to av datapunktene for å bestemme \(a\) og \(b\). Vi velger \((1000, 100)\) og \((40, 29)\).

Fra \(K(x) = a \cdot x^b\) får vi to likninger:

Vi deler likning (1) på likning (2):

Den ukjente står i eksponenten. Vi prøver oss fram med digitalt verktøy (kalkulator eller CAS) og ser hvilken \(b\) som gir \(3{,}4483\):

Altså ligger \(b\) mellom \(0{,}384\) og \(0{,}385\). Vi regner videre med \(b \approx 0{,}384\).

Vi finner \(a\) fra likning (2):

Vi kan kontrollere med de andre datapunktene:

• \(K(500) = 7{,}03 \cdot 500^{0{,}384} \approx 7{,}03 \cdot 10{,}87 \approx 76{,}4\) (tabell: 81,4)
• \(K(200) = 7{,}03 \cdot 200^{0{,}384} \approx 7{,}03 \cdot 7{,}65 \approx 53{,}8\) (tabell: 60,1)
• \(K(80) = 7{,}03 \cdot 80^{0{,}384} \approx 7{,}03 \cdot 5{,}38 \approx 37{,}8\) (tabell: 41,5)

Modellen basert på to datapunkter treffer (nesten) nøyaktig i endepunktene (\(K(1000) \approx 99{,}8\) og \(K(40) \approx 29{,}0\)), men ligger systematisk for lavt i midten. Potensregresjon (RegPot i GeoGebra) på alle fem datapunktene gir en jevnere tilpasning: \(a \approx 7{,}56\) og \(b \approx 0{,}380\), altså \(K(x) \approx 7{,}56 \cdot x^{0{,}380}\). Den gir modellverdiene \(104{,}7\); \(80{,}4\); \(56{,}8\); \(40{,}1\) og \(30{,}8\) — samlet nærmere tabellen enn topunktsmodellen. Begge modellene er gyldige svar på oppgaven; vi regner videre med topunktsmodellen, men kommer tilbake til forskjellen i oppgave c).

b) Modellene for Ari og Lisa

Aris modell: Lufttrykket minker med ca. 12 % per km. Ved havets overflate er trykket 1000 hPa. For hver kilometer oppover beholder vi 88 % av trykket:

der \(x\) er antall kilometer over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Vi bruker halveringsformelen:

der \(x\) er antall kilometer over havet.

Vi kan også skrive Lisas modell på formen \(L_L(x) = 1000 \cdot a^x\) der \(a = 0{,}5^{1/5{,}5} = 2^{-1/5{,}5} \approx 0{,}8816\):

Vi ser at Aris og Lisas modeller gir nesten samme resultat (0,88 vs. 0,882), noe som er naturlig siden begge beskriver samme fysiske fenomen.

c) Hvor høyt over havet kan man koke egg?

Egg blir hardkokt når vanntemperaturen er minst 85 °C. Vi trenger å finne lufttrykket som gir kokepunkt 85 °C, og deretter finne tilsvarende høyde.

Steg 1: Finn lufttrykket der \(K(x) = 85\):

Steg 2: Finn høyden der lufttrykket er 659 hPa. Vi bruker Aris modell:

Den ukjente står i eksponenten, så vi løser i GeoGebra CAS: NLøs(1000 * 0.88^h = 659, h) → gir

Vi sjekker med Lisas modell:

I GeoGebra CAS: NLøs(1000 * 0.5^(h / 5.5) = 659, h) → gir

📊 Slik ser grafen ut:

• Skriv inn: K(x) = 7.03 * x^0.384
• Legg inn datapunktene fra tabellen
• Tegn linjen \(y = 85\) og finn skjæringspunktet \(G \approx (659, 85)\)

Oppgave 6 (2 poeng)

Oppgave: Den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet nedenfor, er den deriverte av en funksjon \(f\). Punktet \(P(1, 2)\) ligger på grafen til \(f\). Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \(P\). Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Steg 1: Les av den deriverte fra grafen

Fra grafen ser vi at den deriverte \(f'(x)\) er en rett linje. Vi leser av at linjen skjærer \(x\)-aksen i \((2, 0)\) og passerer gjennom punktet \((4, 4)\). Dermed har den deriverte:

• Stigningstall: \(\frac{4 - 0}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\)
• Konstantledd: linjen skjærer \(y\)-aksen i \(-4\) (fra \(y = 2(x - 2) = 2x - 4\))

Steg 2: Finn tangentens stigningstall i \(P(1, 2)\)

Tangentens stigningstall i \(x = 1\) er:

Steg 3: Sett opp tangentlikningen

Tangenten går gjennom \(P(1, 2)\) med stigningstall \(-2\):

Argumentasjon

Vi leser fra grafen at \(f'(x)\) er en lineær funksjon som skjærer \(x\)-aksen i \((2, 0)\) og går gjennom \((4, 4)\), altså \(f'(x) = 2x - 4\). Verdien \(f'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2\) er stigningstallet til tangenten i punktet der \(x = 1\). Siden \(P(1, 2)\) ligger på grafen til \(f\), bruker vi ettpunktsformelen for en rett linje til å finne tangentlikningen.

Oppgave 7 (6 poeng)

Strategi

Figuren i oppgaven består av tre buer:

• en grønn kurve som starter i \(A\), går opp over en topp, ned til et bunnpunkt i \(B\) på \(y\)-aksen, og deretter opp igjen til høyre — formen til en tredjegradsfunksjon;
• et grått linjestykke som går skrått ned fra enden av den grønne kurven;
• en blå kurve som går fra \(A\), ned til et bunnpunkt i \(C\) på \(y\)-aksen og opp igjen til enden av linjestykket — formen til en andregradsfunksjon.

Kravene vi må oppfylle er at to av grafene har bunnpunkt på \(y\)-aksen (det blir \(B\) og \(C\)), og at \(A\) og \(B\) har samme \(y\)-koordinat. Vi lar den felles \(y\)-verdien være \(1\).

Valg av funksjoner

Tredjegradsfunksjonen \(f\) (grønn kurve): Vi vil ha bunnpunkt i \((0, 1)\). Skriver vi \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), gir kravene \(f(0) = 1\) og \(f'(0) = 0\) direkte at \(d = 1\) og \(c = 0\). Vi velger \(a = 1\) og \(b = 3\):

Kontroll av bunnpunktet: \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)\), som er \(0\) for \(x = 0\) og \(x = -2\). Fortegnet til \(f'\): \(f'(-3) = 9 > 0\), \(f'(-1) = -3 < 0\) og \(f'(1) = 9 > 0\). \(f'\) skifter fra negativ til positiv i \(x = 0\), så \((0,\ f(0)) = (0, 1)\) er et bunnpunkt, og det ligger på \(y\)-aksen. \(f'\) skifter fra positiv til negativ i \(x = -2\), så \((-2, 5)\) er toppunktet — «pukkelen» i figuren.

Punktet \(A\) er der den grønne kurven har samme \(y\)-verdi som \(B\):

Altså er \(A = (-3,\ 1)\) og \(B = (0,\ 1)\) — samme \(y\)-koordinat \(\checkmark\). Høyre endepunkt på den grønne kurven er \((1,\ f(1)) = (1,\ 5)\).

Andregradsfunksjonen \(g\) (blå kurve): Den skal ha bunnpunkt på \(y\)-aksen, altså ingen \(x\)-ledd, og den skal gå gjennom \(A(-3,\ 1)\):

Bunnpunktet er \(C = \left(0;\ -3{,}5\right)\), som ligger på \(y\)-aksen \(\checkmark\). Høyre endepunkt er \((3,\ g(3)) = (3,\ 1)\).

Linjestykket \(h\) (grå strek): Det skal koble den grønne kurvens høyre endepunkt \((1,\ 5)\) til den blå kurvens høyre endepunkt \((3,\ 1)\). Stigningstallet er

Argumentasjon for at kurven blir lukket

• \(f(-3) = -27 + 27 + 1 = 1\) og \(g(-3) = 4{,}5 - 3{,}5 = 1\): begge grafene møtes i \(A(-3,\ 1)\) \(\checkmark\)
• \(f(1) = 1 + 3 + 1 = 5\) og \(h(1) = -2 + 7 = 5\): den grønne kurven møter linjestykket \(\checkmark\)
• \(h(3) = -6 + 7 = 1\) og \(g(3) = 4{,}5 - 3{,}5 = 1\): linjestykket møter den blå kurven \(\checkmark\)

Kurven krysser ikke seg selv: for \(-3 \le x \le 1\) er \(f(x) - g(x) = x^3 + 3x^2 + 1 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{7}{2} > 0\) unntatt i \(x = -3\), og på \([1, 3]\) ligger linjestykket \(h(x) \geq 1\) mens \(g(x) \leq 1\). Den blå kurven ligger altså hele veien under de to andre.

Skisse av den lukkede kurven:

(Tredjegradsfunksjonen \(f\) i grønt, linjestykket \(h\) i grått og andregradsfunksjonen \(g\) i blått. \(B(0,\,1)\) er bunnpunkt for \(f\) og \(C(0;\ -3{,}5)\) er bunnpunkt for \(g\) — begge på \(y\)-aksen. \(A(-3,\,1)\) og \(B(0,\,1)\) har samme \(y\)-koordinat.)

Oppsummering og kontroll

Kontroll av kravene:

• To av grafene har bunnpunkt på \(y\)-aksen: \(f\) i \(B(0,\ 1)\) og \(g\) i \(C(0;\ -3{,}5)\) \(\checkmark\)
• \(A = (-3,\ 1)\) og \(B = (0,\ 1)\) har samme \(y\)-koordinat \(\checkmark\)
• De tre grafene henger sammen i endepunktene og danner en lukket kurve \(\checkmark\)