VG1
Løsningsforslag Matematikk 1THøst 2024
PDF Løsningsforslag
Bidrag fra Eksamenssett.no
Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2024
Eksamen MAT1021
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Oppgave 1 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok
\[2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)\]
Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når \(u = 30°\).
Steg 1: Finn trigonometriske verdier fra trekanten
Fra den rettvinklede trekanten med vinkler 30°, 60° og 90°:
For vinkelen \(u = 30°\):
\[\sin(30°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}\]
\[\cos(30°) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Steg 2: Regn ut venstre side
\[2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Steg 3: Regn ut høyre side
Når \(u = 30°\), blir \(2u = 60°\).
Fra trekanten:
\[\sin(60°) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Steg 4: Sammenlign
\[\text{Venstre side: } 2 \cdot \sin(30°) \cdot \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\text{Høyre side: } \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Konklusjon: Venstre side = Høyre side = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Formelen \(2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)\) er verifisert for \(u = 30°\).
Formelen \(2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2u)\) er verifisert for \(u = 30°\).
Vanlig feil: Noen elever prøver å bruke kalkulatoren direkte uten å vise utregningen steg for steg. Oppgaven ber deg bruke trekanten, altså lese av sinus- og cosinusverdier fra sidelengdene. Husk at i en 30-60-90-trekant med hypotenus 2 er katetene 1 og \(\sqrt{3}\), noe som gir \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) og \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Oppgave 2 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x) = (x-1)(x+3)\). Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til \(f\).
Metode: Bruk nullpunktene
For en andregradsfunksjon på formen \(f(x) = (x - x_1)(x - x_2)\) ligger bunnpunktet (eller toppunktet) midt mellom nullpunktene.
Steg 1: Finn nullpunktene
Fra den faktoriserte formen \(f(x) = (x-1)(x+3)\) kan vi lese av nullpunktene direkte:
\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]
\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3\]
Steg 2: Finn x-koordinaten til bunnpunktet
x-koordinaten til bunnpunktet er gjennomsnittet av nullpunktene:
\[x_b = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Steg 3: Finn y-koordinaten til bunnpunktet
Sett \(x = -1\) inn i funksjonen:
\[f(-1) = ((-1) - 1)((-1) + 3) = (-2) \cdot 2 = -4\]
Svar: Bunnpunktet har koordinatene \(\boxed{(-1, -4)}\)
Vanlig feil: Noen elever finner \(x\)-koordinaten til bunnpunktet men regner feil funksjonsverdi. Husk at \(x_b\) ligger midt mellom nullpunktene, og du må sette denne verdien tilbake i funksjonsuttrykket for å finne \(y_b\). En annen metode er å fullstendigkvadrere: \((x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4\), som direkte viser bunnpunktet \((-1, -4)\).
Oppgave 3 (4 poeng) - Løsning
Oppgave: Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12\). Løs ulikheten \(f(x) < 0\) og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.
Steg 1: Faktoriser polynomet
Vi prøver å finne en rot ved å teste enkle verdier:
\[f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \quad \checkmark\]
Siden \(f(1) = 0\), er \(x = 1\) en rot, og \((x-1)\) er en faktor.
Steg 2: Polynomdivisjon
Vi deler \(x^3 + 7x^2 + 4x - 12\) på \((x-1)\):
\[(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) \div (x - 1) = x^2 + 8x + 12\]
\[
\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r}
\underline{x^3} & \underline{{} + 7x^2} & \underline{{} + 4x} & \underline{{} - 12} \\[2pt]
-(x^3 & {} - x^2) & & \\[2pt]
\hline
& 8x^2 & {} + 4x & {} - 12 \\[2pt]
& -(8x^2 & {} - 8x) & \\[2pt]
\hline
& & 12x & {} - 12 \\[2pt]
& & -(12x & {} - 12) \\[2pt]
\hline
& & & 0
\end{array}
\]
Resultat:
\[x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x^2 + 8x + 12)\]
Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket
\[x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)\]
Fullstendig faktorisering:
\[f(x) = (x-1)(x+2)(x+6)\]
Steg 4: Finn nullpunktene
Nullpunktene er: \(x = 1\), \(x = -2\), og \(x = -6\)
Steg 5: Fortegnsskjema
For et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient:
| \(x\) | \(x < -6\) | \(-6\) | \(-6 < x < -2\) | \(-2\) | \(-2 < x < 1\) | \(1\) | \(x > 1\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Tallinje med fortegnene og løsningsområdet markert:
(Røde områder viser hvor f(x) < 0, dvs. løsningsmengden til ulikheten.)
Steg 6: Grafisk illustrasjon
Røde områder viser hvor \(f(x) < 0\)
Svar: \(f(x) < 0\) når
\[\boxed{x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1}\]
På intervallform: \(x \in \langle \leftarrow, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle\)
Oppgave 4 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: I koordinatsystemet har vi en sirkel med radius \(r = 1\). Punktet \(P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)\) ligger på sirkelen ved vinkelen \(50°\).
a) Er \(\tan 50° > 1\)? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er \(\tan 130° > 0\)? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er \(\tan 130° > 0\)? Husk å begrunne svaret ditt.
Bakgrunn: Enhetssirkelen
For enhetssirkelen (radius = 1) gjelder:
- \(\cos(\theta) = x\)-koordinaten
- \(\sin(\theta) = y\)-koordinaten
- \(\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{y}{x}\)
Fra figuren: \(P(0{,}64 \, , \, 0{,}77)\) ligger ved \(50°\), så \(\cos(50°) = 0{,}64\) og \(\sin(50°) = 0{,}77\).
a) Er tan 50° > 1?
\[\tan(50°) = \frac{\sin(50°)}{\cos(50°)} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20\]
Siden \(\sin(50°) = 0{,}77 > 0{,}64 = \cos(50°)\), blir brøken større enn 1.
Svar a): Ja, \(\tan 50° > 1\) fordi \(\sin(50°) > \cos(50°)\).
Vanlig feil: Mange elever husker ikke hva tangens betyr geometrisk. I enhetssirkelen er \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). Når \(\theta > 45°\) (i første kvadrant), er sinus større enn cosinus, og dermed er tangens større enn 1. For \(\theta = 45°\) er \(\tan 45° = 1\) nøyaktig.
b) Er tan 130° > 0?
\(130°\) ligger i andre kvadrant (mellom \(90°\) og \(180°\)).
I andre kvadrant:
- \(\sin(130°) > 0\) (y-koordinaten er positiv)
- \(\cos(130°) < 0\) (x-koordinaten er negativ)
\[\tan(130°) = \frac{\sin(130°)}{\cos(130°)} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}\]
Svar b): Nei, \(\tan 130° < 0\) fordi i andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, noe som gir negativ tangens.
Oppgave 5 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: Ovenfor ser du et lite kvadrat og to rektangler som til sammen utgjør et stort kvadrat. Hver side i det lille kvadratet har lengde \(s\). Hver side i det store kvadratet har lengde \(s+t\). Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.
Areal av det store kvadratet
Det store kvadratet har sidelengde \(s + t\), så arealet er
\[A_{\text{stort}} = (s+t)^2\]
Areal som sum av delene
Det store kvadratet er satt sammen av tre deler (jf. figuren):
- Det store rektangelet (grønt) til venstre har bredde \(t\) og høyde \(s+t\), altså areal \(t(s+t) = st + t^2\).
- Det øvre rektangelet (lilla) øverst til høyre har sidene \(s\) og \(t\), altså areal \(s \cdot t = st\).
- Det lille kvadratet nederst til høyre har side \(s\), altså areal \(s^2\).
Til sammen blir arealet:
\[A_{\text{stort}} = t(s+t) + st + s^2 = st + t^2 + st + s^2 = s^2 + 2st + t^2\]
Identiteten
De to uttrykkene for arealet av det store kvadratet må være like:
\[(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2\]
Svar: Ved å regne ut arealet av det store kvadratet på to måter får vi den matematiske identiteten (første kvadratsetning):
\[\boxed{(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2}\]
Vanlig feil: Mange elever glemmer kryssleddet \(2st\) og skriver \((s+t)^2 = s^2 + t^2\). Figuren viser tydelig hvorfor kryssleddet må være med: i tillegg til kvadratet \(s^2\) og kvadratet \(t^2\) (som ligger inne i det grønne rektangelet) dukker det opp to like rektangler med areal \(st\), til sammen \(2st\). Dette er den geometriske begrunnelsen for første kvadratsetning.
DEL 2
Med hjelpemidler
Oppgave 1 (8 poeng) - Løsning
Oppgave: Funksjonen \(P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600\) viser antall personer som abonnerer på papirutgaven av en avis \(x\) år etter 2010.
a) Antall abonnenter i 2010 (to metoder)
Metode 1: Sett inn x = 0
I 2010 er \(x = 0\):
\[P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4200\]
Metode 2: Tolkning av funksjonsuttrykket
Funksjonen \(P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600\) er på formen \(a \cdot b^x + c\).
Startverdien (når \(x = 0\)) er \(a + c = 3600 + 600 = 4200\).
Svar a): Det var 4200 abonnenter på papirutgaven i 2010.
b) Stigningstall til sekanten
Vi finner først funksjonsverdiene:
\[P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 = 3600 \cdot 0{,}522 + 600 \approx 2479\]
\[P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 = 3600 \cdot 0{,}1028 + 600 \approx 970\]
Stigningstallet til linjen gjennom \((4, P(4))\) og \((14, P(14))\):
\[a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{970 - 2479}{10} = \frac{-1509}{10} = -150{,}9\]
Svar b): Stigningstallet er \(\approx -151\).
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden fra 2014 til 2024.
c) Momentan vekstfart når x = 10
Den momentane vekstfarten er \(P'(10)\). Vi finner den med GeoGebra CAS:
P(x) := 3600 * 0.85^x + 600P'(10)→ gir \(\approx -115{,}2\)
Grafisk gir Tangent(10, P) i grafikkfeltet en tangent med samme stigningstall:
\[P'(10) \approx -115{,}2\]
Svar c): Den momentane vekstfarten når \(x = 10\) er \(\approx -115\).
Praktisk tolkning: I 2020 (når \(x = 10\)) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.
Praktisk tolkning: I 2020 (når \(x = 10\)) minket antall papirabonnenter med ca. 115 personer per år.
d) Når overstiger digital papir?
Digital i 2019: 1000 abonnenter. Vokser med 5,5% per år.
Modell for digital (\(t\) = år etter 2019):
\[D(t) = 1000 \cdot 1{,}055^t\]
Vi må sammenligne med papir. År 2019 tilsvarer \(x = 9\) i P(x).
For år \(t\) etter 2019 (dvs. \(x = 9 + t\)):
\[P(9 + t) = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]
Vi løser \(D(t) = P(9 + t)\):
\[1000 \cdot 1{,}055^t = 3600 \cdot 0{,}85^{9+t} + 600\]
Ved numerisk løsning (CAS/grafisk) får vi \(t \approx 2{,}6\), altså midt i 2021.
Sammenligner vi hele år, er det første hele året digital ligger over papir:
- 2021 (\(t = 2\)): \(D \approx 1113\), \(P \approx 1202\) → papir er fortsatt størst
- 2022 (\(t = 3\)): \(D \approx 1174\), \(P \approx 1112\) → digital er størst
Svar d): Det var for første gang flere digitale abonnenter enn papirabonnenter i 2022.
Vanlig feil: Mange elever glemmer å justere variabelen \(t\) riktig når de sammenligner to modeller med ulike starttidspunkt. Her starter papirmodellen \(P(x)\) fra 2010, mens digitalmodellen \(D(t)\) starter fra 2019, altså \(x = 9 + t\). Pass på at du sammenlikner funksjonene for samme tidspunkt.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer funksjonen:
P(x) := 3600 * 0.85^x + 600 - Skriv:
P(4)→ gir \(\approx 2479\) - Skriv:
P(14)→ gir \(\approx 970\) - Stigningstall:
(P(14) - P(4)) / (14 - 4)→ gir \(\approx -151\) - Derivert:
Derivert(P, x)
📊 Slik ser grafen ut:
- Skriv inn:
P(x) = 3600 * 0.85^x + 600(blå kurve) - Skriv inn:
D(x) = 1000 * 1.055^(x - 9)(rød kurve) - Punkt A og B for sekantlinjen, skjæringspunkt I rundt \(x \approx 12\)
Oppgave 2 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: Maria lager en stjerne av 12 likesidede trekanter med sidelengde 4. Ved Pytagoras har hun funnet at arealet er \(48\sqrt{3}\). Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.
Løsning med trigonometri
For en likesidet trekant med side \(s\) er alle vinkler \(60°\).
Arealformel med trigonometri:
\[A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot s \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} s^2 \sin(60°)\]
Med \(s = 4\):
\[A_{\text{én trekant}} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]
Totalt areal for 12 trekanter:
\[A_{\text{total}} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]
Svar: Ved å bruke arealformelen \(A = \frac{1}{2}ab\sin(C)\) får vi arealet \(\boxed{48\sqrt{3}}\), som stemmer med Marias svar.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Areal av én trekant:
1/2 * 4^2 * sin(60°)→ gir \(4\sqrt{3}\) - Totalt areal:
12 * 4 * sqrt(3)→ gir \(48\sqrt{3}\)
Oppgave 3 (2 poeng) - Løsning
Oppgave: En rasjonal funksjon \(f\) har asymptotene \(x = 2\) og \(y = 4\). Nullpunktet er \(x = -3\). Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\).
Resonnement
Vertikal asymptote \(x = 2\): Nevneren må ha en faktor \((x - 2)\).
Horisontal asymptote \(y = 4\): Forholdet mellom ledende koeffisienter i teller og nevner må være 4.
Nullpunkt \(x = -3\): Telleren må ha en faktor \((x + 3)\).
Konstruksjon av funksjonen
Vi starter med grunnformen:
\[f(x) = \frac{a(x + 3)}{x - 2}\]
For at den horisontale asymptoten skal være \(y = 4\), må \(a = 4\):
\[f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}\]
Verifisering
- Vertikal asymptote: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) ✓
- Horisontal asymptote: teller og nevner har samme grad, så \(y = \frac{4}{1} = 4\) ✓
- Nullpunkt: \(4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3\) ✓
Svar: Et mulig funksjonsuttrykk er \(\boxed{f(x) = \frac{4(x + 3)}{x - 2} = \frac{4x + 12}{x - 2}}\)
📊 Slik ser grafen ut:
- Skriv inn:
f(x) = 4(x + 3) / (x - 2) - Vertikal asymptote:
x = 2(stiplet) - Horisontal asymptote:
y = 4(stiplet) - Nullpunktet N = (-3, 0) og y-skjæringen (0, -6) vises tydelig
Oppgave 4 (4 poeng) - Løsning
Oppgave: \(n!\) (n fakultet) er produktet av alle naturlige tall fra 1 til n.
a) Lag et program som regner ut \(n!\). Bruk det til å regne ut 5!, 10! og 15!
b) Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av 100!
a) Lag et program som regner ut \(n!\). Bruk det til å regne ut 5!, 10! og 15!
b) Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av 100!
a) Program for n!
def fakultet(n):
resultat = 1
for i in range(1, n + 1):
resultat = resultat * i
return resultat
print("5! =", fakultet(5))
print("10! =", fakultet(10))
print("15! =", fakultet(15))
Resultater:
\[5! = 120\]
\[10! = 3\,628\,800\]
\[15! = 1\,307\,674\,368\,000\]
Svar a): \(5! = 120\), \(10! = 3\,628\,800\), \(15! = 1\,307\,674\,368\,000\)
b) Antall nuller i 100!
En null på slutten kommer fra faktoren \(10 = 2 \times 5\).
Det er mange flere faktorer av 2 enn 5 i 100!, så antall nuller bestemmes av antall faktorer av 5.
Vi teller faktorer av 5:
- Tall delelig med 5: \(\lfloor 100/5 \rfloor = 20\) (gir 20 faktorer av 5)
- Tall delelig med 25: \(\lfloor 100/25 \rfloor = 4\) (gir 4 ekstra faktorer av 5)
- Tall delelig med 125: \(\lfloor 100/125 \rfloor = 0\)
Totalt antall faktorer av 5:
\[20 + 4 + 0 = 24\]
Svar b): 100! har 24 nuller på slutten fordi det er 24 faktorer av 5 i produktet. Tallene 5, 10, 15, ..., 100 bidrar med én faktor av 5 hver (20 stk), og tallene 25, 50, 75, 100 bidrar med én ekstra faktor av 5 hver (4 stk).
Oppgave 5 (3 poeng) - Løsning
Oppgave: Tredjegradsfunksjonen \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) oppfyller:
- Grafen går gjennom punktet \((2, 6)\)
- Punktet \((-2, 8)\) er et toppunkt
- Tangenten i punktet \((3, f(3))\) har stigningstall 4
Setter opp likningssystem
Den deriverte er \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
Likning 1: Grafen går gjennom punktet \((2, 6)\), derfor er \(f(2) = 6\):
\[a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 6 \quad \Rightarrow \quad 8a + 4b + 2c + d = 6\]
Likning 2: Punktet \((-2, 8)\) er et toppunkt, så grafen går gjennom dette punktet. Derfor er \(f(-2) = 8\):
\[a \cdot (-2)^3 + b \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + d = 8 \quad \Rightarrow \quad -8a + 4b - 2c + d = 8\]
Likning 3: Siden \((-2, 8)\) er et toppunkt, er tangenten horisontal der. Derfor er \(f'(-2) = 0\):
\[3a \cdot (-2)^2 + 2b \cdot (-2) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad 12a - 4b + c = 0\]
Likning 4: Tangenten i punktet \((3, f(3))\) har stigningstall 4, derfor er \(f'(3) = 4\):
\[3a \cdot 3^2 + 2b \cdot 3 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 27a + 6b + c = 4\]
Løser likningssystemet med CAS
Vi bruker GeoGebra CAS til å løse likningssystemet:
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Skriv:
Løs({8a + 4b + 2c + d = 6, -8a + 4b - 2c + d = 8, 12a - 4b + c = 0, 27a + 6b + c = 4}, {a, b, c, d})
Svar: \(\boxed{a = \frac{3}{20}, \quad b = \frac{7}{40}, \quad c = -\frac{11}{10}, \quad d = \frac{63}{10}}\)
Oppgave 6 (4 poeng) - Løsning
Oppgave: Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor. \(AB = 8{,}0\) og \(DC = 12{,}0\).
Gruppen til Isabel har fått vite at \(AD = 6{,}0\), \(BC = 10{,}0\) og at diagonalen \(AC = 16{,}4\).
a) Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
Gruppen til Anniken har fått vite at \(\angle A = 62{,}5°\), \(\angle C = 38{,}3°\), \(\angle ABD = 45{,}5°\) og \(\angle CBD = 85{,}5°\).
b) Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
a) Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
Gruppen til Anniken har fått vite at \(\angle A = 62{,}5°\), \(\angle C = 38{,}3°\), \(\angle ABD = 45{,}5°\) og \(\angle CBD = 85{,}5°\).
b) Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
a) Isabels metode (med sidelengder)
Kjent informasjon fra oppgaven:
- \(AD = 6{,}0\), \(BC = 10{,}0\), \(AC = 16{,}4\), \(DC = 12{,}0\), \(AB = 8{,}0\)
Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen \(AC\): trekant \(\triangle ADC\) og trekant \(\triangle ABC\).
Cosinussetningen
For en trekant med sider \(a\), \(b\), \(c\) og vinkel \(C\) (motsatt side \(c\)) gjelder:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]
Arealsetningen
Arealet av en trekant med to sider \(a\) og \(b\) og mellomliggende vinkel \(C\) er:
\[\text{Areal} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]
Beregning med GeoGebra CAS
Trekant ADC:
Vi definerer sidelengdene og bruker cosinussetningen til å finne vinkel \(D\):
Fra CAS: \(AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(D)\) gir \(D = 128{,}154°\)
Arealet av \(\triangle ADC\) med arealsetningen:
\[\text{Areal}_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(128{,}154°) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(128{,}154°) \approx 28{,}31\]
Trekant ABC:
Vi bruker samme fremgangsmåte for trekant \(ABC\):
Fra CAS: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)\) gir \(B = 130{,}996°\)
\[\text{Areal}_2 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(130{,}996°) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(130{,}996°) \approx 30{,}19\]
Totalt areal:
Svar a): Arealet er \(\text{Areal}_1 + \text{Areal}_2 \approx 28{,}31 + 30{,}19 = \boxed{58{,}5}\)
b) Annikens metode (med vinkler)
Kjent informasjon:
- Fra figuren: \(AB = 8{,}0\) og \(DC = 12{,}0\)
- Vinkler: \(\angle DAB = 62{,}5°\), \(\angle BCD = 38{,}3°\), \(\angle ABD = 45{,}5°\), \(\angle DBC = 85{,}5°\)
Vi deler firkanten i to trekanter ved diagonalen \(BD\).
Sinussetningen
For en trekant med sider \(a\), \(b\), \(c\) og motstående vinkler \(A\), \(B\), \(C\) gjelder:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Beregning med GeoGebra CAS
Trekant ABD:
Vinkelsummen gir: \(\angle ADB = 180° - 62{,}5° - 45{,}5° = 72°\)
Vi bruker sinussetningen til å finne \(AD\):
Areal av \(\triangle ABD\) med arealsetningen:
\[A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(62{,}5°) \approx 21{,}29\]
Trekant BCD:
Vinkelsummen gir: \(\angle BDC = 180° - 38{,}3° - 85{,}5° = 56{,}2°\)
Vi bruker sinussetningen til å finne \(BC\):
Areal av \(\triangle BCD\) med arealsetningen:
\[A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin(38{,}3°) \approx 37{,}19\]
Totalt areal:
Svar b): Arealet er \(A_{ABD} + A_{BCD} \approx 21{,}29 + 37{,}19 = \boxed{58{,}5}\)
Oppgave 7 (8 poeng) - Løsning
Oppgave: Else skal gjerde inn tre områder for å lage en grønnsakhage. Det største området skal ha form som et rektangel og de to minste som likebeinte rettvinklede trekanter. Se figuren nedenfor.
Else skal sette opp gjerde langs alle linjestykkene vist på figuren ovenfor. Hun har til sammen 100 m gjerde som hun vil bruke.
a) Hvor stort blir arealet av grønnsakhagen dersom hun velger at katetene i trekantene skal være 8 meter?
b) Lag en oversikt som viser hvordan arealet av grønnsakhagen endrer seg dersom hun velger andre lengder på katetene.
c) Lag en modell \(A\) som Else kan bruke for å regne ut arealet \(A(x)\) av grønnsakhagen for ulike verdier av \(x\).
d) Bruk modellen til å finne den lengden av katetene som vil gi det største arealet.
e) Bestem modellens gyldighetsområde.
a) Hvor stort blir arealet av grønnsakhagen dersom hun velger at katetene i trekantene skal være 8 meter?
b) Lag en oversikt som viser hvordan arealet av grønnsakhagen endrer seg dersom hun velger andre lengder på katetene.
c) Lag en modell \(A\) som Else kan bruke for å regne ut arealet \(A(x)\) av grønnsakhagen for ulike verdier av \(x\).
d) Bruk modellen til å finne den lengden av katetene som vil gi det største arealet.
e) Bestem modellens gyldighetsområde.
Oppsett av problemet
La \(x\) være katetene i trekantene og \(y\) være bredden på rektangelet. Høyden på rektangelet er da også \(x\).
Gjerde (alle linjer):
- Bunn: \(x + y + x = 2x + y\)
- To hypotenuser: \(2 \cdot x\sqrt{2} = 2\sqrt{2}x\)
- Topp av rektangel: \(y\)
- To indre vertikale vegger: \(2x\)
Total gjerde:
\[2x + y + 2\sqrt{2}x + y + 2x = (4 + 2\sqrt{2})x + 2y = 100\]
Vi løser for \(y\):
\[y = \frac{100 - (4 + 2\sqrt{2})x}{2} = 50 - (2 + \sqrt{2})x\]
Areal:
\[A = \text{rektangel} + \text{2 trekanter} = xy + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = xy + x^2\]
a) Areal når x = 8 m
Først finner vi \(y\):
\[y = 50 - (2 + \sqrt{2}) \cdot 8 = 50 - (2 + 1{,}414) \cdot 8 = 50 - 27{,}31 = 22{,}69 \text{ m}\]
Arealet blir:
\[A = xy + x^2 = 8 \cdot 22{,}69 + 8^2 = 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \text{ m}^2\]
Svar a): Arealet blir \(\boxed{245{,}5 \text{ m}^2}\) når katetene er 8 m.
b) Oversikt over areal for ulike verdier av x
| \(x\) (m) | \(y\) (m) | \(A\) (m²) |
|---|---|---|
| 4 | 36,3 | 161,4 |
| 6 | 29,5 | 213,1 |
| 8 | 22,7 | 245,5 |
| 10 | 15,9 | 258,6 |
| 12 | 9,0 | 252,4 |
| 14 | 2,2 | 226,8 |
Svar b): Tabellen viser at arealet er størst når \(x \approx 10\) m.
c) Modell for arealet A(x)
Vi setter uttrykket for \(y\) inn i arealformelen:
\[A(x) = x \cdot \left(50 - (2 + \sqrt{2})x\right) + x^2\]
\[A(x) = 50x - (2 + \sqrt{2})x^2 + x^2 = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2\]
Svar c): Modellen er \(\boxed{A(x) = 50x - (1 + \sqrt{2})x^2}\)
d) Maksimalt areal
Vi deriverer og setter lik null:
\[A'(x) = 50 - 2(1 + \sqrt{2})x = 0\]
\[x = \frac{50}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{25}{1 + \sqrt{2}}\]
Vi rasjonaliserer nevneren:
\[x = \frac{25}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{25(1 - \sqrt{2})}{-1} = 25(\sqrt{2} - 1)\]
\[x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 25 \cdot 0{,}414 \approx 10{,}36 \text{ m}\]
Svar d): Katetlengden som gir størst areal er \(\boxed{x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}4 \text{ m}}\)
e) Gyldighetsområde
Vi må ha:
- \(x > 0\) (katetene må ha positiv lengde)
- \(y > 0\) (rektangelet må ha positiv bredde)
Fra \(y > 0\):
\[50 - (2 + \sqrt{2})x > 0\]
\[x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} = \frac{50}{3{,}414} \approx 14{,}64\]
Svar e): Gyldighetsområdet er \(\boxed{0 < x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} \approx 14{,}6 \text{ m}}\)
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer:
A(x) := 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2 - Derivert:
50 - 2(1 + sqrt(2)) * x - Toppunkt: \(x = 25(\sqrt{2} - 1) \approx 10{,}36\)
- Maks areal:
A(25(sqrt(2) - 1))→ gir \(\approx 259 \text{ m}^2\)
📊 Slik ser grafen ut:
- Skriv inn:
A(x) = 50x - (1 + sqrt(2)) * x^2 - Toppunktet M ved \(x \approx 10{,}4\) med \(A \approx 259\)
- Gyldighetsområdet er \(0 < x < 14{,}6\)
🎯 Karakterskillet 4 → 6:
| 4 (god) | 6 (svært god) |
|---|---|
| Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver | Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer |
| Bruker formler korrekt | Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder |
| Algebraisk forenkling stort sett korrekt | Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning |
| Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort | Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret |
| Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon | Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen |
| Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig | Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13) |
⚠️ Vanlige feil å unngå:
- Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger (\((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\))
- Bruke \(a/b + c/d = (a+c)/(b+d)\) — du må finne fellesnevner
- Kalle et stasjonært punkt topp- eller bunnpunkt uten å sjekke fortegnet til den deriverte på begge sider
- Ha kalkulatoren i feil vinkelmodus (den skal stå på grader, DEG) i trigonometri
- I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
- I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
- Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
- Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
- Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
- Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 1T (høsten 2024). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.