Løsningsforslag – Matematikk 1T Høst 2023

Eksamen MAT1021

Oppgave 1

Vi tegner høyden ned fra toppunktet i den likesidede trekanten. Høyden deler grunnlinjen i to like deler, slik at vi får to rettvinklede trekanter.

Hver rettvinklet trekant har:

• Hypotenus = 2 (siden i den likesidede trekanten)
• En katet = 1 (halve grunnlinjen)
• Vinkelen ved grunnlinjen er \(60°\) (vinkelen i den likesidede trekanten)

Vi bruker definisjonen av cosinus i en rettvinklet trekant:

For vinkelen \(60°\) i den rettvinklede trekanten er den hosliggende kateten lik 1 og hypotenusen lik 2:

Oppgave 2

Grafen skjærer \(x\)-aksen der \(f(x) = 0\). Vi må altså løse:

Steg 1: Finn en nullpunkt ved inspeksjon

Vi prøver \(x = -1\):

Siden \(f(-1) = 0\), er \((x + 1)\) en faktor.

Steg 2: Polynomdivisjon

Vi deler \(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\) på \((x + 1)\):

Steg 3: Faktoriser andregradsuttrykket

Vi faktoriserer \(x^2 + x - 6\). Vi leter etter to tall som ganget gir \(-6\) og som summert gir \(1\). Det er \(3\) og \(-2\).

Steg 4: Finn alle nullpunkter

Dette gir:

Oppgave 3

Steg 1: Finn \(f(1)\)

Punktet er altså \((1, 1)\).

Steg 2: Deriver \(f(x)\)

Steg 3: Finn stigningstallet i \(x = 1\)

Steg 4: Sett opp tangentlikningen

Tangentlikningen med stigningstall \(a = -4\) gjennom punktet \((1, 1)\):

Oppgave 4

Vi bruker arealformelen for en trekant når vi kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen:

Trekant 1: Sider 6 og 6, vinkel \(150°\)

Vi vet at \(\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}\) (supplementvinkler).

Trekant 2: Sider 6 og 6, vinkel \(32°\)

Vi vet at \(\sin 32° \approx 0{,}53\), slik at:

Sammenligning

Siden \(\sin 32° > \sin 30° = 0{,}5\), får vi at \(T_2 > T_1\).

Mer presist: \(\sin 150° = 0{,}5\) og \(\sin 32° \approx 0{,}53\), slik at trekant 2 har størst areal.

Oppgave 5

a) Analyse av \(f(x) = \dfrac{2x - 8}{x + 2}\)

Vertikal asymptote: Nevneren er null når \(x + 2 = 0\), altså \(x = -2\).

Horisontal asymptote: Teller og nevner har begge grad 1. Vi ser på forholdet mellom ledende koeffisienter:

Horisontal asymptote: \(y = 2\).

Nullpunkt: Telleren er null når \(2x - 8 = 0\), altså \(x = 4\). Grafen krysser \(x\)-aksen i \((4, 0)\).

Skjæring med \(y\)-aksen: \(f(0) = \dfrac{-8}{2} = -4\). Grafen krysser \(y\)-aksen i \((0, -4)\).

Vi leter etter en graf med vertikal asymptote i \(x = -2\), horisontal asymptote i \(y = 2\), nullpunkt i \(x = 4\) og \(y\)-akseskjæring i \((0, -4)\).

Skisse av grafen til f:

(Grafen til f er strengt voksende på begge intervaller fordi f'(x) = 12/(x+2)² > 0. Den har ingen ekstrempunkt eller vendepunkt — derfor må riktig graf være den som vokser monotont og krysser nettopp i nullpunktet og y-skjæringen.)

b) Analyse av \(g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x-3)(x+3)}\)

Vi faktoriserer telleren: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\).

Vertikale asymptoter: Nevneren er null når \(x = 3\) eller \(x = -3\). Disse verdiene gjør ikke telleren null, så vi har vertikale asymptoter i \(x = -3\) og \(x = 3\).

Horisontal asymptote: Teller og nevner har begge grad 2. Forholdet mellom ledende koeffisienter er \(\dfrac{1}{1} = 1\). Horisontal asymptote: \(y = 1\).

Nullpunkter: Telleren er null når \(x = 2\) eller \(x = -2\).

Skjæring med \(y\)-aksen: \(g(0) = \dfrac{-4}{-9} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}44\).

Vi leter etter en graf med to vertikale asymptoter i \(x = \pm 3\), horisontal asymptote i \(y = 1\), og nullpunkter i \(x = \pm 2\).

Oppgave 1

a) Når var folketallet høyest?

Metode 1: Derivasjon

Folketallet er høyest når \(F'(x) = 0\) og \(F''(x) < 0\).

Vi setter \(F'(x) = 0\):

Bruker abc-formelen:

Dette gir:

Siden \(x \in [0, 80]\), er \(x_2 \approx 120{,}7\) utenfor definisjonsmengden. Vi undersøker \(x \approx 22{,}5\).

Vi sjekker at dette er et toppunkt ved å beregne \(F''(x)\):

Siden \(F''(22{,}5) < 0\), er dette et toppunkt.

Vi må også sjekke endepunktene \(x = 0\) og \(x = 80\):

Den største verdien er \(F(22{,}5) \approx 10{,}22\).

Metode 2: Grafisk løsning med digitalt verktøy

Ved å tegne grafen til \(F\) i et digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra) og finne toppunktet grafisk, ser vi at funksjonen har et toppunkt for \(x \approx 22{,}5\), der \(F \approx 10{,}2\).

b) Stigningstallet til sekantlinjen

Stigningstallet til linjen gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\) er:

Vi beregner \(F(30)\) og \(F(70)\):

Praktisk tolkning: Stigningstallet forteller at folketallet i gjennomsnitt avtok med omtrent 0,147 tusen (altså 147) innbyggere per år i perioden 1990–2030 (dvs. fra \(x = 30\) til \(x = 70\)).

c) Når avtar folketallet raskest?

Folketallet avtar raskest når \(F'(x)\) har sin minste (mest negative) verdi. Vi finner dette vendepunktet ved å sette \(F''(x) = 0\):

For \(x < 71{,}6\) er \(F''(x) < 0\), og for \(x > 71{,}6\) er \(F''(x) > 0\). Det betyr at \(F'(x)\) har et minimumspunkt for \(x \approx 71{,}6\). Det er her vekstfarten er mest negativ, altså der folketallet avtar raskest.

Vi sjekker også endepunktene for å bekrefte:

Den mest negative verdien av \(F'(x)\) i \([0, 80]\) er ved \(x \approx 71{,}6\).

Oppgave 2

Vi deler firkanten \(ABCD\) i to trekanter ved diagonalen \(DB\): trekant \(ABD\) og trekant \(BCD\).

Trekant ABD

I trekant \(ABD\) kjenner vi:

• \(\angle DAB = 125°\)
• \(\angle ABD = 35°\) (vi leser dette som vinkelen ved \(B\) i trekant \(ABD\))
• Diagonalen \(DB = 12\)

Den tredje vinkelen i trekant \(ABD\) er:

Arealet av trekant \(ABD\) kan vi finne ved hjelp av sinussetningen og arealformelen.

Først bruker vi sinussetningen for å finne \(AB\):

Nå bruker vi arealformelen \(T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\) for trekant \(ABD\):

Trekant BCD

I trekant \(BCD\) kjenner vi \(DC = 8\), \(BC = 6\) og \(DB = 12\).

Vi bruker cosinussetningen for å finne vinkelen \(\angle BCD\):

Nå bruker vi arealformelen:

Totalt areal

Oppgave 3

a) Summen av de 8 første linjestykkene

Vi har en geometrisk rekke med:

• Første ledd: \(a_1 = 100\) cm
• Kvotient (vekstfaktor): \(k = 0{,}9\)

Leddene er: \(100, \; 90, \; 81, \; 72{,}9, \; \ldots\)

Summen av de \(n\) første leddene i en geometrisk rekke er:

For \(n = 8\):

b) Program og antall linjestykker for minst 9 meter

Her er et Python-program som beregner summen:

a = 100      # Lengde av første linjestykke (cm)
k = 0.9      # Kvotient
n = 0        # Antall linjestykker
s = 0        # Sum av lengder

while s < 900:   # 9 meter = 900 cm
    n = n + 1
    s = s + a * k**(n - 1)

print(f"Antall linjestykker: {n}")
print(f"Sum av lengder: {s:.2f} cm")

Vi kan også løse dette algebraisk:

Siden \(\ln(0{,}9) < 0\), snur ulikheten når vi deler:

c) Prosentvis økning fra 50 til 100 linjestykker

Vi beregner \(S_{50}\) og \(S_{100}\):

Prosentvis økning:

Oppgave 4

a) Bestem en modell

Vi lar \(x\) være antall år etter 1950. Da får vi datapunktene:

\(x\)	2	32	42	52	62	72
\(F(x)\)	65 956	25 289	19 780	13 841	9 825	9 591

Dataene viser en sterk nedgang i starten som flater ut etter hvert. Dette tyder på en eksponentiell modell eller en potensmodell. Vi prøver en eksponentiell modell:

Ved å bruke regresjon i et digitalt verktøy (f.eks. GeoGebra eller kalkulator) med datapunktene, kan vi finne en eksponentiell regresjonsmodell. Vi får omtrent:

Vi kontrollerer med noen verdier:

• \(F(2) = 72000 \cdot 0{,}972^2 \approx 68\,045\) (tabell: 65 956)
• \(F(32) = 72000 \cdot 0{,}972^{32} \approx 28\,780\) (tabell: 25 289)
• \(F(52) = 72000 \cdot 0{,}972^{52} \approx 16\,052\) (tabell: 13 841)
• \(F(72) = 72000 \cdot 0{,}972^{72} \approx 8\,954\) (tabell: 9 591)

Modellen gir rimelig gode tilnærminger. Alternativt kan man bruke regresjonsverktøy for å finne en enda bedre tilpasning.

b) Prediksjon for 2050 og gyldighetsområde

I 2050 er \(x = 100\):

Vurdering av gyldighetsområde:

Modellen er tilpasset data fra perioden 1952–2022. Å bruke den til å forutsi antall fiskere i 2050 (28 år frem i tid) innebærer ekstrapolering langt utenfor datagrunnlaget. Det er stor usikkerhet knyttet til slike fremskrivninger, fordi:

• Politiske endringer (fiskerikvoter, reguleringer) kan påvirke antallet
• Teknologisk utvikling kan endre fiskerinæringen
• Befolkningsvekst og andre samfunnsendringer
• Nedgangen ser ut til å flate ut, og modellen fanger ikke nødvendigvis opp denne utflatingen godt nok

Oppgave 5

a) Avstanden fra P til Q

Linjen \(x = 1\) skjærer grafene. Vi finner \(y\)-koordinatene:

Siden \(P\) og \(Q\) har samme \(x\)-koordinat, er avstanden:

b) Finn \(a\) som maksimerer avstanden RS

For en vilkårlig vertikal linje \(x = a\) er punktene:

• \(R = (a, f(a)) = (a, 2a + 8)\)
• \(S = (a, g(a)) = (a, a^3 - a^2 - 4a + 8)\)

Avstanden mellom \(R\) og \(S\) er:

Vi sjekker at \(d(a) > 0\) for \(a \in \langle 1, 3 \rangle\), altså at \(f(a) > g(a)\) i dette intervallet. For \(a = 1\): \(d(1) = -1 + 1 + 6 = 6 > 0\). For \(a = 2\): \(d(2) = -8 + 4 + 12 = 8 > 0\). OK.

Vi deriverer for å finne maksimum:

Vi setter \(d'(a) = 0\):

Vi bruker abc-formelen:

Siden \(a \in \langle 1, 3 \rangle\) og \(\sqrt{19} \approx 4{,}36\), får vi:

Den andre løsningen \(a = \frac{1 - \sqrt{19}}{3} \approx -1{,}12\) ligger utenfor intervallet.

Vi sjekker at dette er et maksimum: \(d''(a) = -6a + 2\). For \(a \approx 1{,}79\): \(d''(1{,}79) = -10{,}74 + 2 = -8{,}74 < 0\). OK, det er et maksimum.

Oppgave 6

Steg 1: Sett opp likninger

Likning 1: Punktet \((-8, 0)\) ligger på grafen, dvs. \(f(-8) = 0\):

Likning 2: \((-8, 0)\) er et toppunkt, så \(f'(-8) = 0\):

Likning 3: Den gjennomsnittlige vekstfarten i \([0, 5]\) er \(\dfrac{64}{5}\):

Vi har \(f(0) = -64\) og \(f(5) = 125a + 25b + 5c - 64\):

Vi forenkler ved å dele på 5 (nei, 5 går ikke rent opp i 64, men vi beholder):

Steg 2: Løs likningssystemet

Vi har tre likninger:

Fra (II): \(c = -192a + 16b\)

Vi setter dette inn i (I):

Vi setter \(c = -192a + 16b\) inn i (III):

Fra (IV): \(b = 16a - 1\). Vi setter dette inn i (V):

Da finner vi \(b\):

Og \(c\):

Kontroll

Vi kontrollerer at \((-8, 0)\) er et toppunkt (og ikke et bunnpunkt). Vi sjekker \(f''(-8)\):

Siden \(f''(-8) < 0\), er \((-8, 0)\) et toppunkt. Stemmer.

Oppgave 7

a) Arealet av rektangelet med bredde 5

Vi finner \(f(5)\):

Rektangelet har bredde 5 og høyde \(\dfrac{8}{45}\):

b) Systematisk oversikt for \(n = 1, 2, \ldots, 10\)

Arealet av rektangelet med bredde \(n\) og høyde \(f(n)\) er:

\(n\)	\(n^2 + 20\)	\(A(n) = \dfrac{8n}{n^2 + 20}\)	Desimalverdi
1	21	\(\frac{8}{21}\)	0,381
2	24	\(\frac{16}{24} = \frac{2}{3}\)	0,667
3	29	\(\frac{24}{29}\)	0,828
4	36	\(\frac{32}{36} = \frac{8}{9}\)	0,889
5	45	\(\frac{40}{45} = \frac{8}{9}\)	0,889
6	56	\(\frac{48}{56} = \frac{6}{7}\)	0,857
7	69	\(\frac{56}{69}\)	0,812
8	84	\(\frac{64}{84} = \frac{16}{21}\)	0,762
9	101	\(\frac{72}{101}\)	0,713
10	120	\(\frac{80}{120} = \frac{2}{3}\)	0,667

c) Finn \(k\) som gir størst mulig areal

Nå lar vi \(k\) være en kontinuerlig variabel (\(k > 0\)). Arealfunksjonen er:

Vi deriverer ved hjelp av kvotientregelen:

Vi setter \(A'(k) = 0\):

(Vi velger den positive løsningen siden \(k > 0\).)

Vi sjekker at dette er et maksimum: For \(k < 2\sqrt{5}\) er \(A'(k) > 0\) (funksjonen vokser), og for \(k > 2\sqrt{5}\) er \(A'(k) < 0\) (funksjonen avtar). Altså er \(k = 2\sqrt{5}\) et maksimumspunkt.

Største areal: