Løsningsforslag – Matematikk 1T Eksempeloppgave 2 (2021)

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Likningen for en linje $\ell$ er gitt ved $y = -2x + 9$. En annen linje $m$ er parallell med linjen $\ell$ og går gjennom punktet $(5, -6)$. Bestem likningen for linjen $m$.

Løsning

Siden linje $m$ er parallell med linje $\ell$, har de samme stigningstall. Fra likningen $y = -2x + 9$ leser vi av at stigningstallet er $a = -2$.

Likningen for linje $m$ kan skrives som:

\[y = -2x + b\]

Vi setter inn punktet $(5, -6)$ for å finne $b$:

\[-6 = -2 \cdot 5 + b\] \[-6 = -10 + b\] \[b = -6 + 10 = 4\]

Konklusjon: Likningen for linjen $m$ er $y = -2x + 4$.

Vanlig feil: Mange elever bruker feil stigningstall for den parallelle linjen, for eksempel ved å sette $a = 2$ i stedet for $a = -2$. Husk at parallelle linjer har nøyaktig samme stigningstall, inkludert fortegn. En annen vanlig feil er å glemme å sette inn det oppgitte punktet for å finne konstantleddet $b$, og i stedet bruke konstantleddet fra den opprinnelige linjen.

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave: Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\cos \angle A = \dfrac{1}{2}$, $\sin \angle C = \dfrac{1}{2}$ og $AB = 4$. Bestem $AC$.

Løsning

Vi vet at $\cos \angle A = \frac{1}{2}$, som betyr at $\angle A = 60°$.

Vi vet at $\sin \angle C = \frac{1}{2}$, som betyr at $\angle C = 30°$.

Siden trekanten er rettvinklet og $\angle A + \angle C = 60° + 30° = 90°$, må $\angle B = 90°$.

I en rettvinklet trekant med rett vinkel i $B$ er $AC$ hypotenusen. Vi bruker cosinus-definisjonen med vinkel $A$:

\[\cos \angle A = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{AB}{AC}\]

Vi setter inn:

\[\frac{1}{2} = \frac{4}{AC}\] \[AC = 4 \cdot 2 = 8\]

Konklusjon: $AC = 8$

Vanlig feil: Mange blander sammen sinus og cosinus i rettvinklede trekanter, og bruker feil forholdstall (for eksempel $\cos A = \text{motstående}/\text{hypotenus}$). Husk at cosinus alltid er hosliggende katet delt på hypotenusen. En annen feil er å ikke identifisere hvilken side som er hypotenusen. I en rettvinklet trekant er hypotenusen alltid den lengste siden og ligger motsatt den rette vinkelen.

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave: Løs likningen \[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = 0\]

Løsning

Vi prøver å finne en løsning ved å sette inn heltallsverdier. Vi prøver $x = 1$:

\[1^3 + 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $x = 1$ er en løsning, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) \div (x - 1)\]

Vi bruker polynomdivisjon:

\[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x - 1)(x^2 + 3x - 4)\]

Kontroll: $(x - 1)(x^2 + 3x - 4) = x^3 + 3x^2 - 4x - x^2 - 3x + 4 = x^3 + 2x^2 - 7x + 4$ $\checkmark$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 + 3x - 4 = 0$:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\]

Dette gir:

\[x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{eller} \quad x = \frac{-3 - 5}{2} = -4\]

Altså kan vi skrive:

\[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x - 1)^2(x + 4)\]

Konklusjon: Likningen har løsningene $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = -4$.

Vanlig feil: Mange elever glemmer å sjekke om $x = 1$ er en dobbeltrot, og rapporterer bare to forskjellige løsninger $x = 1$ og $x = -4$ uten å nevne multiplisiteten. Husk at når du faktoriserer andregradsuttrykket og finner den samme roten igjen, betyr det at den opprinnelige faktoren $(x-1)$ opptrer to ganger. En dobbeltrot betyr geometrisk at grafen tangerer $x$-aksen i det punktet i stedet for å krysse den.

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave: Vis at likningssystemet ikke har løsning: \[\begin{cases} x^2 + 2x - y = -1 \\ x + y = -2 \end{cases}\]

Løsning

Fra likning 2 finner vi $y$:

\[y = -2 - x\]

Vi setter dette inn i likning 1:

\[x^2 + 2x - (-2 - x) = -1\] \[x^2 + 2x + 2 + x = -1\] \[x^2 + 3x + 2 = -1\] \[x^2 + 3x + 3 = 0\]

Vi beregner diskriminanten:

\[\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3\]

Siden diskriminanten er negativ ($\Delta = -3 < 0$), har andregradslikningen ingen reelle løsninger.

Konklusjon: Likningssystemet har ingen løsning, fordi innsetting gir en andregradslikning med negativ diskriminant.

Vanlig feil: Noen elever prøver å løse systemet ved å gjette verdier eller tegne grafer unøyaktig, og konkluderer feilaktig at det finnes en løsning. Den algebraiske metoden med diskriminanten gir et eksakt bevis. Husk at en negativ diskriminant ($\Delta < 0$) betyr at parabelen og den rette linjen aldri krysser hverandre, altså har systemet ingen felles løsning.

Oppgave 5 (3 poeng)

Oppgave: Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ har bunnpunkt $(-2, -11)$ og toppunkt $(4, 25)$. Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1, 7)$ er $y = 9x - 2$. Skisser grafen til den deriverte funksjonen $f'(x)$.

Løsning

Vi samler informasjon om den deriverte $f'(x)$:

Nullpunkter til $f'$:

I bunnpunktet $x = -2$ er $f'(-2) = 0$ (tangenten er horisontal).
I toppunktet $x = 4$ er $f'(4) = 0$ (tangenten er horisontal).

Fortegn til $f'$:

For $x < -2$: Grafen synker (mot bunnpunkt), altså $f'(x) < 0$.
For $-2 < x < 4$: Grafen stiger (fra bunnpunkt til toppunkt), altså $f'(x) > 0$.
For $x > 4$: Grafen synker (etter toppunkt), altså $f'(x) < 0$.

Verdi i et kjent punkt:

Tangenten i $(1, 7)$ har stigningstall $9$, så $f'(1) = 9$.

Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f'$ en andregradsfunksjon (parabel) som åpner nedover (negativt ledende koeffisient, fordi $f'(x) \to -\infty$ når $x \to \pm\infty$).

Skisse av $f'(x)$: Vi tegner en parabel som åpner nedover, med nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$, og med toppunkt i $x = 1$ (midtpunktet mellom nullpunktene). Verdien i toppunktet er $f'(1) = 9$.

Konklusjon: Grafen til $f'(x)$ er en parabel som åpner nedover, med nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$, og toppunkt $(1, 9)$.

Vanlig feil: Mange elever tegner den deriverte med feil fortegn eller feil form. Husk at den deriverte av en tredjegradsfunksjon er en andregradsfunksjon (parabel). Bunnpunkter og toppunkter på $f$ gir nullpunkter på $f'$, og stigningstallet til tangenten i et kjent punkt gir en konkret verdi på $f'$. En annen feil er å tegne parabelen med feil åpningsretning: siden $f(x) \to -\infty$ på begge sider, må den deriverte parabelen åpne nedover.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave: En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022. Funksjonen \[S(x) = 0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x, \quad x \in [0, 52]\] er en modell for hvor mange par ski $S(x)$ butikken vil kunne selge per uke $x$ uker etter salgsstart.

a) Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5000 par ski, ifølge modellen?
b) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $S$ når $x = 30$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning a)

Vi må finne for hvilke $x$-verdier $S(x) > 5000$. Vi løser likningen:

\[0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x = 5000\] \[0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x - 5000 = 0\]

Vi bruker CAS/digitalt verktøy for å løse denne tredjegradslikningen. Løsningene er omtrent:

\[x \approx 5{,}36 \quad \text{og} \quad x \approx 41{,}21\]

(Den tredje løsningen ligger utenfor definisjonsmengden.)

Vi undersøker fortegnet til $S(x) - 5000$:

For $x < 5{,}36$: $S(x) < 5000$
For $5{,}36 < x < 41{,}21$: $S(x) > 5000$
For $x > 41{,}21$: $S(x) < 5000$

Antall hele uker med salg over 5000: Fra uke 6 til og med uke 41, altså $41 - 6 + 1 = 36$ uker. (Vi teller hele uker der salget er over 5000 gjennom hele uken, noe som gir omtrent 35 hele uker. Eventuelt, antall uker der $S(x) > 5000$ i løpet av uken er ca. 36 uker.)

Konklusjon: Butikken vil kunne selge mer enn 5000 par ski per uke i omtrent 35–36 uker (fra uke 6 til uke 41).

Vanlig feil: Mange elever glemmer at tredjegradslikningen kan ha tre løsninger, og tar ikke hensyn til definisjonsmengden $x \in [0, 52]$. Det er viktig å sjekke hvilke løsninger som faktisk ligger innenfor det relevante intervallet. En annen vanlig feil er å telle antall uker feil -- husk å telle hele uker der salget er over 5000 gjennom hele uken.

Løsning b)

Den momentane vekstfarten er den deriverte $S'(x)$. Vi deriverer:

\[S'(x) = 3 \cdot 0{,}75x^2 - 2 \cdot 59{,}5x + 1200 = 2{,}25x^2 - 119x + 1200\]

Vi setter inn $x = 30$:

\[S'(30) = 2{,}25 \cdot 30^2 - 119 \cdot 30 + 1200\] \[= 2{,}25 \cdot 900 - 3570 + 1200\] \[= 2025 - 3570 + 1200\] \[= -345\]

Konklusjon: $S'(30) = -345$.

Praktisk tolkning: Etter 30 uker (rundt slutten av mai 2023) synker det ukentlige salget med omtrent 345 par ski per uke. Salget er altså på vei nedover, noe som er naturlig ettersom skisesongen nærmer seg slutten.

Vanlig feil: Mange elever forveksler $S(30)$ (funksjonsverdien, altså antall solgte par) med $S'(30)$ (den deriverte, altså endringsraten). Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten, som er den deriverte. Husk også å tolke fortegnet: en negativ verdi betyr at salget synker, ikke at det er negativt salg.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: S(x) := 0.75x³ - 59.5x² + 1200x
Finn når $S(x) = 5000$: NLøs(S(x) = 5000, x) → gir $x \approx 5{,}36$ og $x \approx 41{,}21$
Finn derivert: Derivert(S) → gir $2{,}25x^2 - 119x + 1200$
Momentan vekstfart: S'(30) → gir $-345$

Oppgave 2 (8 poeng)

Oppgave: En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.

a) Sett opp en modell $L(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.
b) Sett opp en modell $E(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.
c) Tegn grafen til funksjonen $F$ gitt ved $F(x) = L(x) - E(x)$, $x \in [0, 13]$.
d) Bestem toppunktet på grafen til $F$ og skjæringspunktene mellom grafen til $F$ og hver av de rette linjene $x = 12$ og $y = 12$. Gi en praktisk tolkning av svarene du får.

Løsning a)

Lineær vekst: Bestanden starter på 500 og skal bli 1000 etter 10 år.

\[\text{Stigningstall} = \frac{1000 - 500}{10 - 0} = \frac{500}{10} = 50\]

Konklusjon: $L(x) = 500 + 50x$

Løsning b)

Eksponentiell vekst: Vi har $E(x) = 500 \cdot k^x$ der $k$ er vekstfaktoren.

Vi vet at $E(10) = 1000$:

\[500 \cdot k^{10} = 1000\] \[k^{10} = 2\] \[k = 2^{1/10} = \sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\]

Konklusjon: $E(x) = 500 \cdot 2^{x/10}$ (eller ekvivalent $E(x) = 500 \cdot (\sqrt[10]{2})^x$)

Løsning c)

Vi har:

\[F(x) = L(x) - E(x) = (500 + 50x) - 500 \cdot 2^{x/10}\]

Denne funksjonen tegnes med digitalt verktøy for $x \in [0, 13]$. Grafen starter i $F(0) = 500 - 500 = 0$, stiger til et toppunkt, og synker deretter tilbake mot null og videre under $x$-aksen (fordi eksponentiell vekst til slutt overstiger lineær vekst).

Grafen tegnes med CAS/GeoGebra og dokumenteres.

Løsning d)

Vi bruker digitalt verktøy til å finne toppunktet på grafen til $F$.

Toppunktet: Vi deriverer $F(x)$ og setter lik null:

\[F'(x) = 50 - 500 \cdot \frac{\ln 2}{10} \cdot 2^{x/10} = 50 - 50\ln 2 \cdot 2^{x/10} = 0\] \[50\ln 2 \cdot 2^{x/10} = 50\] \[2^{x/10} = \frac{1}{\ln 2}\] \[\frac{x}{10} \cdot \ln 2 = \ln\!\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\] \[x = \frac{10 \cdot \ln\!\left(\frac{1}{\ln 2}\right)}{\ln 2} \approx 5{,}3\]

Vi beregner $F(5{,}3)$:

\[F(5{,}3) \approx (500 + 50 \cdot 5{,}3) - 500 \cdot 2^{0{,}53} \approx 765 - 722 \approx 43\]

Praktisk tolkning: Etter omtrent 5,3 år er forskjellen mellom den lineære og den eksponentielle modellen størst, med ca. 43 flere dyr i den lineære modellen.

Skjæringspunkt med $x = 12$:

\[F(12) = (500 + 50 \cdot 12) - 500 \cdot 2^{1{,}2} = 1100 - 500 \cdot 2{,}297 \approx 1100 - 1148{,}7 \approx -48{,}7\]

Skjæringspunktet er $(12,\; -48{,}7)$.

Praktisk tolkning: Etter 12 år gir den eksponentielle modellen omtrent 49 flere dyr enn den lineære modellen.

Skjæringspunkt med $y = 12$:

Vi løser $F(x) = 12$, altså:

\[500 + 50x - 500 \cdot 2^{x/10} = 12\]

Med digitalt verktøy finner vi to løsninger:

\[x \approx 0{,}6 \quad \text{og} \quad x \approx 9{,}1\]

Praktisk tolkning: Den lineære modellen gir 12 flere dyr enn den eksponentielle modellen etter omtrent 0,6 år og igjen etter omtrent 9,1 år.

Konklusjon:

Toppunkt: ca. $(5{,}3;\; 43)$ – størst forskjell mellom modellene etter ca. 5,3 år.
Skjæringspunkt med $x = 12$: $(12;\; -48{,}7)$ – den eksponentielle modellen gir flere dyr etter 12 år.
Skjæringspunkter med $y = 12$: ca. $(0{,}6;\; 12)$ og $(9{,}1;\; 12)$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellene: L(x) := 500 + 50x og E(x) := 500 · 2^(x/10)
Definer differansen: F(x) := L(x) - E(x)
Finn toppunkt: NLøs(F'(x) = 0, x) → gir $x \approx 5{,}3$
Beregn: F(12) → gir $\approx -48{,}7$
Finn skjæring med $y = 12$: NLøs(F(x) = 12, x) → gir $x \approx 0{,}6$ og $x \approx 9{,}1$

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave: Gitt likningssystemet \[\begin{cases} 4x + 2y = 3 \\ s \cdot x + y = 2 \end{cases}\] Hvilken verdi må $s$ ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

Løsning

Et lineært likningssystem med to likninger og to ukjente har ingen løsning når linjene er parallelle, men ikke identiske.

Vi skriver begge likningene på formen $y = \ldots$:

\[\text{Likning 1: } 2y = -4x + 3 \implies y = -2x + \frac{3}{2}\] \[\text{Likning 2: } y = -sx + 2\]

Linjene er parallelle når stigningstallene er like:

\[-s = -2 \implies s = 2\]

Vi sjekker at linjene ikke er identiske: Med $s = 2$ får vi $y = -2x + \frac{3}{2}$ og $y = -2x + 2$. Konstantleddene er forskjellige ($\frac{3}{2} \neq 2$), så linjene er parallelle, men ikke sammenfallende.

Konklusjon: $s = 2$

Vanlig feil: Noen elever finner at stigningstallene er like, men glemmer å sjekke at linjene faktisk er forskjellige (ikke sammenfallende). Dersom to linjer har samme stigningstall og samme konstantledd, er de identiske og systemet har uendelig mange løsninger. Det er bare når linjene er parallelle og forskjellige at systemet ikke har noen løsning.

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave: I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel. Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica. Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?

Løsning

La $m$ være Monicas alder i dag og $s$ være Sissels alder i dag.

Opplysning 1: Monica er 72 år yngre enn Sissel:

\[s - m = 72 \quad \text{eller} \quad s = m + 72\]

Opplysning 2: Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica:

\[s + 5 = 4(m + 5)\]

Vi setter inn $s = m + 72$ i likning 2:

\[(m + 72) + 5 = 4(m + 5)\] \[m + 77 = 4m + 20\] \[77 - 20 = 4m - m\] \[57 = 3m\] \[m = 19\]

Da er Sissels alder:

\[s = 19 + 72 = 91\]

Kontroll: Om fem år er Monica 24 og Sissel 96. Er $96 = 4 \cdot 24$? Ja! $\checkmark$

Konklusjon: Monica er 19 år og Sissel er 91 år i dag.

Vanlig feil: Mange elever setter opp likningene feil, for eksempel ved å skrive «om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica» som $s + 5 = 4m$ i stedet for $s + 5 = 4(m + 5)$. Husk at begge personene blir fem år eldre, så du må legge til 5 på begge sider av sammenligningen. En god vane er alltid å kontrollere svaret ved å sjekke at begge betingelsene er oppfylt.

Oppgave 5 (6 poeng)

Oppgave: Gitt firkanten $ABCD$ der $\angle DAB = 30° + 120° = 150°$ (vinkel $D$ fra diagonalen er $30°$, vinkel $A$ er $120°$), $\angle ABC = 75°$ og $BC = \sqrt{2} \cdot a$.

a) Vis at $BD = \sqrt{3} \cdot a$.
b) Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
c) Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$.

Løsning a)

Vi ser på trekant $ABD$. Fra figuren har vi:

Vinkel $DAB = 120°$ (oppgitt i figuren)
Vinkel ved $D$ (vinkelen $ADB$) = $30°$ (oppgitt i figuren)
Da er vinkel $ABD = 180° - 120° - 30° = 30°$

Siden $\angle ADB = \angle ABD = 30°$, er trekant $ABD$ likebeint med $AB = AD$. Vi har $AB = a$ (gitt fra figuren som siden mellom $A$ og $B$).

Vi bruker sinussetningen i trekant $ABD$:

\[\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle D)}\] \[\frac{BD}{\sin 120°} = \frac{a}{\sin 30°}\]

Vi kjenner verdiene:

\[\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}\]

Setter inn:

\[\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\frac{1}{2}}\] \[BD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} \cdot a\]

Konklusjon: $BD = \sqrt{3} \cdot a \quad \checkmark$

Løsning b)

Vi ser nå på trekant $BCD$. Fra figuren har vi:

$\angle DBC = 75°$ (oppgitt i figuren)
$BC = \sqrt{2} \cdot a$
$BD = \sqrt{3} \cdot a$ (vist i del a)
Vi har også $\angle BCD = 90°$ (rett vinkel i $C$, fra figuren)

Da er $\angle BDC = 180° - 75° - 90° = 15°$.

Vi bruker sinussetningen i trekant $BCD$ for å finne $CD$:

\[\frac{CD}{\sin(\angle DBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)}\] \[\frac{CD}{\sin 75°} = \frac{\sqrt{2} \cdot a}{\sin 15°}\]

Vi vet at $\sin 75° = \cos 15° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ og $\sin 15° = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

\[CD = \frac{\sin 75°}{\sin 15°} \cdot \sqrt{2} \cdot a = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \cdot \sqrt{2} \cdot a\]

Vi forenkler brøken:

\[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}\]

Dermed:

\[CD = (2 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2} \cdot a = (2\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot a\]

Vi trenger også $AD$. Fra trekant $ABD$ (likebeint med $\angle ADB = \angle ABD = 30°$):

\[AD = AB = a\]

Omkretsen av firkanten $ABCD$ er:

\[O = AB + BC + CD + DA = a + \sqrt{2} \cdot a + (2\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot a + a\] \[= a(1 + \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6} + 1)\] \[= a(2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6})\]

Konklusjon: Omkretsen av firkanten er $O = a(2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

Løsning c)

Arealet av firkanten $ABCD$ er summen av arealene til trekant $ABD$ og trekant $BCD$.

Areal av trekant $ABD$:

\[T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120° = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]

Areal av trekant $BCD$: Siden $\angle C = 90°$:

\[T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin 90° = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}a \cdot (2\sqrt{2} + \sqrt{6})a\] \[= \frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{2}(2\sqrt{2} + \sqrt{6}) = \frac{a^2}{2}(2 \cdot 2 + \sqrt{12}) = \frac{a^2}{2}(4 + 2\sqrt{3})\] \[= a^2(2 + \sqrt{3})\]

Totalt areal:

\[A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + (2 + \sqrt{3})a^2 = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + 2 + \sqrt{3}\right) = a^2\left(2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}\right)\]

Vi setter arealet lik $\sqrt{3}$:

\[a^2\left(2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) = \sqrt{3}\] \[a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}} = \frac{4\sqrt{3}}{8 + 5\sqrt{3}}\]

Vi rasjonaliserer nevneren:

\[a^2 = \frac{4\sqrt{3}(8 - 5\sqrt{3})}{(8 + 5\sqrt{3})(8 - 5\sqrt{3})} = \frac{32\sqrt{3} - 60}{64 - 75} = \frac{32\sqrt{3} - 60}{-11} = \frac{60 - 32\sqrt{3}}{11}\]

Konklusjon: $a = \sqrt{\dfrac{60 - 32\sqrt{3}}{11}} \approx 0{,}57$

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Sinussetningen i $\triangle ABD$: Løs(BD / sin(120°) = a / sin(30°), BD) → gir $BD = \sqrt{3} \cdot a$
Sinussetningen i $\triangle BCD$: Løs(CD / sin(75°) = √2 · a / sin(15°), CD)
Areal: 1/2 · a² · sin(120°) + 1/2 · √2·a · CD · sin(90°)
Finn $a$: NLøs(A_total = √3, a) → gir $a \approx 0{,}57$

Oppgave 6 (5 poeng)

Oppgave: Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{1}{x}$, og tangenten i punktet $(s, f(s))$ er tegnet inn.

a) Vis at likningen for tangenten er $y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}$.
Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$.
b) Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$.
c) Bestem arealet av $\triangle OAB$.

Løsning a)

Vi har $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$. Den deriverte er:

\[f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\]

Stigningstallet til tangenten i punktet $(s, f(s))$ er:

\[f'(s) = -\frac{1}{s^2}\]

Tangentpunktet er $(s, f(s)) = \left(s, \frac{1}{s}\right)$.

Likningen for tangenten med ettpunktsformelen:

\[y - f(s) = f'(s)(x - s)\] \[y - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s^2}(x - s)\] \[y = -\frac{1}{s^2} \cdot x + \frac{1}{s^2} \cdot s + \frac{1}{s}\] \[y = -\frac{1}{s^2} \cdot x + \frac{1}{s} + \frac{1}{s}\] \[y = -\frac{1}{s^2} \cdot x + \frac{2}{s}\]

Konklusjon: Likningen for tangenten er $y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}$ $\checkmark$

Løsning b)

Punkt $A$ (skjæring med $x$-aksen): Vi setter $y = 0$:

\[0 = -\frac{1}{s^2} \cdot x + \frac{2}{s}\] \[\frac{1}{s^2} \cdot x = \frac{2}{s}\] \[x = \frac{2}{s} \cdot s^2 = 2s\]

Altså er $A = (2s, 0)$.

Punkt $B$ (skjæring med $y$-aksen): Vi setter $x = 0$:

\[y = -\frac{1}{s^2} \cdot 0 + \frac{2}{s} = \frac{2}{s}\]

Altså er $B = \left(0, \frac{2}{s}\right)$.

Konklusjon: $A = (2s,\; 0)$ og $B = \left(0,\; \dfrac{2}{s}\right)$.

Løsning c)

Trekanten $\triangle OAB$ har origo $O = (0, 0)$ som et hjørne, med kateter langs aksene.

Grunnlinjen langs $x$-aksen har lengde $|OA| = 2s$, og høyden langs $y$-aksen er $|OB| = \frac{2}{s}$.

(Vi forutsetter $s > 0$ basert på figuren.)

\[T = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 2s \cdot \frac{2}{s} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\]

Konklusjon: Arealet av $\triangle OAB$ er $2$.

Bemerkning: Arealet er uavhengig av verdien til $s$. Uansett hvor på kurven $f(x) = \frac{1}{x}$ vi tegner tangenten (for $s > 0$), vil trekanten som dannes alltid ha areal lik 2.

Vanlig feil: Mange elever regner ut arealet for en spesifikk verdi av $s$ og tror de er ferdige, uten å vise at resultatet er generelt. Hele poenget i denne oppgaven er at $s$ forsvinner i utregningen, noe som gir det overraskende resultatet at arealet alltid er 2. Husk at ettpunktsformelen for tangentlinjen krever både funksjonsverdien $f(s) = \frac{1}{s}$ og den deriverte $f'(s) = -\frac{1}{s^2}$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: f(x) := 1/x
Finn derivert: Derivert(f) → gir $-\frac{1}{x^2}$
Tangentlinje i $x = s$: Tangent(s, f) → gir $y = -\frac{1}{s^2} x + \frac{2}{s}$
Nullpunkt (A): Løs(-1/s² · x + 2/s = 0, x) → gir $x = 2s$
Areal: Forenkle(1/2 · 2s · 2/s) → gir $2$

Oppgave 7 (8 poeng)

Oppgave: Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1 (pyramideform). I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.
a) Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer?
Marius har 400 bokser.
b) Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2 (pyramideform med forskjøvet mønster). I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.
c) Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer?
Maria har 4000 bokser.
d) Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Løsning a)

Vi studerer Marius sitt stablingsmønster (figur 1). I pyramideformen har han:

Etasje 1 (topp): 1 boks
Etasje 2: 2 bokser
Etasje 3: 3 bokser
Etasje 4 (bunn): 4 bokser

I etasje $k$ (telt fra toppen) er det $k$ bokser. Totalt antall bokser i et tårn med $n$ etasjer:

\[M(n) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

For $n = 20$:

\[M(20) = \frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = 210\]

Konklusjon: Marius trenger 210 bokser for å lage et tårn med 20 etasjer.

Løsning b)

Vi må finne den største verdien av $n$ slik at $M(n) \leq 400$:

\[\frac{n(n+1)}{2} \leq 400\] \[n(n+1) \leq 800\]

Vi prøver noen verdier:

$n = 27$: $27 \cdot 28 = 756 \leq 800$ $\checkmark$ $\Rightarrow M(27) = 378$
$n = 28$: $28 \cdot 29 = 812 > 800$ $\times$

Konklusjon: Det største tårnet Marius kan lage med 400 bokser har 27 etasjer (og bruker 378 bokser).

Løsning c)

Vi studerer Maria sitt stablingsmønster (figur 2 – forskjøvet pyramide). Fra figuren ser vi:

Etasje 1 (topp): 1 boks
Etasje 2: 3 bokser
Etasje 3: 6 bokser

Vi ser at etasje $k$ inneholder $\frac{k(k+1)}{2}$ bokser (trekanttall). Totalt antall bokser i et tårn med $n$ etasjer:

\[A(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(k^2 + k) = \frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\]

Vi forenkler:

\[A(n) = \frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2}\right) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2n+1+3}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12}\] \[= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\]

For $n = 20$:

\[A(20) = \frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{6} = \frac{9240}{6} = 1540\]

Konklusjon: Maria trenger 1540 bokser for å lage et tårn med 20 etasjer.

Løsning d)

Vi må finne den største verdien av $n$ slik at $A(n) \leq 4000$:

\[\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000\] \[n(n+1)(n+2) \leq 24000\]

Vi prøver noen verdier:

$n = 27$: $27 \cdot 28 \cdot 29 = 21924 \leq 24000$ $\checkmark$ $\Rightarrow A(27) = 3654$
$n = 28$: $28 \cdot 29 \cdot 30 = 24360 > 24000$ $\times$

Konklusjon: Det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser har 27 etasjer (og bruker 3654 bokser).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Marius: M(n) := n(n + 1) / 2, test: M(27) → $378$, M(28) → $406$
Maria: A(n) := n(n + 1)(n + 2) / 6, test: A(20) → $1540$
Finn størst $n$: A(27) → $3654$, A(28) → $4060$

Oppgave 8 (12 poeng)

Oppgave: Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant $ABC$ som vist på figuren. Hypotenusen $AB$ i trekanten har lengde $2a$.

Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.

Andreas og Markus diskuterer strategien. De foreslår å sette $a = 2$ først, tegne trekanten, og finne arealer systematisk. Linja gjennom $B$ og $C$ er gitt ved $y = -x + a$. Arealet av rektangelet er lengde · bredde = $2x \cdot y$.

Løsning

Strategi: Vi følger Andreas og Markus sin fremgangsmåte og generaliserer.

Steg 1: Sett opp koordinatsystem

Vi plasserer trekanten i et koordinatsystem med $A$ i $(-a, 0)$ og $B$ i $(a, 0)$, slik at hypotenusen $AB = 2a$ ligger langs $x$-aksen. Siden trekanten er likebeint og rettvinklet med rett vinkel i $C$, ligger $C$ på $y$-aksen.

De to katetene $AC$ og $BC$ har lik lengde. Siden $\angle C = 90°$ og trekanten er likebeint, har vi $AC = BC$. Med Pytagoras:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2 \implies 2 \cdot AC^2 = (2a)^2 \implies AC = a\sqrt{2}\]

Toppunktet $C$ ligger i $(0, a)$ (kan vises ved at midtpunktet av $AB$ er origo, og avstanden fra $C$ til dette punktet er $a$).

Steg 2: Finn linjene

Linjen gjennom $A = (-a, 0)$ og $C = (0, a)$:

\[y = x + a\]

Linjen gjennom $B = (a, 0)$ og $C = (0, a)$:

\[y = -x + a\]

Steg 3: Uttrykk for rektangelets areal

Rektangelet har en side langs $AB$ ($x$-aksen). La rektangelets øvre høyre hjørne ligge på linjen $BC$ i punktet $(x, y)$ der $y = -x + a$ og $x > 0$.

Ved symmetri har rektangelet bredde $2x$ (fra $-x$ til $x$) og høyde $y = -x + a$.

Arealet av rektangelet er:

\[A(x) = 2x \cdot y = 2x(-x + a) = -2x^2 + 2ax\]

Steg 4: Undersøk med spesifikke verdier

For $a = 2$ får vi $A(x) = -2x^2 + 4x$:

Lengde rektangel ($2x$)	1	2	3
Areal ($a = 2$)	1,5	2	1,5

For $a = 3$: $A(x) = -2x^2 + 6x$, og for $a = 4$: $A(x) = -2x^2 + 8x$.

Steg 5: Finn maksimalt areal

Vi deriverer $A(x)$:

\[A'(x) = -4x + 2a\]

Setter $A'(x) = 0$:

\[-4x + 2a = 0 \implies x = \frac{a}{2}\]

Andrederiverten $A''(x) = -4 < 0$, så dette er et toppunkt.

Det maksimale arealet er:

\[A\!\left(\frac{a}{2}\right) = -2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2a \cdot \frac{a}{2} = -2 \cdot \frac{a^2}{4} + a^2 = -\frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{a^2}{2}\]

Steg 6: Bevis at dette gjelder generelt

Vi har vist at for alle verdier av $a$ er det maksimale arealet:

\[A_{\text{maks}} = \frac{a^2}{2}\]

Dette oppnås når $x = \frac{a}{2}$, altså når rektangelets bredde er $2x = a$ og høyden er $y = -\frac{a}{2} + a = \frac{a}{2}$.

Kontroll med tabellen:

$a = 2$: Maks areal = $\frac{4}{2} = 2$. Bredde = 2, høyde = 1. $\checkmark$
$a = 3$: Maks areal = $\frac{9}{2} = 4{,}5$. Bredde = 3, høyde = 1,5. $\checkmark$
$a = 4$: Maks areal = $\frac{16}{2} = 8$. Bredde = 4, høyde = 2. $\checkmark$

Konklusjon: Det største arealet rektangelet kan få er $\dfrac{a^2}{2}$.

Dette oppnås når rektangelets bredde er $a$ (halve hypotenusen) og høyden er $\dfrac{a}{2}$ (halve trekantens høyde). Rektangelet fyller da nøyaktig halvparten av trekantens areal, siden trekantens areal er $\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = a^2$, og $\frac{a^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot a^2$.

Vanlig feil: Mange elever glemmer å utnytte symmetrien i den likebeinte trekanten, og setter opp arealfunksjonen med kun halvparten av bredden. Husk at rektangelet strekker seg fra $-x$ til $x$ langs grunnlinjen, så bredden er $2x$, ikke $x$. En annen feil er å glemme å verifisere at det stasjonære punktet faktisk er et maksimum ved hjelp av andrederivert-testen eller en fortegnslinje.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: A(x) := 2x · (-x + a)
Finn toppunkt: Løs(A'(x) = 0, x) → gir $x = \frac{a}{2}$
Maksimalt areal: Forenkle(A(a/2)) → gir $\frac{a^2}{2}$

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag – Matematikk 1T Eksempeloppgave 2 (2021)

Eksamen MAT1021

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

📋 Sensorens fokus (LK20 MAT09-01 / MAT1021):

Korrekt regning og tydelige utregninger — vis alle steg, ikke bare svaret
Riktig bruk av matematiske symboler — likhetstegn, fortegn, parenteser
Tolkning og kontekst — i Del 2-modellering, drøft hva resultatet betyr
Bevisføring (KM13) — sinussetning, cosinussetning, arealsetning kan testes
Bruk av digitale verktøy i Del 2 — CAS, GeoGebra, programmering med dokumentasjon
Programmering (KM1) — kode skal fungere og være dokumentert

⏰ Tidsplan for 5-timers eksamen:

Aktivitet	Tid
Del 1 (uten hjelpemidler) — alle oppgaver	2 timer
Pause + lever Del 1	15 min
Del 2 (med hjelpemidler) — gjennomgå alle oppgaver først	15 min
Del 2 — løs i prioritert rekkefølge (lett → vanskelig)	2 t 15 min
Korrektur, sjekk svar og enheter	15 min

Tips Del 1: Sjekk at du har formelkunnskap automatisert (kvadratsetninger, ABC-formel, derivasjonsregler, sinus/cosinus-spesielle vinkler).

Tips Del 2: Bruk CAS for verifikasjon, ikke bare for utregning. Dokumenter alle steg i digitale verktøy med skjermbilder eller utskrift.

💡 Strategi per oppgavetype:

Algebraisk forenkling: Faktoriser før du forenkler. Bruk kvadratsetninger og konjugatsetning når mulig.
Andregradslikninger: Prøv faktorisering først (kvadratsetning, felles faktor). Bruk ABC-formelen som backup.
Trigonometri: Tegn alltid en figur. Identifiser hvilke sider/vinkler er kjent. Velg sinussetning eller cosinussetning basert på dette.
Derivasjon: Bruk derivasjonsregler systematisk. Husk kjerneregelen ved sammensatte funksjoner.
Funksjonsanalyse: 1) Finn nullpunkt, 2) Deriver, 3) Finn topp/bunn, 4) Monotoni-skjema, 5) Skisser.
Modellering: 1) Hva sier teksten? 2) Hvilken modell passer? 3) Tilpass parametere. 4) Tolk resultatet.
Programmering: Forklar koden i kommentarer. Vis at du forstår algoritmen.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Oppgave: Likningen for en linje $\ell$ er gitt ved $y = -2x + 9$. En annen linje $m$ er parallell med linjen $\ell$ og går gjennom punktet $(5, -6)$. Bestem likningen for linjen $m$.

Løsning

Siden linje $m$ er parallell med linje $\ell$, har de samme stigningstall. Fra likningen $y = -2x + 9$ leser vi av at stigningstallet er $a = -2$.

Likningen for linje $m$ kan skrives som:

\[y = -2x + b\]

Vi setter inn punktet $(5, -6)$ for å finne $b$:

\[-6 = -2 \cdot 5 + b\] \[-6 = -10 + b\] \[b = -6 + 10 = 4\]

Konklusjon: Likningen for linjen $m$ er $y = -2x + 4$.

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave: Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\cos \angle A = \dfrac{1}{2}$, $\sin \angle C = \dfrac{1}{2}$ og $AB = 4$. Bestem $AC$.

Løsning

Vi vet at $\cos \angle A = \frac{1}{2}$, som betyr at $\angle A = 60°$.

Vi vet at $\sin \angle C = \frac{1}{2}$, som betyr at $\angle C = 30°$.

Siden trekanten er rettvinklet og $\angle A + \angle C = 60° + 30° = 90°$, må $\angle B = 90°$.

I en rettvinklet trekant med rett vinkel i $B$ er $AC$ hypotenusen. Vi bruker cosinus-definisjonen med vinkel $A$:

\[\cos \angle A = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenusen}} = \frac{AB}{AC}\]

Vi setter inn:

\[\frac{1}{2} = \frac{4}{AC}\] \[AC = 4 \cdot 2 = 8\]

Konklusjon: $AC = 8$

Oppgave 3 (3 poeng)

Oppgave: Løs likningen \[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = 0\]

Løsning

Vi prøver å finne en løsning ved å sette inn heltallsverdier. Vi prøver $x = 1$:

\[1^3 + 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0 \quad \checkmark\]

Siden $x = 1$ er en løsning, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\[(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) \div (x - 1)\]

Vi bruker polynomdivisjon:

\[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x - 1)(x^2 + 3x - 4)\]

Kontroll: $(x - 1)(x^2 + 3x - 4) = x^3 + 3x^2 - 4x - x^2 - 3x + 4 = x^3 + 2x^2 - 7x + 4$ $\checkmark$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 + 3x - 4 = 0$:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\]

Dette gir:

\[x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{eller} \quad x = \frac{-3 - 5}{2} = -4\]

Altså kan vi skrive:

\[x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x - 1)^2(x + 4)\]

Konklusjon: Likningen har løsningene $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = -4$.

Oppgave 4 (2 poeng)

Oppgave: Vis at likningssystemet ikke har løsning: \[\begin{cases} x^2 + 2x - y = -1 \\ x + y = -2 \end{cases}\]

Løsning

Fra likning 2 finner vi $y$:

\[y = -2 - x\]

Vi setter dette inn i likning 1:

\[x^2 + 2x - (-2 - x) = -1\] \[x^2 + 2x + 2 + x = -1\] \[x^2 + 3x + 2 = -1\] \[x^2 + 3x + 3 = 0\]

Vi beregner diskriminanten:

\[\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3\]

Siden diskriminanten er negativ ($\Delta = -3 < 0$), har andregradslikningen ingen reelle løsninger.

Konklusjon: Likningssystemet har ingen løsning, fordi innsetting gir en andregradslikning med negativ diskriminant.

Oppgave 5 (3 poeng)

Løsning

Vi samler informasjon om den deriverte $f'(x)$:

Nullpunkter til $f'$:

I bunnpunktet $x = -2$ er $f'(-2) = 0$ (tangenten er horisontal).
I toppunktet $x = 4$ er $f'(4) = 0$ (tangenten er horisontal).

Fortegn til $f'$:

For $x < -2$: Grafen synker (mot bunnpunkt), altså $f'(x) < 0$.
For $-2 < x < 4$: Grafen stiger (fra bunnpunkt til toppunkt), altså $f'(x) > 0$.
For $x > 4$: Grafen synker (etter toppunkt), altså $f'(x) < 0$.

Verdi i et kjent punkt:

Tangenten i $(1, 7)$ har stigningstall $9$, så $f'(1) = 9$.

Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f'$ en andregradsfunksjon (parabel) som åpner nedover (negativt ledende koeffisient, fordi $f'(x) \to -\infty$ når $x \to \pm\infty$).

Konklusjon: Grafen til $f'(x)$ er en parabel som åpner nedover, med nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$, og toppunkt $(1, 9)$.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Løsning a)

Vi må finne for hvilke $x$-verdier $S(x) > 5000$. Vi løser likningen:

\[0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x = 5000\] \[0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x - 5000 = 0\]

Vi bruker CAS/digitalt verktøy for å løse denne tredjegradslikningen. Løsningene er omtrent:

\[x \approx 5{,}36 \quad \text{og} \quad x \approx 41{,}21\]

(Den tredje løsningen ligger utenfor definisjonsmengden.)

Vi undersøker fortegnet til $S(x) - 5000$:

For $x < 5{,}36$: $S(x) < 5000$
For $5{,}36 < x < 41{,}21$: $S(x) > 5000$
For $x > 41{,}21$: $S(x) < 5000$

Konklusjon: Butikken vil kunne selge mer enn 5000 par ski per uke i omtrent 35–36 uker (fra uke 6 til uke 41).

Løsning b)

Den momentane vekstfarten er den deriverte $S'(x)$. Vi deriverer:

\[S'(x) = 3 \cdot 0{,}75x^2 - 2 \cdot 59{,}5x + 1200 = 2{,}25x^2 - 119x + 1200\]

Vi setter inn $x = 30$:

\[S'(30) = 2{,}25 \cdot 30^2 - 119 \cdot 30 + 1200\] \[= 2{,}25 \cdot 900 - 3570 + 1200\] \[= 2025 - 3570 + 1200\] \[= -345\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: S(x) := 0.75x³ - 59.5x² + 1200x
Finn når $S(x) = 5000$: NLøs(S(x) = 5000, x) → gir $x \approx 5{,}36$ og $x \approx 41{,}21$
Finn derivert: Derivert(S) → gir $2{,}25x^2 - 119x + 1200$
Momentan vekstfart: S'(30) → gir $-345$

Oppgave 2 (8 poeng)

Løsning a)

Lineær vekst: Bestanden starter på 500 og skal bli 1000 etter 10 år.

\[\text{Stigningstall} = \frac{1000 - 500}{10 - 0} = \frac{500}{10} = 50\]

Konklusjon: $L(x) = 500 + 50x$

Løsning b)

Eksponentiell vekst: Vi har $E(x) = 500 \cdot k^x$ der $k$ er vekstfaktoren.

Vi vet at $E(10) = 1000$:

\[500 \cdot k^{10} = 1000\] \[k^{10} = 2\] \[k = 2^{1/10} = \sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\]

Konklusjon: $E(x) = 500 \cdot 2^{x/10}$ (eller ekvivalent $E(x) = 500 \cdot (\sqrt[10]{2})^x$)

Løsning c)

Vi har:

\[F(x) = L(x) - E(x) = (500 + 50x) - 500 \cdot 2^{x/10}\]

Grafen tegnes med CAS/GeoGebra og dokumenteres.

Løsning d)

Vi bruker digitalt verktøy til å finne toppunktet på grafen til $F$.

Toppunktet: Vi deriverer $F(x)$ og setter lik null:

Vi beregner $F(5{,}3)$:

\[F(5{,}3) \approx (500 + 50 \cdot 5{,}3) - 500 \cdot 2^{0{,}53} \approx 765 - 722 \approx 43\]

Praktisk tolkning: Etter omtrent 5,3 år er forskjellen mellom den lineære og den eksponentielle modellen størst, med ca. 43 flere dyr i den lineære modellen.

Skjæringspunkt med $x = 12$:

\[F(12) = (500 + 50 \cdot 12) - 500 \cdot 2^{1{,}2} = 1100 - 500 \cdot 2{,}297 \approx 1100 - 1148{,}7 \approx -48{,}7\]

Skjæringspunktet er $(12,\; -48{,}7)$.

Praktisk tolkning: Etter 12 år gir den eksponentielle modellen omtrent 49 flere dyr enn den lineære modellen.

Skjæringspunkt med $y = 12$:

Vi løser $F(x) = 12$, altså:

\[500 + 50x - 500 \cdot 2^{x/10} = 12\]

Med digitalt verktøy finner vi to løsninger:

\[x \approx 0{,}6 \quad \text{og} \quad x \approx 9{,}1\]

Praktisk tolkning: Den lineære modellen gir 12 flere dyr enn den eksponentielle modellen etter omtrent 0,6 år og igjen etter omtrent 9,1 år.

Konklusjon:

Toppunkt: ca. $(5{,}3;\; 43)$ – størst forskjell mellom modellene etter ca. 5,3 år.
Skjæringspunkt med $x = 12$: $(12;\; -48{,}7)$ – den eksponentielle modellen gir flere dyr etter 12 år.
Skjæringspunkter med $y = 12$: ca. $(0{,}6;\; 12)$ og $(9{,}1;\; 12)$.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellene: L(x) := 500 + 50x og E(x) := 500 · 2^(x/10)
Definer differansen: F(x) := L(x) - E(x)
Finn toppunkt: NLøs(F'(x) = 0, x) → gir $x \approx 5{,}3$
Beregn: F(12) → gir $\approx -48{,}7$
Finn skjæring med $y = 12$: NLøs(F(x) = 12, x) → gir $x \approx 0{,}6$ og $x \approx 9{,}1$

Oppgave 3 (2 poeng)

Oppgave: Gitt likningssystemet \[\begin{cases} 4x + 2y = 3 \\ s \cdot x + y = 2 \end{cases}\] Hvilken verdi må $s$ ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

Løsning

Et lineært likningssystem med to likninger og to ukjente har ingen løsning når linjene er parallelle, men ikke identiske.

Vi skriver begge likningene på formen $y = \ldots$:

\[\text{Likning 1: } 2y = -4x + 3 \implies y = -2x + \frac{3}{2}\] \[\text{Likning 2: } y = -sx + 2\]

Linjene er parallelle når stigningstallene er like:

\[-s = -2 \implies s = 2\]

Konklusjon: $s = 2$

Oppgave 4 (3 poeng)

Oppgave: I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel. Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica. Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?

Løsning

La $m$ være Monicas alder i dag og $s$ være Sissels alder i dag.

Opplysning 1: Monica er 72 år yngre enn Sissel:

\[s - m = 72 \quad \text{eller} \quad s = m + 72\]

Opplysning 2: Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica:

\[s + 5 = 4(m + 5)\]

Vi setter inn $s = m + 72$ i likning 2:

\[(m + 72) + 5 = 4(m + 5)\] \[m + 77 = 4m + 20\] \[77 - 20 = 4m - m\] \[57 = 3m\] \[m = 19\]

Da er Sissels alder:

\[s = 19 + 72 = 91\]

Kontroll: Om fem år er Monica 24 og Sissel 96. Er $96 = 4 \cdot 24$? Ja! $\checkmark$

Konklusjon: Monica er 19 år og Sissel er 91 år i dag.

Oppgave 5 (6 poeng)

Løsning a)

Vi ser på trekant $ABD$. Fra figuren har vi:

Vinkel $DAB = 120°$ (oppgitt i figuren)
Vinkel ved $D$ (vinkelen $ADB$) = $30°$ (oppgitt i figuren)
Da er vinkel $ABD = 180° - 120° - 30° = 30°$

Siden $\angle ADB = \angle ABD = 30°$, er trekant $ABD$ likebeint med $AB = AD$. Vi har $AB = a$ (gitt fra figuren som siden mellom $A$ og $B$).

Vi bruker sinussetningen i trekant $ABD$:

\[\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle D)}\] \[\frac{BD}{\sin 120°} = \frac{a}{\sin 30°}\]

Vi kjenner verdiene:

\[\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}\]

Setter inn:

\[\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\frac{1}{2}}\] \[BD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} \cdot a\]

Konklusjon: $BD = \sqrt{3} \cdot a \quad \checkmark$

Løsning b)

Vi ser nå på trekant $BCD$. Fra figuren har vi:

$\angle DBC = 75°$ (oppgitt i figuren)
$BC = \sqrt{2} \cdot a$
$BD = \sqrt{3} \cdot a$ (vist i del a)
Vi har også $\angle BCD = 90°$ (rett vinkel i $C$, fra figuren)

Da er $\angle BDC = 180° - 75° - 90° = 15°$.

Vi bruker sinussetningen i trekant $BCD$ for å finne $CD$:

\[\frac{CD}{\sin(\angle DBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)}\] \[\frac{CD}{\sin 75°} = \frac{\sqrt{2} \cdot a}{\sin 15°}\]

Vi vet at $\sin 75° = \cos 15° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ og $\sin 15° = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

\[CD = \frac{\sin 75°}{\sin 15°} \cdot \sqrt{2} \cdot a = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \cdot \sqrt{2} \cdot a\]

Vi forenkler brøken:

\[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}\]

Dermed:

\[CD = (2 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2} \cdot a = (2\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot a\]

Vi trenger også $AD$. Fra trekant $ABD$ (likebeint med $\angle ADB = \angle ABD = 30°$):

\[AD = AB = a\]

Omkretsen av firkanten $ABCD$ er:

\[O = AB + BC + CD + DA = a + \sqrt{2} \cdot a + (2\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot a + a\] \[= a(1 + \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6} + 1)\] \[= a(2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6})\]

Konklusjon: Omkretsen av firkanten er $O = a(2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

Løsning c)

Arealet av firkanten $ABCD$ er summen av arealene til trekant $ABD$ og trekant $BCD$.

Areal av trekant $ABD$:

\[T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120° = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]

Areal av trekant $BCD$: Siden $\angle C = 90°$:

Totalt areal:

\[A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + (2 + \sqrt{3})a^2 = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + 2 + \sqrt{3}\right) = a^2\left(2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}\right)\]

Vi setter arealet lik $\sqrt{3}$:

\[a^2\left(2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) = \sqrt{3}\] \[a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}} = \frac{4\sqrt{3}}{8 + 5\sqrt{3}}\]

Vi rasjonaliserer nevneren:

\[a^2 = \frac{4\sqrt{3}(8 - 5\sqrt{3})}{(8 + 5\sqrt{3})(8 - 5\sqrt{3})} = \frac{32\sqrt{3} - 60}{64 - 75} = \frac{32\sqrt{3} - 60}{-11} = \frac{60 - 32\sqrt{3}}{11}\]

Konklusjon: $a = \sqrt{\dfrac{60 - 32\sqrt{3}}{11}} \approx 0{,}57$

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Sinussetningen i $\triangle ABD$: Løs(BD / sin(120°) = a / sin(30°), BD) → gir $BD = \sqrt{3} \cdot a$
Sinussetningen i $\triangle BCD$: Løs(CD / sin(75°) = √2 · a / sin(15°), CD)
Areal: 1/2 · a² · sin(120°) + 1/2 · √2·a · CD · sin(90°)
Finn $a$: NLøs(A_total = √3, a) → gir $a \approx 0{,}57$

Oppgave 6 (5 poeng)

Løsning a)

Vi har $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$. Den deriverte er:

\[f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\]

Stigningstallet til tangenten i punktet $(s, f(s))$ er:

\[f'(s) = -\frac{1}{s^2}\]

Tangentpunktet er $(s, f(s)) = \left(s, \frac{1}{s}\right)$.

Likningen for tangenten med ettpunktsformelen:

Konklusjon: Likningen for tangenten er $y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}$ $\checkmark$

Løsning b)

Punkt $A$ (skjæring med $x$-aksen): Vi setter $y = 0$:

\[0 = -\frac{1}{s^2} \cdot x + \frac{2}{s}\] \[\frac{1}{s^2} \cdot x = \frac{2}{s}\] \[x = \frac{2}{s} \cdot s^2 = 2s\]

Altså er $A = (2s, 0)$.

Punkt $B$ (skjæring med $y$-aksen): Vi setter $x = 0$:

\[y = -\frac{1}{s^2} \cdot 0 + \frac{2}{s} = \frac{2}{s}\]

Altså er $B = \left(0, \frac{2}{s}\right)$.

Konklusjon: $A = (2s,\; 0)$ og $B = \left(0,\; \dfrac{2}{s}\right)$.

Løsning c)

Trekanten $\triangle OAB$ har origo $O = (0, 0)$ som et hjørne, med kateter langs aksene.

Grunnlinjen langs $x$-aksen har lengde $|OA| = 2s$, og høyden langs $y$-aksen er $|OB| = \frac{2}{s}$.

(Vi forutsetter $s > 0$ basert på figuren.)

\[T = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 2s \cdot \frac{2}{s} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\]

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer funksjonen: f(x) := 1/x
Finn derivert: Derivert(f) → gir $-\frac{1}{x^2}$
Tangentlinje i $x = s$: Tangent(s, f) → gir $y = -\frac{1}{s^2} x + \frac{2}{s}$
Nullpunkt (A): Løs(-1/s² · x + 2/s = 0, x) → gir $x = 2s$
Areal: Forenkle(1/2 · 2s · 2/s) → gir $2$

Oppgave 7 (8 poeng)

Løsning a)

Vi studerer Marius sitt stablingsmønster (figur 1). I pyramideformen har han:

Etasje 1 (topp): 1 boks
Etasje 2: 2 bokser
Etasje 3: 3 bokser
Etasje 4 (bunn): 4 bokser

I etasje $k$ (telt fra toppen) er det $k$ bokser. Totalt antall bokser i et tårn med $n$ etasjer:

\[M(n) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

For $n = 20$:

\[M(20) = \frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = 210\]

Konklusjon: Marius trenger 210 bokser for å lage et tårn med 20 etasjer.

Løsning b)

Vi må finne den største verdien av $n$ slik at $M(n) \leq 400$:

\[\frac{n(n+1)}{2} \leq 400\] \[n(n+1) \leq 800\]

Vi prøver noen verdier:

$n = 27$: $27 \cdot 28 = 756 \leq 800$ $\checkmark$ $\Rightarrow M(27) = 378$
$n = 28$: $28 \cdot 29 = 812 > 800$ $\times$

Konklusjon: Det største tårnet Marius kan lage med 400 bokser har 27 etasjer (og bruker 378 bokser).

Løsning c)

Vi studerer Maria sitt stablingsmønster (figur 2 – forskjøvet pyramide). Fra figuren ser vi:

Etasje 1 (topp): 1 boks
Etasje 2: 3 bokser
Etasje 3: 6 bokser

Vi ser at etasje $k$ inneholder $\frac{k(k+1)}{2}$ bokser (trekanttall). Totalt antall bokser i et tårn med $n$ etasjer:

\[A(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(k^2 + k) = \frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\]

Vi forenkler:

\[A(n) = \frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2}\right) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2n+1+3}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12}\] \[= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\]

For $n = 20$:

\[A(20) = \frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{6} = \frac{9240}{6} = 1540\]

Konklusjon: Maria trenger 1540 bokser for å lage et tårn med 20 etasjer.

Løsning d)

Vi må finne den største verdien av $n$ slik at $A(n) \leq 4000$:

\[\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000\] \[n(n+1)(n+2) \leq 24000\]

Vi prøver noen verdier:

$n = 27$: $27 \cdot 28 \cdot 29 = 21924 \leq 24000$ $\checkmark$ $\Rightarrow A(27) = 3654$
$n = 28$: $28 \cdot 29 \cdot 30 = 24360 > 24000$ $\times$

Konklusjon: Det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser har 27 etasjer (og bruker 3654 bokser).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Marius: M(n) := n(n + 1) / 2, test: M(27) → $378$, M(28) → $406$
Maria: A(n) := n(n + 1)(n + 2) / 6, test: A(20) → $1540$
Finn størst $n$: A(27) → $3654$, A(28) → $4060$

Oppgave 8 (12 poeng)

Løsning

Strategi: Vi følger Andreas og Markus sin fremgangsmåte og generaliserer.

Steg 1: Sett opp koordinatsystem

De to katetene $AC$ og $BC$ har lik lengde. Siden $\angle C = 90°$ og trekanten er likebeint, har vi $AC = BC$. Med Pytagoras:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2 \implies 2 \cdot AC^2 = (2a)^2 \implies AC = a\sqrt{2}\]

Toppunktet $C$ ligger i $(0, a)$ (kan vises ved at midtpunktet av $AB$ er origo, og avstanden fra $C$ til dette punktet er $a$).

Steg 2: Finn linjene

Linjen gjennom $A = (-a, 0)$ og $C = (0, a)$:

\[y = x + a\]

Linjen gjennom $B = (a, 0)$ og $C = (0, a)$:

\[y = -x + a\]

Steg 3: Uttrykk for rektangelets areal

Rektangelet har en side langs $AB$ ($x$-aksen). La rektangelets øvre høyre hjørne ligge på linjen $BC$ i punktet $(x, y)$ der $y = -x + a$ og $x > 0$.

Ved symmetri har rektangelet bredde $2x$ (fra $-x$ til $x$) og høyde $y = -x + a$.

Arealet av rektangelet er:

\[A(x) = 2x \cdot y = 2x(-x + a) = -2x^2 + 2ax\]

Steg 4: Undersøk med spesifikke verdier

For $a = 2$ får vi $A(x) = -2x^2 + 4x$:

Lengde rektangel ($2x$)	1	2	3
Areal ($a = 2$)	1,5	2	1,5

For $a = 3$: $A(x) = -2x^2 + 6x$, og for $a = 4$: $A(x) = -2x^2 + 8x$.

Steg 5: Finn maksimalt areal

Vi deriverer $A(x)$:

\[A'(x) = -4x + 2a\]

Setter $A'(x) = 0$:

\[-4x + 2a = 0 \implies x = \frac{a}{2}\]

Andrederiverten $A''(x) = -4 < 0$, så dette er et toppunkt.

Det maksimale arealet er:

\[A\!\left(\frac{a}{2}\right) = -2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2a \cdot \frac{a}{2} = -2 \cdot \frac{a^2}{4} + a^2 = -\frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{a^2}{2}\]

Steg 6: Bevis at dette gjelder generelt

Vi har vist at for alle verdier av $a$ er det maksimale arealet:

\[A_{\text{maks}} = \frac{a^2}{2}\]

Dette oppnås når $x = \frac{a}{2}$, altså når rektangelets bredde er $2x = a$ og høyden er $y = -\frac{a}{2} + a = \frac{a}{2}$.

Kontroll med tabellen:

$a = 2$: Maks areal = $\frac{4}{2} = 2$. Bredde = 2, høyde = 1. $\checkmark$
$a = 3$: Maks areal = $\frac{9}{2} = 4{,}5$. Bredde = 3, høyde = 1,5. $\checkmark$
$a = 4$: Maks areal = $\frac{16}{2} = 8$. Bredde = 4, høyde = 2. $\checkmark$

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer arealfunksjonen: A(x) := 2x · (-x + a)
Finn toppunkt: Løs(A'(x) = 0, x) → gir $x = \frac{a}{2}$
Maksimalt areal: Forenkle(A(a/2)) → gir $\frac{a^2}{2}$

🎯 Karakterskillet 4 → 6:

4 (god)	6 (svært god)
Kommer fram til riktig svar i de fleste oppgaver	Riktig svar med tydelige utregninger og forklaringer
Bruker formler korrekt	Velger riktig metode + viser forståelse av når metoden gjelder
Algebraisk forenkling stort sett korrekt	Effektiv algebraisk teknikk + faktoriserer før unødvendig regning
Modelleringsoppgaver: regner riktig, tolkning kort	Modellering: drøfter modellens gyldighet, kontekstualiserer svaret
Programmering fungerer, men sparsom dokumentasjon	Programmering med klare kommentarer + forklaring av algoritmen
Trigonometri-oppgaver: bruker setninger riktig	Trigonometri: kan utlede/bevise sinussetning og cosinussetning (KM13)

⚠️ Vanlige feil å unngå:

Glemme parenteser ved minustegn i kvadratsetninger ($(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$)
Bruke $a/b + c/d = (a+c)/(b+d)$ — du må finne fellesnevner
Glemme kjerneregelen ved derivasjon av sammensatte funksjoner
Bruke radianer der gradeer kreves (eller omvendt) i trigonometri
I sinussetningen: forveksle hvilken vinkel som hører til hvilken side
I Del 2: ikke dokumentere CAS/GeoGebra-bruk — sensor må kunne følge tankene
Programmering: kjøre kode uten å forklare hva den gjør
Modellering: glemme å tolke resultatet i kontekst (svaret har en betydning!)
Funksjonsanalyse: glemme å oppgi definisjonsmengde og verdimengde
Andregradsulikheter: glemme fortegnsskjema

Løsningsforslag Matematikk 1TEksempelsett 2

Løsningsforslag – Matematikk 1T Eksempeloppgave 2 (2021)

Oppgave 1 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 2 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 3 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 4 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 5 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 1 (4 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Oppgave 2 (8 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Løsning d)

Oppgave 3 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 4 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 5 (6 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Oppgave 6 (5 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Oppgave 7 (8 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Løsning d)

Oppgave 8 (12 poeng)

Løsning

Steg 1: Sett opp koordinatsystem

Steg 2: Finn linjene

Steg 3: Uttrykk for rektangelets areal

Steg 4: Undersøk med spesifikke verdier

Steg 5: Finn maksimalt areal

Steg 6: Bevis at dette gjelder generelt

Løsningsforslag Matematikk 1TEksempelsett 2

Løsningsforslag – Matematikk 1T Eksempeloppgave 2 (2021)

Oppgave 1 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 2 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 3 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 4 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 5 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 1 (4 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Oppgave 2 (8 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Løsning d)

Oppgave 3 (2 poeng)

Løsning

Oppgave 4 (3 poeng)

Løsning

Oppgave 5 (6 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Oppgave 6 (5 poeng)

Løsning a)

Løsning b)

Løsning c)

Oppgave 7 (8 poeng)

Løsning a)

Løsning b)