GeoGebra/S1 - Samfunnsfaglig matematikk/S1.6

S1 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S1.6

Sannsynlighetsfordelinger

Sannsynlighetsfordelinger beskriver hvordan sannsynligheten fordeler seg over ulike utfall. Binomisk fordeling og normalfordeling er de viktigste fordelingene i S1-matematikk.

18 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Binomisk fordeling
•Normalfordeling
•Forventningsverdi
•Standardavvik

Binomisk fordeling

Binomisk fordeling brukes når vi har n uavhengige forsøk med to mulige utfall (suksess/fiasko), hvor sannsynligheten for suksess er p.

Sannsynlighetsformelen:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

P(X = k) = sannsynligheten for akkurat k suksesser i n forsøk

Forventningsverdi og varians:

E(X) = n \cdot p

Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)

SD(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

I GeoGebra:

Binomialfordeling(n, p, k, false)

false gir P(X = k), true gir P(X ≤ k) (kumulativ)

Eksempel:

Kast en mynt 10 ganger. Hva er sannsynligheten for akkurat 6 mynt?

n = 10, p = 0.5, k = 6

Binomialfordeling(10, 0.5, 6, false) ≈ 0.205

Utforsk binomisk fordeling

Visualiser binomisk fordeling.

Laster GeoGebra...

Normalfordeling

Normalfordelingen (Gauss-kurven) er den viktigste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen. Mange naturlige fenomener følger normalfordeling.

Notasjon:

X \sim N(\mu, \sigma)

μ = forventningsverdi (gjennomsnitt), σ = standardavvik

Egenskaper:

Symmetrisk klokkeformet kurve
Toppen ligger i x = μ
Spredning styres av σ
Arealet under kurven = 1

68-95-99.7-regelen:

68% av verdiene ligger innen μ ± σ
95% ligger innen μ ± 2σ
99.7% ligger innen μ ± 3σ

I GeoGebra:

Normalfordeling(μ, σ, x)

Gir P(X ≤ x) for normalfordelt X

Utforsk normalfordeling

Visualiser normalfordelingen.

Laster GeoGebra...

Bruk av normalfordeling

Normalfordelingen brukes til å beregne sannsynligheter og finne kritiske verdier (kvantiler).

Beregne sannsynligheter:

P(X ≤ a) bruker Normalfordeling(μ, σ, a)

P(a ≤ X ≤ b) = Normalfordeling(μ, σ, b) - Normalfordeling(μ, σ, a)

Standardisering:

For å bruke standardnormalfordelingen N(0, 1):

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Z-verdien forteller hvor mange standardavvik X er fra μ

Eksempel:

IQ-skår er normalfordelt med μ = 100, σ = 15. Hva er P(IQ > 130)?

P(X > 130) = 1 - Normalfordeling(100, 15, 130) ≈ 0.023

Ca. 2.3% har IQ over 130.

Binomisk ≈ Normal:

Når n er stor (n > 30) og p ikke er for nær 0 eller 1, kan binomisk fordeling tilnærmes med normalfordeling:

B(n, p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)})

Bruk normalfordeling

Beregn sannsynligheter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Beregn P(X = 7) når X ~ B(15, 0.4)
Finn forventningsverdien og standardavviket når n = 100, p = 0.3
X ~ N(50, 10). Finn P(X < 60)
X ~ N(170, 8) (høyde i cm). Finn P(160 < X < 180)
Standardiser: X = 85 når μ = 100, σ = 15. Hva er Z-verdien?

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Binomialfordeling(n, p, k, false)`	P(X = k) for binomisk fordeling	`Binomialfordeling(10, 0.5, 6, false)`
`Binomialfordeling(n, p, k, true)`	P(X ≤ k) kumulativ	`Binomialfordeling(10, 0.5, 6, true)`
`Normal(μ, σ, x)`	P(X ≤ x) for normalfordeling	`Normalfordeling(100, 15, 115)`
`InversNormalfordeling(μ, σ, p)`	Finn x slik at P(X ≤ x) = p	`InversNormalfordeling(100, 15, 0.95)`

Oppsummering

Binomisk: P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Binomisk: E(X) = np, SD(X) = √(np(1-p))
Normal: X ~ N(μ, σ), symmetrisk klokkeformet kurve
68-95-99.7-regelen for normalfordeling
Binomialfordeling(n, p, k, kum) og Normalfordeling(μ, σ, x) i GeoGebra

Binomisk fordeling

Binomisk fordeling brukes når vi har n uavhengige forsøk med to mulige utfall (suksess/fiasko), hvor sannsynligheten for suksess er p.

Sannsynlighetsformelen:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

P(X = k) = sannsynligheten for akkurat k suksesser i n forsøk

Forventningsverdi og varians:

E(X) = n \cdot p

Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)

SD(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

I GeoGebra:

Binomialfordeling(n, p, k, false)

false gir P(X = k), true gir P(X ≤ k) (kumulativ)

Eksempel:

Kast en mynt 10 ganger. Hva er sannsynligheten for akkurat 6 mynt?

n = 10, p = 0.5, k = 6

Binomialfordeling(10, 0.5, 6, false) ≈ 0.205

Utforsk binomisk fordeling

Visualiser binomisk fordeling.

Laster GeoGebra...

Normalfordeling

Normalfordelingen (Gauss-kurven) er den viktigste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen. Mange naturlige fenomener følger normalfordeling.

Notasjon:

X \sim N(\mu, \sigma)

μ = forventningsverdi (gjennomsnitt), σ = standardavvik

Egenskaper:

Symmetrisk klokkeformet kurve
Toppen ligger i x = μ
Spredning styres av σ
Arealet under kurven = 1

68-95-99.7-regelen:

68% av verdiene ligger innen μ ± σ
95% ligger innen μ ± 2σ
99.7% ligger innen μ ± 3σ

I GeoGebra:

Normalfordeling(μ, σ, x)

Gir P(X ≤ x) for normalfordelt X

Utforsk normalfordeling

Visualiser normalfordelingen.

Laster GeoGebra...

Bruk av normalfordeling

Normalfordelingen brukes til å beregne sannsynligheter og finne kritiske verdier (kvantiler).

Beregne sannsynligheter:

P(X ≤ a) bruker Normalfordeling(μ, σ, a)

P(a ≤ X ≤ b) = Normalfordeling(μ, σ, b) - Normalfordeling(μ, σ, a)

Standardisering:

For å bruke standardnormalfordelingen N(0, 1):

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Z-verdien forteller hvor mange standardavvik X er fra μ

Eksempel:

IQ-skår er normalfordelt med μ = 100, σ = 15. Hva er P(IQ > 130)?

P(X > 130) = 1 - Normalfordeling(100, 15, 130) ≈ 0.023

Ca. 2.3% har IQ over 130.

Binomisk ≈ Normal:

Når n er stor (n > 30) og p ikke er for nær 0 eller 1, kan binomisk fordeling tilnærmes med normalfordeling:

B(n, p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)})

Bruk normalfordeling

Beregn sannsynligheter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Beregn P(X = 7) når X ~ B(15, 0.4)
Finn forventningsverdien og standardavviket når n = 100, p = 0.3
X ~ N(50, 10). Finn P(X < 60)
X ~ N(170, 8) (høyde i cm). Finn P(160 < X < 180)
Standardiser: X = 85 når μ = 100, σ = 15. Hva er Z-verdien?

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Binomialfordeling(n, p, k, false)`	P(X = k) for binomisk fordeling	`Binomialfordeling(10, 0.5, 6, false)`
`Binomialfordeling(n, p, k, true)`	P(X ≤ k) kumulativ	`Binomialfordeling(10, 0.5, 6, true)`
`Normal(μ, σ, x)`	P(X ≤ x) for normalfordeling	`Normalfordeling(100, 15, 115)`
`InversNormalfordeling(μ, σ, p)`	Finn x slik at P(X ≤ x) = p	`InversNormalfordeling(100, 15, 0.95)`