GeoGebra/S1 - Samfunnsfaglig matematikk/S1.2

S1 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S1.2

Derivasjon

Den deriverte av en funksjon forteller oss hvor bratt grafen er i et punkt. Den viser hvor raskt funksjonen endrer seg, og er et kraftig verktøy for å analysere vekst, optimering og bevegelse.

22 min

6 oppgaver

Dette skal du lære

•Derivert
•Tangent
•Derivasjonsregler
•CAS-derivasjon

Hva er den deriverte?

Den deriverte f'(x) til en funksjon f(x) er stigningstallet til tangenten i punktet (x, f(x)).

Definisjon:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Geometrisk tolkning

f'(x) = stigningstallet til tangenten

Fysisk tolkning

f'(x) = momentan endringshastighet

Viktig sammenheng:

f'(x) > 0 ⟹ f er voksende
f'(x) < 0 ⟹ f er avtagende
f'(x) = 0 ⟹ horisontal tangent (topp/bunn/terrassepunkt)

Utforsk den deriverte

Se hvordan tangenten endrer seg langs grafen.

Laster GeoGebra...

Derivasjonsregler

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler:

Potensregelen:

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Konstantregel:

f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Sumregel:

f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)

Konstantfaktorregel:

f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)

Eksempel:

f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2

f'(x) = 12x^3 - 10x + 7

Øv på derivasjon

Bruk Derivert() for å finne den deriverte.

Laster GeoGebra...

Tangentligning

Tangenten til f(x) i punktet (a, f(a)) er en rett linje med stigningstall f'(a).

Ettpunktsformelen:

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

eller

y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))

Framgangsmåte:

Finn f(a) - y-koordinaten til punktet
Finn f'(x) - den deriverte
Finn f'(a) - stigningstallet i x = a
Sett inn i ettpunktsformelen

I GeoGebra:

Tangent((a, f(a)), f)

Finn tangentligning

Tegn tangenten i et punkt og finn likningen.

Laster GeoGebra...

Derivasjon i CAS

GeoGebra CAS kan derivere funksjoner både symbolsk og numerisk.

Symbolsk derivasjon:

Derivert(f(x))

Gir den deriverte som en formel

Numerisk derivasjon:

Derivert(f, a)

Gir verdien av f'(a)

Høyere ordens deriverte:

Derivert(f, 2) - andrederiverte f''(x)
Derivert(f, 3) - tredjederiverte f'''(x)

Bruk CAS for derivasjon

Deriver funksjoner både symbolsk og numerisk.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Deriver f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 7
Finn tangentlikningen til f(x) = x² - 4x + 1 i x = 3
Bestem hvor f(x) = x³ - 3x² har horisontal tangent
Bruk CAS til å finne f''(x) for f(x) = x⁴ - 8x²
Finn stigningstallet til f(x) = -x² + 6x i x = 2

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`Derivert(f)`	Deriverer funksjonen f symbolsk	`Derivert(x^3 - 2x)`
`Derivert(f, a)`	Beregner f'(a) numerisk	`Derivert(f, 2)`
`Tangent(punkt, f)`	Tegner tangent til f i punktet	`Tangent((2, f(2)), f)`
`Derivert(f, n)`	n-te deriverte av f	`Derivert(f, 2)`

Oppsummering

f'(x) = stigningstallet til tangenten i x
Potensregelen: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
f'(x) > 0: voksende, f'(x) < 0: avtagende, f'(x) = 0: horisontal tangent
Tangent i (a, f(a)): y - f(a) = f'(a)·(x - a)
Derivative(f) i CAS gir den deriverte symbolsk

Hva er den deriverte?

Den deriverte f'(x) til en funksjon f(x) er stigningstallet til tangenten i punktet (x, f(x)).

Definisjon:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Geometrisk tolkning

f'(x) = stigningstallet til tangenten

Fysisk tolkning

f'(x) = momentan endringshastighet

Viktig sammenheng:

f'(x) > 0 ⟹ f er voksende
f'(x) < 0 ⟹ f er avtagende
f'(x) = 0 ⟹ horisontal tangent (topp/bunn/terrassepunkt)

Utforsk den deriverte

Se hvordan tangenten endrer seg langs grafen.

Laster GeoGebra...

Derivasjonsregler

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler:

Potensregelen:

f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Konstantregel:

f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Sumregel:

f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)

Konstantfaktorregel:

f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)

Eksempel:

f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2

f'(x) = 12x^3 - 10x + 7

Øv på derivasjon

Bruk Derivert() for å finne den deriverte.

Laster GeoGebra...

Tangentligning

Tangenten til f(x) i punktet (a, f(a)) er en rett linje med stigningstall f'(a).

Ettpunktsformelen:

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

eller

y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))

Framgangsmåte:

Finn f(a) - y-koordinaten til punktet
Finn f'(x) - den deriverte
Finn f'(a) - stigningstallet i x = a
Sett inn i ettpunktsformelen

I GeoGebra:

Tangent((a, f(a)), f)

Finn tangentligning

Tegn tangenten i et punkt og finn likningen.

Laster GeoGebra...

Derivasjon i CAS

GeoGebra CAS kan derivere funksjoner både symbolsk og numerisk.

Symbolsk derivasjon:

Derivert(f(x))

Gir den deriverte som en formel

Numerisk derivasjon:

Derivert(f, a)

Gir verdien av f'(a)

Høyere ordens deriverte:

Derivert(f, 2) - andrederiverte f''(x)
Derivert(f, 3) - tredjederiverte f'''(x)

Bruk CAS for derivasjon

Deriver funksjoner både symbolsk og numerisk.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Deriver f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 7
Finn tangentlikningen til f(x) = x² - 4x + 1 i x = 3
Bestem hvor f(x) = x³ - 3x² har horisontal tangent
Bruk CAS til å finne f''(x) for f(x) = x⁴ - 8x²
Finn stigningstallet til f(x) = -x² + 6x i x = 2

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando

Beskrivelse

Eksempel

Derivert(f)

Deriverer funksjonen f symbolsk

Derivert(x^3 - 2x)

Derivert(f, a)

Beregner f'(a) numerisk

Derivert(f, 2)

Tangent(punkt, f)

Tegner tangent til f i punktet

Tangent((2, f(2)), f)

Derivert(f, n)

n-te deriverte av f

Derivert(f, 2)