Optimering handler om å finne den beste løsningen på et problem - for eksempel maksimal profitt, minimal kostnad eller optimal størrelse. Derivasjon er nøkkelen til å løse optimeringsproblemer.
Et toppunkt (lokalt maksimum) er et punkt hvor funksjonen har høyest verdi i sitt nærområde. Et bunnpunkt (lokalt minimum) er et punkt hvor funksjonen har lavest verdi.
Toppunkt: f''(x₀) < 0 (konkav)
Bunnpunkt: f''(x₀) > 0 (konveks)
I GeoGebra:
Ekstremalpunkt(f)Finner alle topp- og bunnpunkter automatisk
Se topp- og bunnpunkter på grafen.
Et vendepunkt er et punkt hvor grafen skifter fra å være konkav til konveks, eller omvendt. Her endrer krumningen seg.
Grafen buer nedover (∩-form)
Grafen buer oppover (∪-form)
I GeoGebra:
Vendepunkt(f)Bruk Vendepunkt() for å finne vendepunkter.
Mange praktiske problemer kan løses med optimering - fra å finne optimal emballasje til maksimal profitt i økonomiske modeller.
Et rektangel har omkrets 100 m. Finn dimensjonene som gir maksimalt areal.
Maksimalt areal når rektangelet er et kvadrat (25×25 m).
Visualiser optimering av areal.
Løs oppgavene over.
| Kommando | Beskrivelse | Eksempel |
|---|---|---|
Ekstremalpunkt(f) | Finner topp- og bunnpunkter | Ekstremalpunkt(x^3 - 6x^2 + 9x) |
InflectionPoint(f) | Finner vendepunkter | InflectionPoint(x^3 - 3x^2) |
Derivert(f) | Finner f'(x) | Derivert(x^3 - 6x^2) |
Løs(f'(x) = 0, x) | Løser f'(x) = 0 | Løs(3x^2 - 12 = 0, x) |