En bonde har 60 sauer. 80 % av sauene skal slaktes. Hvor mange sauer skal slaktes?
Vi regner ut 80 % av 60:
\[ 0{,}80 \cdot 60 = 48 \]
Svar: 48 sauer skal slaktes.
💡 Tips – uten kalkulator
Du kan skrive prosenten som en brøk og forkorte underveis. Da slipper du å gange med desimaltall:
\[ 80\,\% \text{ av } 60 = \frac{60 \cdot 80}{100} = \frac{6 \cdot \cancel{10} \cdot 8 \cdot \cancel{10}}{\cancel{10} \cdot \cancel{10}} = 6 \cdot 8 = 48 \]
De to tierne i telleren forkortes mot \(100 = 10 \cdot 10\).
Oppgave 2 (1 poeng)
En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt 120 m³ vann. Hvor mange liter vann har familien i gjennomsnitt brukt hver måned?
1 m³ = 1000 L, så 120 m³ = 120 000 L. Vi deler på 12 måneder:
\[ \frac{120\,000 \text{ L}}{12 \text{ måneder}} = 10\,000 \text{ L per måned} \]
Svar: Familien har i gjennomsnitt brukt 10 000 liter vann per måned.
💡 Tips – hvorfor er 1 m³ = 1000 L?
Tenk på en kube med sider på 1 m = 10 dm. Volumet er
\[ 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} = 1000 \text{ dm}^3 \]
og siden \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), er \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\).
Du kan også forkorte tidlig ved å dele først og gjøre om etterpå:
\[ \frac{120 \text{ m}^3}{12} = \frac{\cancel{12} \cdot 10}{\cancel{12}} = 10 \text{ m}^3 \text{ per måned} = 10 \cdot 1000 \text{ L} = 10\,000 \text{ L} \]
Når du skal gange \(25 \cdot 8\) i hodet, kan du dele opp \(8 = 4 \cdot 2\) og bruke at \(25 \cdot 4 = 100\):
\[ 25 \cdot 8 = 25 \cdot 4 \cdot 2 = 100 \cdot 2 = 200 \]
Da blir hele utregningen \( 200 \cdot 10^{7-6} = 200 \cdot 10 = 2000 \). (Tips: \(250\,000\,000\) kan skrives som \(25 \cdot 10^7\), som gir hele tall å regne med.)
Oppgave 4 (1 poeng)
Fyll ut tabellen slik at antall personer og pris per person blir omvendt proporsjonale størrelser:
Antall personer
10
20
?
Pris per person (kroner)
600
?
100
Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet konstant. Fra første kolonne:
1) Del opp i like faktorer: \( \sqrt{10^6} = \sqrt{10^3 \cdot 10^3} = 10^3 = 1000 \). 2) Bruk potensregelen \( \sqrt{a} = a^{1/2} \): \( \sqrt{10^6} = (10^6)^{1/2} = 10^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 10^3 = 1000 \).
Samme idé på \(2 \cdot 2^4\): legg sammen eksponentene — \(2^1 \cdot 2^4 = 2^5 = 32\).
Oppgave 6 (1 poeng)
Prisen for en vare settes opp med 10 %. Litt senere settes prisen ned igjen med 10 %. Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som før? Begrunn.
La \(P\) være den opprinnelige prisen. Etter to endringer er ny pris:
\[ P \cdot 1{,}10 \cdot 0{,}90 = P \cdot 0{,}99 \]
Det er 1 % mindre enn opprinnelig pris.
Svar: Varen koster mindre enn før (1 % mindre). Grunnen er at 10 % nedgang etter en oppgang regnes av en høyere pris, så nedgangen i kroner er større enn oppgangen.
💡 Tips – velg et konkret tall
Siden svaret skal gjelde for alle varer, kan du velge en startpris som er grei å regne med — for eksempel 100 kr:
Opp 10 %: \(10\,\%\) av 100 er 10, så \(100 + 10 = 110\) kr.
Ned 10 %: \(10\,\%\) av 110 er 11, så \(110 - 11 = 99\) kr.
Varen koster nå 99 kr, altså 1 kr (\(= 1\,\%\)) mindre enn de opprinnelige 100 kr. Poenget: den andre prosenten regnes av en større pris (110), så nedgangen blir større i kroner enn oppgangen var.
Oppgave 7 (2 poeng)
Christoffer har kjøpt ny båt til 850 000 kroner. Verdien faller med 20 % det første året og deretter med 6 % per år de neste fem årene. Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.
Svar a): Årsavgiften er 1200 kr, og pris per bompassering er 50 kr.
💡 Tips – løs likningen trinnvis
Trekker du Petters likning fra Olas, står du igjen med \(60x = 3000\). I stedet for å dele på 60 med en gang, kan du dele med små tall flere ganger:
\[ 60x = 3000 \;\;\xrightarrow{\;\div 10\;}\;\; 6x = 300 \;\;\xrightarrow{\;\div 3\;}\;\; 2x = 100 \;\;\xrightarrow{\;\div 2\;}\;\; x = 50 \]
b) Lineær modell:
La \(x\) være antall bompasseringer og \(T(x)\) totale kostnader i kroner:
Tallfølgen \(1, 3, 7, 13, 21, \ldots\). Susanne ser et mønster:
\[ 0 \cdot 1 + 1 = 1 \]
\[ 1 \cdot 2 + 1 = 3 \]
\[ 2 \cdot 3 + 1 = 7 \]
\[ 3 \cdot 4 + 1 = 13 \]
a) Bestem tall nummer 8.
b) Sett opp en formel for tall nummer \(n\).
Mønsteret er at tall nummer \(n\) er gitt ved \( (n-1) \cdot n + 1 \). Vi sjekker:
\(n=1\): \( 0 \cdot 1 + 1 = 1 \) ✓
\(n=2\): \( 1 \cdot 2 + 1 = 3 \) ✓
\(n=3\): \( 2 \cdot 3 + 1 = 7 \) ✓
\(n=4\): \( 3 \cdot 4 + 1 = 13 \) ✓
\(n=5\): \( 4 \cdot 5 + 1 = 21 \) ✓
a) Tall nummer 8:
\[ a(8) = 7 \cdot 8 + 1 = 56 + 1 = 57 \]
b) Formel for tall nummer \(n\):
\[ a(n) = (n-1) \cdot n + 1 = n^2 - n + 1 \]
Svar:
a) Tall nummer 8 er 57.
b) \( a(n) = (n-1) \cdot n + 1 \) (eventuelt \( a(n) = n^2 - n + 1 \))
Oppgave 11 (3 poeng)
En bedrift har kostnader \( K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000 \) kroner ved produksjon av \(x\) enheter.
a) Bestem \(K(0)\). Hva forteller denne verdien?
Det koster 30 000 kroner å produsere 50 enheter.
b) Bestem \(b\).
a) Bestem \(K(0)\):
\[ K(0) = 0^2 + b \cdot 0 + 20\,000 = 20\,000 \]
Svar a): \( K(0) = 20\,000 \) kr. Dette er de faste kostnadene – kostnadene bedriften har selv når den ikke produserer noen enheter (f.eks. husleie, forsikring).
Kvadrere 50: \( 50^2 = (5 \cdot 10)^2 = 5^2 \cdot 10^2 = 25 \cdot 100 = 2500 \). Dele 7500 på 50: forkort med 10 først, så del på 5:
\[ b = \frac{7500}{50} = \frac{750}{5} = 150 \]
Oppgave 12 (2 poeng)
Lufttetthet: \( L = \dfrac{p}{287 \cdot T} \).
Påstand 1: Når \(T\) er konstant, er \(p\) og \(L\) proporsjonale.
Påstand 2: \(L\) og \(T\) er omvendt proporsjonale.
Argumenter for om hver påstand er sann eller usann.
Påstand 1: Siden \(T\) er konstant, kan vi tenke på \(287 \cdot T\) som et fast tall. Da blir
\[ L = \frac{p}{\text{fast tall}} \]
Det betyr at forholdet \( \dfrac{L}{p} \) blir konstant — og det er nettopp definisjonen på at \(L\) og \(p\) er proporsjonale. Når \(p\) dobles, dobles \(L\) også.
Påstand 1 er SANN. Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.
Påstand 2: To størrelser \(L\) og \(T\) er omvendt proporsjonale dersom produktet \(L \cdot T\) er konstant. Vi regner ut:
\[ L \cdot T = \frac{p}{287 \cdot T} \cdot T = \frac{p}{287} \]
Produktet \( L \cdot T \) avhenger av \(p\) og er bare konstant dersom \(p\) er konstant. Påstanden gjelder derfor ikke generelt.
Påstand 2 er USANN. Lufttetthet og temperatur er bare omvendt proporsjonale dersom trykket \(p\) holdes konstant. Påstanden mangler denne forutsetningen.
💡 Tips – kjenn igjen formen \(y = k \cdot x\) og \(y = \dfrac{k}{x}\)
For å avgjøre proporsjonalitet kan du skrive om formelen til standardformen og se hva som må være konstant:
Påstand 1: \( L = \dfrac{p}{287 \cdot T} = \underbrace{\dfrac{1}{287 \cdot T}}_{\text{konstant når } T \text{ er fast}} \cdot \, p \). Dette har formen \(L = k \cdot p\) → proporsjonalt. ✓
Påstand 2: \( L = \dfrac{p}{287 \cdot T} = \underbrace{\dfrac{p}{287}}_{k} \cdot \dfrac{1}{T} \). Dette har formen \(L = \dfrac{k}{T}\), men bare hvis \(k = \dfrac{p}{287}\) er konstant — altså hvis \(p\) er konstant.
Med andre ord: dersom trykket \(p\) hadde vært konstant, ville \(L\) og \(T\) vært omvendt proporsjonale. Siden påstanden ikke sier dette, er den usann slik den står.
Oppgave 13 (4 poeng)
I 2026 består en fuglebestand av 20 000 individer. Sofie er forsker og antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.
x = 0 # x er antall år etter 2026
def f(x):
return 20000 - 300 * x
def g(x):
return 20000 * 0.984 ** x
while f(x) >= g(x):
x = x + 1
print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))
Output:
Resultat:
10
17000
17020.83963620087
a) Gi en praktisk tolkning av modellene \(f\) og \(g\).
b) Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
a) Praktisk tolkning av modellene:
Modell \(f\): \( f(x) = 20\,000 - 300x \) er en lineær modell. Den antar at bestanden i 2026 er 20 000 individer, og at bestanden minker med 300 individer per år.
Modell \(g\): \( g(x) = 20\,000 \cdot 0{,}984^x \) er en eksponentiell modell. Den antar at bestanden i 2026 er 20 000 individer, og at bestanden minker med en vekstfaktor på 0,984 per år, dvs. en nedgang på 1,6 % per år.
Svar a): \(f\) beskriver lineær nedgang på 300 individer/år, mens \(g\) beskriver eksponentiell nedgang på 1,6 % per år. Begge starter på 20 000 individer i 2026.
b) Hva programmet finner ut:
Programmet starter med \(x = 0\) (året 2026) og øker \(x\) så lenge \(f(x) \geq g(x)\). Det betyr at programmet leter etter første år hvor den eksponentielle modellen \(g\) gir høyere verdi enn den lineære modellen \(f\) – altså det første året der \(g\)-bestanden er større enn \(f\)-bestanden.
I de første årene synker den eksponentielle modellen raskere enn den lineære. Det første året minker \(g\) med \( 0{,}016 \cdot 20\,000 = 320 \) individer, mens \(f\) minker med 300. Derfor ligger \(g\) lavest i starten (det er nettopp derfor \( f(x) \geq g(x) \) holder de første årene). Etter hvert som bestanden minker, blir den prosentvise nedgangen mindre i antall individer, og på et tidspunkt krysser grafene hverandre. Deretter ligger den eksponentielle modellen \(g\) høyere enn den lineære \(f\).
Utskriftene betyr:
10: Det går 10 år før den eksponentielle modellen \(g\) gir høyere verdi enn den lineære modellen \(f\). Det er altså i år \(2026 + 10 = 2036\).
17020,84: \( g(10) = 20\,000 \cdot 0{,}984^{10} \approx 17\,020{,}84 \). Den eksponentielle modellen anslår ca. 17 021 individer i 2036.
Svar b): Sofie vil finne ut når den eksponentielle modellen først gir høyere bestand enn den lineære modellen. Programmet skriver ut at dette skjer 10 år etter 2026 (altså i 2036), og at de to modellene da gir henholdsvis 17 000 og ca. 17 021 individer.
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
Fru Hansen har en gammel bil. Når hun kjører i \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram CO₂ per kilometer:
\[ U(x) = \frac{5400}{x} + 0{,}0074x^2 + 50, \quad 30 < x < 110 \]
a) Hvor mange gram CO₂ per km ved 50 km/h?
b) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet ved denne farten?
c) Fru Hansen kjører 90 km/h i 20 minutter. Hvor mange gram CO₂ slippes ut?
Svar c): Bilen slipper ut ca. 5100 gram (ca. 5,1 kg) CO₂ i løpet av disse 20 minuttene.
Oppgave 2 (2 poeng)
I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra 4,25 % til 4 %.
a) Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?
b) Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?
Svar b): Styringsrenten ble satt ned med ca. 5,9 %.
Oppgave 3 (6 poeng)
Vipa er en kritisk truet fuglearter i Norge.
År
2013
2022
Vipebestand (par)
9000
2500
Tor antar lineær nedgang. Egil antar eksponentiell nedgang. La \(x\) være antall år etter 2013.
a) Lag modell \(f\) ut fra Tors antakelser.
b) Lag modell \(g\) ut fra Egils antakelser.
Myndighetene verner hekkeområder, og bestanden vil stabilisere seg. Egil ønsker en ny modell. Han lager først eksponentiell modell \(p\), så endrer han litt og kommer fram til modell \(q\). Graf for modellene er gitt: modell \(p\) går gjennom punktene \( (0, 7000) \) og \( (9, 500) \), og modell \(q\) starter i \( (0, 9000) \), går gjennom \( (9, 2500) \) og har asymptote \( y = 2000 \).
c) Gjør rede for antakelsene Egil har lagt til grunn for modell \(q\). Bestem \(p(x)\) og \(q(x)\).
a) Lineær modell \(f\) (Tors antakelser):
Tor antar at bestanden minker like mye hvert år. Vi finner stigningstallet:
Da bestanden var 9000 par i 2013 (\(x = 0\)), er konstantleddet 9000:
\[ f(x) = 9000 - 722{,}22x \]
Svar a): \( f(x) = 9000 - 722{,}22x \). Modellen sier at vipebestanden minker med ca. 722 par per år. Etter ca. 12,5 år (rundt 2025–2026) vil bestanden ifølge modellen være null.
b) Eksponentiell modell \(g\) (Egils antakelser):
Egil antar at bestanden minker prosentvis like mye hvert år. Vi har \(g(x) = 9000 \cdot k^x\) med \(g(9) = 2500\). Vi finner vekstfaktoren \(k\) med CAS/kalkulator (eller ved å prøve oss fram i graftegner):
Svar b): \( g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x \). Modellen sier at vipebestanden minker med ca. 13,3 % per år. Bestanden går mot null over tid, men nærmer seg null mye saktere enn i Tors modell.
c) Modell \(p\) og \(q\):
Fra grafen leser vi at modell \(p\) går gjennom punktene \( (0, 7000) \) og \( (9, 500) \). Vi setter opp en eksponentiell modell \( p(x) = 7000 \cdot k^x \) og finner vekstfaktoren med CAS/kalkulator:
Modellen \(q\) skal beskrive bestanden etter verntiltak. Fra grafen ser vi at modellen:
må starte på 9000 par (bestanden i 2013)
må gå gjennom \( (9, 2500) \) (bestanden i 2022)
flater ut og stabiliserer seg på 2000 par
Egils tanke er: nedgangen ovenfor det stabile nivået på 2000 er fortsatt eksponentiell. Det betyr at starten ligger \(9000 - 2000 = 7000\) par over det stabile nivået, og denne "avstanden ned til 2000" minker eksponentielt. Vi tester derfor
Modell \(p\) (rød) viser eksponentiell nedgang mot null. Modell \(q\) (blå) er forskjøvet opp slik at bestanden stabiliserer seg ved asymptoten \(y = 2000\). Begge har samme vekstfaktor \(0{,}746\) (ca. \(-25{,}4\,\%\) per år).
Oppgave 4 (4 poeng)
For å varme opp 1 liter vann 1 grad Celsius kreves en energi på 4184 J.
Vanntemperaturen fra varmtvannstanken er 70 °C. Kaldt vann er 10 °C.
a) Vis at å varme opp 100 L vann fra 10 °C til 70 °C krever \( 2{,}51 \cdot 10^7 \) J.
Martin dusjer og bruker 15 liter vann per minutt. Dusjvannet er 40 °C. Formelen
\[ V = \frac{T - 10}{4} \]
gir hvor mange liter vann fra varmtvannstanken Martin bruker per minutt når dusjvannet har temperatur \(T\) °C.
En dag dusjer Martin i 10 minutter (dusjvann 40 °C).
b) Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?
c) Hvor mye energi kreves for å varme opp dette vannet?
Strømpris: 134 øre per kWh, og \(1 \text{ kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\) J.
d) Hvor mye kostet dusjen denne morgenen?
a) Energi for å varme opp 100 L fra 10 °C til 70 °C:
Svar d): Dusjen kostet ca. 7 kroner denne morgenen.
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 1P (våren 2026). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.