Oppgave 1 (1 poeng)
En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon. Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?
Vi finner prisøkningen:
\[ 60 - 40 = 20 \text{ kr} \]
Vi regner ut den prosentvise økningen i forhold til prisen i butikk:
\[ \frac{20}{40} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]
Svar: Sjokoladeplaten er 50 % dyrere på bensinstasjonen.
Oppgave 2 (1 poeng)
Arbeiderpartiet fikk 40 % og Senterpartiet 20 %. Begge har økt med 5 prosentpoeng. Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang?
Arbeiderpartiet: Fra 40 % til 45 %.
\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{40} \cdot 100\,\% = 12{,}5\,\% \]
Senterpartiet: Fra 20 % til 25 %.
\[ \text{Prosentvis framgang} = \frac{5}{20} \cdot 100\,\% = 25\,\% \]
Svar: Senterpartiet har hatt størst prosentvis framgang (25 % mot 12,5 %). Selv om begge økte med like mange prosentpoeng, gir 5 prosentpoeng en større relativ økning for Senterpartiet fordi de startet fra et lavere nivå.
Oppgave 3 (3 poeng)
Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor. Tegn graf med tre punkter.
Situasjon: Et malerlag skal male et hus. Antall malere og tiden det tar å male huset er omvendt proporsjonale.
Hvis det tar 12 timer for 1 maler, har vi sammenhengen:
\[ \text{antall malere} \cdot \text{tid} = 12 \]
Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi produktet av antall malere og tid alltid er konstant (12). Når antall malere øker, minker tiden tilsvarende.
Vi kan skrive \( t = \frac{12}{x} \) der \( x \) er antall malere og \( t \) er tid i timer.
Tre punkter på grafen:
| Antall malere \(x\) | Tid \(t\) (timer) |
|---|
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
Grafen er en hyperbel som synker mot \(x\)-aksen uten å nå den.
Oppgave 4 (2 poeng)
\(\square \cdot 10^{\square} \cdot \square \cdot 10^{\square} = 8\,000\,000\,000\). Fyll inn slik at svaret blir riktig. Kan ikke bruke samme tall flere ganger. Vis at Elias kan bruke 8 av de 10 sifrene og sette opp to ulike løsninger.
Vi skriver \(8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9\).
Uttrykket \( a \cdot 10^b \cdot c \cdot 10^d = ac \cdot 10^{b+d} \), så vi trenger \( ac = 8 \) og \( b + d = 9 \).
Løsning 1:
\[ 2 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]
Bruker sifrene: 2, 3, 4, 6
Løsning 2:
\[ 1 \cdot 10^0 \cdot 8 \cdot 10^9 = 8 \cdot 10^9 = 8\,000\,000\,000 \]
Bruker sifrene: 1, 0, 8, 9
Svar: De to løsningene bruker til sammen sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – altså 8 av de 10 sifrene, og alle er ulike. Elias har rett.
Oppgave 5 (2 poeng)
I blodet: \(7 \cdot 10^9\) hvite blodceller, \(5 \cdot 10^{12}\) røde blodceller og \(3 \cdot 10^{11}\) blodplater. Hvor mange blodceller til sammen?
Vi gjør om alle tallene til samme tierpotens (\(10^{12}\)):
\[ 7 \cdot 10^9 = 0{,}007 \cdot 10^{12} \]
\[ 5 \cdot 10^{12} = 5 \cdot 10^{12} \]
\[ 3 \cdot 10^{11} = 0{,}3 \cdot 10^{12} \]
Summen blir:
\[ (0{,}007 + 5 + 0{,}3) \cdot 10^{12} = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]
Svar: Det er til sammen \(5{,}307 \cdot 10^{12} \approx 5{,}3 \cdot 10^{12}\) blodceller i en liter blod.
Oppgave 6 (2 poeng)
Tre figurer satt sammen av små grønne kvadrater. a) Hvor mange i figur 5? b) Formel for figur \(n\).
Vi teller kvadratene i figurene:
| Figur \(n\) | 1 | 2 | 3 |
|---|
| Antall kvadrater | 5 | 8 | 13 |
|---|
Differansene mellom figurene: \(8 - 5 = 3\) og \(13 - 8 = 5\). Differansene øker med 2, så dette er et kvadratisk mønster.
Vi prøver formelen \( a(n) = n^2 + 4 \):
- \( a(1) = 1 + 4 = 5 \) ✓
- \( a(2) = 4 + 4 = 8 \) ✓
- \( a(3) = 9 + 4 = 13 \) ✓
a) Antall kvadrater i figur 5:
\[ a(5) = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29 \]
Svar:
a) Figur 5 har 29 små grønne kvadrater.
b) Antall kvadrater i figur \(n\) er gitt ved \( a(n) = n^2 + 4 \).
Oppgave 7 (3 poeng)
Lars har 120 000 kr. Han lager et Python-program for å finne ut når han når 1 000 000 kr.
konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0
while konto < 1000000:
konto = konto + sparebeløp
konto = konto * vekstfaktor
år = år + 1
print(år)
print(konto)
Hva programmet forteller:
Lars har 120 000 kr på konto. Hvert år setter han inn 24 000 kr, og deretter vokser kontoen med en vekstfaktor på 1,058 (dvs. 5,8 % rente). Programmet regner ut hvor mange år det tar før kontoen passerer 1 000 000 kr.
Verdier som skrives ut:
Programmet skriver ut:
17
1016759.6984089151
Svar: Lars trenger 17 år for å nå 1 000 000 kr. Etter 17 år har han ca. 1 016 760 kr på kontoen.
Oppgave 8 (4 poeng)
Lineær sammenheng mellom hektogram godteri og pris. \(G(x) = ax + b\) med punktene \((5, 90)\) og \((20, 270)\).
a) Bestem \(a\) og \(b\):
Stigningstallet \(a\):
\[ a = \frac{270 - 90}{20 - 5} = \frac{180}{15} = 12 \]
Vi bruker punktet \((5, 90)\) til å finne \(b\):
\[ 90 = 12 \cdot 5 + b \implies b = 90 - 60 = 30 \]
Svar a): \( a = 12 \) og \( b = 30 \), så \( G(x) = 12x + 30 \)
b) Praktisk tolkning:
- \(a = 12\): Prisen øker med 12 kroner for hvert hektogram godteri Nora legger i bøtta.
- \(b = 30\): Den tomme bøtta koster 30 kroner (prisen uten godteri).
c) Pris for 8 hg godteri:
\[ G(8) = 12 \cdot 8 + 30 = 96 + 30 = 126 \]
Svar c): En bøtte med 8 hg godteri koster 126 kroner.
Oppgave 1 (6 poeng)
Kikhostetilfeller i Norge. \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x\) der \(x\) er antall måneder etter desember 2022.
a) Vis at modellen er god:
Vi sammenligner modellverdier med tabellverdier:
| Måned | \(x\) | Faktisk | \(K(x)\) |
|---|
| Jan 2023 | 1 | 29 | 33 |
| Mai 2023 | 5 | 93 | 69 |
| Okt 2023 | 10 | 164 | 172 |
| Feb 2024 | 14 | 284 | 357 |
| Aug 2024 | 20 | 1035 | 1066 |
| Okt 2024 | 22 | 1657 | 1535 |
Modellen gir verdier som er i samme størrelsesorden som de faktiske tallene. For de høyere \(x\)-verdiene (august og oktober 2024) er modellen ganske nær. Selv om det er avvik på enkeltmåneder, fanger modellen den eksponentielle veksten godt.
b) Praktisk tolkning av 1,2:
Tallet 1,2 er vekstfaktoren per måned. Det betyr at antall registrerte kikhostetilfeller øker med ca. 20 % per måned.
c) Stigningstall:
\[ K(4) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^4 \approx 57{,}6 \]
\[ K(21) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx 1278{,}9 \]
\[ \text{Stigningstall} = \frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}9 - 57{,}6}{17} \approx 71{,}8 \]
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte kikhostetilfeller med ca. 72 per måned i perioden fra april 2023 til september 2024.
d) Mai 2025:
Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).
\[ K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx 5499 \]
Svar: Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i mai 2025.
Oppgave 2 (2 poeng)
Stikk UT!: 40 000 deltakere, nær 1 million turer, 3,3 millioner km tilbakelagt, tilsvarer 83 ganger rundt jorda.
a) Gjennomsnittlig ganglengde per deltaker:
\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{40\,000 \text{ deltakere}} = 82{,}5 \text{ km per deltaker} \]
Svar a): Hver deltaker har i gjennomsnitt gått 82,5 km.
b) Jordas omkrets ifølge Sunnmøre friluftsråd:
\[ \frac{3\,300\,000 \text{ km}}{83} \approx 39\,759 \text{ km} \]
Svar b): Sunnmøre friluftsråd har regnet at det er ca. 39 759 km rundt jorda (nær den faktiske verdien på ca. 40 075 km).
Oppgave 3 (3 poeng)
Elise selger aviser à 49 kr. Tilbud 1: 35 % provisjon. Tilbud 2: 150 kr fast + 10 kr per avis. Gi Elise råd.
La \(x\) være antall aviser Elise selger per lørdag.
Tilbud 1: Lønn = 35 % av salgsbeløpet
\[ T_1(x) = 0{,}35 \cdot 49 \cdot x = 17{,}15x \]
Tilbud 2: Fast lønn + tillegg per avis
\[ T_2(x) = 150 + 10x \]
Når gir tilbudene lik lønn?
\[ 17{,}15x = 150 + 10x \]
\[ 7{,}15x = 150 \]
\[ x = \frac{150}{7{,}15} \approx 21{,}0 \]
Vi sjekker:
| Antall aviser | Tilbud 1 | Tilbud 2 |
|---|
| 10 | 171,50 kr | 250 kr |
| 21 | 360,15 kr | 360 kr |
| 30 | 514,50 kr | 450 kr |
Råd til Elise:
- Selger hun færre enn 21 aviser: Velg tilbud 2 (fast lønn gir trygg inntekt).
- Selger hun mer enn 21 aviser: Velg tilbud 1 (provisjonen gir mer).
Hvis Elise er usikker på hvor mange hun selger, er tilbud 2 tryggest fordi hun er garantert minst 150 kr uansett.
Oppgave 4 (2 poeng)
«Kjøp 4 aviser for 99 kroner, spar 49 %». Hva koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?
Når man sparer 49 %, betaler man 51 % av ordinær pris. La \(p\) = pris per avis uten rabatt.
\[ 4p \cdot 0{,}51 = 99 \]
\[ 4p = \frac{99}{0{,}51} \approx 194{,}12 \]
\[ p = \frac{194{,}12}{4} \approx 48{,}53 \text{ kr} \]
Vi kan sjekke med et annet tilbud: «Kjøp 52 aviser for 1399 kr, spar 45 %»:
\[ p = \frac{1399}{52 \cdot 0{,}55} = \frac{1399}{28{,}6} \approx 48{,}9 \text{ kr} \]
Svar: Dagbladet Lørdag koster ca. 48,50–49 kroner uten rabatt. Spareprosenten er avrundet, så den eksakte prisen er omtrent 49 kr.
Oppgave 5 (2 poeng)
Terrassebord: Furu 28×145 til 67,90 kr/m og Furu 28×095 til 49,90 kr/m. Finn pris per kvadratmeter.
Bredden er oppgitt i mm. Vi gjør om til meter for å finne pris per m².
Furu 28×145: Bredde = 145 mm = 0,145 m
\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{67{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}145 \text{ m}} \approx 468{,}28 \text{ kr/m}^2 \]
Furu 28×095: Bredde = 95 mm = 0,095 m
\[ \text{Pris per m}^2 = \frac{49{,}90 \text{ kr/m}}{0{,}095 \text{ m}} \approx 525{,}26 \text{ kr/m}^2 \]
Svar: Furu 28×145 koster ca. 468 kr/m², og Furu 28×095 koster ca. 525 kr/m². Det bredere bordet er altså billigst per kvadratmeter.
Oppgave 6 (6 poeng)
Sylinderformede bokser med volum 450 cm³. \(V = \pi r^2 h\) og \(O = \pi r^2 + 2\pi r h\).
a) Fylle inn tabellen:
Fra \(V = \pi r^2 h = 450\) finner vi \(h = \frac{450}{\pi r^2}\).
| Radius \(r\) (cm) | Høyde \(h\) (cm) | Overflate \(O\) (cm²) | Volum \(V\) (cm³) |
|---|
| 2 | 35,81 | 462,6 | 450 |
| 4 | 8,95 | 275,3 | 450 |
| 6 | 3,98 | 263,1 | 450 |
| 8 | 2,24 | 313,6 | 450 |
Eksempel for \(r = 4\):
\[ h = \frac{450}{\pi \cdot 4^2} = \frac{450}{16\pi} \approx 8{,}95 \text{ cm} \]
\[ O = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8{,}95 = 16\pi + 71{,}6\pi \approx 275{,}3 \text{ cm}^2 \]
b) Funksjonsuttrykk for overflaten:
Vi setter inn \(h = \frac{450}{\pi r^2}\) i formelen for overflaten:
\[ O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r} \]
Svar b): \( O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r} \)
c) Minste overflate:
Vi finner minimum ved å derivere og sette lik null:
\[ O'(r) = 2\pi r - \frac{900}{r^2} = 0 \]
\[ 2\pi r = \frac{900}{r^2} \]
\[ r^3 = \frac{900}{2\pi} = \frac{450}{\pi} \]
\[ r = \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}} \approx 5{,}23 \text{ cm} \]
Overflaten ved denne radiusen:
\[ O(5{,}23) = \pi \cdot 5{,}23^2 + \frac{900}{5{,}23} \approx 85{,}9 + 172{,}1 = 258{,}0 \text{ cm}^2 \]
Svar c): Overflaten blir minst mulig når \(r \approx 5{,}2\) cm. Da blir overflaten ca. 258 cm².
Oppgave 7 (3 poeng)
Sofie kjøper bagett i kantina for 65 kr/dag. Vurderer å kjøpe i butikk og smøre selv. Gjør antakelser og finn sparing per måned.
Antakelser om priser i butikk (per dag):
| Ingrediens | Butikkpris | Rekker til | Per dag |
|---|
| Baguetter (2-pk) | 30 kr | 2 dager | 15,00 kr |
| Smør | 50 kr | 20 dager | 2,50 kr |
| Ost (500 g) | 50 kr | 5 dager | 10,00 kr |
| Skinke (150 g) | 40 kr | 5 dager | 8,00 kr |
| Tomat | 15 kr | 3 dager | 5,00 kr |
| Salat | 20 kr | 4 dager | 5,00 kr |
| Sum per dag | 45,50 kr |
|---|
Sparing per dag:
\[ 65 - 45{,}50 = 19{,}50 \text{ kr per dag} \]
Sparing per måned (ca. 22 skoledager):
\[ 19{,}50 \cdot 22 = 429 \text{ kr per måned} \]
Svar: Med disse antakelsene sparer Sofie ca. 430 kroner i måneden ved å lage bagettene selv. Nøyaktig beløp avhenger av prisene i butikken og hvor lenge ingrediensene varer.