Løsningsforslag – Matematikk 1P Vår 2024

Eksamen MAT1019

Oppgave 1 (2 poeng)

Vi vet at 18 millioner mennesker utgjør 2 promille av verdens befolkning.

Promille betyr «per tusen». 2 promille betyr 2 per 1000, altså:

La \( x \) være verdens befolkning. Da har vi:

Vi løser for \( x \):

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Praktisk tolkning

Tallet 20 000:

Når \( x = 0 \), får vi:

Tallet 20 000 er beløpet Ada har i banken ved starten (tidspunkt 0). Hun setter altså inn 20 000 kroner.

Tallet 1,0485:

Vi kan skrive vekstfaktoren som:

Dette betyr at pengene vokser med faktoren 1,0485 hvert år, noe som tilsvarer en årlig rente på 4,85 %.

b) Tolkning av programmet

Programmet regner ut:

Vi regner ut \( f(10) \) og \( f(0) \):

Uttrykket \(\frac{f(10) - f(0)}{10 - 0}\) er den gjennomsnittlige endringen i beløpet per år over de første 10 årene. Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten (gjennomsnittlig endring per år).

Mer presist: Vi finner differansen mellom beløpet etter 10 år og startbeløpet, og deler på antall år (10). Resultatet forteller oss hvor mange kroner Ada i gjennomsnitt tjener per år i løpet av de 10 første årene.

Oppgave 3 (2 poeng)

Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale dersom sammenhengen kan skrives på formen \( y = k \cdot x \), der \( k \) er en konstant. Grafen til en proporsjonal sammenheng er en rett linje gjennom origo.

Fra grafen ser vi at funksjonen \( f \) er en rett linje som går gjennom origo (punktet (0, 0)). Dermed viser \( f \) en proporsjonal sammenheng.

Vi kan lese av fra grafen at \( f \) ser ut til å gå gjennom for eksempel punktet \((10, 1000)\), noe som gir \( k = \frac{1000}{10} = 100 \). Vi kan sjekke med et annet punkt, for eksempel \((5, 500)\): \( k = \frac{500}{5} = 100 \). Forholdet \(\frac{y}{x}\) er konstant.

Funksjonen \( g \) er også en rett linje, men den går ikke gjennom origo (den krysser \( y \)-aksen over 0). Derfor er \( g \) ikke proporsjonal.

Omvendt proporsjonale størrelser

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom sammenhengen kan skrives på formen \( y = \frac{k}{x} \), der \( k \) er en konstant. Grafen er da en hyperbel som nærmer seg aksene uten å krysse dem.

Fra grafen ser vi at funksjonen \( q \) ser ut til å ha denne formen: den synker bratt for små \( x \)-verdier og flater ut mot \( x \)-aksen for store \( x \)-verdier, uten å krysse aksene. Vi kan sjekke ved å lese av noen punkter:

Fra grafen ser det ut som \( q \) går gjennom omtrent \((2, 300)\) og \((4, 150)\):

Produktet \( x \cdot y \) ser ut til å være konstant, noe som bekrefter omvendt proporsjonalitet.

Funksjonen \( p \) er en kurve (ser ut som en eksponentialfunksjon), men den er verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Vis utregningen for 70 km/h

Farten er 70 km/h. Vi finner \( x \) ved å dele farten på 10:

Vi setter \( x = 7 \) inn i formelen:

b) Finn farten når bremselengden er 40,5 meter

Vi setter \( B = 40{,}5 \) inn i formelen og løser for \( x \):

Vi ganger begge sider med 2:

Vi tar kvadratroten:

Siden \( x \) er fart i km/h delt på 10, finner vi farten ved å gange med 10:

Oppgave 1 (6 poeng)

a) Vis at modellen er god

Vi regner ut \( O(x) \) for hver \( x \)-verdi i tabellen og sammenligner med de oppgitte overskuddene.

\( x = 100 \):

Tabellverdi: 1450. Avvik: \(|1450 - 1427{,}02| = 22{,}98\)

\( x = 130 \):

Tabellverdi: 2300. Avvik: \(|2300 - 2337{,}22| = 37{,}22\)

\( x = 160 \):

Tabellverdi: 3050. Avvik: \(|3050 - 3085{,}42| = 35{,}42\)

\( x = 175 \):

Tabellverdi: 3365. Avvik: \(|3365 - 3398{,}77| = 33{,}77\)

\( x = 190 \):

Tabellverdi: 3720. Avvik: \(|3720 - 3671{,}62| = 48{,}38\)

\( x = 220 \):

Tabellverdi: 4140. Avvik: \(|4140 - 4095{,}82| = 44{,}18\)

\( x = 235 \):

Tabellverdi: 4175. Avvik: \(|4175 - 4247{,}67| = 72{,}67\)

Oppsummering:

Solgte bagetter	Tabellverdi	O(x)	Avvik
100	1450	1427	23
130	2300	2337	37
160	3050	3085	35
175	3365	3399	34
190	3720	3672	48
220	4140	4096	44
235	4175	4248	73

Avvikene er relativt små sammenlignet med overskuddsverdiene. Modellen treffer godt for alle datapunktene.

b) Størst mulig overskudd

Funksjonen \( O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98 \) er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \( x^2 \). Grafen er en parabel som vender nedover, og overskuddet er størst i toppunktet.

Toppunktet til en andregradsfunksjon \( ax^2 + bx + c \) har \( x \)-koordinat:

Her er \( a = -0{,}09 \) og \( b = 51{,}04 \):

Siden vi produserer hele bagetter, runder vi til \( x = 284 \) (vi kan også sjekke \( x = 283 \)).

Vi regner ut overskuddet:

For å sjekke: \( O(283) = -0{,}09 \cdot 283^2 + 51{,}04 \cdot 283 - 2776{,}98 = -0{,}09 \cdot 80089 + 14444{,}32 - 2776{,}98 = -7208{,}01 + 14444{,}32 - 2776{,}98 = 4459{,}33 \)

Begge gir tilnærmet likt overskudd (fordi toppunktet er mellom 283 og 284). Vi bruker \( x \approx 283{,}6 \) og regner:

c) Stigningstall og praktisk tolkning

Vi skal finne stigningstallet til den rette linjen gjennom \((100, O(100))\) og \((200, O(200))\).

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Stigningstallet er:

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Hvor mye vil det være på kontoen om fem år?

I dag står det 105 607 kroner på kontoen. Renten er 3,25 % per år, som gir vekstfaktor \( 1{,}0325 \).

Metode 1: Beregning

Om fem år vil beløpet være:

Vi regner ut:

Metode 2: Grafisk

Vi setter opp funksjonen \( K(x) = 105\,607 \cdot 1{,}0325^x \), der \( x \) er antall år fra nå.

Vi tegner grafen og leser av verdien ved \( x = 5 \). Grafen vil vise at \( K(5) \approx 123\,922 \).

b) Hvor mye satte Gaute inn for fem år siden?

Metode 1: Beregning

La \( K_0 \) være beløpet Gaute satte inn. Etter 5 år med 3,25 % rente har beløpet vokst til 105 607 kroner. Etter 5 år med rente har vi:

Vi løser for \( K_0 \):

Metode 2: Grafisk

Vi setter opp funksjonen \( K(x) = K_0 \cdot 1{,}0325^x \). Vi vet at \( K(5) = 105\,607 \), og vi trenger \( K(0) = K_0 \).

Alternativt kan vi tegne grafen \( K(x) = 105\,607 \cdot 1{,}0325^{x-5} \) (der \( x = 5 \) er nåtid, \( x = 0 \) er for 5 år siden) og lese av verdien ved \( x = 0 \).

Eventuelt kan vi plotte \( y = 105\,607 \cdot 1{,}0325^x \) og lese av ved \( x = -5 \), som gir \( y \approx 90\,000 \).

Oppgave 3 (4 poeng)

a) Antall liter olje produsert i 2023

Først finner vi antall fat produsert per år. Et år har 365 dager:

Vi regner om til liter:

Mer nøyaktig:

b) Prosentvis økning fra 2022 til 2023

Produksjonen i 2022: 1,685 millioner fat per døgn.
Produksjonen i 2023: 1,794 millioner fat per døgn.

Økningen er:

Prosentvis økning regnes i forhold til utgangsverdien (2022):

Alternativt kan vi bruke vekstfaktoren:

som tilsvarer en økning på omtrent 6,47 %.

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Gjennomsnittlig rundetid på 1500 m

Personlig rekord på 1500 m er 3:27,14, altså 3 minutter og 27,14 sekunder.

Vi regner om til sekunder:

En runde er 400 meter. Antall runder på 1500 m:

Gjennomsnittlig rundetid:

b) Antall meter i 1 engelsk mil

Vi vet at:

• Tiden for 1 engelsk mil: 3:43,73 = 3 minutter og 43,73 sekunder
• Gjennomsnittsfart: 25,89 km/h

Vi regner om tiden til timer:

Vi bruker formelen \( \text{strekning} = \text{fart} \cdot \text{tid} \):

Vi regner om til meter:

Oppgave 5 (4 poeng)

Beskriv mønsteret

Vi undersøker sammenhengen mellom påfølgende ledd:

Mønsteret er: Hvert ledd er det dobbelte av det forrige leddet pluss 1. Hvis vi kaller ledd nummer \( n \) for \( a_n \), kan vi skrive:

De neste leddene blir da:

Argumentasjon for at alle ledd bortsett fra det første er oddetall

Et partall er et tall som kan skrives som \( 2k \) for et heltall \( k \). Et oddetall kan skrives som \( 2k + 1 \).

Tilfelle 1: Hvis \( a_n \) er et partall

Da er \( 2 \cdot a_n \) et partall, og \( 2 \cdot a_n + 1 \) er et oddetall. Altså er \( a_{n+1} \) et oddetall.

Tilfelle 2: Hvis \( a_n \) er et oddetall

Da er \( 2 \cdot a_n \) et partall (2 ganger et heltall er alltid et partall), og \( 2 \cdot a_n + 1 \) er et oddetall. Altså er \( a_{n+1} \) et oddetall.

Konklusjon: Uansett om \( a_n \) er et partall eller oddetall, vil det neste leddet \( a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1 \) alltid være et oddetall. Dette er fordi \( 2 \cdot a_n \) alltid er et partall, og et partall pluss 1 er alltid et oddetall.

Det første leddet er \( a_1 = 2 \), som er et partall. Men fra og med det andre leddet \( a_2 = 5 \) vil alle ledd være oddetall.

Oppgave 6 (8 poeng)

a) Bestem modellen \( K(x) = a \cdot x^b \)

Vi bruker to punkter fra tabellen for å bestemme \( a \) og \( b \). Vi velger \((1000,\ 100)\) og \((200,\ 60{,}1)\).

Vi setter inn i \( K(x) = a \cdot x^b \):

Vi deler ligning (1) på ligning (2):

Vi tar logaritmen på begge sider:

Vi finner \( a \) fra ligning (1):

Vi regner ut \( 1000^{0{,}3164} \):

Vi kan verifisere med de andre datapunktene. For eksempel \( x = 500 \):

Tabellverdi: 81,4. Godt samsvar.

For \( x = 80 \):

Tabellverdi: 41,5. Noe avvik. En to-punkts modell gir bare en tilnærming; med regresjonsverktøy (f.eks. GeoGebra) kan man finne en modell som passer bedre for alle datapunktene.

b) Modellene for Ari og Lisa

Begge lager modeller for lufttrykket \( L \) som funksjon av høyden \( x \) km over havet. Ved havets overflate (\( x = 0 \)) er lufttrykket 1000 hPa.

Aris modell

Ari sier at lufttrykket minker med ca. 12 % per km. Det betyr at for hver km vi stiger, beholder vi \( 100\% - 12\% = 88\% \) av lufttrykket. Vekstfaktoren er 0,88.

der \( x \) er høyden i km over havet.

Lisas modell

Lisa sier at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Vi bruker formen \( L(x) = a \cdot b^x \) der \( a = 1000 \).

Halveringsformelen gir oss at etter 5,5 km er trykket halvert:

Dette kan også skrives som:

Vi kan finne vekstfaktoren per km: \( 0{,}5^{1/5{,}5} = 0{,}5^{0{,}1818} \approx 0{,}8816 \), altså omtrent det samme som Aris modell.

c) Hvor høyt over havet kan man få egg hardkokte?

Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn 85 °C. Vi må finne ved hvilken høyde kokepunktet synker til 85 °C.

Steg 1: Finn lufttrykket som gir kokepunkt 85 °C.

Vi bruker modellen fra a):

Vi løser for \( x \) (her er \( x \) lufttrykk i hPa):

Vi regner ut:

Steg 2: Finn høyden der lufttrykket er 601 hPa.

Vi bruker for eksempel Aris modell:

Vi tar logaritmen:

Vi sjekker med Lisas modell:

Begge modellene gir omtrent samme svar.

Oppgave 7 (4 poeng)

Tilbudet: «Ta 3, betal for 2» – butikken spanderer det rimeligste paret.

De tre parene koster:

• Du: 800 kr og 1550 kr
• Vennen: 1350 kr

Steg 1: Finn totalpris uten rabatt

Steg 2: Finn rabatten

Butikken spanderer det rimeligste paret. Det rimeligste paret koster 800 kr.

Steg 3: Fordel rabatten rettferdig

En rettferdig fordeling er å gi rabatten proporsjonalt etter hvor mye hver person handler for. Det betyr at hver person får en prosentvis like stor rabatt.

Vi regner ut rabatten i prosent av totalprisen:

Alternativt: Forholdet mellom det man betaler og opprinnelig pris er:

Alle betaler altså ca. 78,38 % av sin opprinnelige pris.

Du betaler:

Vennen betaler:

Kontroll:

Begrunnelse: Vi fordeler rabatten proporsjonalt, slik at begge parter får den samme prosentvise rabatten (ca. 21,6 %). Dette er rettferdig fordi den som handler for mest også bidrar mest til at tilbudet kan benyttes, og dermed bør få en tilsvarende større del av rabatten i kroner.