Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2023

Eksamen MAT1019

Oppgave 1

Vi regner ut det totale væskebehovet:

Vi gjør om fra milliliter til liter. Vi vet at \(1 \text{ L} = 1000 \text{ mL}\):

Oppgave 2

a) Samsvarer overskriften med første setning?

"Ni av ti" betyr:

Første setning sier at 88 % bruker sosiale medier. \(88\,\% \neq 90\,\%\), så overskriften samsvarer ikke helt med første setning.

Overskriften er en avrunding og gir et noe høyere tall enn det faktiske. Det er vanlig i overskrifter å bruke avrundede tall for å gjøre det lettere å forstå, men strengt tatt er det ikke helt presist.

b) Hvor mange prosent tilsvarer 8 prosentpoeng?

For fem år siden var andelen som brukte sosiale medier:

Vi skal finne hvor mange prosent 8 prosentpoeng utgjør av den opprinnelige andelen (80 %):

Oppgave 3

Ohms lov kan skrives som:

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke

Strømmen \(I\) er proporsjonal med spenningen \(U\). Det betyr at dersom \(R\) holdes konstant og \(U\) øker, så vil \(I = \frac{U}{R}\) også øke (telleren blir større mens nevneren er uendret).

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke

Strømmen \(I\) er omvendt proporsjonal med motstanden \(R\). Det betyr at dersom \(U\) holdes konstant og \(R\) øker, så vil \(I = \frac{U}{R}\) bli mindre (nevneren blir større mens telleren er uendret).

Oppgave 4

a) Forklaring av uttrykket \(H(x) = 6x + 12\)

Sondre tar utgangspunkt i kolonnen for store hunder fra 2 år og oppover:

Hundealder (år)	Menneskealder (år)
2	24
3	30
4	36
5	42

For hvert år hunden blir eldre, øker menneskealderen med 6. Det blir 6x-leddet i funksjonen.

Konstantleddet finner Sondre ved å sette inn et tabellpunkt, for eksempel \(x = 2\) med \(H = 24\):

Det gir modellen \(H(x) = 6x + 12\).

Når modellen er gyldig: Yngre hunder vokser mye raskere. En 1-årig hund tilsvarer 16 menneskeår, ikke \(6 \cdot 1 + 12 = 18\). Modellen kan derfor bare brukes for store hunder fra ca. 2 år og oppover.

b) Er hundealder proporsjonal med menneskealder?

Proporsjonalitet betyr at \(H(x) = k \cdot x\) — altså at grafen går gjennom origo.

Sondres modell gir \(H(0) = 12\), ikke 0. Konstantleddet 12 gjør at linjen ikke går gjennom origo.

Oppgave 5

Etter 1. år: Bilen taper 20 % av sin verdi. Vekstfaktoren er \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\).

Etter 2. år: Bilen taper 14 % av bruktprisen (verdien etter 1 år). Vekstfaktoren er \(1 - 0{,}14 = 0{,}86\).

Vi regner ut:

Oppgave 1

a) Bestem en modell \(F\)

La \(x\) være antall år etter 1950. Da får vi disse datapunktene:

\(x\)	2	32	42	52	62	72
\(F(x)\)	65 956	25 289	19 780	13 841	9 825	9 591

Antall fiskere synker raskt i starten og flater ut mot slutten. Dette minner om en avtagende eksponentialfunksjon på formen \(F(x) = a \cdot b^x\). Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra på alle datapunktene.

Slik gjør du det i GeoGebra:

1. Legg inn x-verdiene som en liste: L1 = {2, 32, 42, 52, 62, 72}
2. Legg inn fiskertallene som en liste: L2 = {65956, 25289, 19780, 13841, 9825, 9591}
3. Kjør kommandoen: Eksponentialregresjon(L1, L2)

GeoGebra gir:

Modellen blir:

Vi kontrollerer modellen ved å sammenligne med tabellen:

År	\(x\)	Tabell	Modell \(F(x)\)
1952	2	65 956	62 623
1982	32	25 289	26 251
1992	42	19 780	19 646
2002	52	13 841	14 703
2012	62	9 825	11 004
2022	72	9 591	8 235

Modellen treffer godt for de fleste årene, men flater ikke ut like raskt som tabellen gjør de siste årene.

b) Antall fiskere i 2050

År 2050 tilsvarer \(x = 2050 - 1950 = 100\). Vi setter inn i modellen (eller bruker F(100) i GeoGebra):

Vurdering av gyldighetsområde: Modellen er basert på data fra 1952 til 2022. Å bruke den til å spå 28 år inn i framtiden (2050) er en ekstrapolering med stor usikkerhet. Nedgangen i antall fiskere har avtatt de siste årene (fra 9 825 i 2012 til 9 591 i 2022), noe som tyder på at antallet kan stabilisere seg. Modellen overdriver derfor sannsynligvis nedgangen, og det reelle tallet i 2050 er trolig høyere enn 3 660.

c) Stigningstallet til linjen gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\)

Vi beregner funksjonsverdiene i GeoGebra:

Stigningstallet blir:

Praktisk tolkning: \(x = 30\) tilsvarer år 1980 og \(x = 70\) tilsvarer år 2020. Stigningstallet forteller at antall fiskere i gjennomsnitt ble redusert med ca. 477 personer per år i perioden fra 1980 til 2020.

Oppgave 2

La den opprinnelige lengden være \(L\) og den opprinnelige bredden være \(B\). Da er det opprinnelige arealet:

Ny lengde (økt med 10 %): \(L_{\text{ny}} = 1{,}10 \cdot L\)

Ny bredde (redusert med 20 %): \(B_{\text{ny}} = 0{,}80 \cdot B\)

Nytt areal:

Vekstfaktoren for arealet er \(0{,}88\), som tilsvarer en nedgang på:

Oppgave 3

a) Pølser per sekund

Antall sekunder i et år:

Antall pølser per sekund:

b) Prosent av pølsene på 17. mai

c) Hvor lang er en pølse ifølge NRK?

Omkretsen av jorda ved ekvator:

Total lengde av alle pølser (2,5 ganger rundt jorda):

Vi gjør om til centimeter: \(100\,186 \text{ km} = 100\,186 \cdot 100\,000 \text{ cm} = 10\,018\,600\,000 \text{ cm}\)

Lengden per pølse:

Oppgave 4

200 g sjokolade med 1,2 mg teobromin per gram gir totalt:

Grensen er 20 mg per kg kroppsvekt. Vi finner hvor mye Mira må veie for å være akkurat på grensen ved å dele total mengde på 20:

Veier Mira mindre enn 12 kg, har hun fått i seg mer enn 20 mg/kg. Vi prøver to vektantakelser:

Antatt vekt	Teobromin per kg	Vurdering
10 kg (liten hund)	\(240/10 = 24\) mg/kg	Over grensen
15 kg (mellomstor)	\(240/15 = 16\) mg/kg	Under grensen, men tett på

Oppgave 5

Finn linjene som begrenser trekanten

Vi trenger ligningen til linjen \(BC\), som går gjennom \(B(6, 0)\) og \(C(0, 6)\):

Linjen \(BC\) har stigningstall \(-1\) og \(y\)-skjæring 6:

Tilsvarende for linjen \(AC\) gjennom \(A(-6, 0)\) og \(C(0, 6)\):

Sett opp rektangelets dimensjoner

Rektangelet har to hjørner på \(x\)-aksen og er symmetrisk om \(y\)-aksen. La \(P\) ligge på linjen \(BC\) med koordinater \(P(x,\; y)\) der \(y = -x + 6\) og \(x > 0\).

På grunn av symmetrien har det motsatte hjørnet på linjen \(AC\) koordinater \((-x,\; y)\).

Rektangelets bredde er \(2x\) og høyden er \(y = 6 - x\).

Sett opp en funksjon for arealet

Prøv noen verdier (Martin og Marias strategi)

\(x\)	\(y = 6 - x\)	Bredde = \(2x\)	Høyde = \(y\)	Areal \(A(x)\)
1	5	2	5	10
2	4	4	4	16
3	3	6	3	18
4	2	8	2	16
5	1	10	1	10

Toppunktet til \(A(x)\)

Vi tegner grafen til \(A\) i GeoGebra for \(0 \leq x \leq 6\) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt(A, 0, 6):

Da er \(y = 6 - 3 = 3\), og det maksimale arealet er:

Oppgave 6

a) Summen av de 8 første linjestykkene

Lengden av linjestykke nr. \(n\) er:

Vi beregner lengdene:

Linjestykke \(n\)	Lengde (cm)
1	100,00
2	90,00
3	81,00
4	72,90
5	65,61
6	59,05
7	53,14
8	47,83

Vi legger sammen lengdene:

b) Program og antall linjestykker for minst 9 meter

Et program i Python:

lengde = 100    # cm
summen = 0
n = 0

while summen < 900:    # 9 meter = 900 cm
    n = n + 1
    summen = summen + lengde
    lengde = lengde * 0.9

print("Antall linjestykker:", n)
print("Sum:", round(summen, 1), "cm")
    

Programmet skriver ut:

Antall linjestykker: 22
Sum: 901.5 cm
    

c) Prosentvis økning fra 50 til 100 linjestykker

Vi endrer programmet slik at det legger sammen et bestemt antall linjestykker:

antall = 50     # kjøres også med antall = 100
lengde = 100
summen = 0

for i in range(antall):
    summen = summen + lengde
    lengde = lengde * 0.9

print("Sum:", round(summen, 2), "cm")
    

Med 50 linjestykker skriver programmet ut 994.85 cm, og med 100 linjestykker 999.97 cm.

Prosentvis økning:

Oppgave 7

a) Beregn \(O\) med \(a = 3\) og \(b = 2\)

Beregn \(h\):

Beregn uttrykket inne i parentesen:

Beregn omkretsen:

Maris svar var 15,865 cm, og Ramanujans formel gir det samme.

b) Undersøk formelen for en sirkel

Når ellipsen er en sirkel, er \(a = b = r\) (begge halvaksene er lik radien).

Beregn \(h\):

Sett inn i formelen:

Vi vet at omkretsen av en sirkel med radius \(r\) er \(O = 2\pi r\).

Oppgave 8

Grafen viser farten som funksjon av tilbakelagt strekning. Der farten er konstant og høy, kjører bilen på en rett strekning. Der farten faller, er bilen i en sving. Jo skarpere svingen er, jo lavere blir farten — og jo brattere og smalere blir dippen i grafen. En slak, vid sving gir en grunn og bred dipp.

Vi leser av grafen:

• Bilen starter med høy, konstant fart — altså midt på en rett strekning.
• Det er tre fartsreduksjoner, altså tre svinger.
• Sving 1 gir et middels stort fartsfall.
• Sving 2 gir det største fartsfallet, og dippen er smal. Dette er den skarpeste svingen (en hårnålssving).
• Sving 3 gir det minste fartsfallet, og dippen er den bredeste. Dette er den slakeste, mest avrundede svingen.
• Mellom svingene er farten konstant og høy. Banen har altså tre rette strekninger. Den lengste flate strekningen ligger mellom sving 1 og sving 2.

Vi leter altså etter en bane med tre rette strekninger og tre svinger med tydelig ulik skarphet, og der rekkefølgen fra startmarkeringen er: middels sving → skarpeste sving → slakeste sving.

Vi eliminerer baner:

• Bane A: Mange svinger tett i tett. Grafen viser bare tre fartsreduksjoner.
• Bane D: Mange svinger langs oversiden. Passer ikke med tre fartsreduksjoner.
• Bane C: Fire hjørner, altså fire svinger. Passer ikke.
• Bane E: Likesidet trekant. Tre like skarpe svinger ville gitt tre like dype dipper. Grafen viser tre ulike dipper.
• Bane F: Ulikesidet trekant, men her er to av hjørnene omtrent like spisse (ca. 45°), mens det tredje er tilnærmet rett (ca. 90°) og avrundet. Følger vi kjøreretningen fra markeringen, kommer den slakeste svingen som nummer to og en av de spisse som nummer tre. Grafen viser det motsatte: den dypeste dippen er nummer to og den grunneste nummer tre. Passer ikke.
• Bane B: Trekant med tre rette sider og tre avrundede hjørner med tydelig ulik radius og vinkel. Passer.

Hvorfor bane B passer: Startmarkeringen ligger på den korte venstre siden, og pilene viser at bilen kjører oppover der, deretter mot høyre langs den lange oversiden, så mot venstre langs undersiden.

• Fra start kjører bilen en kort rett bit og møter det øvre venstre hjørnet — en middels skarp sving. Det gir dipp 1 (middels dyp).
• Så følger den lengste rette strekningen (oversiden), der farten holder seg høy — det lange flate partiet mellom dipp 1 og dipp 2.
• Deretter kommer det høyre hjørnet, som er en spiss hårnålssving med liten radius. Det gir dipp 2 — den dypeste og smaleste.
• Så en rett strekning langs undersiden, før det nedre venstre hjørnet, som er en vid, avrundet sving. Det gir dipp 3 — den grunneste og bredeste.
• Til slutt en kort rett bit tilbake til startmarkeringen.