Løsningsforslag – Matematikk 1P Høst 2025

Eksamen MAT1019

Oppgave 1 (1 poeng)

Vi bruker sammenhengen mellom fart, tid og strekning:

Vi regner om tiden til timer:

Vi setter inn:

Oppgave 2 (2 poeng)

Prisen på 200 kroner er inkludert 25 % merverdiavgift (mva). Det betyr at 200 kroner tilsvarer prisen uten mva pluss 25 % av prisen uten mva.

La \(x\) være prisen uten mva. Da har vi:

Prisen uten mva er 160 kroner. Merverdiavgiften er:

Oppgave 3 (2 poeng)

Vi skriver vekten av en støvpartikkel på standardform:

Antall støvpartikler i 20 gram støv finner vi ved å dele:

Oppgave 4 (3 poeng)

a)

Siden grunnflaten er et kvadrat med sidekant \(s\), og høyden \(h = s\), er grunnflatearealet:

Vi setter inn i volumformelen:

Vi setter \(V = 9\):

b)

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet \(\frac{V}{h}\) være konstant for alle pyramidene.

Vi har funnet at \(V = \frac{1}{3} h^3\). Da blir:

Dette uttrykket avhenger av \(h\) og er dermed ikke konstant. Vi kan sjekke med to eksempler:

• For \(h = 1\): \(V = \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{1}{3}\), og \(\frac{V}{h} = \frac{1}{3}\)
• For \(h = 2\): \(V = \frac{1}{3} \cdot 2^3 = \frac{8}{3}\), og \(\frac{V}{h} = \frac{8/3}{2} = \frac{4}{3}\)

Forholdet \(\frac{V}{h}\) er ikke det samme, så høyde og volum er ikke proporsjonale.

Oppgave 5 (2 poeng)

a)

Fra grafen leser vi av at begge linjene går gjennom origo, altså er det rene proporsjonale sammenhenger (ingen fastlønn).

Nora (grønn graf): Grafen ser ut til å gå gjennom punktet \((10, 2000)\).

Nils (blå graf): Grafen ser ut til å gå gjennom punktet \((10, 1800)\).

b)

La \(t\) være antall timer de arbeidet. Nora tjente 720 kroner mer enn Nils:

Kontroll: Nora tjente \(200 \cdot 36 = 7200\) kr og Nils tjente \(180 \cdot 36 = 6480\) kr. Differansen er \(7200 - 6480 = 720\) kr. ✔

Oppgave 6 (5 poeng)

a)

Prisen per busstur finner vi ved å dele totalkostnaden (1200 kr) på antall bussturer:

Antall bussturer	4	8	20	30
Pris per busstur	300	150	60	40

Utregning:

• \(\frac{1200}{4} = 300\) kr
• \(\frac{1200}{8} = 150\) kr
• \(\frac{1200}{20} = 60\) kr
• \(\frac{1200}{30} = 40\) kr

b)

Vi tegner en graf med antall bussturer langs \(x\)-aksen og pris per busstur langs \(y\)-aksen. Sammenhengen er gitt ved:

Dette er en omvendt proporsjonal funksjon. Grafen er en fallende kurve (hyperbel) som nærmer seg aksene uten å krysse dem. Vi plotter punktene fra tabellen: \((4, 300)\), \((8, 150)\), \((20, 60)\), \((30, 40)\), og tegner en jevn kurve gjennom dem.

c)

Enkeltbillett koster 80 kr per tur. I grafen fra b) tegner vi en horisontal linje ved \(y = 80\) (prisen per enkeltbillett).

Vi finner skjæringspunktet mellom kurven \(y = \frac{1200}{x}\) og linjen \(y = 80\):

Grafisk ser vi at kurven er under linjen \(y = 80\) når \(x > 15\). Det betyr at prisen per busstur med 30-dagersbillett er lavere enn enkeltbillett når Siri tar bussen mer enn 15 ganger.

Oppgave 7 (3 poeng)

Vi kjører gjennom programmet steg for steg:

Runde 1: tall = 1, differanse = 4

• Skriv ut: 1
• tall = 1 + 4 = 5
• differanse = 4 + 3 = 7

Runde 2: tall = 5, differanse = 7

• Skriv ut: 5
• tall = 5 + 7 = 12
• differanse = 7 + 3 = 10

Runde 3: tall = 12, differanse = 10

• Skriv ut: 12
• tall = 12 + 10 = 22
• differanse = 10 + 3 = 13

Runde 4: tall = 22, differanse = 13

• Skriv ut: 22
• tall = 22 + 13 = 35
• differanse = 13 + 3 = 16

Runde 5: tall = 35, differanse = 16

• Skriv ut: 35
• tall = 35 + 16 = 51
• differanse = 16 + 3 = 19

Runde 6: tall = 51, differanse = 19

• Skriv ut: 51
• tall = 51 + 19 = 70
• differanse = 19 + 3 = 22

Runde 7: tall = 70 > 60, så løkken stopper.

Tallene som skrives ut er: 1, 5, 12, 22, 35, 51

Vi kan lage en oversiktstabell:

Femkanttall nr.	1	2	3	4	5	6
Verdi	1	5	12	22	35	51
Differanse		4	7	10	13	16

Sammenhengen Siri har oppdaget:

Femkanttallene er en tallrekke der differansen mellom hvert påfølgende tall øker med 3. Differansene er 4, 7, 10, 13, 16, ... som er en aritmetisk følge med første ledd 4 og felles differanse 3. For å finne neste femkanttall legger man til den neste differansen.

Oppgave 1 (7 poeng)

a) Bestemme \(a\) og \(b\)

Vi finner \(a\) og \(b\) ved potensregresjon i et digitalt verktøy (GeoGebra eller regneark). I 1P er regresjon den forventede metoden — vi trenger ikke regne med logaritmer manuelt.

Slik gjør du det i GeoGebra:

1. Legg lengdene inn som en liste: L1 = {50, 70, 80, 100, 120, 130}
2. Legg vektene inn som en liste: L2 = {1190, 3320, 5070, 9610, 16080, 21590}
3. Kjør kommandoen: Potensregresjon(L1, L2)

GeoGebra gir:

Modellen blir dermed:

Vi kan kontrollere modellen ved å sette inn noen verdier fra tabellen:

• \(F(50) = 0{,}00952 \cdot 50^3 = 0{,}00952 \cdot 125\,000 = 1190\) g — passer eksakt med tabellen.
• \(F(100) = 0{,}00952 \cdot 100^3 = 9520\) g — tabellen viser 9610 g.
• \(F(130) = 0{,}00952 \cdot 130^3 \approx 20\,915\) g — tabellen viser 21 590 g.

Modellen passer godt med datapunktene. Grafen er en stigende potenskurve som vokser raskere når \(x\) blir større.

b) Lengde ved vekt 11,5 kg

Vi gjør om 11,5 kg til gram: \(11{,}5 \;\text{kg} = 11\,500 \;\text{g}\), og løser \(F(x) = 11\,500\):

I GeoGebra kan vi løse dette direkte med Løs(F(x) = 11500, x), som også gir \(x \approx 106{,}5\).

c) Stigningstall

Vi beregner først \(F(75)\) og \(F(95)\):

Stigningstallet til den rette linjen gjennom \((75, F(75))\) og \((95, F(95))\) er:

Praktisk tolkning: For fisker med lengde mellom 75 cm og 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med ca. 207 gram for hver ekstra centimeter fisken er lang.

d) Prosentvis økning i vekt ved 20 % økning i lengde

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden \(1{,}20 \cdot x\). Den nye vekten blir:

Med \(b \approx 3\):

Vekstfaktoren er 1,728, som betyr en økning på:

Oppgave 2 (4 poeng)

Situasjon A – Graf 4

Begrunnelse: En dyrebestand som avtar med en fast prosent hvert år er eksponentiell nedgang. Grafen starter høyt og synker stadig, men flater ut (nærmer seg null uten å nå null). Graf 4 viser en slik avtagende eksponentiell kurve.

Situasjon B – Graf 7

Begrunnelse: Prisen per person er \(\frac{\text{fast pris}}{\text{antall personer}}\), som er en omvendt proporsjonal sammenheng. Grafen synker raskt i starten og flater ut etterhvert. Graf 7 viser en slik hyperbelform (avtagende kurve som nærmer seg \(x\)-aksen).

Situasjon C – Graf 8

Begrunnelse: Grafen skal vise tre faser: (1) eksponentiell vekst (bratt stigende kurve), (2) lineær vekst (rett linje oppover), (3) stabilisering (flater ut på et fast nivå). Graf 8 viser nettopp en slik S-formet utvikling der veksten først er bratt, deretter mer jevn, og til slutt flater ut.

Situasjon D – Graf 3

Begrunnelse: Pakkepriser er en trappetrinnsmodell: prisen er konstant innenfor hvert vektintervall og hopper opp ved neste intervall. Graf 3 viser horisontale linjesegmenter på ulike nivåer, som tilsvarer faste priser for ulike vektklasser.

Oppgave 3 (2 poeng)

a)

Vi deler totalt skyldig beløp på antall personer:

b)

Vi vet at 229 963 personer utgjør 4,8 % av befolkningen over 18 år. La \(x\) være totalt antall personer over 18 år:

Oppgave 4 (2 poeng)

Steg 1: Regn om posen fra pund til kilogram:

Steg 2: Regn om prisen fra dollar til norske kroner:

Steg 3: Finn kiloprisen i norske kroner:

Oppgave 5 (2 poeng)

La den opprinnelige verdien av aksjen være \(V\).

Etter nedgangen:

For å komme tilbake til opprinnelig verdi \(V\) fra den nye verdien \(0{,}77V\), trenger vi en vekstfaktor \(k\) slik at:

Den prosentvise økningen er:

Oppgave 6 (4 poeng)

a)

Hver breddegrad inneholder 60 bueminutter, og hvert bueminutt tilsvarer 1 nautisk mil = 1852 meter.

b)

Fra Nordpolen til Sydpolen er det 180 breddegrader. Dette tilsvarer en halv jordas omkrets (fra pol til pol langs en meridian). Altså:

c)

Forskjellen i breddegrad mellom Oslo og Trondheim:

Avstanden mellom byene:

Prosentandel av hele omkretsen:

Oppgave 7 (6 poeng)

a)

Blomsterbedet har form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Bredden av rektangelet er \(x\), og \(x\) er også diameteren i halvsirkelen.

Omkretsen av blomsterbedet består av:

• To lengdesider av rektangelet: \(2y\)
• Én breddeeside av rektangelet (den enden uten halvsirkel): \(x\)
• Halvsirkelen (med diameter \(x\), altså radius \(r = \frac{x}{2}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r = \pi \cdot \frac{x}{2} = \frac{\pi x}{2}\)

Total omkrets:

b)

Vi setter \(O = 12\) og \(x = 1\):

c)

Arealet av blomsterbedet består av rektangelet og halvsirkelen:

Vi setter inn \(x = 1\) og \(y = 4{,}7\):

d)

Vi løser omkretsen for \(y\):

Arealet er:

Vi må ha \(y \geq 0\), som gir \(x \leq \frac{12}{1 + \frac{\pi}{2}} = \frac{12}{\frac{2+\pi}{2}} = \frac{24}{2+\pi} \approx 4{,}67\) m.

Vi lager en tabell for ulike verdier av \(x\):

\(x\) (m)	\(y\) (m)	Areal (m2)
0,5	5,36	2,78
1,0	4,71	5,10
1,5	4,07	6,99
2,0	3,43	8,43
2,5	2,79	9,42
3,0	2,14	9,96
3,5	1,50	10,05
4,0	0,86	9,70
4,5	0,21	8,90

Utregning for \(x = 2{,}0\): \(y = \frac{12 - 2(1 + \pi/2)}{2} = \frac{12 - 2 \cdot 2{,}5708}{2} = \frac{12 - 5{,}1416}{2} = \frac{6{,}8584}{2} \approx 3{,}43\). Areal \(= 2 \cdot 3{,}43 + \frac{\pi \cdot 4}{8} = 6{,}86 + 1{,}57 \approx 8{,}43\).

e)

Vi setter opp arealet som funksjon av \(x\). Fra del a) og c) har vi:

Vi forenkler:

Vi setter inn \(\frac{4+\pi}{8} \approx \frac{7{,}1416}{8} \approx 0{,}8927\):

Dette er en andregradssfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), altså en parabel som åpner nedover. Toppunktet gir det største arealet.

Toppunktet ligger ved:

Størst mulig areal: