Løsningsforslag – Matematikk 1P Vår 2023

Eksamen MAT1019

Oppgave 1

Markos påstand: Sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Her sammenligner Marko med butikkprisen (20 kr) som utgangspunkt.

Prisforskjellen er:

Prosentvis økning fra butikk til bensinstasjon:

Marko har regnet riktig. Sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Maris påstand: Sjokoladeplaten er 60 % billigere i butikken enn på bensinstasjonen.

Her sammenligner Mari med bensinstasjonsprisen (50 kr) som utgangspunkt.

Prisforskjellen er fremdeles 30 kr, men nå regner vi prosentvis nedgang fra 50 kr:

Mari har også regnet riktig. Sjokoladeplaten er 60 % billigere i butikken enn på bensinstasjonen.

Oppgave 2

Vi vet at:

• Folketallet på jorden: 8 milliarder = \(8 \cdot 10^9\)
• Det er 2,5 millioner ganger så mange maur som mennesker: \(2{,}5 \cdot 10^6\)

Antall maur blir:

Vi skriver dette på standardform (tallet foran skal være mellom 1 og 10):

Oppgave 3

Oppgave 3a

Eksempel: Sammenhengen mellom antall liter bensin og pris.

Anta at bensin koster 20 kr per liter. Da har vi:

Antall liter	1	2	3	5	10
Pris (kr)	20	40	60	100	200

Størrelsene er proporsjonale fordi:

• Forholdet mellom pris og antall liter er konstant: \(\frac{20}{1} = \frac{40}{2} = \frac{60}{3} = 20\)
• Sammenhengen kan skrives som \(y = 20x\), der \(x\) er antall liter og \(y\) er pris
• Når antall liter dobles, dobles også prisen
• Grafen er en rett linje gjennom origo

Oppgave 3b

Eksempel: Sammenhengen mellom fart og tid for en bestemt strekning.

En bil skal kjøre en strekning på 120 km.

Fart (km/h)	30	40	60	80	120
Tid (timer)	4	3	2	1,5	1

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi:

• Produktet av fart og tid er konstant: \(30 \cdot 4 = 40 \cdot 3 = 60 \cdot 2 = 120\)
• Sammenhengen kan skrives som \(y = \frac{120}{x}\), der \(x\) er fart og \(y\) er tid
• Når farten dobles, halveres tiden

Oppgave 4

Oppgave 4a

Vi prøver en lineær modell på formen \(y = ax + b\), der \(x\) er alder i år og \(y\) er høyde i cm.

Vi bruker to punkter fra tabellen for å finne stigningstallet. La oss bruke \((4, 100)\) og \((10, 142)\):

Vi setter inn \((4, 100)\) for å finne \(b\):

Vi sjekker med de andre punktene:

• \(x = 5\): \(y = 7 \cdot 5 + 72 = 107\) (stemmer med tabellen)
• \(x = 8\): \(y = 7 \cdot 8 + 72 = 128\) (stemmer med tabellen)

Oppgave 4b

Vi setter inn \(x = 19\) i modellen:

Oppgave 4c

Vi sjekker hva modellen gir for \(x = 0\) (alder ved fødsel):

Modellen gir 72 cm ved fødsel, men Klara var bare 50 cm da hun ble født. Modellen gir altså for høy verdi for nyfødte.

Vi sjekker også for \(x = 19\) (fra oppgave b): Modellen gir 205 cm, som er urealistisk høyt for en 19-åring. Barn slutter vanligvis å vokse med 7 cm per år lenge før fylte 19.

Modellen gir også for mye for alder under 4 år og sannsynligvis for mye for alder over ca. 14-16 år, da veksten avtar i tenårene.

Oppgave 1

Oppgave 1a

Vi må finne når \(T(x) = 0\), altså løse:

Vi bruker GeoGebra (kommandoen NLøs(T(x) = 0, x)) og finner at grafen krysser \(x\)-aksen ved omtrent:

• \(x_1 \approx 5{,}77\) (omtrent 24. mai)
• \(x_2 \approx 8{,}91\) (omtrent 28. august)

Vi sjekker noen verdier for å bekrefte at temperaturen er negativ utenfor dette intervallet og positiv inni:

• \(T(5) = 0{,}048 \cdot 625 - 1{,}4 \cdot 125 + 13{,}36 \cdot 25 - 45{,}8 \cdot 5 + 35{,}2 = -4{,}8\) °C (under null)
• \(T(7) = 0{,}048 \cdot 2401 - 1{,}4 \cdot 343 + 13{,}36 \cdot 49 - 45{,}8 \cdot 7 + 35{,}2 \approx 4{,}3\) °C (over null)
• \(T(9) \approx -0{,}5\) °C (under null igjen)

Temperaturen er over 0 °C mellom \(x \approx 5{,}77\) og \(x \approx 8{,}91\).

Antall døgn teller vi direkte fra 24. mai til 28. august: \(7 + 30 + 31 + 28 = 96\) døgn.

(Alternativt: \(8{,}91 - 5{,}77 = 3{,}14\) måneder. Månedene mai–august har i snitt ca. 30,7 dager, og \(3{,}14 \cdot 30{,}7 \approx 96\) døgn.)

Oppgave 1b

Vi regner først ut \(T(3)\) og \(T(7)\):

Stigningstallet blir:

Praktisk tolkning:

\(x = 3\) svarer til 1. mars og \(x = 7\) svarer til 1. juli. Stigningstallet forteller at gjennomsnittstemperaturen øker med omtrent 5,04 °C per måned i gjennomsnitt fra 1. mars til 1. juli.

Oppgave 2

Hva står på aksene? Oppgaven spør om lengden av turen, altså hvor langt Aurora har gått til sammen, som funksjon av tiden. Da kan \(y\) aldri bli mindre: strekningen hun har gått, øker eller står stille — den kan ikke krympe.

Vi ser på de tre fasene:

1. Fase 1 – til postkontoret: Aurora går med jevn fart. Strekning og tid er proporsjonale, så grafen er en rett linje som stiger.
2. Fase 2 – i kø: Hun står stille. Strekningen øker ikke, så grafen er vannrett.
3. Fase 3 – hjem igjen: Hun går med samme jevne fart. Strekningen øker igjen, og grafen er en rett linje med samme stigningstall som i fase 1.

Vi vurderer de fire alternativene:

• A: En bøyd kurve. Den flater ut en periode, men den er ikke satt sammen av rette linjer. Jevn fart gir rette linjer, så A passer ikke.
• B: En bøyd kurve som stiger og så synker til null. Den er verken rettlinjet, og den synker — strekningen hun har gått, kan ikke bli mindre. Passer ikke.
• C: Rett linje opp, en vannrett del, og så en rett linje opp igjen med samme stigningstall. Passer med alle tre fasene.
• D: Rett linje opp, vannrett del, og så rett linje ned til null. Dette er grafen for avstanden hjemmefra, ikke for lengden av turen. I tillegg er linjen ned brattere enn linjen opp, noe som ville bety at hun gikk fortere hjem enn dit — det strider mot «jevn fart». Passer ikke.

Oppgave 3

Oppgave 3a

Rektangelet har tre sider med gjerde (den fjerde siden er elven). La lengden (parallell med elven) være 60 m og bredden være \(b\).

Totalt tau: Lengde + 2 bredder = 80 m:

Arealet blir:

Oppgave 3b

La bredden være \(b\) meter. Da er lengden \(\ell = 80 - 2b\) meter (fordi \(\ell + 2b = 80\)).

Vi lager en tabell med ulike verdier av bredden:

Bredde \(b\) (m)	Lengde \(\ell = 80 - 2b\) (m)	Areal \(A = b \cdot \ell\) (m²)
5	70	350
10	60	600
15	50	750
20	40	800
25	30	750
30	20	600
35	10	350

Vi ser at det største arealet i tabellen er 800 m², som oppnås når \(b = 20\) m og \(\ell = 40\) m.

Da er lengden dobbelt så lang som bredden: \(\ell = 2b\), som er \(40 = 2 \cdot 20\).

Oppgave 3c

La bredden \(x\) være variabelen (i meter). Lengden blir \(80 - 2x\) meter.

Arealet som funksjon av bredden:

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \(x^2\), altså en parabel som vender nedover.

Vi tegner grafen til \(A\) i GeoGebra for \(0 < x < 40\) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt(A, 0, 40):

Når \(x = 20\) (bredde = 20 m), er lengden \(80 - 2 \cdot 20 = 40\) m.

Lengde = 40 = 2 · 20 = dobbelt av bredden.

Største areal:

Oppgave 4

Aksene i oppgaven har ingen tallverdier. Vi trenger heller ikke tall: alle fire spørsmålene kan besvares ved å sammenlikne plasseringen til punktene. For å kunne regne litt, leser vi av posisjonene i ruter:

Sekk	Vekt (ruter)	Pris (ruter)	Pris per vekt
A	1,0	2,5	2,5
B	2,8	1,8	0,64
C	6,4	2,5	0,39
D	7,4	4,0	0,54
E	5,75	6,4	1,11
F	2,8	7,0	2,5

(Tallene er avlesninger i ruter. Poenget er hvilke punkter som ligger på samme vannrette linje, hvilke som ligger lengst til høyre, og hvilke som ligger på samme rette linje gjennom origo.)

Oppgave 4a

Vekten leses av langs \(x\)-aksen. Sekken som ligger lengst til høyre, er tyngst. Det er sekk D.

Oppgave 4b

Prisen leses av langs \(y\)-aksen. Sekker som koster like mye, ligger på samme høyde i diagrammet. Punktene A og C ligger på nøyaktig samme høyde (den røde, stiplede vannrette linjen i figuren).

Oppgave 4c

Sekk C er både dyrere og mye tyngre enn sekk B, så vi må sammenlikne kiloprisen (pris delt på vekt):

• Sekk B: \(\dfrac{1{,}8}{2{,}8} \approx 0{,}64\)
• Sekk C: \(\dfrac{2{,}5}{6{,}4} \approx 0{,}39\)

Sekk C har lavest pris per kilogram. Vi ser det også direkte i figuren: linjen fra origo til C er slakere enn linjen fra origo til B, og slakere linje betyr lavere kilopris.

Oppgave 4d

To sekker har lik kilopris når forholdet \(\dfrac{\text{pris}}{\text{vekt}}\) er det samme, altså når punktene ligger på samme rette linje gjennom origo.

Fra tabellen ser vi at A og F har samme forhold (\(2{,}5\)), mens de andre ligger på tydelig slakere linjer. I figuren ligger A og F på den grå, stiplede linjen gjennom origo.

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi teller Non Stop i hver figur. Hver K består av tre deler: den loddrette stammen, én Non Stop i selve knekkpunktet, og de to skråarmene.

Figur	Stamme	Knekkpunkt	Øvre arm	Nedre arm	Til sammen
K₁	5	1	2	2	10
K₂	7	1	3	3	14
K₃	9	1	4	4	18

Mønsteret: Fra én figur til den neste blir stammen 2 lengre og hver av de to armene 1 lengre. Til sammen kommer det \(2 + 1 + 1 = 4\) nye Non Stop for hver nye K:

Antallet øker altså med 4 fra én K til den neste. De neste figurene blir:

Generelt: stammen i \(K_n\) har \(2n + 3\) Non Stop, knekkpunktet 1, og hver arm \(n + 1\). Det gir

Vi kontrollerer: \(a_1 = 10\) ✓, \(a_2 = 14\) ✓, \(a_3 = 18\) ✓, \(a_4 = 22\) ✓, \(a_5 = 26\) ✓.

Oppgave 5b

# Startverdier
nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10

# Overskrifter
print("Figurnummer        Non Stop i figur        Non Stop totalt")

for figurnummer in range(1, 21):

    # Skriver ut i tre kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")

    nonstop_figur = nonstop_figur + 4
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur

Forklaring av linje 14 og 15:

• Linje 14: nonstop_figur = nonstop_figur + 4 — differansen mellom to nabofigurer er 4, så variabelen blir klar med antallet i neste K.
• Linje 15: nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur — legger antallet i den neste K-en til summen.

Merk rekkefølgen: når runde \(k\) skrives ut, er nonstop_figur lik antallet i \(K_k\) og nonstop_totalt lik \(K_1 + K_2 + \dots + K_k\). Etter linje 14 og 15 er begge oppdatert til \(k+1\).

Oppgave 5c

Programmet fra b) legger sammen antallet i K-ene etter hvert. Siste linje i utskriften er

20      86      960

Kontroll: antallene går fra 10 til 86 i steg på 4. Vi parer første og siste, andre og nest siste osv. Hvert par har summen \(10 + 86 = 96\), og det er 10 par:

Oppgave 5d

Vi endrer programmet slik at det lager K-er så lenge Non Stop-ene rekker:

nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10
antall = 1

while nonstop_totalt + nonstop_figur + 4 <= 2000:
    nonstop_figur = nonstop_figur + 4
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur
    antall = antall + 1

print(antall, nonstop_totalt)

Programmet skriver ut 29 1914. Neste K (K₃₀) har \(4 \cdot 30 + 6 = 126\) Non Stop, og \(1914 + 126 = 2040 > 2000\).

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi har \(E(x) = a \cdot b^x\) der \(x\) er antall år etter 2015.

For \(x = 0\) (år 2015): \(E(0) = a = 18\,899\). Altså \(a \approx 18\,899\).

Vi bruker et annet punkt for å finne \(b\). La oss bruke \(x = 6\) (år 2021, salg = 67 997):

Vi sjekker med noen verdier:

• \(E(1) = 18\,899 \cdot 1{,}238^1 \approx 23\,397\) (tabellverdi: 21 664)
• \(E(3) = 18\,899 \cdot 1{,}238^3 \approx 35\,870\) (tabellverdi: 31 385)

For en bedre tilpasning kan vi bruke regresjon med alle punktene. Med digitale hjelpemidler (GeoGebra/regneark) får vi en eksponentiell regresjon som gir omtrent:

Vi sjekker denne modellen:

• \(E(0) = 17\,400\) (tabellverdi: 18 899)
• \(E(2) = 17\,400 \cdot 1{,}248^2 \approx 27\,100\) (tabellverdi: 25 381)
• \(E(4) = 17\,400 \cdot 1{,}248^4 \approx 42\,210\) (tabellverdi: 41 142)
• \(E(6) = 17\,400 \cdot 1{,}248^6 \approx 65\,740\) (tabellverdi: 67 997)

Oppgave 6b

I modellen \(E(x) = a \cdot b^x\):

• \(a \approx 17\,400\) (eller 18 899): Dette er startverdien, altså salget av energidrikk i 2015 (når \(x = 0\)). Salget var omtrent 17 400 tusen liter i 2015.
• \(b \approx 1{,}248\): Dette er vekstfaktoren per år. Salget øker med en faktor på 1,248 hvert år, som betyr en årlig økning på omtrent 25 %.

Oppgave 6c

Salg i 2021: 67 997 tusen liter. Salg i 2022: 73 109 tusen liter.

Prosentvis økning fra 2021 til 2022:

Ifølge modellen skulle salget øke med ca. 25 % per år. Den faktiske økningen fra 2021 til 2022 var bare 7,5 %.

Vi kan også sjekke hva modellen gir for 2022 (\(x = 7\)):

Modellen gir 82 000, men faktisk salg var 73 109. Modellen overestimerer salget i 2022.