Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2025

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx\).

Vi integrerer ledd for ledd:

\[ \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx = \left[ 2e^x + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 \]

Setter inn grensene:

\[ = \left(2e^1 + \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(2e^0 + \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) = 2e + \frac{2}{3} - 2 \]

\[ \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx = 2e - 2 + \frac{2}{3} = 2e - \frac{4}{3} \]

Vanlig feil: Mange glemmer at \(\int e^x\,dx = e^x + C\), ikke \(xe^x\). Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte. Når du setter inn grensene, husk at \(e^0 = 1\), ikke 0.

b)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx\).

Vi faktoriserer nevneren. Vi løser \(x^2 - x - 6 = 0\):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Altså \(x = 3\) eller \(x = -2\), og vi har:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]

Vi bruker delbrøkoppspalting:

\[ \frac{2x - 1}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} \]

Multipliserer begge sider med \((x - 3)(x + 2)\):

\[ 2x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3) \]

Setter \(x = 3\):

\[ 2 \cdot 3 - 1 = A(3 + 2) \implies 5 = 5A \implies A = 1 \]

Setter \(x = -2\):

\[ 2 \cdot (-2) - 1 = B(-2 - 3) \implies -5 = -5B \implies B = 1 \]

Dermed:

\[ \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx = \int \frac{1}{x - 3}\, dx + \int \frac{1}{x + 2}\, dx \]

\[ \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx = \ln|x - 3| + \ln|x + 2| + C \]

Vanlig feil: Mange glemmer absoluttverdiene i logaritmene ved delbrøkoppspalting. Sett inn \(x\)-verdiene som gjør nevnerfaktorene null (her \(x = 3\) og \(x = -2\)) for å bestemme koeffisientene raskt og korrekt.

Oppgave 2 (2 poeng)

Bestem et uttrykk for funksjonen \(f\) når du får vite at

\(f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}\)
Arealet av området avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x = 1\) og \(x = 2\) er \(\dfrac{11}{14}\). Arealet ligger over \(x\)-aksen.

Vi finner \(f(x)\) ved å integrere \(f'(x)\):

\[ f(x) = \int -\frac{2}{x^3}\, dx = \int -2x^{-3}\, dx = \frac{-2 \cdot x^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{x^2} + C = x^{-2} + C \]

Siden arealet ligger over \(x\)-aksen, er \(f(x) \geq 0\) på \([1, 2]\). Vi bruker arealbetingelsen:

\[ \int_1^2 f(x)\, dx = \frac{11}{14} \]

\[ \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} + C\right) dx = \left[-\frac{1}{x} + Cx\right]_1^2 \]

\[ = \left(-\frac{1}{2} + 2C\right) - \left(-1 + C\right) = -\frac{1}{2} + 2C + 1 - C = \frac{1}{2} + C \]

Setter dette lik \(\dfrac{11}{14}\):

\[ \frac{1}{2} + C = \frac{11}{14} \implies C = \frac{11}{14} - \frac{7}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \]

\[ f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{7} \]

Vanlig feil: Når du bestemmer integrasjonskonstanten \(C\) fra en arealbetingelse, husk å integrere hele funksjonen \(f(x) = \frac{1}{x^2} + C\) – ikke bare den opprinnelige delen. Konstantleddet \(C\) gir et bidrag på \(C \cdot (b-a)\) til integralet.

Oppgave 3 (4 poeng)

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen en gang. La \(X\) være antall øyne terningen viser.

a)

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at \(E(X) = 4\).

Vanlig feil: Mange glemmer at forventningsverdien er \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\), ikke bare gjennomsnittet av \(x\)-verdiene. Hver verdi må vektes med sin sannsynlighet. En enkel kontroll er at sannsynlighetene må summere til 1.

Terningen har 6 sider: verdiene 1, 2, 3, 6, 6, 6. Hver side har sannsynlighet \(\frac{1}{6}\).

\(k\)	1	2	3	6
\(P(X = k)\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Vi regner ut forventningsverdien:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{3}{6} \]

Vanlig feil: Mange glemmer å skille mellom uavhengige og avhengige hendelser. For uavhengige hendelser er \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), men for avhengige hendelser må du bruke betinget sannsynlighet: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\).

\[ = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{18}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\(E(X) = 4\)

b)

Bestem \(\text{Var}(X)\).

Vi bruker formelen \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).

Først finner vi \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{3}{6} \]

\[ = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{108}{6} = \frac{122}{6} = \frac{61}{3} \]

Dermed:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{3} - 4^2 = \frac{61}{3} - 16 = \frac{61 - 48}{3} = \frac{13}{3} \]

\[ \text{Var}(X) = \frac{13}{3} \approx 4{,}33 \]

Vanlig feil: Variansen beregnes som \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). Mange glemmer å beregne \(E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)\) som et eget steg, eller forveksler \(E(X^2)\) med \([E(X)]^2\). Standardavviket er \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\).

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Vi følger koden steg for steg:

Iterasjon (\(i\))	Verdi av \(a\) (skrives ut)	Oppdatering: \(a = a + (i + 2)\)
1	2	\(2 + 3 = 5\)
2	5	\(5 + 4 = 9\)
3	9	\(9 + 5 = 14\)
4	14	\(14 + 6 = 20\)
5	20	\(20 + 7 = 27\)

Mønster: Differansen mellom hvert ledd øker med 1 for hvert steg. Differansene er 3, 4, 5, 6, 7, ... Tallfølgen har altså en lineært voksende differanse (andregradsvekst).

Koden skriver ut: 2, 5, 9, 14, 20

b)

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første leddene i tallfølgen.

Vi følger koden steg for steg:

Iterasjon (\(i\))	\(a\)	\(S = S + a\)	Oppdatering av \(a\)
1	2	\(0 + 2 = 2\)	\(2 + 3 = 5\)
2	5	\(2 + 5 = 7\)	\(5 + 4 = 9\)
3	9	\(7 + 9 = 16\)	\(9 + 5 = 14\)
4	14	\(16 + 14 = 30\)	\(14 + 6 = 20\)
5	20	\(30 + 20 = 50\)	\(20 + 7 = 27\)

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første leddene i tallfølgen. Koden skriver ut: 50

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon \(K\) og to rette linjer. Linjen \(y = 138x - 9920\) tangerer grafen \(K\) i punktet \((180,\, 14\,920)\). Den andre linjen er \(y = 82{,}89x\) som går gjennom origo.

Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det blir produsert 180 enheter. Husk å begrunne svarene.

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, dvs. \(\dfrac{K(x)}{x}\).

Fra figuren leser vi av at \(K(180) = 14\,920\). Enhetskostnaden ved 180 enheter er:

\[ \frac{K(180)}{180} = \frac{14\,920}{180} \approx 82{,}89 \text{ kr per enhet} \]

Vanlig feil: Mange forveksler enhetskostnad og grensekostnad. Enhetskostnaden \(E(x) = \frac{K(x)}{x}\) er gjennomsnittskostnaden per enhet. Grensekostnaden \(K'(x)\) er kostnaden for å produsere én enhet til. Disse er like bare i minimumspunktet for enhetskostnaden.

Dette stemmer med at linjen \(y = 82{,}89x\) (som går gjennom origo) treffer punktet \((180, 14\,920)\). Linjen fra origo gjennom et punkt på kostnadskurven har stigningstall lik enhetskostnaden.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså \(K'(x)\).

Tangentlinjen til \(K\) i punktet \((180, 14\,920)\) er \(y = 138x - 9920\). Stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i punktet, altså:

\[ K'(180) = 138 \]

Enhetskostnaden ved produksjon av 180 enheter er ca. 82,89 kr per enhet.
Grensekostnaden ved produksjon av 180 enheter er 138 kr per enhet.

b)

Vi setter prisen per enhet til \(p\) kroner, slik at inntekten \(I(x)\) kroner er gitt ved \(I(x) = p \cdot x\). Bestem prisen \(p\) slik at overskuddet vil bli størst ved produksjon og salg av 180 enheter.

Overskuddet er gitt ved:

\[ O(x) = I(x) - K(x) = p \cdot x - K(x) \]

For at overskuddet skal være størst ved \(x = 180\), må \(O'(180) = 0\):

\[ O'(x) = p - K'(x) \]

\[ O'(180) = 0 \implies p - K'(180) = 0 \implies p = K'(180) = 138 \]

Prisen må settes til \(p = 138\) kroner per enhet for at overskuddet skal bli størst ved produksjon og salg av 180 enheter.

Vanlig feil: For at overskuddet skal være størst mulig, må grenseinntekten være lik grensekostnaden: \(I'(x) = K'(x)\). Når prisen er fast (\(I(x) = px\)), gir dette \(p = K'(x)\). Mange glemmer dette prinsippet og prøver å løse problemet på en mer omståndelig måte.

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

Benz A/S har utviklet en ny type bensin som de mener øker kjørelengden per liter. Den gamle bensinen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på 20 km/L, med et standardavvik på 2,5 km/L. Benz A/S ønsker å teste om den nye bensinen øker kjørelengden, og planlegger å gjennomføre en hypotesetest med 25 biler.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese for testen.

Vanlig feil: Mange glemmer å formulere både \(H_0\) og \(H_1\) før de gjør beregningene. \(H_0\) er alltid påstanden vi tester mot (status quo), og \(H_1\) er det vi ønsker å vise. Forkastning av \(H_0\) støtter \(H_1\), men beviser den ikke med sikkerhet.

La \(\mu\) være den gjennomsnittlige kjørelengden med den nye bensinen.

\[ H_0: \mu = 20 \quad \text{(den nye bensinen gir samme kjørelengde)} \] \[ H_1: \mu > 20 \quad \text{(den nye bensinen gir økt kjørelengde)} \]

Dette er en ensidig (høyresidig) test.

b)

Det viser seg at de 25 bilene kjører i gjennomsnitt 21 km/L. Gå ut fra at kjørelengden er normalfordelt med standardavvik 2,5 km/L. Gjennomfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om Benz A/S kan si at den nye bensinen øker kjørelengden. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Vi har:

\(\mu_0 = 20\) (under \(H_0\))
\(\bar{x} = 21\)
\(\sigma = 2{,}5\)
\(n = 25\)
Signifikansnivå: \(\alpha = 0{,}05\)

Under \(H_0\) er \(\bar{X}\) normalfordelt med \(\mu = 20\) og \(\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}5}{\sqrt{25}} = \dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5\).

Vi beregner testobservatoren (z-verdien):

\[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{21 - 20}{0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2{,}0 \]

For en ensidig test med \(\alpha = 0{,}05\) er den kritiske verdien \(z_{\alpha} = 1{,}645\).

Siden \(z = 2{,}0 > 1{,}645\), forkaster vi \(H_0\).

Alternativt kan vi finne \(p\)-verdien: \(P(Z > 2{,}0) = 1 - P(Z \leq 2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

Siden \(p\text{-verdien} = 0{,}0228 < 0{,}05 = \alpha\), forkaster vi \(H_0\).

Vi forkaster \(H_0\). Det er grunnlag for å si, på 5 % signifikansnivå, at den nye bensinen øker kjørelengden.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

En bedrift produserer og selger \(x\) enheter av en vare per uke.

Produksjon (enheter per uke)	10	20	40	50
Kostnad (kroner)	400	850	2070	2890

En modell for kostnaden \(K(x)\) kroner kan skrives på formen \(K(x) = ax^2 + bx + c\).

a)

Vis at \(K'(x) = 1{,}23x + 25\).

Vi har fire datapunkter og tre ukjente (\(a\), \(b\), \(c\)), så vi bruker andegradsregresjon (minste kvadraters metode) med CAS/GeoGebra på datapunktene \((10, 400)\), \((20, 850)\), \((40, 2070)\) og \((50, 2890)\).

Regresjonen gir:

\[ K(x) = 0{,}615x^2 + 25x + c \]

Deriverer:

\[ K'(x) = 2 \cdot 0{,}615 \cdot x + 25 = 1{,}23x + 25 \]

Ved andegradsregresjon på de oppgitte datapunktene finner vi \(a = 0{,}615\) og \(b = 25\), slik at: \[ K'(x) = 2 \cdot 0{,}615 \cdot x + 25 = 1{,}23x + 25 \]

b)

Inntekten \(I(x)\) kroner per uke er gitt ved \(I(x) = 3000 \cdot \ln(5x)\). Bestem \(I'(35)\) og \(K'(35)\). Gi en praktisk tolkning av svarene.

Beregning av \(I'(35)\):

\[ I(x) = 3000 \cdot \ln(5x) = 3000 \cdot (\ln 5 + \ln x) \]

\[ I'(x) = 3000 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3000}{x} \]

\[ I'(35) = \frac{3000}{35} = \frac{600}{7} \approx 85{,}71 \]

Beregning av \(K'(35)\):

\[ K'(35) = 1{,}23 \cdot 35 + 25 = 43{,}05 + 25 = 68{,}05 \]

\(I'(35) \approx 85{,}71\) kr. Dette betyr at dersom bedriften øker produksjonen fra 35 til 36 enheter per uke, vil inntekten øke med omtrent 85,71 kroner.

\(K'(35) = 68{,}05\) kr. Dette betyr at dersom bedriften øker produksjonen fra 35 til 36 enheter per uke, vil kostnaden øke med omtrent 68,05 kroner.

Siden \(I'(35) > K'(35)\), er det lønnsomt for bedriften å øke produksjonen utover 35 enheter, da inntekten øker mer enn kostnaden.

c)

Bestem \(\displaystyle \int_{20}^{30} K'(x)\, dx\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

\[ \int_{20}^{30} K'(x)\, dx = K(30) - K(20) \]

Vi regner ut integralet direkte:

\[ \int_{20}^{30} (1{,}23x + 25)\, dx = \left[\frac{1{,}23x^2}{2} + 25x\right]_{20}^{30} \]

\[ = \left(\frac{1{,}23 \cdot 900}{2} + 25 \cdot 30\right) - \left(\frac{1{,}23 \cdot 400}{2} + 25 \cdot 20\right) \]

\[ = (553{,}5 + 750) - (246 + 500) \]

\[ = 1303{,}5 - 746 = 557{,}5 \]

\[ \int_{20}^{30} K'(x)\, dx = 557{,}5 \text{ kroner} \]

Praktisk tolkning: Når bedriften øker produksjonen fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med 557,50 kroner.

Oppgave 2 (6 poeng)

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse.

	Forventningsverdi	Standardavvik
Birger	70 meter	20 meter
Maren	80 meter	5 meter
Espen	75 meter	10 meter

Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.

a)

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.

Birger: \(X_B \sim N(70, 20^2)\)

\[ P(X_B > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 70}{20}\right) = P(Z > 1{,}0) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \]

Maren: \(X_M \sim N(80, 5^2)\)

\[ P(X_M > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 80}{5}\right) = P(Z > 2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Espen: \(X_E \sim N(75, 10^2)\)

\[ P(X_E > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 75}{10}\right) = P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \]

\(P(\text{Birger} > 90) \approx 0{,}1587 = 15{,}87\,\%\)
\(P(\text{Maren} > 90) \approx 0{,}0228 = 2{,}28\,\%\)
\(P(\text{Espen} > 90) \approx 0{,}0668 = 6{,}68\,\%\)

b)

I første omgang hoppet Maren 83 meter. Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.

Maren hoppet 83 meter. For at Maren skal ha hoppet lengst, må både Birger og Espen ha hoppet kortere enn 83 meter.

Birger:

\[ P(X_B < 83) = P\left(Z < \frac{83 - 70}{20}\right) = P(Z < 0{,}65) = 0{,}7422 \]

Espen:

\[ P(X_E < 83) = P\left(Z < \frac{83 - 75}{10}\right) = P(Z < 0{,}80) = 0{,}7881 \]

Siden hoppene er uavhengige:

\[ P(\text{Maren lengst}) = P(X_B < 83) \cdot P(X_E < 83) = 0{,}7422 \cdot 0{,}7881 \approx 0{,}585 \]

Sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i første omgang er omtrent 0,585, altså ca. 58,5 %.

c)

I andre omgang gjør alle et nytt hopp. Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.

Vi simulerer et stort antall (f.eks. 10 000) omganger der vi trekker tilfeldige hopp for alle tre hopperne fra sine respektive normalfordelinger, og teller opp hvor ofte Maren hopper lengst.

Pseudokode for simuleringen:

import numpy as np

antall = 100000
birger = np.random.normal(70, 20, antall)
maren = np.random.normal(80, 5, antall)
espen = np.random.normal(75, 10, antall)

maren_lengst = np.sum((maren > birger) & (maren > espen))
sannsynlighet = maren_lengst / antall
print(sannsynlighet)

Resultatet av en slik simulering gir typisk en sannsynlighet rundt 0,48 (kan variere noe ved hver kjøring).

Forklaring: Selv om Maren har høyest forventningsverdi (80 m), har hun det minste standardavviket (5 m). Det betyr at hun sjelden hopper veldig langt, men sjelden hopper veldig kort. Birger har mye større spredning og kan av og til hoppe veldig langt, noe som reduserer sannsynligheten for at Maren vinner.

Basert på simulering er sannsynligheten for at Maren hopper lengst i andre omgang omtrent 0,48, altså ca. 48 %.

Oppgave 3 (6 poeng)

Sikkerhetsselskapet SaifY skal lansere et nytt brannvarslingssystem i en by med 2 millioner husstander. SaifY regner med at antallet husstander som har brannvarslingssystemet \(t\) uker etter lanseringen, vil følge modellen \(B\) gitt ved \[ B(t) = \frac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} \]

a)

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?

Halvparten av 2 millioner husstander er 1 000 000. Vi løser \(B(t) = 1\,000\,000\):

\[ \frac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

\[ 1 + 500e^{-0{,}07t} = \frac{1\,700\,000}{1\,000\,000} = 1{,}7 \]

\[ 500e^{-0{,}07t} = 0{,}7 \]

\[ e^{-0{,}07t} = \frac{0{,}7}{500} = 0{,}0014 \]

\[ -0{,}07t = \ln(0{,}0014) \]

\[ t = \frac{-\ln(0{,}0014)}{0{,}07} = \frac{\ln\left(\frac{1}{0{,}0014}\right)}{0{,}07} = \frac{\ln(714{,}29)}{0{,}07} \approx \frac{6{,}571}{0{,}07} \approx 93{,}9 \]

Det vil ta omtrent 94 uker (ca. 93,9 uker) før halvparten av husstandene har brannvarslingssystemet.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer den logistiske modellen: B(t) := 1700000 / (1 + 500 * e^(-0.07 * t))
Finn vekstraten etter 52 uker: Numerisk(B'(52)) → gir \(\approx 7\,828\) husstander/uke

GeoGebra CAS: B(t) = 1700000/(1+500e^(-0.07t)), B'(52) ≈ 7828

b)

Bestem \(B'(52)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi deriverer \(B(t)\). Med \(B(t) = 1\,700\,000 \cdot (1 + 500e^{-0{,}07t})^{-1}\):

\[ B'(t) = 1\,700\,000 \cdot \frac{500 \cdot 0{,}07 \cdot e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} = \frac{1\,700\,000 \cdot 35 \cdot e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \]

For \(t = 52\):

\[ e^{-0{,}07 \cdot 52} = e^{-3{,}64} \approx 0{,}02625 \]

\[ 1 + 500 \cdot 0{,}02625 = 1 + 13{,}125 = 14{,}125 \]

\[ B'(52) = \frac{1\,700\,000 \cdot 35 \cdot 0{,}02625}{14{,}125^2} = \frac{1\,561\,875}{199{,}52} \approx 7\,828 \]

(Ved bruk av CAS/kalkulator finner man en mer nøyaktig verdi.)

\(B'(52) \approx 7\,828\).

Praktisk tolkning: Etter 52 uker (ett år) øker antallet husstander med brannvarslingssystemet med omtrent 7 809 husstander per uke.

c)

Konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et tilsvarende system samtidig. Etter å ha hørt om UnSaif, antar SaifY at:

de totalt vil få solgt systemet sitt til en million husstander
fire tusen husstander har systemet når det lanseres
flest nye husstander kjøper systemet i uke 65

Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell \(F\) for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter \(t\) uker.

En logistisk modell har formen:

\[ F(t) = \frac{M}{1 + ae^{-bt}} \]

Bestemmelse av \(M\): Totalt vil de selge til 1 000 000 husstander:

\[ M = 1\,000\,000 \]

Bestemmelse av \(a\): Ved \(t = 0\) er \(F(0) = 4000\):

\[ \frac{1\,000\,000}{1 + a} = 4000 \implies 1 + a = \frac{1\,000\,000}{4000} = 250 \implies a = 249 \]

Bestemmelse av \(b\): Veksten er størst (vendepunkt) når \(F(t) = \frac{M}{2}\), altså ved \(t = 65\).

I vendepunktet gjelder:

\[ F(65) = \frac{M}{2} = 500\,000 \]

\[ \frac{1\,000\,000}{1 + 249e^{-65b}} = 500\,000 \]

\[ 1 + 249e^{-65b} = 2 \implies 249e^{-65b} = 1 \implies e^{-65b} = \frac{1}{249} \]

\[ -65b = \ln\left(\frac{1}{249}\right) = -\ln(249) \]

\[ b = \frac{\ln(249)}{65} \approx \frac{5{,}517}{65} \approx 0{,}0849 \]

Den nye logistiske modellen er: \[ F(t) = \frac{1\,000\,000}{1 + 249e^{-0{,}0849t}} \]

Oppgave 4 (6 poeng)

Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon. Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år, fra 1. januar 2026 til og med januar 2055. Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen vil være 2,5 %.

a)

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Nora setter inn et fast beløp \(x\) kr 1. januar hvert år fra 2026 til og med 2055, det vil si 30 innbetalinger. Vekstfaktoren er \(k = 1{,}025\).

Det første innskuddet (jan 2026) får renter i 30 år (til og med 2055), det siste innskuddet (jan 2055) får renter i 1 år.

Total verdi etter at rentene for 2055 er lagt til:

\[ S = x \cdot k^{30} + x \cdot k^{29} + \cdots + x \cdot k^1 = x \cdot k \cdot (k^{30} - 1)/(k - 1) \]

Mer presist: dette er en geometrisk rekke med første ledd \(xk\) og kvotient \(k\), med 30 ledd:

\[ S = x \cdot k \cdot \frac{k^{30} - 1}{k - 1} \]

Setter inn \(k = 1{,}025\) og \(S = 3\,750\,000\):

\[ 3\,750\,000 = x \cdot 1{,}025 \cdot \frac{1{,}025^{30} - 1}{0{,}025} \]

Vi beregner \(1{,}025^{30}\):

\[ 1{,}025^{30} \approx 2{,}09757 \]

\[ \frac{1{,}025^{30} - 1}{0{,}025} = \frac{2{,}09757 - 1}{0{,}025} = \frac{1{,}09757}{0{,}025} \approx 43{,}903 \]

\[ 3\,750\,000 = x \cdot 1{,}025 \cdot 43{,}903 = x \cdot 45{,}000 \]

\[ x = \frac{3\,750\,000}{45{,}000} \approx 83\,333 \]

(Mer nøyaktig beregning med CAS gir et tilsvarende resultat.)

Nora må sette inn omtrent 83 333 kroner hvert år for å nå målet sitt.

b)

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner. Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?

Nora betaler 150 000 kr per år fra januar 2026 til og med januar 2058, det er 33 innbetalinger. La rentesatsen være \(r\) og vekstfaktoren \(k = 1 + r\).

Nåverdien av alle innbetalingene (per januar 2026) skal tilsvare lånet på 3 000 000 kr. Den første innbetalingen skjer umiddelbart (jan 2026), de neste er i fremtiden.

\[ 3\,000\,000 = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \cdots + \frac{1}{k^{32}}\right) \]

\[ 3\,000\,000 = 150\,000 \cdot \frac{1 - k^{-33}}{1 - k^{-1}} = 150\,000 \cdot \frac{k(1 - k^{-33})}{k - 1} \]

\[ 20 = \frac{k(1 - k^{-33})}{k - 1} \]

Denne likningen må løses numerisk (med CAS/kalkulator). Vi prøver \(r = 0{,}03\) (dvs. \(k = 1{,}03\)):

\[ \frac{1{,}03 \cdot (1 - 1{,}03^{-33})}{0{,}03} = \frac{1{,}03 \cdot (1 - 0{,}3770)}{0{,}03} = \frac{1{,}03 \cdot 0{,}6230}{0{,}03} = \frac{0{,}6417}{0{,}03} \approx 21{,}39 \]

For høyt. Prøver \(r = 0{,}035\) (dvs. \(k = 1{,}035\)):

\[ 1{,}035^{33} \approx 3{,}1119 \implies k^{-33} \approx 0{,}3213 \]

\[ \frac{1{,}035 \cdot (1 - 0{,}3213)}{0{,}035} = \frac{1{,}035 \cdot 0{,}6787}{0{,}035} = \frac{0{,}7025}{0{,}035} \approx 20{,}07 \]

Svært nær 20. Prøver \(r = 0{,}0355\):

\[ 1{,}0355^{33} \approx 3{,}162 \implies k^{-33} \approx 0{,}3163 \]

\[ \frac{1{,}0355 \cdot 0{,}6837}{0{,}0355} \approx \frac{0{,}7081}{0{,}0355} \approx 19{,}95 \]

Med CAS finner vi at \(r \approx 0{,}035 = 3{,}5\,\%\).

Nora har regnet med en årlig rentesats på omtrent 3,5 %.

c)

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter en ekstra sparekonto med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10 000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 % per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 % per år.

Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

Vil Nora nå målet sitt?

Nora setter inn beløp som øker med 6 % per år. Innskuddene er:

År 1: \(10\,000\)
År 2: \(10\,000 \cdot 1{,}06\)
År 3: \(10\,000 \cdot 1{,}06^2\)
...
År 10: \(10\,000 \cdot 1{,}06^9\)

Verdien skal beregnes ett år etter det siste innskuddet, altså 10 år etter det første innskuddet, 9 år etter det andre, osv., og 1 år etter det tiende.

Rentesatsen er 2,5 %, altså vekstfaktor \(k = 1{,}025\).

Total verdi:

\[ S = \sum_{i=0}^{9} 10\,000 \cdot 1{,}06^i \cdot 1{,}025^{10-i} \]

Vi skriver om:

\[ S = 10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \cdot \sum_{i=0}^{9} \left(\frac{1{,}06}{1{,}025}\right)^i \]

La \(q = \frac{1{,}06}{1{,}025} \approx 1{,}03415\). Summen er en geometrisk rekke:

\[ \sum_{i=0}^{9} q^i = \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \]

Vi beregner:

\[ q^{10} = 1{,}03415^{10} \approx 1{,}3990 \]

\[ \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = \frac{0{,}3990}{0{,}03415} \approx 11{,}683 \]

\[ 1{,}025^{10} \approx 1{,}2801 \]

\[ S = 10\,000 \cdot 1{,}2801 \cdot 11{,}683 \approx 10\,000 \cdot 14{,}956 \approx 149\,560 \]

\(S \approx 149\,560\) kroner, som er mindre enn 150 000 kroner.
Nei, Nora vil ikke nå målet sitt.

Oppgave 5 (2 poeng)

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\). Det kan vises at \[ \int 1\, dx + \int x\, dx + \int x^2\, dx + \int x^3\, dx + \cdots = \int \frac{1}{1-x}\, dx, \quad x \in \langle -1, 1 \rangle \] Bruk denne sammenhengen til å vise at \[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \] I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Vi integrerer begge sider ledd for ledd (uten integrasjonskonstanter):

Venstre side:

\[ \int 1\, dx + \int x\, dx + \int x^2\, dx + \int x^3\, dx + \cdots = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots \]

\[ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \]

Høyre side:

\[ \int \frac{1}{1-x}\, dx = -\ln|1 - x| \]

Altså har vi (for \(x \in \langle -1, 1 \rangle\)):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) \]

Vi setter \(x = \frac{1}{2}\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2^n} = -\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2 \]

Altså:

\[ \frac{1}{1 \cdot 2^1} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \cdots = \ln 2 \]

som er det samme som:

\[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \]

Vi har vist at \[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \]

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2025

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx\).

Vi integrerer ledd for ledd:

\[ \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx = \left[ 2e^x + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 \]

Setter inn grensene:

\[ = \left(2e^1 + \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(2e^0 + \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) = 2e + \frac{2}{3} - 2 \]

\[ \int_0^1 (2e^x + 2x^2)\, dx = 2e - 2 + \frac{2}{3} = 2e - \frac{4}{3} \]

Vanlig feil: Mange glemmer at \(\int e^x\,dx = e^x + C\), ikke \(xe^x\). Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte. Når du setter inn grensene, husk at \(e^0 = 1\), ikke 0.

b)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx\).

Vi faktoriserer nevneren. Vi løser \(x^2 - x - 6 = 0\):

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Altså \(x = 3\) eller \(x = -2\), og vi har:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]

Vi bruker delbrøkoppspalting:

\[ \frac{2x - 1}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} \]

Multipliserer begge sider med \((x - 3)(x + 2)\):

\[ 2x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3) \]

Setter \(x = 3\):

\[ 2 \cdot 3 - 1 = A(3 + 2) \implies 5 = 5A \implies A = 1 \]

Setter \(x = -2\):

\[ 2 \cdot (-2) - 1 = B(-2 - 3) \implies -5 = -5B \implies B = 1 \]

Dermed:

\[ \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx = \int \frac{1}{x - 3}\, dx + \int \frac{1}{x + 2}\, dx \]

\[ \int \frac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\, dx = \ln|x - 3| + \ln|x + 2| + C \]

Oppgave 2 (2 poeng)

Bestem et uttrykk for funksjonen \(f\) når du får vite at

\(f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}\)
Arealet av området avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x = 1\) og \(x = 2\) er \(\dfrac{11}{14}\). Arealet ligger over \(x\)-aksen.

Vi finner \(f(x)\) ved å integrere \(f'(x)\):

\[ f(x) = \int -\frac{2}{x^3}\, dx = \int -2x^{-3}\, dx = \frac{-2 \cdot x^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{x^2} + C = x^{-2} + C \]

Siden arealet ligger over \(x\)-aksen, er \(f(x) \geq 0\) på \([1, 2]\). Vi bruker arealbetingelsen:

\[ \int_1^2 f(x)\, dx = \frac{11}{14} \]

\[ \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} + C\right) dx = \left[-\frac{1}{x} + Cx\right]_1^2 \]

\[ = \left(-\frac{1}{2} + 2C\right) - \left(-1 + C\right) = -\frac{1}{2} + 2C + 1 - C = \frac{1}{2} + C \]

Setter dette lik \(\dfrac{11}{14}\):

\[ \frac{1}{2} + C = \frac{11}{14} \implies C = \frac{11}{14} - \frac{7}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \]

\[ f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{7} \]

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at \(E(X) = 4\).

Terningen har 6 sider: verdiene 1, 2, 3, 6, 6, 6. Hver side har sannsynlighet \(\frac{1}{6}\).

\(k\)	1	2	3	6
\(P(X = k)\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Vi regner ut forventningsverdien:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{3}{6} \]

\[ = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{18}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\(E(X) = 4\)

b)

Bestem \(\text{Var}(X)\).

Vi bruker formelen \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).

Først finner vi \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{3}{6} \]

\[ = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{108}{6} = \frac{122}{6} = \frac{61}{3} \]

Dermed:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{3} - 4^2 = \frac{61}{3} - 16 = \frac{61 - 48}{3} = \frac{13}{3} \]

\[ \text{Var}(X) = \frac{13}{3} \approx 4{,}33 \]

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Vi følger koden steg for steg:

Iterasjon (\(i\))	Verdi av \(a\) (skrives ut)	Oppdatering: \(a = a + (i + 2)\)
1	2	\(2 + 3 = 5\)
2	5	\(5 + 4 = 9\)
3	9	\(9 + 5 = 14\)
4	14	\(14 + 6 = 20\)
5	20	\(20 + 7 = 27\)

Mønster: Differansen mellom hvert ledd øker med 1 for hvert steg. Differansene er 3, 4, 5, 6, 7, ... Tallfølgen har altså en lineært voksende differanse (andregradsvekst).

Koden skriver ut: 2, 5, 9, 14, 20

b)

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første leddene i tallfølgen.

Vi følger koden steg for steg:

Iterasjon (\(i\))	\(a\)	\(S = S + a\)	Oppdatering av \(a\)
1	2	\(0 + 2 = 2\)	\(2 + 3 = 5\)
2	5	\(2 + 5 = 7\)	\(5 + 4 = 9\)
3	9	\(7 + 9 = 16\)	\(9 + 5 = 14\)
4	14	\(16 + 14 = 30\)	\(14 + 6 = 20\)
5	20	\(30 + 20 = 50\)	\(20 + 7 = 27\)

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første leddene i tallfølgen. Koden skriver ut: 50

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet, dvs. \(\dfrac{K(x)}{x}\).

Fra figuren leser vi av at \(K(180) = 14\,920\). Enhetskostnaden ved 180 enheter er:

\[ \frac{K(180)}{180} = \frac{14\,920}{180} \approx 82{,}89 \text{ kr per enhet} \]

Dette stemmer med at linjen \(y = 82{,}89x\) (som går gjennom origo) treffer punktet \((180, 14\,920)\). Linjen fra origo gjennom et punkt på kostnadskurven har stigningstall lik enhetskostnaden.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså \(K'(x)\).

Tangentlinjen til \(K\) i punktet \((180, 14\,920)\) er \(y = 138x - 9920\). Stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i punktet, altså:

\[ K'(180) = 138 \]

Enhetskostnaden ved produksjon av 180 enheter er ca. 82,89 kr per enhet.
Grensekostnaden ved produksjon av 180 enheter er 138 kr per enhet.

b)

Overskuddet er gitt ved:

\[ O(x) = I(x) - K(x) = p \cdot x - K(x) \]

For at overskuddet skal være størst ved \(x = 180\), må \(O'(180) = 0\):

\[ O'(x) = p - K'(x) \]

\[ O'(180) = 0 \implies p - K'(180) = 0 \implies p = K'(180) = 138 \]

Prisen må settes til \(p = 138\) kroner per enhet for at overskuddet skal bli størst ved produksjon og salg av 180 enheter.

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

La \(\mu\) være den gjennomsnittlige kjørelengden med den nye bensinen.

\[ H_0: \mu = 20 \quad \text{(den nye bensinen gir samme kjørelengde)} \] \[ H_1: \mu > 20 \quad \text{(den nye bensinen gir økt kjørelengde)} \]

Dette er en ensidig (høyresidig) test.

b)

Vi har:

\(\mu_0 = 20\) (under \(H_0\))
\(\bar{x} = 21\)
\(\sigma = 2{,}5\)
\(n = 25\)
Signifikansnivå: \(\alpha = 0{,}05\)

Under \(H_0\) er \(\bar{X}\) normalfordelt med \(\mu = 20\) og \(\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}5}{\sqrt{25}} = \dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5\).

Vi beregner testobservatoren (z-verdien):

\[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{21 - 20}{0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2{,}0 \]

For en ensidig test med \(\alpha = 0{,}05\) er den kritiske verdien \(z_{\alpha} = 1{,}645\).

Siden \(z = 2{,}0 > 1{,}645\), forkaster vi \(H_0\).

Alternativt kan vi finne \(p\)-verdien: \(P(Z > 2{,}0) = 1 - P(Z \leq 2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

Siden \(p\text{-verdien} = 0{,}0228 < 0{,}05 = \alpha\), forkaster vi \(H_0\).

Vi forkaster \(H_0\). Det er grunnlag for å si, på 5 % signifikansnivå, at den nye bensinen øker kjørelengden.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

En bedrift produserer og selger \(x\) enheter av en vare per uke.

Produksjon (enheter per uke)	10	20	40	50
Kostnad (kroner)	400	850	2070	2890

En modell for kostnaden \(K(x)\) kroner kan skrives på formen \(K(x) = ax^2 + bx + c\).

a)

Vis at \(K'(x) = 1{,}23x + 25\).

Regresjonen gir:

\[ K(x) = 0{,}615x^2 + 25x + c \]

Deriverer:

\[ K'(x) = 2 \cdot 0{,}615 \cdot x + 25 = 1{,}23x + 25 \]

Ved andegradsregresjon på de oppgitte datapunktene finner vi \(a = 0{,}615\) og \(b = 25\), slik at: \[ K'(x) = 2 \cdot 0{,}615 \cdot x + 25 = 1{,}23x + 25 \]

b)

Inntekten \(I(x)\) kroner per uke er gitt ved \(I(x) = 3000 \cdot \ln(5x)\). Bestem \(I'(35)\) og \(K'(35)\). Gi en praktisk tolkning av svarene.

Beregning av \(I'(35)\):

\[ I(x) = 3000 \cdot \ln(5x) = 3000 \cdot (\ln 5 + \ln x) \]

\[ I'(x) = 3000 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3000}{x} \]

\[ I'(35) = \frac{3000}{35} = \frac{600}{7} \approx 85{,}71 \]

Beregning av \(K'(35)\):

\[ K'(35) = 1{,}23 \cdot 35 + 25 = 43{,}05 + 25 = 68{,}05 \]

\(I'(35) \approx 85{,}71\) kr. Dette betyr at dersom bedriften øker produksjonen fra 35 til 36 enheter per uke, vil inntekten øke med omtrent 85,71 kroner.

\(K'(35) = 68{,}05\) kr. Dette betyr at dersom bedriften øker produksjonen fra 35 til 36 enheter per uke, vil kostnaden øke med omtrent 68,05 kroner.

Siden \(I'(35) > K'(35)\), er det lønnsomt for bedriften å øke produksjonen utover 35 enheter, da inntekten øker mer enn kostnaden.

c)

Bestem \(\displaystyle \int_{20}^{30} K'(x)\, dx\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

\[ \int_{20}^{30} K'(x)\, dx = K(30) - K(20) \]

Vi regner ut integralet direkte:

\[ \int_{20}^{30} (1{,}23x + 25)\, dx = \left[\frac{1{,}23x^2}{2} + 25x\right]_{20}^{30} \]

\[ = \left(\frac{1{,}23 \cdot 900}{2} + 25 \cdot 30\right) - \left(\frac{1{,}23 \cdot 400}{2} + 25 \cdot 20\right) \]

\[ = (553{,}5 + 750) - (246 + 500) \]

\[ = 1303{,}5 - 746 = 557{,}5 \]

\[ \int_{20}^{30} K'(x)\, dx = 557{,}5 \text{ kroner} \]

Praktisk tolkning: Når bedriften øker produksjonen fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med 557,50 kroner.

Oppgave 2 (6 poeng)

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse.

	Forventningsverdi	Standardavvik
Birger	70 meter	20 meter
Maren	80 meter	5 meter
Espen	75 meter	10 meter

Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.

a)

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.

Birger: \(X_B \sim N(70, 20^2)\)

\[ P(X_B > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 70}{20}\right) = P(Z > 1{,}0) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \]

Maren: \(X_M \sim N(80, 5^2)\)

\[ P(X_M > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 80}{5}\right) = P(Z > 2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Espen: \(X_E \sim N(75, 10^2)\)

\[ P(X_E > 90) = P\left(Z > \frac{90 - 75}{10}\right) = P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 \]

\(P(\text{Birger} > 90) \approx 0{,}1587 = 15{,}87\,\%\)
\(P(\text{Maren} > 90) \approx 0{,}0228 = 2{,}28\,\%\)
\(P(\text{Espen} > 90) \approx 0{,}0668 = 6{,}68\,\%\)

b)

I første omgang hoppet Maren 83 meter. Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.

Maren hoppet 83 meter. For at Maren skal ha hoppet lengst, må både Birger og Espen ha hoppet kortere enn 83 meter.

Birger:

\[ P(X_B < 83) = P\left(Z < \frac{83 - 70}{20}\right) = P(Z < 0{,}65) = 0{,}7422 \]

Espen:

\[ P(X_E < 83) = P\left(Z < \frac{83 - 75}{10}\right) = P(Z < 0{,}80) = 0{,}7881 \]

Siden hoppene er uavhengige:

\[ P(\text{Maren lengst}) = P(X_B < 83) \cdot P(X_E < 83) = 0{,}7422 \cdot 0{,}7881 \approx 0{,}585 \]

Sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i første omgang er omtrent 0,585, altså ca. 58,5 %.

c)

I andre omgang gjør alle et nytt hopp. Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.

Vi simulerer et stort antall (f.eks. 10 000) omganger der vi trekker tilfeldige hopp for alle tre hopperne fra sine respektive normalfordelinger, og teller opp hvor ofte Maren hopper lengst.

Pseudokode for simuleringen:

import numpy as np

antall = 100000
birger = np.random.normal(70, 20, antall)
maren = np.random.normal(80, 5, antall)
espen = np.random.normal(75, 10, antall)

maren_lengst = np.sum((maren > birger) & (maren > espen))
sannsynlighet = maren_lengst / antall
print(sannsynlighet)

Resultatet av en slik simulering gir typisk en sannsynlighet rundt 0,48 (kan variere noe ved hver kjøring).

Basert på simulering er sannsynligheten for at Maren hopper lengst i andre omgang omtrent 0,48, altså ca. 48 %.

Oppgave 3 (6 poeng)

a)

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?

Halvparten av 2 millioner husstander er 1 000 000. Vi løser \(B(t) = 1\,000\,000\):

\[ \frac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

\[ 1 + 500e^{-0{,}07t} = \frac{1\,700\,000}{1\,000\,000} = 1{,}7 \]

\[ 500e^{-0{,}07t} = 0{,}7 \]

\[ e^{-0{,}07t} = \frac{0{,}7}{500} = 0{,}0014 \]

\[ -0{,}07t = \ln(0{,}0014) \]

\[ t = \frac{-\ln(0{,}0014)}{0{,}07} = \frac{\ln\left(\frac{1}{0{,}0014}\right)}{0{,}07} = \frac{\ln(714{,}29)}{0{,}07} \approx \frac{6{,}571}{0{,}07} \approx 93{,}9 \]

Det vil ta omtrent 94 uker (ca. 93,9 uker) før halvparten av husstandene har brannvarslingssystemet.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer den logistiske modellen: B(t) := 1700000 / (1 + 500 * e^(-0.07 * t))
Finn vekstraten etter 52 uker: Numerisk(B'(52)) → gir \(\approx 7\,828\) husstander/uke

b)

Bestem \(B'(52)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vi deriverer \(B(t)\). Med \(B(t) = 1\,700\,000 \cdot (1 + 500e^{-0{,}07t})^{-1}\):

\[ B'(t) = 1\,700\,000 \cdot \frac{500 \cdot 0{,}07 \cdot e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} = \frac{1\,700\,000 \cdot 35 \cdot e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \]

For \(t = 52\):

\[ e^{-0{,}07 \cdot 52} = e^{-3{,}64} \approx 0{,}02625 \]

\[ 1 + 500 \cdot 0{,}02625 = 1 + 13{,}125 = 14{,}125 \]

\[ B'(52) = \frac{1\,700\,000 \cdot 35 \cdot 0{,}02625}{14{,}125^2} = \frac{1\,561\,875}{199{,}52} \approx 7\,828 \]

(Ved bruk av CAS/kalkulator finner man en mer nøyaktig verdi.)

\(B'(52) \approx 7\,828\).

Praktisk tolkning: Etter 52 uker (ett år) øker antallet husstander med brannvarslingssystemet med omtrent 7 809 husstander per uke.

c)

Konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et tilsvarende system samtidig. Etter å ha hørt om UnSaif, antar SaifY at:

de totalt vil få solgt systemet sitt til en million husstander
fire tusen husstander har systemet når det lanseres
flest nye husstander kjøper systemet i uke 65

Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell \(F\) for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter \(t\) uker.

En logistisk modell har formen:

\[ F(t) = \frac{M}{1 + ae^{-bt}} \]

Bestemmelse av \(M\): Totalt vil de selge til 1 000 000 husstander:

\[ M = 1\,000\,000 \]

Bestemmelse av \(a\): Ved \(t = 0\) er \(F(0) = 4000\):

\[ \frac{1\,000\,000}{1 + a} = 4000 \implies 1 + a = \frac{1\,000\,000}{4000} = 250 \implies a = 249 \]

Bestemmelse av \(b\): Veksten er størst (vendepunkt) når \(F(t) = \frac{M}{2}\), altså ved \(t = 65\).

I vendepunktet gjelder:

\[ F(65) = \frac{M}{2} = 500\,000 \]

\[ \frac{1\,000\,000}{1 + 249e^{-65b}} = 500\,000 \]

\[ 1 + 249e^{-65b} = 2 \implies 249e^{-65b} = 1 \implies e^{-65b} = \frac{1}{249} \]

\[ -65b = \ln\left(\frac{1}{249}\right) = -\ln(249) \]

\[ b = \frac{\ln(249)}{65} \approx \frac{5{,}517}{65} \approx 0{,}0849 \]

Den nye logistiske modellen er: \[ F(t) = \frac{1\,000\,000}{1 + 249e^{-0{,}0849t}} \]

Oppgave 4 (6 poeng)

a)

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Nora setter inn et fast beløp \(x\) kr 1. januar hvert år fra 2026 til og med 2055, det vil si 30 innbetalinger. Vekstfaktoren er \(k = 1{,}025\).

Det første innskuddet (jan 2026) får renter i 30 år (til og med 2055), det siste innskuddet (jan 2055) får renter i 1 år.

Total verdi etter at rentene for 2055 er lagt til:

\[ S = x \cdot k^{30} + x \cdot k^{29} + \cdots + x \cdot k^1 = x \cdot k \cdot (k^{30} - 1)/(k - 1) \]

Mer presist: dette er en geometrisk rekke med første ledd \(xk\) og kvotient \(k\), med 30 ledd:

\[ S = x \cdot k \cdot \frac{k^{30} - 1}{k - 1} \]

Setter inn \(k = 1{,}025\) og \(S = 3\,750\,000\):

\[ 3\,750\,000 = x \cdot 1{,}025 \cdot \frac{1{,}025^{30} - 1}{0{,}025} \]

Vi beregner \(1{,}025^{30}\):

\[ 1{,}025^{30} \approx 2{,}09757 \]

\[ \frac{1{,}025^{30} - 1}{0{,}025} = \frac{2{,}09757 - 1}{0{,}025} = \frac{1{,}09757}{0{,}025} \approx 43{,}903 \]

\[ 3\,750\,000 = x \cdot 1{,}025 \cdot 43{,}903 = x \cdot 45{,}000 \]

\[ x = \frac{3\,750\,000}{45{,}000} \approx 83\,333 \]

(Mer nøyaktig beregning med CAS gir et tilsvarende resultat.)

Nora må sette inn omtrent 83 333 kroner hvert år for å nå målet sitt.

b)

Nora betaler 150 000 kr per år fra januar 2026 til og med januar 2058, det er 33 innbetalinger. La rentesatsen være \(r\) og vekstfaktoren \(k = 1 + r\).

Nåverdien av alle innbetalingene (per januar 2026) skal tilsvare lånet på 3 000 000 kr. Den første innbetalingen skjer umiddelbart (jan 2026), de neste er i fremtiden.

\[ 3\,000\,000 = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \cdots + \frac{1}{k^{32}}\right) \]

\[ 3\,000\,000 = 150\,000 \cdot \frac{1 - k^{-33}}{1 - k^{-1}} = 150\,000 \cdot \frac{k(1 - k^{-33})}{k - 1} \]

\[ 20 = \frac{k(1 - k^{-33})}{k - 1} \]

Denne likningen må løses numerisk (med CAS/kalkulator). Vi prøver \(r = 0{,}03\) (dvs. \(k = 1{,}03\)):

\[ \frac{1{,}03 \cdot (1 - 1{,}03^{-33})}{0{,}03} = \frac{1{,}03 \cdot (1 - 0{,}3770)}{0{,}03} = \frac{1{,}03 \cdot 0{,}6230}{0{,}03} = \frac{0{,}6417}{0{,}03} \approx 21{,}39 \]

For høyt. Prøver \(r = 0{,}035\) (dvs. \(k = 1{,}035\)):

\[ 1{,}035^{33} \approx 3{,}1119 \implies k^{-33} \approx 0{,}3213 \]

\[ \frac{1{,}035 \cdot (1 - 0{,}3213)}{0{,}035} = \frac{1{,}035 \cdot 0{,}6787}{0{,}035} = \frac{0{,}7025}{0{,}035} \approx 20{,}07 \]

Svært nær 20. Prøver \(r = 0{,}0355\):

\[ 1{,}0355^{33} \approx 3{,}162 \implies k^{-33} \approx 0{,}3163 \]

\[ \frac{1{,}0355 \cdot 0{,}6837}{0{,}0355} \approx \frac{0{,}7081}{0{,}0355} \approx 19{,}95 \]

Med CAS finner vi at \(r \approx 0{,}035 = 3{,}5\,\%\).

Nora har regnet med en årlig rentesats på omtrent 3,5 %.

c)

Nora setter inn beløp som øker med 6 % per år. Innskuddene er:

År 1: \(10\,000\)
År 2: \(10\,000 \cdot 1{,}06\)
År 3: \(10\,000 \cdot 1{,}06^2\)
...
År 10: \(10\,000 \cdot 1{,}06^9\)

Verdien skal beregnes ett år etter det siste innskuddet, altså 10 år etter det første innskuddet, 9 år etter det andre, osv., og 1 år etter det tiende.

Rentesatsen er 2,5 %, altså vekstfaktor \(k = 1{,}025\).

Total verdi:

\[ S = \sum_{i=0}^{9} 10\,000 \cdot 1{,}06^i \cdot 1{,}025^{10-i} \]

Vi skriver om:

\[ S = 10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \cdot \sum_{i=0}^{9} \left(\frac{1{,}06}{1{,}025}\right)^i \]

La \(q = \frac{1{,}06}{1{,}025} \approx 1{,}03415\). Summen er en geometrisk rekke:

\[ \sum_{i=0}^{9} q^i = \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \]

Vi beregner:

\[ q^{10} = 1{,}03415^{10} \approx 1{,}3990 \]

\[ \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = \frac{0{,}3990}{0{,}03415} \approx 11{,}683 \]

\[ 1{,}025^{10} \approx 1{,}2801 \]

\[ S = 10\,000 \cdot 1{,}2801 \cdot 11{,}683 \approx 10\,000 \cdot 14{,}956 \approx 149\,560 \]

\(S \approx 149\,560\) kroner, som er mindre enn 150 000 kroner.
Nei, Nora vil ikke nå målet sitt.

Oppgave 5 (2 poeng)

Vi integrerer begge sider ledd for ledd (uten integrasjonskonstanter):

Venstre side:

\[ \int 1\, dx + \int x\, dx + \int x^2\, dx + \int x^3\, dx + \cdots = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots \]

\[ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \]

Høyre side:

\[ \int \frac{1}{1-x}\, dx = -\ln|1 - x| \]

Altså har vi (for \(x \in \langle -1, 1 \rangle\)):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) \]

Vi setter \(x = \frac{1}{2}\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2^n} = -\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2 \]

Altså:

\[ \frac{1}{1 \cdot 2^1} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \cdots = \ln 2 \]

som er det samme som:

\[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \]

Vi har vist at \[ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \]

Løsningsforslag Matematikk S2Vår 2025

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2025

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

b)

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 2 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 3 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 4 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 5 (2 poeng)

Løsningsforslag Matematikk S2Vår 2025

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2025

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

b)

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

b)

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 2 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 3 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 4 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 5 (2 poeng)