Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2024

Eksamen REA3062

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

En funksjon \( f \) er gitt ved \( f(x) = -x^3 + 3x \).

a) Regn ut integralet \(\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\).

b) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til \( f \), \( x \)-aksen og linjene \( x = -1 \) og \( x = 1 \).

Oppgave 1a

\(\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1\)potensregelen for integrasjon: øk eksponenten med 1 og del på den nyeMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)bestemt integral: antiderivert \(F\) i øvre grense \(b\) minus i nedre grense \(a\)Må kunnes (del 1)

Vi skal beregne

\[ \int_{-1}^{0} (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x \]

Vi finner antiderivert:

\[ \int (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x = -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + C \]

Vi setter inn grensene:

\[ \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2}\right) \] \[ = 0 - \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{-1+6}{4}\right) = -\frac{5}{4} \]

\(\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{5}{4}\)

Oppgave 1b

\(\displaystyle \begin{aligned} A &= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{når } f(x) \ge 0 \\ A &= -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{når } f(x) \le 0 \end{aligned}\)areal: under \(x\)-aksen skifter integralet fortegn, så del opp ved nullpunkteneMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)bestemt integral: antiderivert \(F\) i øvre grense \(b\) minus i nedre grense \(a\)Må kunnes (del 1)

Vi skal finne arealet av området avgrenset av grafen til \( f(x) = -x^3 + 3x \), \( x \)-aksen og linjene \( x = -1 \) og \( x = 1 \).

Først finner vi nullpunktene til \( f \) i intervallet \([-1, 1]\):

\[ -x^3 + 3x = 0 \implies x(-x^2 + 3) = 0 \implies x = 0 \;\text{ (i intervallet)} \]

Vi undersøker fortegnet til \( f \):

For \( x \in [-1, 0] \): \( f(-0{,}5) = -(-0{,}125) + 3(-0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 = -1{,}375 < 0 \)
For \( x \in [0, 1] \): \( f(0{,}5) = -(0{,}125) + 1{,}5 = 1{,}375 > 0 \)

Arealet blir:

\[ A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x \]

Fra oppgave a) vet vi at \(\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{5}{4}\).

Vi regner ut det andre integralet:

\[ \int_{0}^{1} (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) - 0 = \frac{5}{4} \]

Dermed:

\[ A = \left|-\frac{5}{4}\right| + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

Arealet er \(\displaystyle \frac{5}{2} = 2{,}5\).

Vanlig feil: Mange glemmer å ta absoluttverdien av integralet der funksjonen er negativ. Arealet er alltid positivt, så du må dele opp integralet ved nullpunktene og summere de absolutte verdiene.

Oppgave 2 (2 poeng)

\(\displaystyle \int h\big(u(x)\big)\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x = \int h(u)\,\mathrm{d}u\)integrasjon ved substitusjon: sett \(u\) lik kjernen, \(\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int u^n\,\mathrm{d}u = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1\)potensregelen for integrasjon, brukt på den nye variabelen \(u\)Må kunnes (del 1)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int (x^2+1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x\).

Vi bruker substitusjon. La \( u = x^2 + 1 \). Da er \( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \), altså \( \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x \).

Integralet blir:

\[ \int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x = \int u^3\,\mathrm{d}u = \frac{u^4}{4} + C \]

Vi substituerer tilbake:

\(\displaystyle \int (x^2+1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C\)

Vanlig feil: Mange overser at \(2x\,dx\) er nøyaktig \(du\) når \(u = x^2 + 1\). Lær å gjenkjenne mønstre av typen \([g(x)]^n \cdot g'(x)\), som alltid kan løses med substitusjonen \(u = g(x)\).

Oppgave 3 (4 poeng)

En elev har laget følgende program:

n = 0
S = 0

while S <= 200:
    n = n + 1
    S = S + 4*n - 2

print(n)

a) Forklar hva eleven prøver å finne ut.

b) Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.

Oppgave 3a

\(\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d\)ledd nummer \(n\) i en aritmetisk rekkeMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big)\)summen av de \(n\) første leddene i en aritmetisk rekkeMå kunnes (del 1)

Vi ser på hva som skjer i løkken. For hver runde øker \( n \) med 1, og \( S \) øker med \( 4n - 2 \).

Leddene som legges til \( S \) er:

\( n = 1 \): \( 4 \cdot 1 - 2 = 2 \)
\( n = 2 \): \( 4 \cdot 2 - 2 = 6 \)
\( n = 3 \): \( 4 \cdot 3 - 2 = 10 \)
osv.

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd \( a_1 = 2 \) og differanse \( d = 4 \). Summen av de \( n \) første leddene er:

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 4) = \frac{n}{2}(4n) = 2n^2 \]

Programmet finner det minste \( n \) slik at summen \( S_n = 2n^2 \) overstiger 200. Altså det minste \( n \) slik at \( 2n^2 > 200 \), dvs. \( n^2 > 100 \).

Eleven prøver å finne det minste antallet ledd \( n \) i den aritmetiske rekken \( 2 + 6 + 10 + \cdots \) (med \( a_1 = 2 \) og \( d = 4 \)) slik at summen overstiger 200.

Oppgave 3b

\(\displaystyle S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big)\)summen av de \(n\) første leddene, her \(S_n = 2n^2\)Må kunnes (del 1)

Vi trenger det minste \( n \) slik at \( 2n^2 > 200 \), altså \( n^2 > 100 \), dvs. \( n > 10 \).

Vi kan også verifisere ved å kjøre gjennom løkken. Løkken fortsetter så lenge \( S \leq 200 \). Etter løkken skrives \( n \) ut.

For \( n = 10 \): \( S = 2 \cdot 10^2 = 200 \). Siden \( S \leq 200 \), kjøres løkken en gang til.

For \( n = 11 \): \( S = 200 + 4 \cdot 11 - 2 = 200 + 42 = 242 \). Nå er \( S > 200 \), og løkken stopper.

Programmet skriver ut \( n = 11 \).

Vanlig feil: Mange feiltolker \(\texttt{while S <= 200}\) og tror løkken stopper når \(S = 200\). Men betingelsen er oppfylt når \(S = 200\), så løkken kjører en runde til. Vær nøye med streng vs. ikke-streng ulikhet.

Oppgave 4 (4 poeng)

Hos en lakseoppdretter er slaktevekten til laksen normalfordelt med forventningsverdi 4700 gram. Det viser seg at 11,5 % av laksen som slaktes, veier mer enn 5300 gram.

a) Vis at standardavviket for vekten til en vilkårlig laks er omtrent 500 gram.

b) Bestem sannsynligheten for at en vilkårlig laks veier mindre enn 4500 gram.

Vanlig feil: Her er standardavviket ukjent, og \(\sigma\) må finnes fra opplysningen om at 11,5 % veier mer enn 5300 gram. Mange leser av tabellen for \(P(Z > z) = 0{,}115\) i stedet for \(P(Z \leq z) = 0{,}885\), og får feil fortegn på \(z\).

Oppgave 4a

\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(X > a) = 1 - P(X \le a)\)komplementet: tabellen gir sannsynligheten for «mindre enn eller lik»Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849\)tabellverdien som ligger nærmest \(0{,}885\), altså \(z = 1{,}20\)I vedlegget

La \( X \) være vekten til en vilkårlig laks. Vi har \( X \sim N(\mu, \sigma) \) der \( \mu = 4700 \).

Vi vet at \( P(X > 5300) = 0{,}115 \), altså \( P(X \leq 5300) = 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \).

Vi standardiserer:

\[ P\left(Z \leq \frac{5300 - 4700}{\sigma}\right) = 0{,}885 \]

Fra normalfordelingstabellen finner vi at \( P(Z \leq 1{,}20) \approx 0{,}8849 \approx 0{,}885 \).

Dermed:

\[ \frac{5300 - 4700}{\sigma} = 1{,}20 \implies \frac{600}{\sigma} = 1{,}20 \implies \sigma = \frac{600}{1{,}20} = 500 \]

Standardavviket er \( \sigma = 500 \) gram.

Vanlig feil: Mange forveksler standardavvik med varians. Hvis variansen er \(250\,000\), er standardavviket \(\sqrt{250\,000} = 500\). Husk også at normalfordelingen krever både \(\mu\) og \(\sigma\) (ikke \(\sigma^2\)).

Oppgave 4b

\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)\)symmetrien i normalfordelingen, nyttig for negative \(z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446\)tabellverdien for standard normalfordelingI vedlegget

Vi skal finne \( P(X < 4500) \) der \( X \sim N(4700,\, 500) \).

Vi standardiserer:

\[ P(X < 4500) = P\left(Z < \frac{4500 - 4700}{500}\right) = P(Z < -0{,}40) \]

Fra normalfordelingstabellen:

\[ P(Z < -0{,}40) = 0{,}3446 \]

\( P(X < 4500) \approx 0{,}3446 \approx 34{,}5\,\% \)

Vanlig feil: Når du standardiserer, er det lett å få feil fortegn. Her er \(Z = \frac{4500 - 4700}{500} = -0{,}4\), som er negativt fordi 4500 er under gjennomsnittet. Bruk symmetrien: \(P(Z < -0{,}4) = 1 - P(Z < 0{,}4)\).

Oppgave 5 (2 poeng)

\(\displaystyle E(x) = \dfrac{K(x)}{x}\)enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheterMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)brøkregelen: \(u\) er telleren og \(v\) nevnerenMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle E'(x_0) = 0\)i bunnpunktet til \(E\) er den deriverte nullMå kunnes (del 1)

La \( K(x) \) være kostnadsfunksjonen til en bedrift som produserer \( x \) enheter av en vare, og la \( E(x) \) være enhetskostnaden. La \( x_0 \) være antallet enheter som gir den laveste enhetskostnaden. Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden for \( x = x_0 \).

Vanlig feil: Mange glemmer det viktige økonomiske prinsippet: enhetskostnaden er minst når den er lik grensekostnaden. Matematisk følger dette av at \(E'(x) = \frac{xK'(x) - K(x)}{x^2} = 0\) gir \(K'(x) = \frac{K(x)}{x} = E(x)\).

Enhetskostnaden er definert som:

\[ E(x) = \frac{K(x)}{x} \]

For å finne minimum av \( E(x) \) deriverer vi og setter lik null. Vi bruker brøkregelen:

\[ E'(x) = \frac{K'(x) \cdot x - K(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2} \]

I minimumspunktet \( x = x_0 \) har vi \( E'(x_0) = 0 \):

\[ \frac{K'(x_0) \cdot x_0 - K(x_0)}{x_0^2} = 0 \]

Siden \( x_0^2 \neq 0 \) (vi produserer enheter), må telleren være null:

\[ K'(x_0) \cdot x_0 - K(x_0) = 0 \] \[ K'(x_0) = \frac{K(x_0)}{x_0} = E(x_0) \]

Vi har vist at grensekostnaden \( K'(x_0) \) er lik enhetskostnaden \( E(x_0) \) for \( x = x_0 \).

Oppgave 6 (4 poeng)

Hilde kaster en terning med seks sider. La \( X \) være antall øyne hun får på terningen.

a) Bestem forventningsverdien \( E(X) \).

Hilde regner ut at standardavviket \( SD(X) = 1{,}7 \). Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.

b) Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?

Oppgave 6a

\(\displaystyle E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\)forventningsverdi: hver mulig verdi \(x_i\) ganget med sannsynligheten, summertMå kunnes (del 1)

Terningen har seks like sannsynlige utfall: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \), hver med sannsynlighet \( \frac{1}{6} \).

\[ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \]

\( E(X) = 3{,}5 \)

Vanlig feil: Forventningsverdien trenger ikke å være en verdi variabelen kan ta. For en rettferdig terning er \(E(X) = 3{,}5\), selv om dette ikke er et mulig utfall. Forventningsverdien er det vektede gjennomsnittet av alle mulige utfall.

Oppgave 6b

\(\displaystyle \begin{aligned} E(S_n) &= n \cdot E(X) \\ SD(S_n) &= \sqrt{n} \cdot SD(X) \end{aligned}\)forventning og standardavvik for summen av \(n\) uavhengige kastMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle Z = \dfrac{S_n - E(S_n)}{SD(S_n)}\)standardiserer summen, som er tilnærmet normalfordelt for stor \(n\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(-1 < Z < 1) \approx 0{,}68\)omtrent 68 % av en normalfordeling ligger innenfor ett standardavvik fra forventningenMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413\)tabellverdien som bekrefter \(z_0 \approx 1{,}0\)I vedlegget

La \( n \) være antall kast, og la \( S_n \) være summen av antall øyne fra \( n \) kast.

Forventningsverdi og standardavvik for summen:

\[ E(S_n) = n \cdot E(X) = 3{,}5n \] \[ SD(S_n) = \sqrt{n} \cdot SD(X) = 1{,}7\sqrt{n} \]

For stort \( n \) er \( S_n \) tilnærmet normalfordelt (sentralgrensesetningen). Vi ønsker:

\[ P(|S_n - E(S_n)| > 17) \approx 0{,}32 \]

Altså:

\[ P(|S_n - 3{,}5n| > 17) = 0{,}32 \]

Vi standardiserer. La \( Z = \frac{S_n - 3{,}5n}{1{,}7\sqrt{n}} \). Da:

\[ P\left(|Z| > \frac{17}{1{,}7\sqrt{n}}\right) = 0{,}32 \]

Dersom \( P(|Z| > z_0) = 0{,}32 \), betyr det at \( P(-z_0 < Z < z_0) = 0{,}68 \), altså \( P(Z < z_0) = 0{,}84 \).

Vi kjenner igjen 0,68 og 0,32 fra tommelfingerregelen om at omtrent 68 % av verdiene i en normalfordeling ligger innenfor ett standardavvik fra forventningsverdien. Det gir \( z_0 = 1{,}0 \). (Normalfordelingstabellen gir \( P(Z < 0{,}99) \approx 0{,}8389 \), altså \( z_0 \approx 1{,}0 \) også avlest fra tabellen.)

Vi setter opp ligningen:

\[ \frac{17}{1{,}7\sqrt{n}} = 1{,}0 \] \[ 1{,}7\sqrt{n} = 17 \] \[ \sqrt{n} = \frac{17}{1{,}7} = 10 \] \[ n = 100 \]

Verifikasjon: Med \( z_0 = 1{,}0 \) gir tabellen \( P(Z < 1{,}0) = 0{,}8413 \), slik at \( P(|Z| > 1{,}0) = 2(1 - 0{,}8413) = 0{,}3174 \approx 0{,}32 \). Dette stemmer godt.

Hilde må kaste terningen \( n = 100 \) ganger.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

For et år siden begynte en butikk å selge et nytt produkt. Funksjonen \( f \) gitt ved \[ f(t) = \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}} \] er en god modell for antallet enheter butikken har solgt av produktet per uke, \( t \) uker etter at produktet kom i salg.

a) Når økte salget raskest, ifølge modellen, og hvor mye økte salget da?

b) Hvor lang tid gikk det før det samlede salget passerte 2000 enheter, ifølge modellen?

Inntekten fra salget av produktet har vært 1 000 000 kroner det første året.

c) Hvilken pris har butikken solgt produktet for?

Oppgave 1a

\(\displaystyle f(t) = \dfrac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\)modellen for antall solgte enheter per ukeGitt i oppgaven
\(\displaystyle f(t) = \dfrac{M}{1 + a e^{-bt}} \text{ vokser raskest når } f(t) = \dfrac{M}{2}\)logistisk vekst er raskest i vendepunktet, halvveis til bæreevnen \(M\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle f'(t_{\max}) = \dfrac{Mb}{4}\)største vekstfart i en logistisk modellDel 2: kan slås opp

Funksjonen \( f(t) = \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}} \) er en logistisk vekstmodell med kapasitet \( M = 700 \).

For en logistisk modell vokser funksjonen raskest når \( f(t) = \frac{M}{2} \), altså når:

\[ \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}} = 350 \] \[ 1 + 20e^{-0{,}12t} = 2 \] \[ 20e^{-0{,}12t} = 1 \] \[ e^{-0{,}12t} = \frac{1}{20} \] \[ -0{,}12t = \ln\left(\frac{1}{20}\right) = -\ln 20 \] \[ t = \frac{\ln 20}{0{,}12} \approx \frac{2{,}9957}{0{,}12} \approx 24{,}96 \]

Altså økte salget raskest etter omtrent 25 uker.

Den maksimale vekstraten finner vi ved å beregne \( f'(t) \) i dette punktet. For en logistisk modell \( f(t) = \frac{M}{1 + ae^{-bt}} \) er den maksimale vekstraten:

\[ f'(t_{\max}) = \frac{Mb}{4} = \frac{700 \cdot 0{,}12}{4} = \frac{84}{4} = 21 \]

Salget økte raskest etter omtrent 25 uker. Da økte salget med 21 enheter per uke.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer den logistiske modellen: f(t) := 700 / (1 + 20 * e^(-0.12 * t))
Beregn samlet salg over 52 uker: Numerisk(Integral(f, 0, 52)) → gir \(\approx 18\,863\) enheter

GeoGebra CAS: f(t) = 700/(1+20e^(-0.12t)), Integral(f,0,52) ≈ 18863

Oppgave 1b

\(\displaystyle f(t) = \dfrac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\)modellen for antall solgte enheter per ukeGitt i oppgaven
\(\displaystyle \text{samlet salg} = \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\)integralet av salget per uke gir samlet salg de første \(T\) ukeneDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)\)bestemt integral med antiderivert \(F\)Del 2: kan slås opp

Det samlede salget etter \( T \) uker er gitt ved:

\[ \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^T \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\,\mathrm{d}t \]

Vi må finne \( T \) slik at dette integralet er lik 2000.

CAS gir at en antiderivert av \( f(t) \) er:

\[ F(t) = 700t + \frac{700}{0{,}12}\ln(1 + 20e^{-0{,}12t}) \]

Vi løser ligningen \( F(T) - F(0) = 2000 \) med CAS og får:

\[ T \approx 18{,}8 \text{ uker} \]

Vi kan verifisere med noen verdier:

\( T = 10 \): \(\displaystyle \int_0^{10} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 611 \) (for lite)
\( T = 18 \): \(\displaystyle \int_0^{18} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 1816 \) (for lite)
\( T = 19 \): \(\displaystyle \int_0^{19} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 2037 \) (passert 2000)

Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent \( T \approx 18{,}8 \) uker (ca. 4,5 måneder).

Oppgave 1c

\(\displaystyle \text{samlet salg} = \int_0^{52} f(t)\,\mathrm{d}t\)samlet salg det første året (52 uker)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{pris per enhet} = \dfrac{\text{inntekt}}{\text{antall solgte enheter}}\)gjennomsnittlig pris per solgte enhetDel 2: kan slås opp

Det første året er 52 uker. Vi finner det samlede salget over 52 uker med CAS:

\[ \text{Totalt salg} = \int_0^{52} \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\,\mathrm{d}t \]

Vi bruker antiderivert fra oppgave b:

\[ F(52) - F(0) = \left[700t + \frac{700}{0{,}12}\ln(1 + 20e^{-0{,}12t})\right]_0^{52} \] \[ = 700 \cdot 52 + \frac{700}{0{,}12}\ln(1 + 20e^{-6{,}24}) - \frac{700}{0{,}12}\ln(21) \] \[ \approx 36\,400 + 5833{,}3 \cdot \ln(1{,}039) - 5833{,}3 \cdot \ln(21) \] \[ \approx 36\,400 + 223{,}2 - 17\,759{,}7 \approx 18\,863 \]

Det samlede salget er ca. 18 864 enheter det første året. Inntekten er 1 000 000 kroner.

\[ \text{Pris per enhet} = \frac{1\,000\,000}{18\,863} \approx 53 \text{ kr} \]

Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kroner per enhet.

Oppgave 2 (6 poeng)

Et smertestillende legemiddel, A, er tilgjengelig på markedet. Legemiddelet demper smerte for mange pasienter, men ikke for alle.

Sannsynligheten for at legemiddel A virker på en pasient, er 75 %.
Vi tester legemiddel A på \( n \) pasienter.
Legemiddel A virker på \( X \) av disse pasientene.

a) Hvilken sannsynlighetsfordeling har \( X \)? Begrunn svaret ditt. Regn ut \( P(X = 9) \) når \( n = 12 \).

Et nytt legemiddel, B, skal også dempe smerte hos pasienter.

Legemiddel B er testet ut på 10 pasienter.
Legemiddel B virket på 9 av disse 10 pasientene.

b) La \( p \) være sannsynligheten for at B virker på en pasient. Gjennomfør en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Bruk denne til å vurdere om du kan si at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn A.

Legemiddel B blir gitt til 200 pasienter.

c) Hvor mange pasienter må legemiddel B minst virke på for at vi skal kunne konkludere med at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn legemiddel A? Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Oppgave 2a

\(\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\)binomisk sannsynlighet for nøyaktig \(k\) suksesser i \(n\) forsøkDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)antall måter å velge \(k\) av \(n\) på (nCr på kalkulatoren)Del 2: kan slås opp

\( X \) er antall pasienter legemiddel A virker på av \( n \) pasienter. Hvert forsøk (pasient) har to utfall: virker (suksess) eller virker ikke (fiasko). Sannsynligheten for suksess er konstant \( p = 0{,}75 \), og forsøkene er uavhengige.

Dermed er \( X \) binomisk fordelt:

\[ X \sim \text{Bin}(n,\; 0{,}75) \]

For \( n = 12 \):

\[ P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 \] \[ = 220 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 \] \[ = 220 \cdot 0{,}075085 \cdot 0{,}015625 \] \[ = 220 \cdot 0{,}001174 \approx 0{,}2581 \]

\( X \sim \text{Bin}(n,\; 0{,}75) \) (binomisk fordeling).
\( P(X = 9) \approx 0{,}258 \)

Vanlig feil: I binomiske beregninger glemmer mange binomialkoeffisienten \(\binom{n}{k}\). Sannsynligheten er \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\), ikke bare \(p^k (1-p)^{n-k}\). Binomialkoeffisienten teller antall måter å velge \(k\) suksesser blant \(n\) forsøk.

Oppgave 2b

\(\displaystyle p\text{-verdi} = P(X \ge x_{\text{obs}}) \text{ når } H_0 \text{ er sann}\)ensidig test mot høyre: sannsynligheten for observert verdi \(x_{\text{obs}}\) eller merDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{forkast } H_0 \text{ når } p\text{-verdi} < \alpha\)beslutningsregelen i hypotesetesten, her \(\alpha = 0{,}05\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\)binomisk sannsynlighet for nøyaktig \(k\) suksesser i \(n\) forsøkDel 2: kan slås opp

Vi setter opp en hypotesetest:

Nullhypotese \( H_0 \): \( p = 0{,}75 \) (B virker ikke bedre enn A)
Alternativ hypotese \( H_1 \): \( p > 0{,}75 \) (B virker bedre enn A)

Signifikansnivå: \( \alpha = 0{,}05 \).

Under \( H_0 \) er \( X \sim \text{Bin}(10,\; 0{,}75) \). Vi observerer \( X = 9 \).

Vi beregner \( p \)-verdien (ensidig test, høyre side):

\[ P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10) \] \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^1 = 10 \cdot 0{,}075085 \cdot 0{,}25 = 0{,}1877 \] \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}75^{10} \cdot 0{,}25^0 = 1 \cdot 0{,}05631 = 0{,}0563 \] \[ P(X \geq 9) = 0{,}1877 + 0{,}0563 = 0{,}2440 \]

Siden \( p \)-verdien \( 0{,}244 > 0{,}05 = \alpha \), forkaster vi ikke \( H_0 \).

\( p \)-verdien er omtrent 0,244, som er langt over signifikansnivået 0,05. Vi kan ikke konkludere med at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn legemiddel A.

Oppgave 2c

\(\displaystyle \begin{aligned} \mu &= np \\ \sigma &= \sqrt{np(1-p)} \end{aligned}\)forventning og standardavvik i en binomisk fordelingDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{forkast } H_0 \text{ når } Z > z_{0{,}05}\)beslutningsregelen for ensidig test mot høyre med signifikansnivå 5 %Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}645) \approx 0{,}95 \;\Rightarrow\; z_{0{,}05} = 1{,}645\)kritisk verdi: ligger mellom tabellverdiene for \(z = 1{,}64\) og \(z = 1{,}65\)I vedlegget

Nå testes legemiddel B på \( n = 200 \) pasienter. Vi beholder hypotesene:

\( H_0 \): \( p = 0{,}75 \)
\( H_1 \): \( p > 0{,}75 \)

Under \( H_0 \): \( X \sim \text{Bin}(200,\; 0{,}75) \).

Med \( n = 200 \) kan vi bruke normalapproksimasjon:

\[ \mu = np = 200 \cdot 0{,}75 = 150 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}124 \]

For ensidig test med \( \alpha = 0{,}05 \) er den kritiske verdien \( z_{0{,}05} = 1{,}645 \).

Vi forkaster \( H_0 \) dersom:

\[ \frac{X - 150}{6{,}124} > 1{,}645 \] \[ X > 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 = 150 + 10{,}07 = 160{,}07 \]

Siden \( X \) er et heltall, må \( X \geq 161 \).

Legemiddel B må virke på minst 161 av 200 pasienter for at vi skal kunne konkludere med at B virker med høyere sannsynlighet enn A (på 5 % signifikansnivå).

Oppgave 3 (6 poeng)

Olivia tar opp et annuitetslån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig. Hun velger årlige terminer og en nedbetalingstid på 25 år. Det første terminbeløpet skal betales om ett år. Renten er på 5,5 % per år.

a) Hvor store blir de årlige terminbeløpene?

Etter 5 år vil Olivia utvide lånet for å pusse opp badet. Hun håper å få låne 500 000 kroner ekstra til samme rente, men hun vil ikke forlenge nedbetalingstiden på lånet.

b) Hvor store blir de nye terminbeløpene?

Olivia vet at dersom de nye terminbeløpene blir for store, må hun forlenge nedbetalingstiden.

c) Hvor lang blir nedbetalingstiden dersom hun betaler 200 000 kroner hver termin etter at hun har utvidet lånet?

Oppgave 3a

\(\displaystyle T = K_0 \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)terminbeløpet \(T\) for et annuitetslån på \(K_0\) kr over \(n\) terminerDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle K_0 = \dfrac{T}{v} + \dfrac{T}{v^2} + \cdots + \dfrac{T}{v^n}\)lånebeløpet er summen av nåverdiene av alle terminbeløpene (geometrisk rekke)Del 2: kan slås opp

Vi bruker annuitetsformelen. La \( K_0 = 2\,500\,000 \), \( r = 0{,}055 \) og \( n = 25 \).

Vekstfaktoren er \( v = 1 + r = 1{,}055 \).

Terminbeløpet \( T \) for et annuitetslån er gitt ved:

\[ T = K_0 \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} = K_0 \cdot \frac{r}{1 - v^{-n}} \]

Vi beregner:

\[ v^{25} = 1{,}055^{25} \]

Vi bruker digitalt verktøy: \( 1{,}055^{25} \approx 3{,}8134 \).

\[ T = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 3{,}8134}{3{,}8134 - 1} = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}20974}{2{,}8134} \] \[ T = 2\,500\,000 \cdot 0{,}074549 \approx 186\,373 \]

De årlige terminbeløpene blir omtrent 186 373 kroner (ca. 186 400 kr).

Oppgave 3b

\(\displaystyle K_m = K_0 \cdot v^m - T \cdot \dfrac{v^m - 1}{r}\)restgjelden etter \(m\) terminer på et annuitetslånDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle T = K_0 \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)terminbeløpet \(T\) for et annuitetslån på \(K_0\) kr over \(n\) terminerDel 2: kan slås opp

Etter 5 år er restgjelden:

\[ K_5 = K_0 \cdot v^5 - T \cdot \frac{v^5 - 1}{r} \] \[ v^5 = 1{,}055^5 \approx 1{,}30696 \] \[ K_5 = 2\,500\,000 \cdot 1{,}30696 - 186\,373 \cdot \frac{1{,}30696 - 1}{0{,}055} \] \[ = 3\,267\,400 - 186\,373 \cdot \frac{0{,}30696}{0{,}055} \] \[ = 3\,267\,400 - 186\,373 \cdot 5{,}5811 \] \[ = 3\,267\,400 - 1\,040\,167 \approx 2\,227\,233 \]

Olivia låner 500 000 ekstra. Ny gjeld:

\[ K_5' = 2\,227\,233 + 500\,000 = 2\,727\,233 \]

Gjenværende nedbetalingstid er \( 25 - 5 = 20 \) år. Nytt terminbeløp:

\[ T' = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 1{,}055^{20}}{1{,}055^{20} - 1} \] \[ 1{,}055^{20} \approx 2{,}9178 \] \[ T' = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 2{,}9178}{2{,}9178 - 1} = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}16048}{1{,}9178} \] \[ T' = 2\,727\,233 \cdot 0{,}08368 \approx 228\,213 \]

De nye årlige terminbeløpene blir omtrent 228 200 kroner.

Oppgave 3c

\(\displaystyle T = K \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)annuitetsformelen, her løst med hensyn på antall terminer \(n\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle v^n = x \;\Rightarrow\; n = \dfrac{\ln x}{\ln v}\)løser eksponentiallikningen ved å ta logaritmenDel 2: kan slås opp

Olivia betaler \( T = 200\,000 \) kroner per termin med gjeld \( K_5' = 2\,727\,201 \) og rente \( r = 0{,}055 \).

Vi finner antall terminer \( n \) fra annuitetsformelen:

\[ T = K \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} \] \[ 200\,000 = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 1{,}055^n}{1{,}055^n - 1} \]

La \( x = 1{,}055^n \):

\[ 200\,000 = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}055x}{x - 1} \] \[ 200\,000(x - 1) = 149\,997{,}8 \cdot x \] \[ 200\,000x - 200\,000 = 149\,997{,}8x \] \[ 50\,002{,}2x = 200\,000 \] \[ x = \frac{200\,000}{50\,002{,}2} \approx 3{,}9998 \] \[ 1{,}055^n \approx 4{,}0 \] \[ n = \frac{\ln 4{,}0}{\ln 1{,}055} = \frac{1{,}38629}{0{,}05354} \approx 25{,}89 \]

Siden \( n \) må være et helt antall terminer, betaler Olivia i 26 år til etter utvidelsen (med en noe mindre siste termin). Regnet fra da lånet ble tatt opp blir den samlede nedbetalingstiden \( 5 + 26 = 31 \) år, altså 6 år lengre enn de opprinnelige 25 årene.

Olivia må betale i 26 år til etter utvidelsen dersom hun betaler 200 000 kroner per termin. Samlet nedbetalingstid blir da 31 år.

Oppgave 4 (4 poeng)

De fem første kubikktallene er \( 1^3, 2^3, 3^3, 4^3 \) og \( 5^3 \). La \( S_n \) være summen av de \( n \) første kubikktallene.

a) Beskriv den rekursive sammenhengen mellom \( S_n \) og \( S_{n+1} \). Bestem en eksplisitt formel for \( S_n \).

b) Lag et program som regner ut \( S_{50} \) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.

Oppgave 4a

\(\displaystyle S_{n+1} = S_n + a_{n+1}\)rekursiv sammenheng for en sum: legg til neste leddDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)summen av de \(n\) første naturlige tallene; kubikksummen er kvadratet av denneDel 2: kan slås opp

Summen av de \( n \) første kubikktallene er:

\[ S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \]

Rekursiv sammenheng:

\[ S_{n+1} = S_n + (n+1)^3 \]

med \( S_1 = 1 \).

Eksplisitt formel:

Den kjente formelen for summen av kubikktall er:

\[ S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]

Vi verifiserer for noen verdier:

\( S_1 = 1^3 = 1 \) og \(\left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1 \) ✔
\( S_2 = 1 + 8 = 9 \) og \(\left(\frac{2 \cdot 3}{2}\right)^2 = 9 \) ✔
\( S_3 = 1 + 8 + 27 = 36 \) og \(\left(\frac{3 \cdot 4}{2}\right)^2 = 36 \) ✔
\( S_4 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 \) og \(\left(\frac{4 \cdot 5}{2}\right)^2 = 100 \) ✔

Rekursiv sammenheng: \( S_{n+1} = S_n + (n+1)^3 \), \( S_1 = 1 \).

Eksplisitt formel: \(\displaystyle S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

Oppgave 4b

\(\displaystyle S_{n+1} = S_n + (n+1)^3,\quad S_1 = 1\)den rekursive sammenhengen fra oppgave a, som programmet skal brukeDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle S_n = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)eksplisitt formel for kontroll av programmets svarDel 2: kan slås opp

Et program som beregner \( S_{50} \) ved hjelp av den rekursive sammenhengen:

S = 0
for n in range(1, 51):
    S = S + n**3

print(S)

Alternativt kan vi verifisere med den eksplisitte formelen:

\[ S_{50} = \left(\frac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Programmet gir \( S_{50} = 1\,625\,625 \).

Oppgave 5 (4 poeng)

Svein har en kurv med røde og blå baller. Det er like mange baller av hver farge i kurven. Svein tar 15 baller tilfeldig fra kurven. Han ser etterpå at han trakk 9 røde og 6 blå baller.

a) Bestem sannsynligheten for at han får dette resultatet dersom han starter med 30 baller i kurven.

b) Hva er det mest sannsynlige antallet baller som lå i kurven?

Oppgave 5a

\(\displaystyle P(X = k) = \dfrac{\binom{R}{k} \cdot \binom{B}{n-k}}{\binom{R+B}{n}}\)hypergeometrisk: \(k\) røde når \(n\) trekkes uten tilbakelegging fra \(R\) røde og \(B\) blåDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)antall måter å velge \(k\) av \(n\) på (nCr på kalkulatoren)Del 2: kan slås opp

Med 30 baller totalt (15 røde og 15 blå), og vi trekker 15 baller uten tilbakelegging. Antallet røde baller \( X \) er hypergeometrisk fordelt.

\[ P(X = 9) = \frac{\binom{15}{9} \cdot \binom{15}{6}}{\binom{30}{15}} \]

Vi beregner:

\[ \binom{15}{9} = \binom{15}{6} = \frac{15!}{9! \cdot 6!} = 5005 \] \[ \binom{30}{15} = 155\,117\,520 \] \[ P(X = 9) = \frac{5005 \cdot 5005}{155\,117\,520} = \frac{25\,050\,025}{155\,117\,520} \approx 0{,}1615 \]

\( P(X = 9) \approx 0{,}161 \) (ca. 16,1 %).

Oppgave 5b

\(\displaystyle P(X = k) = \dfrac{\binom{N}{k} \cdot \binom{N}{n-k}}{\binom{2N}{n}}\)hypergeometrisk med \(N\) røde og \(N\) blå baller og \(n\) trekkDel 2: kan slås opp

La \( 2N \) være det totale antallet baller i kurven (\( N \) røde og \( N \) blå). Vi trekker 15 baller, derav 9 røde og 6 blå. Vi trenger \( 2N \geq 15 \) (det må være nok baller å trekke) og \( N \geq 9 \) (det må være minst 9 røde). Kravet \( N \geq 9 \) er det strengeste.

Sannsynligheten for å trekke 9 røde av \( N \) røde og 6 blå av \( N \) blå er:

\[ P(X = 9 \mid 2N \text{ baller}) = \frac{\binom{N}{9} \cdot \binom{N}{6}}{\binom{2N}{15}} \]

Vi beregner dette for ulike verdier av \( N \) og finner den som gir størst sannsynlighet:

\( N \)	\( 2N \)	\( P(X = 9) \)
15	30	0,16149
16	32	0,16194
17	34	0,16210
18	36	0,16210
19	38	0,16200
20	40	0,16184
25	50	0,16075
30	60	0,15970

Ved nøyaktig beregning (CAS) viser det seg at \( N = 17 \) og \( N = 18 \) gir nøyaktig samme sannsynlighet. For eksempel:

\[ P(X = 9 \mid N = 17) = \frac{\binom{17}{9}\binom{17}{6}}{\binom{34}{15}} = \frac{24310 \cdot 12376}{1\,855\,967\,520} \approx 0{,}16210 \] \[ P(X = 9 \mid N = 18) = \frac{\binom{18}{9}\binom{18}{6}}{\binom{36}{15}} = \frac{48620 \cdot 18564}{5\,567\,902\,560} \approx 0{,}16210 \]

Begge er lik \(\frac{20111}{124062}\). For alle andre verdier av \( N \) er sannsynligheten lavere.

Det mest sannsynlige antallet baller i kurven er enten 34 (17 av hver farge) eller 36 (18 av hver farge). Begge gir nøyaktig samme sannsynlighet.

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2024

Eksamen REA3062

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave 1a

\(\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1\)potensregelen for integrasjon: øk eksponenten med 1 og del på den nyeMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)bestemt integral: antiderivert \(F\) i øvre grense \(b\) minus i nedre grense \(a\)Må kunnes (del 1)

Vi skal beregne

\[ \int_{-1}^{0} (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x \]

Vi finner antiderivert:

\[ \int (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x = -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + C \]

Vi setter inn grensene:

\(\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{5}{4}\)

Oppgave 1b

\(\displaystyle \begin{aligned} A &= \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{når } f(x) \ge 0 \\ A &= -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{når } f(x) \le 0 \end{aligned}\)areal: under \(x\)-aksen skifter integralet fortegn, så del opp ved nullpunkteneMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\)bestemt integral: antiderivert \(F\) i øvre grense \(b\) minus i nedre grense \(a\)Må kunnes (del 1)

Vi skal finne arealet av området avgrenset av grafen til \( f(x) = -x^3 + 3x \), \( x \)-aksen og linjene \( x = -1 \) og \( x = 1 \).

Først finner vi nullpunktene til \( f \) i intervallet \([-1, 1]\):

\[ -x^3 + 3x = 0 \implies x(-x^2 + 3) = 0 \implies x = 0 \;\text{ (i intervallet)} \]

Vi undersøker fortegnet til \( f \):

For \( x \in [-1, 0] \): \( f(-0{,}5) = -(-0{,}125) + 3(-0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 = -1{,}375 < 0 \)
For \( x \in [0, 1] \): \( f(0{,}5) = -(0{,}125) + 1{,}5 = 1{,}375 > 0 \)

Arealet blir:

\[ A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x \]

Fra oppgave a) vet vi at \(\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{5}{4}\).

Vi regner ut det andre integralet:

\[ \int_{0}^{1} (-x^3 + 3x)\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) - 0 = \frac{5}{4} \]

Dermed:

\[ A = \left|-\frac{5}{4}\right| + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]

Arealet er \(\displaystyle \frac{5}{2} = 2{,}5\).

Oppgave 2 (2 poeng)

\(\displaystyle \int h\big(u(x)\big)\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x = \int h(u)\,\mathrm{d}u\)integrasjon ved substitusjon: sett \(u\) lik kjernen, \(\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle \int u^n\,\mathrm{d}u = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1\)potensregelen for integrasjon, brukt på den nye variabelen \(u\)Må kunnes (del 1)

Regn ut integralet \(\displaystyle \int (x^2+1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x\).

Vi bruker substitusjon. La \( u = x^2 + 1 \). Da er \( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \), altså \( \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x \).

Integralet blir:

\[ \int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x = \int u^3\,\mathrm{d}u = \frac{u^4}{4} + C \]

Vi substituerer tilbake:

\(\displaystyle \int (x^2+1)^3 \cdot 2x\,\mathrm{d}x = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C\)

Oppgave 3 (4 poeng)

En elev har laget følgende program:

n = 0
S = 0

while S <= 200:
    n = n + 1
    S = S + 4*n - 2

print(n)

a) Forklar hva eleven prøver å finne ut.

b) Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.

Oppgave 3a

\(\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d\)ledd nummer \(n\) i en aritmetisk rekkeMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big)\)summen av de \(n\) første leddene i en aritmetisk rekkeMå kunnes (del 1)

Vi ser på hva som skjer i løkken. For hver runde øker \( n \) med 1, og \( S \) øker med \( 4n - 2 \).

Leddene som legges til \( S \) er:

\( n = 1 \): \( 4 \cdot 1 - 2 = 2 \)
\( n = 2 \): \( 4 \cdot 2 - 2 = 6 \)
\( n = 3 \): \( 4 \cdot 3 - 2 = 10 \)
osv.

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd \( a_1 = 2 \) og differanse \( d = 4 \). Summen av de \( n \) første leddene er:

\[ S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 4) = \frac{n}{2}(4n) = 2n^2 \]

Programmet finner det minste \( n \) slik at summen \( S_n = 2n^2 \) overstiger 200. Altså det minste \( n \) slik at \( 2n^2 > 200 \), dvs. \( n^2 > 100 \).

Eleven prøver å finne det minste antallet ledd \( n \) i den aritmetiske rekken \( 2 + 6 + 10 + \cdots \) (med \( a_1 = 2 \) og \( d = 4 \)) slik at summen overstiger 200.

Oppgave 3b

\(\displaystyle S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a_1 + (n-1)d\big)\)summen av de \(n\) første leddene, her \(S_n = 2n^2\)Må kunnes (del 1)

Vi trenger det minste \( n \) slik at \( 2n^2 > 200 \), altså \( n^2 > 100 \), dvs. \( n > 10 \).

Vi kan også verifisere ved å kjøre gjennom løkken. Løkken fortsetter så lenge \( S \leq 200 \). Etter løkken skrives \( n \) ut.

For \( n = 10 \): \( S = 2 \cdot 10^2 = 200 \). Siden \( S \leq 200 \), kjøres løkken en gang til.

For \( n = 11 \): \( S = 200 + 4 \cdot 11 - 2 = 200 + 42 = 242 \). Nå er \( S > 200 \), og løkken stopper.

Programmet skriver ut \( n = 11 \).

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(X > a) = 1 - P(X \le a)\)komplementet: tabellen gir sannsynligheten for «mindre enn eller lik»Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849\)tabellverdien som ligger nærmest \(0{,}885\), altså \(z = 1{,}20\)I vedlegget

La \( X \) være vekten til en vilkårlig laks. Vi har \( X \sim N(\mu, \sigma) \) der \( \mu = 4700 \).

Vi vet at \( P(X > 5300) = 0{,}115 \), altså \( P(X \leq 5300) = 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \).

Vi standardiserer:

\[ P\left(Z \leq \frac{5300 - 4700}{\sigma}\right) = 0{,}885 \]

Fra normalfordelingstabellen finner vi at \( P(Z \leq 1{,}20) \approx 0{,}8849 \approx 0{,}885 \).

Dermed:

\[ \frac{5300 - 4700}{\sigma} = 1{,}20 \implies \frac{600}{\sigma} = 1{,}20 \implies \sigma = \frac{600}{1{,}20} = 500 \]

Standardavviket er \( \sigma = 500 \) gram.

Oppgave 4b

\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)\)symmetrien i normalfordelingen, nyttig for negative \(z\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446\)tabellverdien for standard normalfordelingI vedlegget

Vi skal finne \( P(X < 4500) \) der \( X \sim N(4700,\, 500) \).

Vi standardiserer:

\[ P(X < 4500) = P\left(Z < \frac{4500 - 4700}{500}\right) = P(Z < -0{,}40) \]

Fra normalfordelingstabellen:

\[ P(Z < -0{,}40) = 0{,}3446 \]

\( P(X < 4500) \approx 0{,}3446 \approx 34{,}5\,\% \)

Oppgave 5 (2 poeng)

\(\displaystyle E(x) = \dfrac{K(x)}{x}\)enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheterMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)brøkregelen: \(u\) er telleren og \(v\) nevnerenMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle E'(x_0) = 0\)i bunnpunktet til \(E\) er den deriverte nullMå kunnes (del 1)

Enhetskostnaden er definert som:

\[ E(x) = \frac{K(x)}{x} \]

For å finne minimum av \( E(x) \) deriverer vi og setter lik null. Vi bruker brøkregelen:

\[ E'(x) = \frac{K'(x) \cdot x - K(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2} \]

I minimumspunktet \( x = x_0 \) har vi \( E'(x_0) = 0 \):

\[ \frac{K'(x_0) \cdot x_0 - K(x_0)}{x_0^2} = 0 \]

Siden \( x_0^2 \neq 0 \) (vi produserer enheter), må telleren være null:

\[ K'(x_0) \cdot x_0 - K(x_0) = 0 \] \[ K'(x_0) = \frac{K(x_0)}{x_0} = E(x_0) \]

Vi har vist at grensekostnaden \( K'(x_0) \) er lik enhetskostnaden \( E(x_0) \) for \( x = x_0 \).

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave 6a

\(\displaystyle E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\)forventningsverdi: hver mulig verdi \(x_i\) ganget med sannsynligheten, summertMå kunnes (del 1)

Terningen har seks like sannsynlige utfall: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \), hver med sannsynlighet \( \frac{1}{6} \).

\[ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \]

\( E(X) = 3{,}5 \)

Oppgave 6b

\(\displaystyle \begin{aligned} E(S_n) &= n \cdot E(X) \\ SD(S_n) &= \sqrt{n} \cdot SD(X) \end{aligned}\)forventning og standardavvik for summen av \(n\) uavhengige kastMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle Z = \dfrac{S_n - E(S_n)}{SD(S_n)}\)standardiserer summen, som er tilnærmet normalfordelt for stor \(n\)Må kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(-1 < Z < 1) \approx 0{,}68\)omtrent 68 % av en normalfordeling ligger innenfor ett standardavvik fra forventningenMå kunnes (del 1)
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}00) = 0{,}8413\)tabellverdien som bekrefter \(z_0 \approx 1{,}0\)I vedlegget

La \( n \) være antall kast, og la \( S_n \) være summen av antall øyne fra \( n \) kast.

Forventningsverdi og standardavvik for summen:

\[ E(S_n) = n \cdot E(X) = 3{,}5n \] \[ SD(S_n) = \sqrt{n} \cdot SD(X) = 1{,}7\sqrt{n} \]

For stort \( n \) er \( S_n \) tilnærmet normalfordelt (sentralgrensesetningen). Vi ønsker:

\[ P(|S_n - E(S_n)| > 17) \approx 0{,}32 \]

Altså:

\[ P(|S_n - 3{,}5n| > 17) = 0{,}32 \]

Vi standardiserer. La \( Z = \frac{S_n - 3{,}5n}{1{,}7\sqrt{n}} \). Da:

\[ P\left(|Z| > \frac{17}{1{,}7\sqrt{n}}\right) = 0{,}32 \]

Dersom \( P(|Z| > z_0) = 0{,}32 \), betyr det at \( P(-z_0 < Z < z_0) = 0{,}68 \), altså \( P(Z < z_0) = 0{,}84 \).

Vi setter opp ligningen:

\[ \frac{17}{1{,}7\sqrt{n}} = 1{,}0 \] \[ 1{,}7\sqrt{n} = 17 \] \[ \sqrt{n} = \frac{17}{1{,}7} = 10 \] \[ n = 100 \]

Verifikasjon: Med \( z_0 = 1{,}0 \) gir tabellen \( P(Z < 1{,}0) = 0{,}8413 \), slik at \( P(|Z| > 1{,}0) = 2(1 - 0{,}8413) = 0{,}3174 \approx 0{,}32 \). Dette stemmer godt.

Hilde må kaste terningen \( n = 100 \) ganger.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a

\(\displaystyle f(t) = \dfrac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\)modellen for antall solgte enheter per ukeGitt i oppgaven
\(\displaystyle f(t) = \dfrac{M}{1 + a e^{-bt}} \text{ vokser raskest når } f(t) = \dfrac{M}{2}\)logistisk vekst er raskest i vendepunktet, halvveis til bæreevnen \(M\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle f'(t_{\max}) = \dfrac{Mb}{4}\)største vekstfart i en logistisk modellDel 2: kan slås opp

Funksjonen \( f(t) = \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}} \) er en logistisk vekstmodell med kapasitet \( M = 700 \).

For en logistisk modell vokser funksjonen raskest når \( f(t) = \frac{M}{2} \), altså når:

Altså økte salget raskest etter omtrent 25 uker.

Den maksimale vekstraten finner vi ved å beregne \( f'(t) \) i dette punktet. For en logistisk modell \( f(t) = \frac{M}{1 + ae^{-bt}} \) er den maksimale vekstraten:

\[ f'(t_{\max}) = \frac{Mb}{4} = \frac{700 \cdot 0{,}12}{4} = \frac{84}{4} = 21 \]

Salget økte raskest etter omtrent 25 uker. Da økte salget med 21 enheter per uke.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer den logistiske modellen: f(t) := 700 / (1 + 20 * e^(-0.12 * t))
Beregn samlet salg over 52 uker: Numerisk(Integral(f, 0, 52)) → gir \(\approx 18\,863\) enheter

Oppgave 1b

\(\displaystyle f(t) = \dfrac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\)modellen for antall solgte enheter per ukeGitt i oppgaven
\(\displaystyle \text{samlet salg} = \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\)integralet av salget per uke gir samlet salg de første \(T\) ukeneDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)\)bestemt integral med antiderivert \(F\)Del 2: kan slås opp

Det samlede salget etter \( T \) uker er gitt ved:

\[ \int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^T \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\,\mathrm{d}t \]

Vi må finne \( T \) slik at dette integralet er lik 2000.

CAS gir at en antiderivert av \( f(t) \) er:

\[ F(t) = 700t + \frac{700}{0{,}12}\ln(1 + 20e^{-0{,}12t}) \]

Vi løser ligningen \( F(T) - F(0) = 2000 \) med CAS og får:

\[ T \approx 18{,}8 \text{ uker} \]

Vi kan verifisere med noen verdier:

\( T = 10 \): \(\displaystyle \int_0^{10} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 611 \) (for lite)
\( T = 18 \): \(\displaystyle \int_0^{18} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 1816 \) (for lite)
\( T = 19 \): \(\displaystyle \int_0^{19} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 2037 \) (passert 2000)

Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent \( T \approx 18{,}8 \) uker (ca. 4,5 måneder).

Oppgave 1c

\(\displaystyle \text{samlet salg} = \int_0^{52} f(t)\,\mathrm{d}t\)samlet salg det første året (52 uker)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{pris per enhet} = \dfrac{\text{inntekt}}{\text{antall solgte enheter}}\)gjennomsnittlig pris per solgte enhetDel 2: kan slås opp

Det første året er 52 uker. Vi finner det samlede salget over 52 uker med CAS:

\[ \text{Totalt salg} = \int_0^{52} \frac{700}{1 + 20e^{-0{,}12t}}\,\mathrm{d}t \]

Vi bruker antiderivert fra oppgave b:

Det samlede salget er ca. 18 864 enheter det første året. Inntekten er 1 000 000 kroner.

\[ \text{Pris per enhet} = \frac{1\,000\,000}{18\,863} \approx 53 \text{ kr} \]

Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kroner per enhet.

Oppgave 2 (6 poeng)

Et smertestillende legemiddel, A, er tilgjengelig på markedet. Legemiddelet demper smerte for mange pasienter, men ikke for alle.

Sannsynligheten for at legemiddel A virker på en pasient, er 75 %.
Vi tester legemiddel A på \( n \) pasienter.
Legemiddel A virker på \( X \) av disse pasientene.

a) Hvilken sannsynlighetsfordeling har \( X \)? Begrunn svaret ditt. Regn ut \( P(X = 9) \) når \( n = 12 \).

Et nytt legemiddel, B, skal også dempe smerte hos pasienter.

Legemiddel B er testet ut på 10 pasienter.
Legemiddel B virket på 9 av disse 10 pasientene.

Oppgave 2a

\(\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\)binomisk sannsynlighet for nøyaktig \(k\) suksesser i \(n\) forsøkDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)antall måter å velge \(k\) av \(n\) på (nCr på kalkulatoren)Del 2: kan slås opp

Dermed er \( X \) binomisk fordelt:

\[ X \sim \text{Bin}(n,\; 0{,}75) \]

For \( n = 12 \):

\[ P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 \] \[ = 220 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 \] \[ = 220 \cdot 0{,}075085 \cdot 0{,}015625 \] \[ = 220 \cdot 0{,}001174 \approx 0{,}2581 \]

\( X \sim \text{Bin}(n,\; 0{,}75) \) (binomisk fordeling).
\( P(X = 9) \approx 0{,}258 \)

Oppgave 2b

\(\displaystyle p\text{-verdi} = P(X \ge x_{\text{obs}}) \text{ når } H_0 \text{ er sann}\)ensidig test mot høyre: sannsynligheten for observert verdi \(x_{\text{obs}}\) eller merDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{forkast } H_0 \text{ når } p\text{-verdi} < \alpha\)beslutningsregelen i hypotesetesten, her \(\alpha = 0{,}05\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}\)binomisk sannsynlighet for nøyaktig \(k\) suksesser i \(n\) forsøkDel 2: kan slås opp

Vi setter opp en hypotesetest:

Nullhypotese \( H_0 \): \( p = 0{,}75 \) (B virker ikke bedre enn A)
Alternativ hypotese \( H_1 \): \( p > 0{,}75 \) (B virker bedre enn A)

Signifikansnivå: \( \alpha = 0{,}05 \).

Under \( H_0 \) er \( X \sim \text{Bin}(10,\; 0{,}75) \). Vi observerer \( X = 9 \).

Vi beregner \( p \)-verdien (ensidig test, høyre side):

Siden \( p \)-verdien \( 0{,}244 > 0{,}05 = \alpha \), forkaster vi ikke \( H_0 \).

\( p \)-verdien er omtrent 0,244, som er langt over signifikansnivået 0,05. Vi kan ikke konkludere med at legemiddel B virker med høyere sannsynlighet enn legemiddel A.

Oppgave 2c

\(\displaystyle \begin{aligned} \mu &= np \\ \sigma &= \sqrt{np(1-p)} \end{aligned}\)forventning og standardavvik i en binomisk fordelingDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)standardiserer \(X\), så sannsynligheten kan slås opp i tabellen for \(Z\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle \text{forkast } H_0 \text{ når } Z > z_{0{,}05}\)beslutningsregelen for ensidig test mot høyre med signifikansnivå 5 %Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle P(Z \le 1{,}645) \approx 0{,}95 \;\Rightarrow\; z_{0{,}05} = 1{,}645\)kritisk verdi: ligger mellom tabellverdiene for \(z = 1{,}64\) og \(z = 1{,}65\)I vedlegget

Nå testes legemiddel B på \( n = 200 \) pasienter. Vi beholder hypotesene:

\( H_0 \): \( p = 0{,}75 \)
\( H_1 \): \( p > 0{,}75 \)

Under \( H_0 \): \( X \sim \text{Bin}(200,\; 0{,}75) \).

Med \( n = 200 \) kan vi bruke normalapproksimasjon:

\[ \mu = np = 200 \cdot 0{,}75 = 150 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}124 \]

For ensidig test med \( \alpha = 0{,}05 \) er den kritiske verdien \( z_{0{,}05} = 1{,}645 \).

Vi forkaster \( H_0 \) dersom:

\[ \frac{X - 150}{6{,}124} > 1{,}645 \] \[ X > 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 = 150 + 10{,}07 = 160{,}07 \]

Siden \( X \) er et heltall, må \( X \geq 161 \).

Legemiddel B må virke på minst 161 av 200 pasienter for at vi skal kunne konkludere med at B virker med høyere sannsynlighet enn A (på 5 % signifikansnivå).

Oppgave 3 (6 poeng)

Oppgave 3a

\(\displaystyle T = K_0 \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)terminbeløpet \(T\) for et annuitetslån på \(K_0\) kr over \(n\) terminerDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle K_0 = \dfrac{T}{v} + \dfrac{T}{v^2} + \cdots + \dfrac{T}{v^n}\)lånebeløpet er summen av nåverdiene av alle terminbeløpene (geometrisk rekke)Del 2: kan slås opp

Vi bruker annuitetsformelen. La \( K_0 = 2\,500\,000 \), \( r = 0{,}055 \) og \( n = 25 \).

Vekstfaktoren er \( v = 1 + r = 1{,}055 \).

Terminbeløpet \( T \) for et annuitetslån er gitt ved:

\[ T = K_0 \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} = K_0 \cdot \frac{r}{1 - v^{-n}} \]

Vi beregner:

\[ v^{25} = 1{,}055^{25} \]

Vi bruker digitalt verktøy: \( 1{,}055^{25} \approx 3{,}8134 \).

\[ T = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 3{,}8134}{3{,}8134 - 1} = 2\,500\,000 \cdot \frac{0{,}20974}{2{,}8134} \] \[ T = 2\,500\,000 \cdot 0{,}074549 \approx 186\,373 \]

De årlige terminbeløpene blir omtrent 186 373 kroner (ca. 186 400 kr).

Oppgave 3b

\(\displaystyle K_m = K_0 \cdot v^m - T \cdot \dfrac{v^m - 1}{r}\)restgjelden etter \(m\) terminer på et annuitetslånDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle T = K_0 \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)terminbeløpet \(T\) for et annuitetslån på \(K_0\) kr over \(n\) terminerDel 2: kan slås opp

Etter 5 år er restgjelden:

Olivia låner 500 000 ekstra. Ny gjeld:

\[ K_5' = 2\,227\,233 + 500\,000 = 2\,727\,233 \]

Gjenværende nedbetalingstid er \( 25 - 5 = 20 \) år. Nytt terminbeløp:

De nye årlige terminbeløpene blir omtrent 228 200 kroner.

Oppgave 3c

\(\displaystyle T = K \cdot \dfrac{r \cdot v^n}{v^n - 1},\quad v = 1 + r\)annuitetsformelen, her løst med hensyn på antall terminer \(n\)Del 2: kan slås opp
\(\displaystyle v^n = x \;\Rightarrow\; n = \dfrac{\ln x}{\ln v}\)løser eksponentiallikningen ved å ta logaritmenDel 2: kan slås opp

Olivia betaler \( T = 200\,000 \) kroner per termin med gjeld \( K_5' = 2\,727\,201 \) og rente \( r = 0{,}055 \).

Vi finner antall terminer \( n \) fra annuitetsformelen:

\[ T = K \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} \] \[ 200\,000 = 2\,727\,233 \cdot \frac{0{,}055 \cdot 1{,}055^n}{1{,}055^n - 1} \]

La \( x = 1{,}055^n \):

Olivia må betale i 26 år til etter utvidelsen dersom hun betaler 200 000 kroner per termin. Samlet nedbetalingstid blir da 31 år.

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

\(\displaystyle S_{n+1} = S_n + a_{n+1}\)rekursiv sammenheng for en sum: legg til neste leddDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)summen av de \(n\) første naturlige tallene; kubikksummen er kvadratet av denneDel 2: kan slås opp

Summen av de \( n \) første kubikktallene er:

\[ S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \]

Rekursiv sammenheng:

\[ S_{n+1} = S_n + (n+1)^3 \]

med \( S_1 = 1 \).

Eksplisitt formel:

Den kjente formelen for summen av kubikktall er:

\[ S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]

Vi verifiserer for noen verdier:

\( S_1 = 1^3 = 1 \) og \(\left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1 \) ✔
\( S_2 = 1 + 8 = 9 \) og \(\left(\frac{2 \cdot 3}{2}\right)^2 = 9 \) ✔
\( S_3 = 1 + 8 + 27 = 36 \) og \(\left(\frac{3 \cdot 4}{2}\right)^2 = 36 \) ✔
\( S_4 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 \) og \(\left(\frac{4 \cdot 5}{2}\right)^2 = 100 \) ✔

Rekursiv sammenheng: \( S_{n+1} = S_n + (n+1)^3 \), \( S_1 = 1 \).

Eksplisitt formel: \(\displaystyle S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

Oppgave 4b

\(\displaystyle S_{n+1} = S_n + (n+1)^3,\quad S_1 = 1\)den rekursive sammenhengen fra oppgave a, som programmet skal brukeDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle S_n = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)eksplisitt formel for kontroll av programmets svarDel 2: kan slås opp

Et program som beregner \( S_{50} \) ved hjelp av den rekursive sammenhengen:

S = 0
for n in range(1, 51):
    S = S + n**3

print(S)

Alternativt kan vi verifisere med den eksplisitte formelen:

\[ S_{50} = \left(\frac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Programmet gir \( S_{50} = 1\,625\,625 \).

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave 5a

\(\displaystyle P(X = k) = \dfrac{\binom{R}{k} \cdot \binom{B}{n-k}}{\binom{R+B}{n}}\)hypergeometrisk: \(k\) røde når \(n\) trekkes uten tilbakelegging fra \(R\) røde og \(B\) blåDel 2: kan slås opp
\(\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)antall måter å velge \(k\) av \(n\) på (nCr på kalkulatoren)Del 2: kan slås opp

Med 30 baller totalt (15 røde og 15 blå), og vi trekker 15 baller uten tilbakelegging. Antallet røde baller \( X \) er hypergeometrisk fordelt.

\[ P(X = 9) = \frac{\binom{15}{9} \cdot \binom{15}{6}}{\binom{30}{15}} \]

Vi beregner:

\( P(X = 9) \approx 0{,}161 \) (ca. 16,1 %).

Oppgave 5b

\(\displaystyle P(X = k) = \dfrac{\binom{N}{k} \cdot \binom{N}{n-k}}{\binom{2N}{n}}\)hypergeometrisk med \(N\) røde og \(N\) blå baller og \(n\) trekkDel 2: kan slås opp

Sannsynligheten for å trekke 9 røde av \( N \) røde og 6 blå av \( N \) blå er:

\[ P(X = 9 \mid 2N \text{ baller}) = \frac{\binom{N}{9} \cdot \binom{N}{6}}{\binom{2N}{15}} \]

Vi beregner dette for ulike verdier av \( N \) og finner den som gir størst sannsynlighet:

\( N \)	\( 2N \)	\( P(X = 9) \)
15	30	0,16149
16	32	0,16194
17	34	0,16210
18	36	0,16210
19	38	0,16200
20	40	0,16184
25	50	0,16075
30	60	0,15970

Ved nøyaktig beregning (CAS) viser det seg at \( N = 17 \) og \( N = 18 \) gir nøyaktig samme sannsynlighet. For eksempel:

Begge er lik \(\frac{20111}{124062}\). For alle andre verdier av \( N \) er sannsynligheten lavere.

Det mest sannsynlige antallet baller i kurven er enten 34 (17 av hver farge) eller 36 (18 av hver farge). Begge gir nøyaktig samme sannsynlighet.

Løsningsforslag Matematikk S2Vår 2024

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2024

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 2 (6 poeng)

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 3 (6 poeng)

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Løsningsforslag Matematikk S2Vår 2024

Løsningsforslag – Matematikk S2 Vår 2024

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 2 (2 poeng)

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5 (2 poeng)

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave 6a

Oppgave 6b

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 2 (6 poeng)

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 3 (6 poeng)

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a

Oppgave 4b

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave 5a

Oppgave 5b