Løsningsforslag – Matematikk S2 Høst 2024

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a)

Vi bruker delvis integrasjon med formelen \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).

Vi velger:

Delvis integrasjon gir:

Oppgave 1b)

Vi regner først ut integralet:

Vi setter dette lik null:

Dette gir \(x = 0\), \(x = 1\) eller \(x = -1\).

Siden vi har kravet \(x > -1\), forkaster vi \(x = -1\).

Oppgave 1c)

Integralet \(\displaystyle \int_{-1}^{x} (3t^2 - 1)\,dt\) representerer det totale arealet (med fortegn) mellom grafen til \(f(t) = 3t^2 - 1\) og \(t\)-aksen, fra \(t = -1\) til \(t = x\).

At integralet er lik null betyr at det positive arealet (der \(f(t) > 0\)) er like stort som det negative arealet (der \(f(t) < 0\)) i intervallet fra \(t = -1\) til \(t = x\).

Oppgave 2 (6 poeng)

Oppgave 2a)

Vi identifiserer:

• Første ledd: \(a_1 = 3\)
• Differanse: \(d = 7 - 3 = 4\)
• Siste ledd: \(a_n = 399\)

Vi finner antall ledd \(n\):

Summen av en aritmetisk rekke:

Oppgave 2b)

Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved:

Vi setter inn:

Sjekk: \(|k| = \frac{1}{3} < 1\), så rekken konvergerer.

Oppgave 2c)

Vi skriver:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med:

• Første ledd: \(a_1 = \dfrac{75}{100}\)
• Kvotient: \(k = \dfrac{1}{100}\)

Siden \(|k| = \frac{1}{100} < 1\), konvergerer rekken, og summen er:

Dermed:

Oppgave 3 (2 poeng)

Vise at \(b = 6\):

Forventningsverdien er:

Vi setter \(E(X) = 2\):

Bestemme \(\text{Var}(X)\):

Vi bruker formelen \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\).

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a)

Antall frø som spirer kan modelleres som en binomisk stokastisk variabel \(X\) med \(n = 1000\) og \(p = 0{,}70\).

Forventningsverdien er:

Standardavviket er:

Siden \(n\) er stor, kan vi tilnærme med normalfordelingen. Kurven skal ha:

• Topp ved \(x = 700\)
• Standardavvik \(\sigma \approx 14{,}5\), altså en smal klokkeform rundt 700

Oppgave 4b)

Normalfordelingen med \(\mu = 50\) og \(\sigma = 10\):

• Toppen skal ligge ved \(x = 50\)
• Ca. 99,7 % av verdiene ligger innenfor \(\mu \pm 3\sigma\), altså mellom 20 og 80

Figur 3 er tegnet på en akse fra 10 til 90. Kurven dekker altså om lag \(50 \pm 40 = 50 \pm 4\sigma\), og selve klokkeformen faller av mot null rundt \(50 \pm 3\sigma\). Dette stemmer godt.

Figur 4 er tegnet på en akse fra 30 til 70, altså bare \(50 \pm 20 = 50 \pm 2\sigma\). Kurven faller av mot null allerede innenfor dette området; standardavviket i Figur 4 er om lag 5, ikke 10. Figur 4 kan derfor ikke vise denne fordelingen.

Oppgave 5 (4 poeng)

Oppgave 5a)

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

Enhetskostnaden er kostnad per enhet:

Vi setter grensekostnad lik enhetskostnad:

Praktisk tolkning: Enhetskostnaden er lavest når den er lik grensekostnaden. Når bedriften produserer 100 enheter, er gjennomsnittskostnaden per enhet på sitt minimum. Det er det mest kostnadseffektive produksjonsnivået.

Oppgave 5b)

Inntekten er \(I(x) = 400x\).

Overskuddet er:

Overskuddet er størst der \(O'(x) = 0\):

Ettersom \(O''(x) = -0{,}6 < 0\), er dette et maksimumspunkt.

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Oppgave 1a)

Vi beregner modellverdiene for hvert datapunkt:

Sammenligning:

\(t\)	Observert	Modell
1	14	14,7
5	32	33,4
10	80	74,2
15	115	117,2
20	145	142,1

Modellverdiene stemmer godt overens med de observerte verdiene.

Hvorfor denne modelltypen passer godt: Dette er en logistisk vekstmodell. Den har en S-formet kurve som:

• Starter lavt (Marco løper lite i starten)
• Vokser raskt i midtfasen (treningen gir god effekt)
• Flater ut mot en øvre grense (kroppen har en fysisk grense for hvor mange kilometer man kan løpe per uke)

Oppgave 1b)

Den raskeste økningen tilsvarer vendepunktet til \(L(t)\). For en logistisk funksjon av typen \(\dfrac{M}{1 + ae^{-bt}}\) ligger vendepunktet der \(L = \dfrac{M}{2}\).

Vi finner tilhørende \(t\):

Vi finner økningen (vekstraten) ved vendepunktet. Vi deriverer \(L(t)\):

Ved vendepunktet (\(t \approx 10{,}4\)) har vi \(12{,}21\,e^{-0{,}24t} = 1\), slik at nevneren er \((1+1)^2 = 4\), og \(e^{-0{,}24t} = \frac{1}{12{,}21}\):

Oppgave 1c)

Det totale antall kilometer etter \(T\) uker er gitt ved integralet:

Dette integralet løses med digitale verktøy (CAS). Vi søker \(T\) slik at integralet blir 500.

Ved numerisk beregning finner vi:

Gjennomsnittlig antall kilometer per uke:

Oppgave 2 (4 poeng)

Oppgave 2a)

La \(X\) være antall menn blant de 20 inviterte.

Hypoteser:

Hvorfor hypergeometrisk fordeling?

Den hypergeometriske fordelingen brukes fordi:

• Vi trekker uten tilbakelegging fra en endelig populasjon (100 søkere)
• Populasjonen er delt i to grupper (40 menn og 60 kvinner)
• Vi trekker et fast antall (20 personer) og teller antall av en bestemt type (menn)

Binomisk fordeling ville vært passende ved trekning med tilbakelegging, men her velges personer uten tilbakelegging fra en relativt liten populasjon.

Oppgave 2b)

Under \(H_0\) er \(X\) hypergeometrisk fordelt med parametere:

• \(N = 100\) (totalt antall søkere)
• \(M = 40\) (antall menn)
• \(n = 20\) (antall inviterte)

Forventet antall menn under \(H_0\):

Vi observerte 12 menn. Siden \(H_1\) påstår at ledelsen velger bevisst flere menn, gjennomfører vi en ensidig test (høyresidig). Vi beregner:

Den hypergeometriske sannsynligheten er:

Ved bruk av digitale verktøy beregner vi:

Siden \(P(X \geq 12) \approx 0{,}038 < 0{,}05\) (signifikansnivået), forkaster vi \(H_0\).

Oppgave 3 (4 poeng)

Oppgave 3a)

Vi har en geometrisk rekke med første ledd \(a_1 = 1\) og kvotient \(k = \ln x - 1\).

For \(x = \dfrac{1}{e}\):

Rekken konvergerer kun dersom \(|k| < 1\). Her er \(|k| = |-2| = 2 > 1\).

Oppgave 3b)

Vi finner skjæringspunktene mellom \(f\) og \(g\):

Skjæringspunktene er \(x = 0\) og \(x^2 = a+1\).

For \(a > -1\) har vi \(a + 1 > 0\), slik at det finnes to reelle løsninger \(x = \pm\sqrt{a+1}\). Vi har altså tre skjæringspunkter: \(x = -\sqrt{a+1}\), \(x = 0\), og \(x = \sqrt{a+1}\).

Differansefunksjonen er:

La \(c = \sqrt{a+1}\). Differansefunksjonen er \(h(x) = x^3 - c^2 x = x(x-c)(x+c)\).

Vi sjekker at \(h\) er en oddefunksjon: \(h(-x) = (-x)^3 - c^2(-x) = -\big(x^3 - c^2x\big) = -h(x)\).

Integralet over det ene området:

Og over det andre:

Siden \(h(x)\) er en oddefunksjon, har vi:

Altså er integralene over de to delintervallene like store i absoluttverdi, men med motsatt fortegn. Det betyr at de to områdene avgrenset av \(f\) og \(g\) mellom \(x = -c\) og \(x = 0\), og mellom \(x = 0\) og \(x = c\), har samme areal.

Oppgave 4 (4 poeng)

Oppgave 4a)

Vi studerer differansene mellom påfølgende ledd:

Ledd \(a_n\)	1	2	6	15	31	56
1. differanse		1	4	9	16	25

Differansene er \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\), altså \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \ldots\)

Dermed:

Oppgave 4b)

Et Python-program som løser oppgaven:

a = 1
s = a

for n in range(1, 30):
    a = a + n**2
    s = s + a

print("Summen av de 30 første leddene:", s)
    

Resultat av kjøringen:

Summen av de 30 første leddene: 67455
    

Forklaring: Vi starter med \(a_1 = 1\) og \(s = 1\). For \(n = 1, 2, \ldots, 29\) oppdaterer vi \(a\) med formelen \(a_{n+1} = a_n + n^2\) og legger det nye leddet til summen. Etter løkken har vi beregnet \(a_1 + a_2 + \cdots + a_{30}\).

Oppgave 5 (6 poeng)

Oppgave 5a)

Vi bruker annuitetsformelen. Med vekstfaktor \(r = 1{,}05242\), lån \(L = 799\,273\) og \(n = 30\) terminer:

Vi beregner:

Oppgave 5b)

Vi bruker annuitetsformelen med \(T = 53\,437\), \(L = 799\,273\), \(n = 25\) og ukjent vekstfaktor \(r = 1 + i\):

Vi løser denne likningen numerisk (med CAS/digitalt verktøy).

Vi prøver ulike rentesatser:

• \(i = 4\,\%\): \(T = 799\,273 \cdot \frac{1{,}04^{25} \cdot 0{,}04}{1{,}04^{25} - 1} \approx 799\,273 \cdot 0{,}06401 \approx 51\,163\) kr (for lavt)
• \(i = 4{,}5\,\%\): \(T \approx 799\,273 \cdot 0{,}06744 \approx 53\,902\) kr (for høyt)

Ved numerisk løsning (CAS):

Oppgave 5c)

Vi lar \(r = 1{,}05242\) (vekstfaktor for rente) og \(T = 53\,437\).

Steg 1: Restlån etter 12 år med fast terminbeløp

Restlån etter \(k\) terminer med annuitetslån:

Etter 12 år beregner vi restlånet iterativt (digitalt verktøy):

Steg 2: Nedbetaling med økende terminbeløp

Fra år 13 betaler Ole \(T_{13} = 53\,437 \cdot 1{,}05 = 56\,109\) kr, og beløpet øker med 5 % per år.

Vi setter opp en iterasjon. La \(R\) være restlånet, og la \(k = 1, 2, 3, \ldots\) telle terminene etter de 12 første. Terminbeløp nummer \(k\) betales altså i år \(12 + k\):

Vi itererer med digitalt verktøy til restlånet \(\leq 0\):

År etter start	Terminbeløp	Restlån etter betaling
13	56 109	589 035
14	58 914	560 998
15	61 860	528 545
16	64 953	491 299
17	68 201	448 852
18	71 611	400 770
19	75 191	346 587
20	78 951	285 804
21	82 898	217 888
22	87 043	142 266
23	91 395	58 329
24	95 965	< 0

Oppgave 6 (4 poeng)

Oppgave 6a)

Vi setter inn \(p = 30\):

Vi beregner:

Praktisk tolkning: Når prisen per vare er 30 kr, vil etterspørselen (antall enheter kundene ønsker å kjøpe) være ca. 222 enheter.

Oppgave 6b)

Inntekten er \(I = p \cdot x\), der \(x = E(p) = 300\,e^{-0{,}01p}\).

Vi trenger å uttrykke \(p\) som funksjon av \(x\). Fra etterspørselsfunksjonen:

Inntekten som funksjon av \(x\):

Dette kan også skrives som: