Del 1

Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver

a) Skrått kast – fart i høyeste punkt

I det høyeste punktet er den vertikale hastighetskomponenten null. Kun den horisontale komponenten gjenstår:

b) Kloss på skråplan med horisontal kraft

Vi velger akser langs og vinkelrett på skråplanet. Kraften \(F\) peker horisontalt inn mot skråplanet (se figuren). Komponenten av \(F\) vinkelrett på planet er \(F\sin 30°\) og peker inn mot underlaget.

Likevekt vinkelrett på planet gir:

Tyngdekraften presser klossen inn mot planet med \(G\cos 30°\), og den horisontale kraften bidrar med \(F\sin 30°\) i samme retning. Normalkraften må balansere begge disse bidragene.

c) Skrått kast med luftmotstand – akselerasjon i y-retning

Krefter i y-retning: tyngdekraften \(-mg\) og y-komponenten av luftmotstanden (motsatt bevegelsesretningen).

Luftmotstanden har størrelse \(kv^2\) og y-komponenten er \(kv^2 \sin\alpha\) (nedover, mot bevegelsen):

d) Kjeglependel – krefter på kula

Det virker to krefter: tyngdekraften (rett ned) og snorkraften (langs snora, oppover og innover mot sentrum). Snorkraften har en vertikal komponent som balanserer tyngdekraften og en horisontal komponent som gir sentripetalkraften for sirkelbevegelsen. Figur A viser dette korrekt.

e) Pendel og samtalerobot

Påstand 1 er feil: Sentripetalkraft er ikke en egen kraft, men nettokraften som peker mot sentrum. De eneste kreftene er tyngdekraft og snorkraft.

Påstand 2 er feil: Samtaleroboten sier at tyngdekraften er større enn snorkraften i nederste punkt. Dette er feil – i det nederste punktet må snorkraften være større enn tyngdekraften for å gi sentripetalkraft oppover: \(S - G = \frac{mv^2}{R}\).

f) Kloss i vertikal halvsirkel

Radialretning mot sentrum peker \(30°\) over horisontalen. Komponenten av tyngdekraften mot sentrum er \(-mg\sin 30° = -\frac{mg}{2}\) (bort fra sentrum).

Newtons 2. lov i radialretning:

g) Dossert sving

For dossert sving uten friksjon: \(N\cos\alpha = mg\) og \(N\sin\alpha = \frac{mv^2}{r}\).

Påstand 1 er feil: \(N = \frac{mg}{\cos\alpha} > mg\) for \(\alpha > 0\).

Påstand 2 er riktig: \(\tan\alpha = \frac{v^2}{rg}\), altså \(v = \sqrt{rg\tan\alpha}\).

h) Roterende stang – programmering

Hvert element ved avstand \(r\) har farten \(v = \frac{2\pi r}{T}\) (sirkelbevegelse). Kinetisk energi skal akkumuleres:

• Linje 12: v = 2*3.14*r/T (fart fra sirkelbevegelse)
• Linje 13: E = E + 0.5*dM*v**2 (akkumulerer energi)

i) Gravitasjonsfeltstyrke mellom to planeter

Feltet fra A peker mot A med styrke \(g\). Feltet fra B peker mot B med styrke \(g_B = \gamma M/D^2 < g\) (siden \(D > d\)).

Samlet feltstyrke: \(g_{\text{total}} = g - g_B\). Siden \(0 < g_B < g\): \(0 < g_{\text{total}} < g\).

j) Asteroide faller mot jorda

Energibevaring med gravitasjonspotensiell energi:

k) Elektrisk felt fra ladninger i kvadrat

Feltene fra de to øverste protonene er like store og motsatt rettet langs x-aksen → kansellerer.

Feltet fra protonen nede til venstre: komponenter mot høyre og oppover. Feltet fra elektronet nede til høyre (negativ ladning, felt peker mot elektronet): komponenter mot høyre og nedover.

x-komponentene adderes (begge til høyre). y-komponentene kansellerer (én opp, én ned). Netto felt peker til høyre.

l) Elektron akselereres i elektrisk felt

Arbeid-energi-teoremet: \(eEd = \frac{1}{2}m_e v^2\), som gir:

m) Magnetfelt mellom to parallelle ledere

Fra øverste leder (avstand \(d/2\)): \(B_1 = \frac{2k_m I}{d}\), retning inn i papiret (høyrehåndsregelen).

Fra nederste leder (avstand \(d/2\)): \(B_2 = \frac{2k_m \cdot 2I}{d} = \frac{4k_m I}{d}\), retning ut av papiret.

Netto: \(B = B_2 - B_1 = \frac{2k_m I}{d}\), ut av papirplanet.

n) Elektron avbøyes i magnetfelt

Kraften på elektronet er oppover. Lorentzkraften: \(\vec{F} = (-e)(\vec{v} \times \vec{B})\).

For at kraften skal peke oppover når \(\vec{v}\) peker mot høyre, må \(\vec{B}\) peke ut av papirplanet. (Sjekk: \(\vec{v} \times \vec{B}_{\text{ut}} = v B (-\hat{y})\), gange med \(-e\) gir \(+\hat{y}\).)

o) Indusert spenning i roterende spole

Fra grafen ser vi at det er to fulle svingninger i intervallet \([0, 2\pi]\), altså er perioden \(T = \pi\) s.

\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\) rad/s

\(\varepsilon_{\text{maks}} = NBA\omega\):

p) Sløyfe faller inn i magnetfelt

Strømretning: Fluksen inn i papiret øker → Lenz' lov: indusert strøm skaper felt ut av papiret → strømmen går mot klokka.

Akselerasjon: Den induserte strømmen i magnetfeltet gir en bremsende kraft oppover (Lenz' lov). Nettokraften nedover er mindre enn \(mg\), altså \(a < g\).

q) Sløyfe inn i magnetfelt med vinkel

Komponenten av \(\vec{B}\) vinkelrett på sløyfeplanet er \(B\sin\theta\) (siden \(\theta\) er vinkelen mellom feltet og planet).

Fluksendring per tid: \(\frac{d\Phi}{dt} = B\sin\theta \cdot L \cdot v\)

r) Tid og lysfart i gravitasjonsfelt

Generell relativitetsteori: Tiden går saktere i et gravitasjonsfelt (gravitasjonsrødforskyvning). Jo sterkere gravitasjonsfeltet er, desto saktere går klokker sammenlignet med klokker lenger unna massefordelingen. Lysfarten er derimot den samme overalt – lokalt målt er \(c\) alltid konstant, uavhengig av gravitasjonsfeltet. Dette er et grunnleggende postulat i generell relativitetsteori.

s) Gravitasjonsrødforskyvning og ekvivalensprinsippet

Situasjon 1: Lys som beveger seg oppover i gravitasjonsfeltet mister energi → bølgelengden øker: \(\lambda_1 > \lambda_0\).

Situasjon 2: Ekvivalensprinsippet: akselerert romskip er ekvivalent med gravitasjonsfelt. Samme effekt: \(\lambda_2 > \lambda_0\).

t) Comptoneffekten

Comptoneffekten er når et foton kolliderer med et elektron, og noe av fotonets energi overføres til elektronet. Fotonet spres med lavere energi (lengre bølgelengde). Bølgelengdeendringen avhenger av spredningsvinkelen: \(\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\). Effekten var et avgjørende bevis for at lys har partikkelegenskaper, fordi den bare kan forklares ved at fotonet oppfører seg som en partikkel med bevegelsesmengde \(p = h/\lambda\).

Oppgave 2

a) Fotoelektrisk effekt (3 poeng)

1) Graf for metall B:

Fra grafen for metall A leser vi av grensefrekvensen \(f_{0,A} \approx 6 \cdot 10^{14}\) Hz. Løsrivningsarbeidet for A: \(W_A = hf_{0,A}\).

For metall B: \(W_B = 2W_A\), altså \(f_{0,B} = \frac{W_B}{h} = 2f_{0,A} \approx 12 \cdot 10^{14}\) Hz.

Grafen for B er en rett linje med samme stigningstall som A (stigningstallet er \(h\)), men forskjøvet til høyre slik at den krysser \(f\)-aksen ved \(f \approx 12 \cdot 10^{14}\) Hz.

2) Likheter og ulikheter:

• Likhet: Begge grafene er rette linjer med samme stigningstall \(h\) (Plancks konstant). Dette betyr at for en gitt økning i frekvens får man samme økning i kinetisk energi, uavhengig av metall.
• Ulikheter: Metall B har høyere grensefrekvens (\(2f_{0,A}\) mot \(f_{0,A}\)). For enhver frekvens over grensefrekvensen til B er den kinetiske energien til elektronene fra B lavere enn fra A (differansen er \(W_B - W_A = W_A\)).

b) Bølgefunksjon (1 poeng)

I kvantemekanikken beskriver \(|\Psi(x)|^2\) sannsynlighetstettheten, altså sannsynligheten per lengdeenhet for å finne partikkelen ved posisjon \(x\). For å finne sannsynligheten i et gitt intervall, må man integrere (beregne arealet under kurven) over det aktuelle området.

c) Kloss på skråplan og over bakketopp (6 poeng)

1) Krefter på klossen opp skråplanet:

• Tyngdekraften \(mg\) rett nedover
• Normalkraften \(N\) vinkelrett på skråplanet (ut frå overflata)
• Friksjonskraften \(f = \mu N\) langs skråplanet nedover (motsett rørsleretninga)

2) Vis at \(a = -\frac{3}{4}g\) opp skråplanet:

Vinkelrett på skråplanet: \(N = mg\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}mg\)

Langs skråplanet (positiv retning oppover):

3) Vis at farten i toppunktet er \(v = \sqrt{2hg}\):

Klossen greier akkurat å passere toppunktet utan å miste kontakt. Det betyr at normalkraften \(N = 0\) i toppunktet. I toppunktet av sirkelbanen (radius \(R = 2h\)) peikar tyngdekrafta mot sentrum:

4) Uttrykk for startfarten \(v_0\):

Vi bruker arbeid-energi-teoremet frå startposisjonen til toppunktet av bakken. Friksjon verkar berre på skråplanet.

Lengda langs skråplanet: \(s = \frac{h}{\sin 30°} = 2h\)

Arbeid utført av friksjon:

Energibevaring frå start (høgde 0) til toppunktet (høgde \(2h\)):

Del 2

Oppgave 3 – Romfartøy og relativitet (8 poeng)

a) Vis at banefarten \(v_0 = 4{,}46\) km/s

Gravitasjonskraften gir sentripetalkraften:

Setter inn verdier (\(r = 2{,}0 \cdot 10^7\) m, \(M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\) kg, \(\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Nm²/kg²):

b) Energi for å unnslippe gravitasjonsfeltet

Total energi i sirkelbane: \(E_{\text{tot}} = \frac{1}{2}mv_0^2 - \gamma\frac{mM}{r}\).

I sirkelbane: \(v_0^2 = \frac{\gamma M}{r}\), så \(\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{\gamma mM}{2r}\).

For å unnslippe trengs \(E_{\text{tot}} = 0\). Energien som må tilføres:

c) Tid målt om bord i romfartøyet

Romfartøyet reiser med \(v = 0{,}80c\) over avstand \(d = 4{,}0 \cdot 10^{16}\) m (i jordas referansesystem).

Reisetid i jordas referansesystem:

Lorentzfaktoren:

Tid målt om bord (tidsdilatasjon – klokka i romfartøyet går saktere sett fra jorda, men om bord opplever de kortere reisetid):

d) Planetens dimensjoner i romfartøyets referansesystem

Proxima Centauri B har radius \(R_p = 9{,}8 \cdot 10^7\) m (kuleformet i eget referansesystem). Romfartøyet passerer med \(v = 0{,}80c\).

Lengdekontraksjonen skjer kun langs bevegelsesretningen (bredden):

• Høyde (vinkelrett på bevegelsen, uendret): \(2R_p = 2 \cdot 9{,}8 \cdot 10^7 = 1{,}96 \cdot 10^8\) m
• Bredde (langs bevegelsen, kontrahert): \(\frac{2R_p}{\gamma} = \frac{1{,}96 \cdot 10^8}{5/3} = 1{,}18 \cdot 10^8\) m

Oppgave 4 – Elektron i magnetfelt (5 poeng)

a) Forklar hvorfor elektronet beveger seg i sirkelbane

Magnetkraften på elektronet er \(\vec{F} = (-e)\vec{v} \times \vec{B}\). Denne kraften står alltid vinkelrett på hastigheten fordi kryssproduktet per definisjon gir en vektor som er vinkelrett på begge faktorene. En kraft som alltid er vinkelrett på hastigheten gjør ikke arbeid (\(W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} = 0\)), og endrer derfor bare retningen, ikke størrelsen på farten. Siden kraften alltid er vinkelrett og har konstant størrelse (fordi \(|\vec{v}|\) er konstant og \(|\vec{B}|\) er konstant), får vi en jevn sirkelbevegelse der magnetkraften fungerer som sentripetalkraft.

b) Baneradius og rundetid

Magnetkraften gir sentripetalkraft: \(evB = \frac{mv^2}{r}\):

Rundetiden:

c) Tid for 15 runder med økende magnetfelt

Flukstettheten økes med \(\Delta B = 0{,}20\) mT etter hver runde. Farten er uendret (magnetkraften gjør ikke arbeid).

Rundetiden avhenger av \(B\): \(T = \frac{2\pi m_e}{eB}\).

e = 1.602E-19
m = 9.109E-31
v = 8.0E6
t = 0
B = 3.20E-3
dB = 0.20E-3

for n in range(15):
    B = B + dB
    r = m*v/(e*B)
    T = 2*3.14159*r/v
    t = t + T

print(t)

Programmet beregner rundetiden for hver av de 15 rundene (med økende \(B\)) og summerer dem.

Oppgave 5 – Sløyfe og induksjon (8 poeng)

a) Retning på magnetfeltet gjennom sløyfa

Fra figuren går strømmen mot klokka (sett ovenfra). Høyrehåndsregelen: krum fingrene i strømretningen, tommelen peker i feltretningen. For en sirkulær strømsløyfe skaper strømmen et magnetfelt som går gjennom sløyfa på en måte som ligner en kort stavmagnet – feltet er sterkest i sentrum av sløyfa og peker vinkelrett på sløyfeplanet.

b) Induksjon i spolen

1) Når bryteren K lukkes, begynner det å gå strøm i sløyfa. Dette skaper et økende magnetfelt gjennom spolen i sentrum. Ifølge Faradays lov vil en endring i magnetisk fluks gjennom spolen indusere en EMF, som driver en strøm i spolen.

2) Lenz' lov: den induserte strømmen motvirker endringen. Fluksen gjennom spolen øker oppover, så den induserte strømmen skaper et felt nedover i spolen. Med høyrehåndsregelen gir dette strøm med klokka (sett ovenfra) i spolen.

c) Fluksendring og indusert strøm

Magnetfeltstyrken i sløyfa: \(B = \frac{\pi k_m I}{r_1}\), der \(k_m = 2{,}0 \cdot 10^{-7}\) Tm/A og \(r_1 = 0{,}30\) m.

Strømmen endres fra \(I_1 = 10\) A til \(I_2 = 20\) A:

1) Fluksendring gjennom spolen:

2) Gjennomsnittlig indusert strøm:

Oppgave 6 – Horisontalt kast (5 poeng)

a) Vis verdiene i rad 1

Falltid (horisontalt kast):

Teoretisk kastelengde (rad 1, \(v = 0{,}29\) m/s):

Usikkerhet \(\Delta x = 0{,}01\) m:

• Minste måleverdi: \(0{,}12 - 0{,}01 = 0{,}11\) m ✓
• Største måleverdi: \(0{,}12 + 0{,}01 = 0{,}13\) m ✓

b) Utfylt tabell

Falltid \(t = 0{,}430\) s. Kolonne C = \(x - 0{,}01\), Kolonne D = \(x + 0{,}01\), Kolonne E = \(v \cdot t\).

c) Vurdere hypotesen om luftmotstand

Elevene har hypotese om at luftmotstand ikke er viktig. Vi sammenligner målt kastelengde (kolonne B) med teoretisk (kolonne E, uten luftmotstand):

• For alle rader er den målte kastelengden lik eller litt større enn den teoretiske verdien.
• Hvis luftmotstand var viktig, ville den målte kastelengden vært kortere enn den teoretiske (kula bremses horisontalt).
• Avvikene er små (1–2 cm) og ligger innenfor måleusikkerheten \(\Delta x = 0{,}01\) m for de fleste radene.
• Avvikene øker ikke systematisk med farten, slik man ville forventet med luftmotstand.

Oppgave 7 – Ladede kuler og elektrisk felt (5 poeng)

a) Elektrisk feltstyrke i origo

De to ladningene er symmetrisk plassert om origo, like langt fra origo på hver side. Feltet fra ladningen til venstre peker mot høyre (bort fra den positive ladningen), og feltet fra ladningen til høyre peker mot venstre. Siden ladningene er like store og like langt fra origo, er feltbidragene like store og motsatt rettet. De kansellerer hverandre fullstendig:

b) Retning på feltstyrken i punkt P

Ved symmetri: x-komponentene fra de to ladningene kansellerer (den ene peker til høyre, den andre til venstre). y-komponentene adderes (begge peker oppover, bort fra x-aksen).

c) Vis akselerasjonen til den negative gjenstanden

Elektrisk feltstyrke i punkt P (avstand \(R\) fra origo på y-aksen):

Avstand fra hver ladning til P: \(\sqrt{d^2 + R^2}\).

Feltet fra én ladning: \(E_1 = \frac{k_e Q}{d^2 + R^2}\), med y-komponent \(E_{1y} = E_1 \cdot \frac{R}{\sqrt{d^2+R^2}}\).

Totalt felt (to ladninger, y-komponentene adderes):

Kraft på ladning \(q\) (negativ, kraft peker nedover mot origo): \(F = |q| \cdot E\).

Akselerasjon:

d) Tid fra slipping til retur til punkt P

Gjenstanden slippes fra ro i punkt P og oscillerer gjennom origo. Vi bruker Eulers metode. Akselerasjonen avhenger av posisjonen \(y\):

(Negativ fordi kraften alltid peker mot origo.)

ke = 8.99E9
Q = 7.0E-9
q = -5.0E-9
d = 4.0E-2
R = 2.0E-2
m = 1.0E-3
v = 0
t = 0
dt = 1E-4
y = R

# Simuler til gjenstanden passerer origo
while y > 0:
    a = -2*ke*Q*abs(q)*y / (m*(d**2 + y**2)**1.5)
    v = v + a*dt
    y = y + v*dt
    t = t + dt

# Symmetri: P -> origo -> -P -> origo -> P = 4 * tid fra P til origo
print(4*t)

Gjenstanden oscillerer: P \(\to\) origo \(\to\) \(-\)P \(\to\) origo \(\to\) P. Ved symmetri er hver fjerdedel like lang. Programmet beregner tiden fra P til origo og ganger med 4 for å få hele perioden (tid tilbake til P).