Del 1

Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver

a) Relativ usikkerhet i \(y\)

Relativ usikkerhet i et produkt/kvotient er summen av de relative usikkerhetene, der eksponenter teller som multiplikator. Vi antar at \(g\) er eksakt.

(Merk: \(x\) opptrer i andre potens, og \(v\) opptrer i andre potens i nevneren.)

b) Kloss trukket med kraft – friksjonskraft

Kraften \(F\) har en vertikal komponent \(F\sin\alpha\) oppover som avlaster normalkraften. Vertikalt likevekt:

Friksjonskraften er:

c) Snorkrefter – lodd med tre snorer

Oppgaveteksten sier at snor 1 danner 30° og snor 2 danner 60° med horisontalplanet. Snor 1 er altså den slakeste (nærmest horisontal) og snor 2 er brattere (nærmest vertikal).

Snor 3 bærer hele tyngden: \(S_3 = mg\).

I knutepunktet har vi likevekt. Horisontalt:

Vertikalt:

Dermed: \(S_1 = \frac{mg}{2}\), \(S_2 = \frac{\sqrt{3}\,mg}{2} \approx 0{,}87\,mg\), \(S_3 = mg\).

Rekkefølge: \(S_1 < S_2 < S_3\).

d) Pendelkule i nederste punkt

I det nederste punktet har kula fart og følger en sirkelbane. Kreftene som virker:

• Tyngdekraften \(mg\) peker rett ned.
• Snorkraften \(S\) peker rett opp (langs snora mot festepunktet).

Siden kula har sentripetalakselerasjon oppover (mot sentrum av sirkelbanen), må \(S > mg\). Begge kreftene er vertikale, og snorkraften er større enn tyngden. Intuitivt kan man tenke at snoren ikke bare må holde kula oppe mot tyngdekraften, men også sørge for den innoverrettede akselerasjonen som holder kula i sirkelbanen. Derfor må snorkraften alltid være større enn tyngden i det laveste punktet.

e) Pendelkule i ytterpunktet

To krefter virker på kula:

• Tyngdekraften \(mg\) – peker rett ned.
• Snorkraften \(S\) – peker langs snora mot festepunktet (skrått oppover).

I ytterpunktet av svingningen er farten \(v = 0\) et øyeblikk. Sentripetalakselerasjonen \(a_r = v^2/L\) er derfor null. Newtons 2. lov langs snora gir:

Siden \(\cos\theta < 1\) for \(\theta \neq 0\), er snorkraften mindre enn tyngdekraften (\(S < mg\)) i ytterpunktet. Pilen for snorkraft skal altså være kortere enn pilen for tyngdekraft. Resultanten av de to kreftene står vinkelrett på snora og peker langs banen mot likevektsstillingen – dette er den tangentielle kraften som akselererer kula tilbake mot midten.

f) Kloss på skråplan med luftmotstand – programmering

Langs skråplanet (positiv retning nedover) virker:

• Tyngdekomponent nedover langs planet: \(g\sin u\)
• Luftmotstand oppover langs planet (motvirker bevegelsen): \(\frac{kv}{m}\)

Akselerasjonen nedover langs skråplanet:

I koden: a = g*sinu - k*v/m

g) Prosjektil – største høyde

Vertikal startfart: \(v_y = v\sin\theta\). I det høyeste punktet er vertikalfarten null:

h) Lekebil – horisontalt kast med mindre fart

Horisontalt kast: I et horisontalt kast er de to bevegelseskomponentene uavhengige av hverandre. Tyngdekraften virker kun vertikalt, så den horisontale farten påvirker ikke den vertikale bevegelsen. Falltiden bestemmes derfor kun av høyden og er uavhengig av horisontalfarten:

Med lavere horisontal fart er falltiden den samme, men horisontal avstand blir kortere. Farten ved gulvet er \(v_{\text{gulv}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\). Vertikalfarten \(v_y = gt\) er lik begge gangene, men med lavere \(v_x\) blir totalfarten lavere.

i) To stjerner i sirkelbane

Stjernene er diametralt motsatte, og avstanden mellom dem er \(2r\). Gravitasjonskraften gir sentripetalkraften:

j) Satellitt med fart \(v = \sqrt{3\gamma M/(R+h)}\)

Sirkelbanesfart i avstand \(r = R + h\): \(v_{\text{sirkel}} = \sqrt{\gamma M/(R+h)}\).

Unnslippingsfart: \(v_{\text{unnslipp}} = \sqrt{2\gamma M/(R+h)}\).

Satellitten har \(v = \sqrt{3\gamma M/(R+h)}\). Siden \(3 > 2\), er \(v > v_{\text{unnslipp}}\).

k) 50 parallelle strømledere – programmering

Magnetfeltet fra leder \(n\) i avstand \(nd\) fra P er \(B_n = k_m I/(nd)\). Fra figuren ser vi at strømmen veksler retning i den U-formede lederen (opp i leder 1, ned i leder 2, osv.). Feltbidragene veksler dermed fortegn:

I Python: B = B + (-1)**n*k*I/(d*n)

l) Proton i magnetfelt og elektrisk felt – kraftretning

Figur 1: Protonet (positiv ladning) beveger seg oppover-til-venstre, og \(\vec{B}\) peker inn i papiret. Magnetkraften \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\):

Med høyrehåndsregelen: fingrene langs \(\vec{v}\) (oppover-til-venstre), bøyes mot \(\vec{B}\) (inn i papiret), og tommelen peker nedover-til-venstre.

Figur 2: Protonet beveger seg oppover-til-venstre, og det elektriske feltet \(\vec{E}\) peker nedover (fra de blå pilene i figuren). Kraften på protonet: \(\vec{F} = q\vec{E}\) peker i samme retning som \(\vec{E}\) – altså rett nedover.

m) Vogn med ledersløyfe i magnetfelt

Når sløyfa beveger seg inn i magnetfeltet, øker den magnetiske fluksen gjennom sløyfa. Ifølge Lenz' lov vil den induserte strømmen alltid gå i den retningen som skaper et magnetfelt som motvirker endringen i fluks. Dette er en konsekvens av energibevaring: den induserte strømmen skaper en kraft som bremser bevegelsen, og kinetisk energi omdannes til elektrisk energi.

Strømmen er mot klokka sett forfra. Med høyrehåndsregelen (krum fingrene i strømmens retning, tommelen peker i retning av indusert \(B\)) skaper denne strømmen et felt inne i sløyfa som peker ut av papiret (mot observatøren).

Lenz' lov: det induserte feltet motvirker endringen i ytre fluks. Siden det induserte feltet peker ut av papiret, må endringen i ytre fluks være inn i papiret – altså må det ytre magnetfeltet peke inn i papiret (og fluksen inn i papiret øker når sløyfa kjører inn i feltet).

Kraften på sløyfa må motvirke bevegelsen (energibevaring – siden farten er konstant, må magnetkraften balansere tyngdekomponenten nedover skråplanet). Vogna beveger seg nedover skråplanet, så kraften peker oppover skråplanet.

n) Magnetfelt gjennom ledersløyfe – påstander

Påstand 1: Fluksen er \(\Phi = BA\), så \(|\Phi|\) er minst der \(|B|\) er minst. Fra grafen ser vi at \(B\) er størst (ikke minst) ved \(t = 1\) s – der er toppunktet. Minste \(B\) er ved \(t = 0\) (ca. 0,2 T). Påstand 1 er feil.

Påstand 2: EMF er proporsjonal med \(-dB/dt\), og er null der grafen er vannrett (\(dB/dt = 0\)). Fra grafen er toppunktet ved ca. \(t = 1\) s, og der er \(dB/dt = 0\). Ved \(t = 2\) s er grafen synkende (negativ \(dB/dt\)), så EMF er ikke null der. Påstand 2 er feil.

o) Magnet som svinger over spole

Magneten nærmer seg spolen (fluksen øker, positiv EMF), passerer over spolen (fluksen er maksimal, EMF = 0), og fjerner seg (fluksen minsker, negativ EMF). Magneten beveger seg raskest over spolen (midten av pendelbevegelsen), så spenningspulsene er skarpe i midten.

Grafen viser en positiv puls etterfulgt av en negativ puls, med størst amplitude rett før og etter at magneten er over spolen. Ifølge Faradays induksjonslov er den induserte spenningen proporsjonal med endringstakten til den magnetiske fluksen gjennom spolen. Når magneten nærmer seg, endres fluksen raskt i en retning, og når den fjerner seg, endres fluksen like raskt i motsatt retning. Dermed får vi symmetriske pulser med motsatt fortegn.

p) U-formet leder med metallstav i magnetfelt

Staven beveger seg mot høyre og øker arealet av kretsen. Fluksen øker (B inn i papiret). Lenz' lov: strømmen induseres mot klokka (for å lage felt ut av papiret inni kretsen og motvirke økningen).

Kraften på den strømførende staven i magnetfeltet peker mot venstre (bremser staven). Farten vil avta.

q) Tidsdilatasjon – hendelse i romskip

Hendelsen skjer om bord i romskipet. Observatøren på jorda måler en dilatert tid. Egentiden (i romskipet) er kortere:

r) Lengdekontraksjon – sirkel og ellipse

Lengdekontraksjonen forkorter en gjenstand bare i bevegelsesretningen, med faktoren \(1/\gamma\). Dimensjonen vinkelrett på bevegelsen er uendret. Vi analyserer hver figur i alternativene:

• Sort sirkel: Beveger seg den i en bestemt retning, må den kontraheres langs denne retningen. Sirkelen blir derfor til en ellipse med korteste akse parallell med farten og lengste akse vinkelrett på farten.
• Rød stående ellipse: Allerede høyere enn bred. Blir den kontrahert i vertikal retning kan den – ved riktig \(\gamma\) – bli en sirkel. Blir den kontrahert horisontalt, blir den enda smalere stående ellipse. Den kan aldri bli en liggende ellipse, siden lengdekontraksjon bare gjør figurer mindre i bevegelsesretningen, ikke større vinkelrett på den.

Vi tester alternativene:

• A: Sort er en stående ellipse med pil opp. En sirkel som beveger seg oppover skal bli en liggende ellipse, ikke stående. Feil.
• B: Begge figurene beveger seg oppover. Sort skulle blitt liggende ellipse (men er omtrent rund), og rød skulle kontraheres vertikalt – mulig som sirkel, men sort stemmer ikke. Feil.
• C: Sort er en liggende ellipse med pil mot høyre. En sirkel som beveger seg mot høyre skal kontraheres horisontalt og bli en stående ellipse, ikke liggende. Lengdekontraksjon kan aldri strekke en figur. Feil.
• D: Sort er en skråstilt ellipse med pil opp-og-til-høyre (diagonal). En sirkel som beveger seg diagonalt kontraheres langs den diagonalen og blir en ellipse med lengste akse vinkelrett på fartsretningen – akkurat slik figuren viser. Rød er en sirkel med pil rett ned. En stående ellipse som beveger seg vertikalt kontraheres i høyden, og hvis \(\gamma\) er slik at den nye høyden blir lik bredden, blir formen en sirkel. Begge er fysisk konsistente. Riktig.

s) Comptoneffekt

Fenomenet er comptoneffekt: et foton kolliderer med en partikkel, og det spredte fotonet har lengre bølgelengde fordi det har overført noe energi til partikkelen. Comptoneffekten demonstrerer at fotoner har bevegelsesmengde \(p = h/\lambda\) og oppfører seg som partikler i kollisjoner. Ved kollisjonen overfører fotonet en del av sin energi og bevegelsesmengde til partikkelen. Siden fotonenergien er \(E = hc/\lambda\), betyr lavere energi etter kollisjonen at bølgelengden øker.

t) Bølgefunksjon og sannsynlighetsfordeling

Sannsynlighetstettheten \(|\Psi(x)|^2\) er alltid \(\geq 0\). Der \(\Psi\) er null, er \(|\Psi|^2\) null. Amplituden til \(\Psi\) øker mot høyre, så toppene i \(|\Psi|^2\) skal også øke mot høyre. Alle topper peker oppover. Dette er en fundamental egenskap ved kvantefysikken: \(|\Psi|^2\) representerer sannsynlighetstettheten for å finne partikkelen i et gitt område, og en sannsynlighet kan aldri være negativ. Selv om bølgefunksjonen \(\Psi\) kan ha negative verdier, blir alle negative «daler» til positive «topper» når vi kvadrerer.

Oppgave 2

a) Fotoelektrisk effekt

Fotoelektrisk effekt er fenomenet der lys (elektromagnetisk stråling) treffer en metalloverflate og frigjør elektroner fra metallet.

Sentrale observasjoner:

• Elektroner frigjøres bare dersom lysets frekvens \(f\) er over en viss grensefrekvens \(f_0\), som avhenger av metallet. Lys med lavere frekvens frigjør ingen elektroner, uansett intensitet.
• Den kinetiske energien til de frigjorte elektronene øker lineært med frekvensen, men er uavhengig av lysets intensitet.
• Antall frigjorte elektroner per tidsenhet øker med lysets intensitet.
• Elektronene frigjøres nesten umiddelbart.

Forklaring (Einstein, 1905): Lys består av fotoner med energi \(E = hf\). Når et foton absorberes av et elektron, overfører det all sin energi. Elektronet må overvinne et løsrivningsarbeid \(W\) for å forlate metallet:

der \(E_k\) er den maksimale kinetiske energien til det frigjorte elektronet. Grensefrekvensen er \(f_0 = W/h\).

b) Vindmølle med spole – elektromagnetisk induksjon

1) Maksimalverdi for fluksen gjennom spolen:

Den magnetiske fluksen gjennom spolen er \(\Phi = BA\cos(\omega t)\). Maksimalverdien oppnås når normalvektoren til spolen er parallell med feltet:

2) Strømretning når spolen dreies fra posisjonen vist i figuren:

Fra figuren ser vi at spolen står med planet parallelt med magnetfeltet (fluksen er null). Når spolen dreies litt videre, begynner fluksen å endre seg. Retningen på den induserte strømmen bestemmes av Lenz' lov: strømmen vil motvirke endringen i fluks.

Ja, det er viktig å vite hvilken vei spolen dreies. Hvis spolen dreies slik at fluksen øker, vil strømmen gå i den retningen som lager et felt som motvirker økningen, og omvendt. Uten å vite dreieretningen kan vi ikke bestemme strømretningen.

3) Maksimalverdi for den elektromotoriske spenningen:

Vinkelfarten:

Maks EMF:

c) Ball kastet fra høyde

1) Bestem høyden \(h\):

Positiv retning oppover. Ballen starter i høyde \(h\) og lander på gulvet (\(y = 0\)):

Ved landing (\(y = 0\), \(t = 1{,}0\) s):

2) Bestem lengden på kastet:

Horisontal avstand:

Del 2

Oppgave 3 – Asteroide forbi jorda

Asteroiden starter med fart \(\approx 0\) og potensiell energi \(\approx 0\) (uendelig langt borte). Den totale mekaniske energien er derfor null gjennom hele banen (den følger en parabolsk/hyperbolsk bane). I det nærmeste punktet er all potensiell energi omgjort til kinetisk energi, og farten er på sitt høyeste. Energibevaring gir:

Innsetting av verdier (\(r = R + h = 6371 + 5000 = 11\,371\) km \(= 1{,}1371 \cdot 10^7\) m):

Oppgave 4 – Kloss på skråplan med halvsirkel

a) Vis at farten i bunnen av skråplanet er 1,5 m/s dersom \(v_0 = 0{,}20\) m/s

Lengden av skråplanet:

Arbeid-energi-teoremet langs skråplanet:

b) Normalkraft i det laveste punktet av halvsirkelen

Sentripetalkraften peker oppover (mot sentrum av sirkelen):

c) Startfart for at klossen mister kontakt i øverste punkt

I øverste punkt er normalkraften null. Tyngdekraften gir sentripetalkraften:

Energibevaring fra bunnen til toppen av halvsirkelen (høydeforskjell \(2r\)):

Fra toppen av skråplanet til bunnen (som i a):

d) Punkt P der klossen mister kontakt med banen

La \(\theta\) være vinkelen fra bunnen av halvsirkelen til punkt P (målt fra sentrum). Høyden over bunnen:

I punkt P er normalkraften null. Ved vinkel \(\theta\) fra bunnen peker den innoverrettede (sentripetale) komponenten av tyngdekraften bort fra sentrum for \(\theta < 90°\) og mot sentrum for \(\theta > 90°\). Den radielle kraftlikningen (positiv mot sentrum) gir:

Med \(N = 0\): \(v_P^2 = -gr\cos\theta\) (positivt når \(\cos\theta < 0\), dvs. \(\theta > 90°\)).

Energibevaring fra bunnen til P:

Setter inn \(v_P^2 = -gr\cos\theta\):

Høyden over laveste punkt:

Oppgave 5 – Proton i elektrisk og magnetisk felt (syklotron)

a) Bestem protonets fart etter at det har passert det elektriske feltet

Protonet starter i ro og akselereres gjennom \(U = 500\) V:

b) Retning på elektrisk felt og magnetisk felt

Plattene står vertikalt (på hver side av E-feltet), og E-feltet peker altså horisontalt. Protonet starter i ro ved K og akselereres gjennom E-feltet til det forlater feltet med horisontal fart mot høyre, inn i område H. I H følger det en halvsirkelbane (radius \(r\), diameter \(2r\) vertikalt) som ender ved P, som ligger \(2r\) rett under K.

Elektrisk felt: Kraften \(\vec{F} = q\vec{E}\) på protonet (positiv ladning) må peke mot høyre for at protonet skal akselereres fra K inn i H. Altså peker \(\vec{E}\) mot høyre (fra venstre plate, V-siden, mot høyre plate, H-siden).

Magnetisk felt: Når protonet går inn i H med fart \(\vec{v}\) mot høyre, må magnetkraften \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) peke nedover for at halvsirkelen skal bøye protonet ned mot P. Høyrehåndsregelen gir at \(\vec{B}\) må peke ut av papirplanet (\(\hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y}\), dvs. \(v\) langs \(+\hat{x}\), \(B\) langs \(+\hat{z}\) gir \(F\) langs \(-\hat{y}\), nedover).

c) Hva gjør programmet i linje 10 og 11?

from pylab import *

q = 1.60e-19
m = 1.6726e-27
B = 0.045
U = 500
v = 0   # Startfart

N = 10
for i in range(N):
    v = sqrt(v**2 + 2*q*U/m)

print(v)

Linje 10: for i in range(N): starter en løkke som kjøres \(N = 10\) ganger.

Linje 11: v = sqrt(v**2 + 2*q*U/m) beregner den nye farten etter at protonet har blitt akselerert gjennom spenningen \(U\) enda en gang, ved hjelp av energibevaring:

Programmet simulerer en syklotron: for hver iterasjon akselereres protonet gjennom \(U\), og den kinetiske energien øker med \(qU\). Etter 10 passeringer er total kinetisk energi \(10qU\), og programmet skriver ut den endelige farten.

d) Program som beregner baneradien ved tredje passering i V

Baneradien i magnetfelt: \(r = mv/(qB)\). Vi trenger farten etter riktig antall akselerasjoner.

Protonet akselereres gjennom E-feltet hver gang det krysser mellom V og H. K er på V-siden. Protonet starter i ro ved K og akselereres inn i H. For å komme inn i V tredje gang trenger vi 6 akselerasjoner: K\(\to\)H (1), H\(\to\)V (2), V\(\to\)H (3), H\(\to\)V (4), V\(\to\)H (5), H\(\to\)V (6).

from pylab import *

q = 1.60e-19
m = 1.6726e-27
B = 0.045
U = 500
v = 0  # Startfart

# Protonet akselereres 6 ganger for aa naa 3. gang i V
N = 6
for i in range(N):
    v = sqrt(v**2 + 2*q*U/m)

r = m*v / (q*B)
print(f"Fart: {v:.4e} m/s")
print(f"Baneradius: {r:.4f} m")

Beregning: Etter 6 akselerasjoner: \(E_k = 6qU\).

Oppgave 6 – Nøytronstjerne og gravitasjonsrødforskyvning

a) Vis at massen til nøytronstjerna \(M = 4{,}14 \cdot 10^{30}\) kg

b) Vis at forholdet \(f_r / f_e = 0{,}71\)

Vi beregner argumentet under rottegnet:

c) Tid sett av observatør utenfor gravitasjonsfeltet

Gravitasjonstidsforlengelse: Ifølge generell relativitetsteori går klokker saktere jo sterkere gravitasjonsfeltet er. En klokke på overflaten av nøytronstjernen tikker saktere enn en klokke langt unna. Forholdet mellom tidene er det inverse av frekvensforholdet, fordi lavere frekvens betyr lengre tid mellom hver sving:

d) Vurdering av svarene i lys av generell relativitetsteori

Oppgave b – Gravitasjonsrødforskyvning: Frekvensen observert langt fra stjerna (\(f_r\)) er lavere enn den emitterte frekvensen (\(f_e\)). Fotonene «klatrer» ut av gravitasjonsbrønnen og mister energi. Lavere frekvens betyr lengre bølgelengde, altså en rødforskyvning. Dette er i tråd med generell relativitetsteori.

Oppgave c – Gravitasjonstidsforlengelse: En hendelse som varer 1 år på overflata observeres å vare 1,4 år utenfra. Klokker i et sterkt gravitasjonsfelt tikker saktere sett utenfra. Dette er også en konsekvens av generell relativitetsteori.

Disse to resultatene henger sammen: tidsforlengelsen og rødforskyvningen er to sider av samme fenomen. Forholdet mellom tidene er det inverse av frekvensforholdet:

Oppgave 7 – Pendelforsøk med kule

a) Vis at formelen for snorkraften er \(S(h) = mg\left(1 + \dfrac{2h}{L}\right)\)

Energibevaring fra slipphøyde \(h\) til det laveste punktet:

I det laveste punktet (sirkelbevegelse med radius \(L\)):

b) Utforsk og vurder om formelen gjelder for alle verdier av \(h\)

Med \(m = 1{,}00\) kg, \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\), \(L = 2{,}00\) m beregner vi:

Analyse:

• For lave \(h\)-verdier (0,10–0,40 m) stemmer formelen svært godt. Avviket er neglisjerbart.
• For høyere \(h\)-verdier (0,50–1,00 m) er de målte verdiene systematisk lavere enn de teoretiske. Avviket øker med \(h\).

Mulige forklaringer:

• Luftmotstand: Ved store utslag er farten i det laveste punktet høyere. Luftmotstanden bremser kula mer, slik at den faktiske farten er lavere enn antatt. Lavere fart gir lavere sentripetalakselerasjon og dermed lavere snorkraft.
• Energitapet til luftmotstand er større ved store utslag fordi kula har høyere gjennomsnittsfart.