Del 1

Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver

a) Relativ usikkerhet i \(g\)

I uttrykket for \(g\) opptrer \(r\) med eksponent 1 og \(T\) med eksponent 2. Fra formelen for feilforplantning:

b) Bil i sirkelformet sving med pendel

Påstand 1 er feil: Sentripetalakselerasjonen er \(a = \frac{v^2}{r}\). Hvis \(v\) dobles, blir \(a\) fire ganger så stor, ikke dobbelt.

Påstand 2 er feil: Akselerasjonen \(\vec{a}\) peker mot venstre (mot sentrum av svingen). I bilens referansesystem virker en fiktiv kraft motsatt akselerasjonsretningen, altså mot høyre. Pendelen henger derfor mot høyre, i posisjon Q, ikke P.

c) Kule i horisontal sirkelbane med to snorer

Det virker tre krefter på kula:

• Tyngdekraften \(G\) rett ned
• Snorkraft fra taket skrått oppover og innover mot sentrum
• Snorkraft fra gulvet skrått nedover og innover mot sentrum

Begge snorkreftene har en komponent mot sentrum (gir sentripetalakselerasjon). Kula befinner seg til høyre for aksen, så begge snorkreftene trekker mot venstre (mot aksen). Vertikalt: snorkraften fra taket balanserer tyngdekraften pluss den vertikale komponenten av snorkraften fra gulvet.

Figur A viser riktig kraftdiagram: én kraft opp-venstre (taksnor), én kraft ned-venstre (gulvsnor) og én kraft rett ned (tyngdekraft).

d) Fjellklatrer mot fjellvegg

Tauets lengde er \(\sqrt{D^2 + d^2}\). Tauet danner vinkel \(\theta\) med vertikalen der \(\sin\theta = \frac{d}{\sqrt{D^2+d^2}}\) og \(\cos\theta = \frac{D}{\sqrt{D^2+d^2}}\).

Vertikal likevekt: \(T\cos\theta = mg\), som gir \(T = \frac{mg}{\cos\theta}\).

Horisontal likevekt: \(N = T\sin\theta = mg\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = mg\tan\theta\).

e) Kloss glir ned bakke – programmering

Bakken har helningsvinkel \(\alpha\) med horisontalen. Klossen akselereres langs bakken av tyngdekomponenten:

• Linje 15: a = g*sin(alfa) (akselerasjon langs bakken)
• Linje 16: v = v + a*dt (Eulers metode for fart)

Farten øker fordi klossen glir nedover uten friksjon.

f) Kloss opp og ned skråplan med friksjon

Oppover: Både friksjonskraften og tyngdekomponenten bremser klossen → stor retardasjon = \(g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\) → farten avtar raskt (bratt linje ned til null).

Nedover: Tyngdekomponenten driver klossen ned, men friksjonskraften motvirker → mindre akselerasjon = \(g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\) → farten øker saktere (slakere linje opp fra null).

Grafen viser en V-form der venstre side (oppover) er brattere enn høyre side (nedover). I tillegg vil klossens toppfart på vei ned alltid være lavere enn startfarten på vei opp, fordi friksjon omdanner kinetisk energi til varme i begge retninger.

g) Roterende planet – omløpstid

Gjenstanden mister akkurat kontakt når normalkraften \(N = 0\). Da er gravitasjonskraften lik sentripetalkraften:

h) Positiv ladning i inhomogent elektrisk felt

Feltlinjene konvergerer fra venstre og peker mot høyre gjennom partikkelens posisjon. Kraften på en positiv ladning er alltid i feltretningen (\(\vec{F} = q\vec{E}\) med \(q > 0\)), altså mot høyre.

Når partikkelen beveger seg mot høyre (med feltretningen), beveger den seg bort fra det tetteste området av feltlinjer og inn i et område der linjene er mer spredt. Tettheten av feltlinjer er proporsjonal med feltstyrken, så feltet blir svakere. Siden \(a = qE/m\), avtar akselerasjonen etter hvert – selv om partikkelen fortsetter å akselerere i samme retning og beveger seg stadig raskere.

i) Elektrisk felt fra to ladde partikler

Vi setter opp koordinater: (−)-ladningen er øverst til venstre, (+)-ladningen er nederst til venstre, P er til høyre på den horisontale midtlinjen.

• Fra (−)-ladningen: Feltet peker mot ladningen = oppover og til venstre
• Fra (+)-ladningen: Feltet peker bort fra ladningen = oppover og til høyre

Horisontale komponenter kansellerer (én til venstre, én til høyre). Vertikale komponenter adderes – begge peker oppover.

j) Kule i snor mellom ladde plater

Snora er festet til gulvet og trekker kula nedover. For at kula skal være i likevekt med snorkraft nedover, må den elektriske kraften peke oppover: \(F_E = qE\) oppover.

Likevekt vertikalt: \(F_E = mg + S\), som gir:

Vi vet ikke hvilken plate som er positiv, og dermed kan vi ikke bestemme fortegnet til ladningen \(q\).

k) Magnetfelt i sirkelsektorer

Vi bruker høyrehåndsregelen for å bestemme feltretning fra hver leder.

Fra figuren: den sirkelformede lederen har strøm mot klokka (sett forfra), den horisontale lederen har strøm mot høyre, og den vertikale lederen har strøm oppover.

• Sirkulær leder: Strøm mot klokka gir felt ut av papiret innenfor sirkelen
• Horisontal leder (strøm mot høyre): Over → felt ut av papiret; Under → felt inn i papiret
• Vertikal leder (strøm oppover): Til venstre → felt ut av papiret; Til høyre → felt inn i papiret

I sektor C (øvre venstre): Alle tre bidrag peker ut av papiret → feltene forsterker hverandre. Det samlede feltet er størst her.

l) Positiv ladning i magnetfelt

Lorentzkraften: \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\).

I figur A: \(\vec{B}\) inn i papiret (\(\times\)), \(\vec{v}\) nedover. \(\vec{v}\times\vec{B} = (-v\hat{y})\times(-B\hat{z}) = vB(\hat{y}\times\hat{z})= vB\hat{x}\) → kraft mot høyre. For positiv ladning: \(\vec{F} = qvB\hat{x}\) mot høyre. ✓

m) Kobberstav på skinner i magnetfelt

For at den strømbærende kobberstaven skal ligge i ro på det friksjonsfrie skråplanet, må den magnetiske kraften balansere gravitasjonskomponenten langs skinnene. Fra figuren (sett fra siden): skinnene heller oppover mot venstre.

Den magnetiske kraften \(\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B}\) må ha en komponent oppover langs skinnene. Sett fra siden peker den magnetiske kraften mot venstre (oppover langs hellingen).

For at \(\vec{F}\) skal peke mot venstre med \(\vec{B}\) nedover, må strømmen gå fra P til Q (høyrehåndsregelen).

n) Indusert strøm i kvadratisk rutenett

Fluksen inn i papiret øker. Ifølge Lenz' lov vil den induserte strømmen alltid gå i en retning som motvirker endringen i magnetisk fluks. Siden fluksen inn i papiret øker, må den induserte strømmen skape et magnetfelt ut av papiret for å motvirke økningen. Høyrehåndsregelen gir da at strømmen går mot klokka rundt hver enkelt celle i rutenettet.

I de interne lederne (der to naboceller deler en felles side) kansellerer strømmene fra nabocellene hverandre, fordi strømmen i den ene cellen går i én retning gjennom lederen, mens strømmen i nabocellen går i motsatt retning. Resultatet er at netto strøm kun flyter langs ytterkanten av rutenettet, mot klokka.

o) Pendel med metallring gjennom magnetfelt

Per tar feil: Når ringen svinger inn i feltet, øker fluksen inn i papiret. Lenz' lov: strømmen motvirker økningen og lager felt ut av papiret → strømmen går mot klokka (ikke med klokka som Per sier). Ut av feltet: fluksen minker → strøm med klokka. Per har det baklengs.

Kari har rett: De induserte strømmene dissiperer energi som varme i ringens resistans – dette kalles virvelstrømsbremsing. Metallringen har en endelig resistans, og når strøm flyter gjennom den, omdannes elektrisk energi til varme (\(P = I^2 R\)). Denne energien hentes fra pendelens kinetiske energi. For hver passering gjennom magnetfeltet mister pendelen litt kinetisk energi, og amplituden avtar gradvis. Dette er det samme prinsippet som brukes i induktive bremser på tog og berg-og-dal-baner.

p) Lysfart i romskip

Ifølge Einsteins andre postulat er lysfarten alltid \(c\) i alle treghetssystemer, uavhengig av kildens bevegelse. I Lars' referansesystem går lyset rett opp. Men i Hermans referansesystem beveger romskipet seg horisontalt mot høyre, og lyset har derfor både en vertikal og en horisontal komponent – dermed ser Herman lyset bevege seg på skrått mot høyre. Farten er fortsatt nøyaktig \(c\), fordi lysfarten er invariant. Dette er også grunnlaget for tidsforlengelse: lyset tilbakelegger en lengre bane i Hermans system, men med samme fart – altså tar det lengre tid.

q) Per og Pål med tømmerstokker

Påstand 1 (Pål har større fart): Feil. Større lorentzfaktor betyr større fart, altså har Per størst fart.

Påstand 2 (Pål har lengre tømmerstokk): Riktig. I Espens system kontraheres stokkene: \(L = L_0/\gamma\). Per har størst \(\gamma\), altså korteste stokk. Pål har lengre stokk i Espens system.

r) Fotoelektrisk effekt

Påstand 1 er feil: Å øke frekvensen øker energien per foton (\(E = hf\)), men ikke nødvendigvis antall frigjorte elektroner. Antall frigjorte elektroner avhenger av lysintensiteten, altså hvor mange fotoner som treffer overflaten per sekund. Hvert foton med tilstrekkelig energi kan frigjøre maksimalt ett elektron, så det er antall fotoner – ikke energien til hvert foton – som bestemmer strømmen.

Påstand 2 er riktig: Det finnes en terskelfrekvens \(f_0 = W/h\), der \(W\) er utgangsarbeidet til materialet. Fotoner med frekvens under \(f_0\) har for lite energi til å frigjøre elektroner fra overflaten, uansett hvor intens belysningen er. Dette var nettopp observasjonen som Einstein forklarte i 1905 med fotonhypotesen, og som var uforenlig med den klassiske bølgeteorien for lys.

s) Comptonskollisjon

Bølgelengdeforskjell: Vinkelen mellom fotonenes fartsretninger er \(\theta = 180°\):

Kinetisk energi: Energibevaring gir:

t) Bølgefunksjoner og energi

De Broglie-bølgelengden er gitt ved \(\lambda = h/p\), der \(h\) er Plancks konstant og \(p\) er bevegelsesmengden. Kortere bølgelengde betyr større bevegelsesmengde, og dermed større kinetisk energi (\(E_k = p^2/(2m)\)). Denne sammenhengen er fundamental i kvantefysikken: alle materielle partikler har bølgeegenskaper, og bølgelengden er omvendt proporsjonal med bevegelsesmengden.

Elektron 1 har flere svingninger (kort \(\lambda_1\)) enn elektron 2 (lang \(\lambda_2\)), altså har elektron 1 høyest energi. Fysisk intuisjon: en partikkel med kort bølgelengde «oscillerer» raskt i rom, noe som krever høy bevegelsesmengde og dermed høy kinetisk energi.

Oppgave 2

a) Strømleder i magnetfelt (3 poeng)

1) Krefter:

• Tyngdekraften \(mg\) rett ned
• To trådkrefter (strekk) langs koppertrådene, skrått oppover
• Magnetisk kraft \(F_m = BIL\) horisontalt mot høyre

2) Strømretning:

Den magnetiske kraften er \(\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B}\). Med \(\vec{B}\) loddrett nedover og \(\vec{F}\) mot høyre: i sideskissen peker lederen ut av papiret (fra Q bak mot P foran). Høyrehåndsregelen gir at strømmen må gå fra Q til P.

3) Uttrykk for \(B\):

I likevekt med vinkel \(\alpha\) mellom koppertrådene og vertikalen:

b) Ekvivalensprinsippet (1 poeng)

Ekvivalensprinsippet er en av grunnpilarene i Einsteins generelle relativitetsteori. Det bygger på observasjonen at tung masse (som bestemmer gravitasjonskraften) og treghetsmasse (som bestemmer motstanden mot akselerasjon) er identiske. Et tankeeksperiment: en person i en lukket heis kan ikke avgjøre om heisen står i ro i et gravitasjonsfelt eller akselererer oppover i det ytre rom – alle fysiske eksperimenter gir identiske resultater i begge tilfeller.

c) Gravitasjonsrødforskyvning (2 poeng)

Stjerna har mye større masse enn jorda og dermed et sterkere gravitasjonsfelt ved overflaten. Lyset som sendes ut fra stjernas overflate må «klatre» ut av et dypt gravitasjonspotensial.

Ifølge generell relativitetsteori mister lyset energi når det beveger seg ut av gravitasjonsfeltet. Siden energien til et foton er \(E = hf\), betyr lavere energi lavere frekvens og dermed lengre bølgelengde.

Når lyset ankommer jorda (med svakere gravitasjonsfelt), er bølgelengden lenger enn da det ble sendt ut. Lyset er rødforskjøvet. Dette kalles gravitasjonsrødforskyvning.

d) Halvsirkelformet bane (4 poeng)

1) Startfarten \(v_0\) slik at klossen akkurat mister kontakt på toppen:

Sentrum av halvsirkelen er ved gulvnivå. Toppen av banen er ved høyde \(R\). Klossen er på innsiden av banen.

Ved toppen (\(h = R\)): klossen mister akkurat kontakt, \(N = 0\). Tyngdekraften gir sentripetalkraften:

Energibevaring fra start (\(h = \frac{3R}{4}\)) til toppen (\(h = R\)):

2) Fart \(v\) når en annen kloss mister kontakt ved høyde \(\frac{3R}{4}\):

Fra figuren: klossen er på utsiden av banen (øverste del) og glir nedover etter toppen. Ved høyde \(\frac{3R}{4}\):

Vinkel \(\varphi\) fra toppen (sentrum ved gulvnivå): \(R\cos\varphi = \frac{3R}{4}\), altså \(\cos\varphi = \frac{3}{4}\).

For en kloss på utsiden av banen (normalkraft peker bort fra sentrum):

Mister kontakt: \(N = 0\):

Del 2

Oppgave 3 – Skrått kast (6 poeng)

a) Høyeste punkt over gulvet

Vertikal startfart:

Maks høyde over startpunktet (der \(v_y = 0\)):

b) Horisontal avstand når ballen treffer gulvet

Horisontal startfart:

Vertikal bevegelse (gulvet er ved \(y = 0\)):

Andregradsformelen:

c) Bruk grafene til å argumentere for luftmotstand

Grafene viser isoporkulas posisjon i \(x\)- og \(y\)-retning som funksjon av tid.

• \(x\)-grafen: Uten luftmotstand ville \(x(t)\) vært en rett linje (konstant horisontal fart). Grafen viser at \(x(t)\) krummer og flater ut over tid – den horisontale farten avtar. Dette skyldes at luftmotstanden bremser den horisontale bevegelsen.
• \(y\)-grafen: Uten luftmotstand ville \(y(t)\) vært en symmetrisk parabel. Grafen viser at kurven er asymmetrisk – kula bruker kortere tid på å nå toppen enn på å falle ned. Oppover bremser både tyngdekraften og luftmotstanden, så kula stopper raskt. Nedover akselererer tyngdekraften, men luftmotstanden bremser, så fallet tar lengre tid. Luftmotstanden påvirker den vertikale bevegelsen og gir avvik fra det ideelle kastet.

d) Startfart fra grafene

Vi bestemmer startfarten fra stigningstallene i grafene ved \(t = 0\):

• Fra \(x\)-grafen: \(v_{0x} \approx \frac{\Delta x}{\Delta t}\) ved starten \(\approx 4\) m/s
• Fra \(y\)-grafen: \(v_{0y} \approx \frac{\Delta y}{\Delta t}\) ved starten \(\approx 3\) m/s

Oppgave 4 – Elektronkanon (5 poeng)

a1) Klassisk fart

Arbeid-energi-teoremet: \(eU = \frac{1}{2}m_e v^2\):

a2) Relativistisk fart

Kinetisk energi: \(E_k = (\gamma - 1)m_e c^2 = eU\):

b) De Broglie-bølgelengde for proton

Proton akselerert gjennom \(U = 6000\) V (klassisk er god tilnærming for proton):

Bevegelsesmengde: \(p = m_p v = 1{,}673\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}072\cdot 10^6 = 1{,}793\cdot 10^{-21}\) kg·m/s

c) Heisenbergs uskarphetsrelasjon

Heisenbergs uskarphetsrelasjon uttrykker en fundamental grense i kvantefysikken: jo mer nøyaktig vi kjenner posisjonen til en partikkel, desto mindre nøyaktig kan vi kjenne dens bevegelsesmengde, og omvendt. Dette er ikke en begrensning ved måleinstrumentene, men en iboende egenskap ved naturen som følger av bølge-partikkel-dualiteten.

Uskarpheten i posisjon settes lik de Broglie-bølgelengden: \(\Delta x = \lambda = 3{,}70\cdot 10^{-13}\) m. Fra uskarphetsrelasjonen:

Oppgave 5 – Planet (6 poeng)

a) Gravitasjonsfeltstyrken i P

Avstand fra sentrum til P: \(r_P = R + d = 2{,}30\cdot 10^7 + 5{,}50\cdot 10^7 = 7{,}80\cdot 10^7\) m

b) Fart ved overflaten

Gjenstanden passerer P med fart \(v_P = 9{,}80\) km/s \(= 9800\) m/s. Energibevaring:

c) Tid til gjenstanden treffer månen (programmering)

Måne: \(m = 1{,}50\cdot 10^{23}\) kg, radius \(r = 1{,}20\cdot 10^5\) m. Avstand fra P til månens sentrum: \(s = 1{,}00\cdot 10^7\) m. Månen er mellom planeten og P.

Gjenstanden slippes fra ro i P og faller mot planeten. Månen er i veien – gjenstanden treffer månens overflate.

gamma = 6.67E-11
M = 2.60E26       # planetens masse
m = 1.50E23       # månens masse
r_P = 7.80E7      # avstand planet-sentrum til P
s = 1.00E7         # avstand P til månens sentrum
r_moon = 1.20E5    # månens radius

v = 0
t = 0
x = 0              # avstand fra P mot planeten
dt = 0.01

# Månen er mellom planeten og P
# Månens sentrum er ved avstand s fra P (mot planeten)
# Gjenstanden treffer månens overflate ved x = s - r_moon

while x < s - r_moon:
    r_planet = r_P - x           # avstand til planetens sentrum
    d_moon = s - x               # avstand til månens sentrum
    a = gamma*M/r_planet**2 + gamma*m/d_moon**2
    v = v + a*dt
    x = x + v*dt
    t = t + dt

print(f"Tid: {t:.0f} s")

Begge himmellegemene trekker gjenstanden i samme retning (mot planeten/månen). Startakselerasjonen er ca. \(2{,}85 + 0{,}10 = 2{,}95\) m/s², og akselerasjonen øker etter hvert som gjenstanden nærmer seg.

Koden skriver ut:

2479.1000000076924

Dette er verdien av t (i sekunder) når løkken avslutter. Med riktig antall gjeldende siffer:

Oppgave 6 – Proton mellom plater (7 poeng)

a) Tid til protonet treffer nederste plata

Protonet starter midt mellom platene: avstand til plata \(= \frac{d}{2} = 4{,}10\) cm \(= 0{,}0410\) m.

Akselerasjon i \(y\)-retning:

b) Horisontal avstand \(x_1\)

c) Magnetfelt for rett bane

1) Retning: Den elektriske kraften peker nedover (mot negativ plate). For at protonet skal gå rett fram, må den magnetiske kraften balansere: \(\vec{F}_B\) oppover.

\(\vec{F}_B = q\vec{v}\times\vec{B}\). Med \(\vec{v}\) i \(+x\)-retning, for at kraften skal peke i \(+y\)-retning:

Sjekk: \(v_0\hat{x}\times(-B\hat{z}) = -v_0 B(\hat{x}\times\hat{z}) = -v_0 B(-\hat{y}) = v_0 B\hat{y}\) ✓ (oppover).

2) Vis at \(B = 3{,}00\) mT:

Likevekt: elektrisk kraft = magnetisk kraft:

d) Fart med \(B = 2{,}00\) mT

Med \(B = 2{,}00\) mT er magnetkraften ikke sterk nok til å balansere den elektriske kraften. Protonet bøyes nedover og treffer nederste plata. Banen er nå krum og komplisert å beregne direkte, men vi trenger heldigvis ikke å kjenne banen for å finne slutthastigheten.

Nøkkelinnsikten er at magnetkraften gjør aldri arbeid på en ladet partikkel. Lorentzkraften \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\) er alltid vinkelrett på hastigheten \(\vec{v}\), og en kraft vinkelrett på bevegelsesretningen endrer bare retningen – ikke farten. Magnetfeltet endrer altså protonet bane, men tilfører ingen kinetisk energi. Vi kan derfor bruke energibevaring der kun det elektriske feltet gjør arbeid:

Oppgave 7 – Magneter og induksjon (4 poeng)

a) Samlet magnetfelt

Med nordpolene mot hverandre (N–N) frastøter magnetene hverandre. Mellom magnetene:

• Feltlinjene kan ikke gå rett mellom polene (like poler frastøter)
• Feltlinjene bøyes radiellt utover i området mellom magnetene
• Rundt hver magnet: feltlinjene går fra nord- til sørpolen i en bue utenom den andre magneten

Resultatet er et felt som presses ut radiellt mellom magnetene, mens feltlinjene lukkes i store buer rundt begge magnetene.

b) Strømretning i spolen

Magnetene er festet på en stang med spolen plassert ved siden av, med spoleplanet vinkelrett på papirplanet. Magnetenes akse er vertikal, spolens akse er horisontal.

Med N–N-konfigurasjon peker det magnetiske feltet radiellt utover mellom magnetene – langs spolens akse. Når magnetene slippes og faller nedover, flytter det radiellt utoverpekende feltområdet seg nedover.

Like etter slipp: fluksen gjennom spolen avtar (feltet beveger seg bort fra spolen). Lenz' lov: indusert strøm motvirker denne endringen og opprettholder feltet → strømmen går med klokka sett fra aksens positive retning (fra høyre).

c) Bølgekraftverk

Bølgekraftverket henter energi fra bølgene slik:

1. Flytelegemet beveger seg opp og ned med bølgene
2. Denne bevegelsen overføres til stanga, som beveger seg vertikalt
3. Magnetene er festet på stanga og beveger seg opp og ned gjennom spolene (som er fastmontert til havbunnen)
4. Den endrede magnetiske fluksen gjennom spolene induserer en elektrisk spenning (Faradays induksjonslov)
5. Denne spenningen driver en strøm gjennom den ytre kretsen

Kinetisk energi fra bølgene omgjøres til elektrisk energi via elektromagnetisk induksjon.

d) Montere øverste magnet med sørpolen nederst

Originalt: N–N (frastøtende). Feltet mellom magnetene peker radiellt utover, vinkelrett på aksen. Spolen er plassert ved siden av med aksen horisontal – vinkelrett på magnetenes akse. Det radiellt utoverpekende feltet gir stor fluks gjennom spolen.

Ny konfigurasjon: S mot N (tiltrekkende). Feltet mellom magnetene peker langs aksen (fra N til S). Feltet er hovedsakelig parallelt med magnetenes akse (vertikalt) og har liten komponent langs spolens akse (horisontal). Dermed blir fluksen gjennom spolen mye mindre.