Del 1

Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver

a) Fallskjermhopper fra fly

Fallskjermhopperen starter med flyets horisontale fart og akselereres nedover av tyngdekraften. Luftmotstanden øker etter hvert som farten øker.

Når hopperen nærmer seg konstant fart (terminalfart), nærmer nettokraften seg null. Det betyr at akselerasjonen avtar gradvis mot null.

• A er feil: Den horisontale fartskomponenten endres fordi luftmotstand bremser horisontal bevegelse.
• B er feil: Den horisontale akselerasjonskomponenten endres (avtar) etter hvert som farten stabiliseres.
• C er feil: Den vertikale fartskomponenten øker (fra null) mot terminalfart, den minker ikke.
• D er riktig: Den vertikale akselerasjonskomponenten starter på \(g\) og minker mot null etter hvert som luftmotstanden balanserer tyngdekraften.

b) Kule skytes horisontalt fra høyde \(h\)

Den horisontale bevegelsen påvirker ikke falltiden. Dette er et grunnleggende prinsipp i prosjektilbevegelse: horisontale og vertikale komponenter er uavhengige når vi ser bort fra luftmotstand. Vertikalt har kula startfart null (skytes horisontalt), og den faller dermed likt som om den bare ble sluppet fra ro:

c) Lodd i to snorer mellom stolper

Løsningsfigur. Vinklene er målt i oppgavefiguren ved 300 dpi og målt tilbake ut av denne. Figur 1 er symmetrisk, så S₁ = S₂. I figur 2 har venstre snor minst vinkel med loddlinja og bærer mest: S₃ = 2,78·mg mot S₄ = 2,68·mg.

Figur 1: Loddet henger midt mellom, og snorene er symmetriske. Dermed er \(S_1 = S_2\). Påstand 1 (\(S_1 > S_2\)) er feil.

Figur 2: Loddet henger til venstre for midten. Snor 3 (fra venstre stolpe) er brattere (mer vertikal, mindre vinkel med vertikalen), og snor 4 (fra høyre stolpe) danner en flatere vinkel.

Horisontal likevekt: \(S_3 \sin\theta_3 = S_4 \sin\theta_4\). Siden \(\theta_3 < \theta_4\) (snor 3 er brattere), har vi \(\sin\theta_3 < \sin\theta_4\), og dermed \(S_3 > S_4\). Påstand 2 er riktig.

d) Kloss på skråplan med friksjon

Langs skråplanet: tyngdekomponenten nedover er \(mg\sin\alpha\), og friksjonskraften oppover er \(\mu N = \mu mg\cos\alpha\):

e) Kloss trukket av snor over trinse med lodd

Løsningsfigur. Når klossen nærmer seg trinsa, blir snora brattere: cos α faller fra 0,984 til 0,900, og den vannrette drivkraften T·cos α avtar.

Trinsen sitter over bordkanten. Når klossen beveger seg mot trinsen, øker vinkelen \(\alpha\) (snora blir brattere). Den horisontale komponenten av snorkraften er \(T\cos\alpha\). Etter hvert som \(\alpha\) øker, blir \(\cos\alpha\) mindre, og den horisontale kraften som trekker klossen avtar.

Med avtagende horisontal kraft vil akselerasjonen til klossen avta. Fysisk sett betyr dette at selv om loddet faller med konstant tyngdekraft, blir en stadig større andel av snorkraften rettet oppover (vertikalt) i stedet for horisontalt.

f) Pendel – summen av krefter på kula

Løsningsfigur. Kula i posisjon 1 står 22,7° fra loddlinja på en bane som spenner ±37,5° — altså ikke i en ytterstilling, akkurat som i oppgavens egen figur. Kreftene er regnet for en pendel sluppet fra 37,5°: S = m(g·cos θ + v²/L), og summen er mg·sin θ på tvers av snora pluss mv²/L langs den. Den ligger 56° fra snorretningen.

Posisjon 1 (et punkt på buen): Figuren viser kula et stykke innenfor enden av den stiplede banen, så kula er i bevegelse her. Newton langs snora gir \(S - mg\cos\theta = \dfrac{mv^2}{L}\); på tvers av snora er nettokraften \(mg\sin\theta\) inn mot likevekt. Summen har altså en komponent på tvers av snora så lenge \(\theta \neq 0\), og kan derfor ikke peke i snorretningen. Påstand 1 er feil. Konklusjonen holder også om posisjon 1 hadde vært ytterstillingen: da er \(v = 0\), og summen står vinkelrett på snora — heller ikke da langs den.

Posisjon 2 (laveste punkt): Kula beveger seg i sirkelbane. Summen av kreftene (nettokraften) er sentripetalkraften, som peker rett oppover mot opphengingspunktet. Snorkraften peker også rett oppover. Summen av kreftene peker i samme retning som snorkraften. Påstand 2 er riktig.

g) Kloss på sirkelformet bane – normalkraft

Løsningsfigur. Komponentene er regnet: Gy = G·cos 40° og Gx = G·sin 40°, og vektorsummen av dem er nøyaktig G. Siden N og Gy peker motsatt vei, må sentripetalkraften trekkes FRA: N = Gy − mv²/r.

Klossen glir på yttersiden av en sirkelformet (konveks) bane. Normalkraften \(N\) peker bort fra sentrum av sirkelen (utover, fra overflaten på klossen). Fra figuren peker \(G_y\) mot sentrum (radielt innover) – det er den radielle komponenten av tyngden.

Newtons 2. lov i radialretning (positiv mot sentrum):

h) Tre asteroider kolliderer med jorda

Vi bruker energibevaring. Alle asteroidene har samme kinetiske energi \(\frac{1}{2}mv_0^2\) og samme potensielle energi \(-\gamma\frac{mM}{r}\) i utgangspunktet (samme avstand \(r\) fra jorda).

Total mekanisk energi er den samme for alle tre. Ved jordoverflata har alle samme potensielle energi. Dermed har alle samme kinetiske energi, og dermed like stor fart ved treffpunktet. Det avgjørende prinsippet er at energibevaring kun avhenger av start- og sluttposisjon, ikke av banen mellom dem. Retningen på farten bestemmer banen asteroiden følger, men ikke den totale mekaniske energien.

i) Positivt ladd partikkel i E-felt og gravitasjonsfelt

Den elektriske kraften på den positive partikkelen peker i feltretningen, altså mot høyre. Tyngdekraften peker nedover. Nettokraften er summen av disse to konstante kreftene, som gir en konstant akselerasjon i en retning skrått nedover mot høyre.

Partikkelen starter fra ro og akselereres i en fast retning. Siden nettokraften er konstant (både i størrelse og retning), er akselerasjonen også konstant. En partikkel som starter fra ro med konstant akselerasjon beveger seg alltid i en rett linje langs akselerasjonsretningen – analogt med fritt fall, men her skrått i stedet for rett nedover.

j) To ladde kuler i snor – uttrykk for \(q\)

Løsningsfigur. MÅLT i oppgavefiguren: rettvinkelmerket står i den FASTE kula, og snora er hypotenusen med lengde d√2 og 44,7 grader fra loddlinja. Begge katetene er d, så tan 45° = 1 og q = d·√(mg/kₑ).

Fra figuren: den LODDRETTE kateten \(d\) går fra opphengingspunktet ned til den FASTE kula, og den VANNRETTE kateten \(d\) går fra den faste kula ut til den hengende kula. Snora er HYPOTENUSEN og har lengden \(d\sqrt{2}\). Rettvinkelen står i den FASTE kula, ikke i den hengende (målt i oppgavefiguren ved 300 dpi: rettvinkelmerket ligger inne i kula på stanga, og snora er målt til 44,7° fra loddlinja).

Snora danner 45° med vertikalen (fordi begge katetene er like lange, \(d\)).

Krefter på den hengende kula:

• Tyngdekraft: \(mg\) nedover
• Snorkraft: \(T\) langs snora oppover/innover
• Coulombkraft: \(F_e = k_e \frac{q^2}{d^2}\) horisontalt bort fra den andre kula

Likevekt horisontalt og vertikalt:

Deler den første på den andre:

k) Heliumkjerne sendes mot atomkjerne – programmering

1   q = 2*1.60E-19
2   Q = 79*1.60E-19
3   k = 8.99E9
4   m = 6.645E-27
5   
6   r = 1E-10
7   v = 2.9E7
8   d = 1.1E-13
9   t=0
10  dt = 1.0E-22
11  
12  while r > d:
13     a=
14     v = v + a*dt
15     r = r - v*dt
16     t = t + dt
17  print(t)

I programmet definerer positiv \(v\) som fart mot kjernen. Linje 14: \(\texttt{v = v + a*dt}\), linje 15: \(\texttt{r = r - v*dt}\) (avstand minker når \(v > 0\)).

Coulombkraften er frastøtende (begge positivt ladd), og virker mot bevegelsesretningen. For at \(v\) skal avta (partikkelen bremses), må \(a < 0\):

I Python-syntaks: a = -k*Q*q/(r**2*m). Merk at r**2 er \(r^2\), mens r*2 ville vært \(2r\) (feil).

l) To magneter med friksjon – fart-tid-graf

Fart-tid-graf for magneten (gjengitt etter oppgavesettet)

Fra grafen: farten øker fra 0 til maks \(\approx 0{,}77\) m/s ved ca. \(t = 0{,}10\) s, og avtar deretter tilnærmet rettlinjet til 0 ved \(t \approx 0{,}72\) s.

• A: Ved \(t = 0{,}1\) s er grafen nær toppen, og stigningstallet (akselerasjonen) er nær null. Akselerasjonen er størst ved \(t = 0\) (brattest stigning). Feil.
• B: Ved \(t = 0{,}1\) s er farten på sitt maksimale, dvs. akselerasjonen er null. Da er nettokraften null, som betyr at friksjonskraften og den magnetiske frastøtningskraften er like store. Riktig.
• C: Ved \(t = 0{,}2\) s avtar farten (negativ akselerasjon). Det betyr friksjonskraften er større enn den magnetiske frastøtningskraften. Feil.
• D: Arealet under grafen gir forflytningen. Trapesmetoden på avlesningene i figuren gir \(\approx 0{,}32\) m \(= 32\) cm, altså klart mer enn 15 cm. Feil.

m) Rett leder i magnetfelt – retning og strøm

Strømstyrken:

Retning på magnetfeltet: Vi bruker \(\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}\).

Med koordinater: \(\hat{x}\) = høyre, \(\hat{y}\) = opp, \(\hat{z}\) = ut av papiret.

Strøm nedover: \(I\vec{L} \propto -\hat{y}\). Kraft til venstre: \(\vec{F} \propto -\hat{x}\).

Magnetfeltet peker ut av papiret (i \(+\hat{z}\)-retning).

n) Ladd partikkel i magnetfelt – halvsirkelbane

Løsningsfigur. Radiene er MÅLT i oppgavefiguren ved sirkeltilpasning: den øverste banen er en ekte sirkel (r = 75 piksler), mens den nederste vokser fra 74 til 157 piksler – 2,1 ganger, altså vel 110 %. Med r = mv/(qB) og uendret fart må B ha minket.

Radius for en ladd partikkel i magnetfelt:

Magnetkraften er alltid vinkelrett på hastigheten og gjør derfor ikke arbeid. Det betyr at farten \(v\) er uendret.

Siden radius øker (spiralen blir større), og \(v\) er konstant, må \(B\) ha minket (fra \(r = mv/(qB)\): lavere \(B\) gir større \(r\)). Dette er et viktig prinsipp: magnetfeltet kan endre banens form, men aldri partikkelens fart. Grunnen er at magnetkraften \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) alltid er vinkelrett på hastigheten, slik at den bare endrer fartsretningen – aldri fartsstørrelsen.

o) Lukket strømsløyfe gjennom to områder med magnetfelt

Løsningsfigur (alternativ C). Lyspæra lyser bare når fluksen ENDRER seg. Over grensen mellom to motsatt rettede felt er endringen størst, for der skifter fluksen fortegn.

Lyspæra lyser når det er endring i magnetisk fluks gjennom sløyfa (indusert EMF). Fluks endres når sløyfa går inn i eller ut av et feltområde. Når sløyfa er helt inne i et homogent felt, er fluksen konstant og det er ingen indusert strøm.

Mellom de to områdene (med motsatt rettet felt) endres fluksen kontinuerlig. Lyspæra lyser når sløyfa krysser grensen mellom områdene, og slukker når den er helt inne i ett av områdene. Legg spesielt merke til at overgangen mellom to motsatt rettede felt gir en ekstra stor fluksendring, fordi fluksen ikke bare går mot null – den skifter fortegn. Denne raske endringen gir et kraftigere indusert EMF enn ved inn- eller utgang fra et enkelt feltområde.

Vi går gjennom de tre situasjonene som vises, og krever at alle tre stemmer:

• Sløyfa krysser venstre ytterkant (på vei inn i område 1): fluksen endres – lyspæra lyser.
• Sløyfa helt inne i område 1 (homogent felt): fluksen er konstant – lyspæra er slukket.
• Sløyfa krysser grensen mellom område 1 og område 2: fluksen skifter fortegn – lyspæra lyser.

Bare ett av alternativene har alle tre riktig. (Et alternativ viser sløyfa lysende når den er helt utenfor feltet – der er fluksen konstant null, så lyspæra skal være slukket.)

p) Treghetssystemer i spesiell relativitetsteori

I den spesielle relativitetsteorien er et treghetssystem et system der Newtons 1. lov gjelder – ingen akselerasjon.

• System 1: Vogn med konstant banefart i bunnen av en bakke. Banen er kurvet, så det er sentripetalakselerasjon. Ikke treghetssystem.
• System 2: Vogn med rettlinjet konstant akselerasjon. Ikke treghetssystem.
• System 3: Heis med konstant vertikal fart. Konstant hastighet (rettlinjet, konstant fart) betyr ingen akselerasjon. Treghetssystem.
• System 4: Kasse i fritt fall. I SR (med gravitasjon som en reell kraft) er kassen akselerert. Ikke treghetssystem.
• System 5: Karusell med konstant periode. Rotasjon gir sentripetalakselerasjon. Ikke treghetssystem.

q) Lengdekontraksjon av skolebygning

Lengdekontraksjon: bevegelige objekter (sett fra toget beveger skolebygningen seg) forkortes i bevegelsesretningen:

r) Klokker på roterende skive

Påstand 1: Klokke 2 (ved kanten) har høyere fart enn klokke 1 (nær sentrum). Tidsdilatasjon: klokker som beveger seg raskere går saktere. Klokke 2 går saktere enn klokke 1. Påstandene er feil.

Påstand 2: Klokke 2 beveger seg relativt til klokke 3 (som er i ro). Tidsdilatasjon gir at klokke 2 går saktere enn klokke 3, ikke raskere. Påstanden er feil.

s) Lyssignal mellom to identiske planeter

Påstand 1: Når lyset forlater planet A (klatrer ut av gravitasjonsbrønnen), blir det rødforskjøvet. Når det faller inn mot planet B, blir det blåforskjøvet. Altså først rødforskjøvet, deretter blåforskjøvet – motsatt av påstanden. Feil.

Påstand 2: Siden planetene er identiske, er rødforskyvningen fra A eksakt lik blåforskyvningen mot B. Netto effekt: bølgelengden ved mottak er lik bølgelengden ved sending. Riktig.

t) Kvantepartikkel – bølgepakke som sprer seg

Bølgepakken sprer seg i rommet, altså \(\Delta x_1 > \Delta x_0\).

Uskarphetsrelasjonen: \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}\). Siden \(\Delta p_0\) er den minste mulige uskarpheten ved \(t_0\), har vi \(\Delta x_0 \cdot \Delta p_0 = \frac{h}{4\pi}\).

Ved \(t_1\) er \(\Delta x_1 > \Delta x_0\). Den minste mulige \(\Delta p_1\) oppfyller \(\Delta x_1 \cdot \Delta p_1 = \frac{h}{4\pi}\), som gir \(\Delta p_1 = \frac{h}{4\pi \Delta x_1} < \frac{h}{4\pi \Delta x_0} = \Delta p_0\).

Oppgave 2

a) Elektron i E- og B-felt

Løsningsfigur. Elektronet er NEGATIVT: den elektriske kraften peker motsatt av E, altså nedover, mens den magnetiske peker motsatt av v×B, altså oppover. Rettlinjet bane krever eE = evB, altså v = E/B.

1) Vis at \(v = E/B\):

For at elektronet skal bevege seg rettlinjet, må nettokraften være null. Elektronet (ladning \(-e\)) påvirkes av:

• Elektrisk kraft: \(\vec{F}_e = (-e)\vec{E}\). Feltet peker oppover, så kraften på elektronet er nedover: \(F_e = eE\).
• Magnetisk kraft: \(\vec{F}_m = (-e)\vec{v} \times \vec{B}\). Med \(\vec{v}\) mot høyre og \(\vec{B}\) ut av papiret: \(\vec{v} \times \vec{B}\) peker nedover. Ganget med \(-e\) gir kraft oppover: \(F_m = evB\).

Likevekt:

2) Vurder påstandene til Håkon og Johanna:

Det nye elektronet har samme retning men mindre fart (\(v' < E/B\)).

Håkon påstår at kraftsummen har retning nedover like etter at elektronet kommer inn.

Den elektriske kraften er fortsatt \(eE\) nedover. Den magnetiske kraften er \(ev'B\) oppover. Siden \(v' < E/B\):

Nettokraften peker nedover. Håkon har rett.

Johanna påstår at størrelsen på den magnetiske kraften vil være konstant.

Magnetkraften har størrelse \(|F_m| = ev'B\). Magnetkraften alene gjør ikke arbeid (alltid vinkelrett på hastigheten), men det elektriske feltet \(E\) gjør arbeid på elektronet. Siden nettokraften peker nedover (som vi viste over), akselereres elektronet, og farten \(v'\) øker. Magnetfeltet \(B\) er konstant, men siden \(v'\) øker, øker også \(ev'B\). Johanna tar feil – størrelsen på magnetkraften er ikke konstant, den øker.

b) Kloss og vogn på skråplan

Løsningsfigur. Kraftlengdene er regnet av likevekten: N₁ = mg·cos α, N₂ = 2mg·cos β og T = m(a + g·sin α) med a = g(2 sin β − sin α)/3. Snorkraften T er den samme på begge legemene.

1) Krefter på klossen:

• Tyngdekraften \(mg\) rett nedover
• Normalkraften \(N_1\) vinkelrett på skråplanet (ut fra overflata)
• Snorkraften \(T\) langs skråplanet oppover

2) Krefter på vogna:

• Tyngdekraften \(Mg = 2mg\) rett nedover
• Normalkraften \(N_2\) vinkelrett på skråplanet (ut fra overflata)
• Snorkraften \(T\) langs skråplanet oppover

3) Akselerasjonen:

Siden \(\beta > \alpha\), glir vogna nedover sitt skråplan og trekker klossen oppover. Newtons 2. lov langs skråplanene:

For klossen (oppover langs planet er positiv):

For vogna (nedover langs planet er positiv):

Adderer likningene:

c) Vannkraftverk med hjul og spole

Faradays induksjonslov:

Økt vanntilførsel gir at hjulet roterer raskere. Når hjulet roterer raskere:

• Magnetene passerer spolen med høyere fart.
• Den magnetiske fluksen gjennom spolen endres raskere, dvs. \(\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\) øker.
• Ifølge Faradays lov gir en raskere fluksendring en større indusert spenning.

Del 2

Oppgave 3 – Ball fra brygge

a) Vis at det tar 1,8 s fra ballen sparkes til den treffer vannet

Vi setter opp et koordinatsystem med origo ved sparkepunktet, positiv y-retning oppover.

Horisontale og vertikale komponenter av startfarten:

Ballen treffer vannet når \(y = -h = -2{,}0\) m:

Andregradsformelen:

b) Horisontal avstand fra bryggekanten

Vi bruker \(t = 1{,}8\) s (som vist i oppgave a):

c) Farten for å treffe midt på flåten

Løsningsfigur. Banen er REGNET av banelikningen med α = 30° og v₀ = 14,74 m/s, ikke tegnet etter øyemål. Treffpunktet ligger 1,50 m under sparkepunktet – ikke 2,0 m, for flåten stikker 0,50 m opp av vannet.

Midt på flåten: horisontal avstand = 20 + 1,5 = 21,5 m. Vertikal posisjon: flåtens topp er 0,50 m over vannet, brygga er 2,0 m over vannet. Altså \(y = -(2{,}0 - 0{,}50) = -1{,}50\) m relativt til sparkepunktet.

Banelikningen (eliminerer \(t\)):

Setter inn \(x = 21{,}5\) m, \(y = -1{,}50\) m, \(\alpha = 30°\):

Oppgave 4 – Luna-25 romsonde

a) Vis at farten var 1,44 km/s ved 900 km fra overflata

Energibevaring mellom posisjon 1 (900 km over overflata) og posisjon 2 (overflata):

Der \(r_1 = R_{\text{måne}} + 900 \text{ km} = 1737 + 900 = 2637 \text{ km} = 2{,}637 \cdot 10^6\) m og \(r_2 = R_{\text{måne}} = 1{,}737 \cdot 10^6\) m.

Forenkler (massen \(m\) forkortes):

Beregner \(\gamma M\):

b) Tid fra 900 km til overflata – programmering

1   r=
2   v=
3   t=
4   dt = 0.001
5   
6   while       :
7      a=
8      v=
9      r=
10     t = t + dt
11  print( )

Vi antar at romsonden faller rettlinjet mot månen. Vi bruker Eulers metode:

G = 6.67E-11
M = 7.35E22
R = 1.737E6

r = R + 900E3       # 2.637E6 m (startavstand fra sentrum)
v = 1440             # m/s (startfart mot månen)
t = 0
dt = 0.001           # tidssteg i sekunder

while r > R:
    a = G*M/r**2     # gravitasjonsakselerasjon mot månen
    v = v + a*dt
    r = r - v*dt     # r minker når v > 0
    t = t + dt

print(t)

Vi kan først kontrollere størrelsesordenen med et grovt overslag: gjennomsnittsfarten er omtrent \(\frac{1440 + 2000}{2} = 1720\) m/s over 900 000 m, altså \(t \approx 900\,000/1720 \approx 523\) s. Overslaget blir litt for kort, fordi sonden bruker mest tid i den første delen der farten er lavest.

Kjører vi programmet (\(dt = 0{,}001\) s), får vi den nøyaktige falltiden:

Programmet gir samtidig sluttfarten 2 000 m/s ved overflata, som bekrefter svaret i oppgave a.

c) Rundetid i sirkelbane 900 km over månen

Baneradius: \(r = R_{\text{måne}} + 900 \text{ km} = 2{,}637 \cdot 10^6\) m.

Banefart i sirkelbane (gravitasjonskraft = sentripetalkraft):

Rundetid:

Oppgave 5 – Tankeeksperiment med \(c = 300\) m/s

a) Lengre eller kortere falltid for Mikkel?

Ballslippet skjer i Nils' referansesystem (hvilesystemet til ballen). Falltiden 1,00 s er egentiden for denne hendelsen, fordi start- og sluttbegivenheten (slipp og treff) skjer på samme sted i Nils' system.

I Mikkels referansesystem (toget) beveger Nils og ballen seg. Ifølge tidsdilatasjon går bevegelige klokker saktere, dvs. Mikkel observerer at det tar lengre tid. Fysisk intuisjon: i Mikkels system beveger ballen seg både nedover og sidelengs, slik at den tilbakelegger en lengre bane. Siden lysfarten er den samme i alle referansesystemer, må tiden som har gått være lengre for at fysikkens lover skal være konsistente.

b) Mikkels falltid

Togfart: \(v = 280 \text{ km/h} = \frac{280}{3{,}6} = 77{,}8\) m/s. Lysfart: \(c = 300\) m/s.

Lorentzfaktoren:

Mikkels falltid (tidsdilatasjon):

c) Skisse og lengdemål for ballen sett av Mikkel

I Mikkels referansesystem beveger ballen seg med fart 77,8 m/s. Lengdekontraksjonen skjer kun i bevegelsesretningen (horisontal).

• Diameter vinkelrett på bevegelsen (vertikal): uendret = 15,9 cm
• Diameter langs bevegelsesretningen (horisontal): kontrahert

Oppgave 6 – Fotoelektrisk effekt og kvantepartikler

a) Frigjøringsarbeidet

Fotonenergi:

Einsteins ligning for den fotoelektriske effekten:

b) Beregning av maksimal kinetisk energi fra kretsen

Løsningsfigur (skjematisk). Spenningen økes gradvis mens amperemeteret leses av. Ved stoppespenningen U₀ når ikke engang de raskeste elektronene fram, og strømmen blir null. Da er E(k, maks) = e·U₀.

Figuren viser en krets med en variabel spenningskilde og et amperemeter koblet til metalloverflata.

Ved å øke spenningen \(U\) (med positiv pol mot metallplata) kan vi bremse de frigjorte elektronene. Prinsippet er at det elektriske feltet mellom platene gjør negativt arbeid på elektronene – det bremser dem. Når spenningen er akkurat stor nok til å stoppe de mest energirike elektronene, er dette stoppespenningen \(U_0\).

Praktisk: vi øker spenningen gradvis mens vi leser av amperemeteret. Ved stoppespenningen faller strømmen (amperemeteret) til null, fordi selv de raskeste elektronene ikke lenger klarer å nå motelektroden. Da gjelder:

c) Uskarpheten i bevegelsesmengde i y-retning

Elektronene går gjennom en spalte med åpning 12 nm i y-retning. Uskarpheten i posisjon: \(\Delta y = 12 \text{ nm} = 12 \cdot 10^{-9}\) m.

Heisenbergs uskarphetsrelasjon:

Minste mulige uskarphet:

d) Elektron gjennom to spalter

Løsningsfigur (skjematisk vifte). Første spalte begrenser posisjonen i y-retning til 12 nm, og uskarphetsrelasjonen gir da en uskarphet i bevegelsesmengde i y-retning. Bølgefunksjonen sprer seg, og bare en del av fordelingen treffer den andre åpningen.

Elektronet er en kvantepartikkel og beskrives av en bølgefunksjon. Når elektronet passerer gjennom den første spalten (åpning 12 nm), begrenses dets posisjon i y-retning til \(\Delta y = 12\) nm.

Ifølge Heisenbergs uskarphetsrelasjon får elektronet da en usikkerhet i bevegelsesmengde i y-retning: \(\Delta p_y \geq \frac{h}{4\pi \cdot \Delta y}\). Dette betyr at elektronet kan få en hastighetskomponent i y-retning etter den første spalten.

Bølgefunksjonen sprer seg (diffrakteres) etter den første spalten. Når elektronet når den andre spalten, har bølgefunksjonen en utstrekning som kan være større enn spalteåpningen. Sannsynligheten for å finne elektronet akkurat i spalteåpningen er derfor ikke 100 %.

Oppgave 7 – Stavmagnet gjennom spole

Indusert spenning som funksjon av tid når stavmagneten faller gjennom spolen (gjengitt etter måledataene i oppgavesettet)

a) Retning på det induserte magnetfeltet i spolen

1) Når magneten faller mot spolen (nordpolen ned):

Magnetisk fluks gjennom spolen øker (nordpolen nærmer seg, feltet nedover gjennom spolen øker). Ifølge Lenz' lov motvirker det induserte feltet endringen. Det induserte magnetfeltet peker oppover (mot magneten, for å motvirke den økende fluksen nedover). Man kan tenke på dette som at spolen «prøver å skyve magneten bort» – den oppfører seg som en magnet med nordpolen oppover, som frastøter den innkommende nordpolen.

2) Når magneten forlater spolen (nordpolen har passert gjennom):

Magnetisk fluks gjennom spolen avtar (nordpolen beveger seg bort nedover). Det induserte feltet prøver å opprettholde fluksen. Det induserte magnetfeltet peker nedover (i samme retning som magnetens felt, for å motvirke den minkende fluksen). Nå «prøver spolen å holde magneten tilbake» – den tiltrekker den forsvinnende sydpolen ved å lage et felt i samme retning.

b) Hvorfor er \(|\varepsilon_{\text{maks}}|\) mindre ved inngang enn utgang?

Magneten slippes fra ro og akselereres av tyngdekraften. Når magneten kommer inn i spolen, har den lavere fart enn når den forlater spolen (den har akselerert gjennom spolen).

Ifølge Faradays lov: \(\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt}\). Raten for fluksendring \(\frac{d\Phi}{dt}\) er proporsjonal med magnetens fart. Høyere fart gir raskere fluksendring og dermed større indusert EMF.

c) Endring i magnetisk fluks

Fra grafen: \(|\bar{\varepsilon}| = 0{,}23\) V ved inngang (\(\Delta t_1 = 0{,}12\) s) og \(|\bar{\varepsilon}| = 0{,}31\) V ved utgang (\(\Delta t_2 = 0{,}21 - 0{,}12 = 0{,}09\) s).

Faradays lov: \(|\bar{\varepsilon}| = N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\), altså \(|\Delta\Phi| = \frac{|\bar{\varepsilon}| \cdot \Delta t}{N}\).

Intervallet \(0 < t < 0{,}12\) s (magneten kommer inn):

Intervallet \(0{,}12\text{ s} < t < 0{,}21\) s (magneten forlater):

d) Vurdering av måleresultater mot Faradays lov

Ifølge Faradays lov: \(|\bar{\varepsilon}| = N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\). Hvis \(|\Delta\Phi|\) er den samme for alle forsøk (samme magnet og spole), da skal produktet \(|\bar{\varepsilon}| \cdot \Delta t = N \cdot |\Delta\Phi|\) være konstant.

Vi beregner produktet for hvert forsøk:

Produktet \(\bar{\varepsilon} \cdot \Delta t\) varierer mellom 0,0264 og 0,0278, med gjennomsnitt \(\approx 0{,}0271\).

Usikkerhetsvurdering: Med 5 % usikkerhet i \(\Delta t\) og 1 % i \(\bar{\varepsilon}\) er den samlede usikkerheten i produktet ca. 6 %. 6 % av 0,0271 gir \(\pm 0{,}0016\). Intervallet \(0{,}0255\) til \(0{,}0287\) dekker alle måleverdiene.