Del 1

Oppgave 1 – Flervalgsoppgaver

a) Usikkerhet i masse \(m\)

Relativ usikkerhet i et produkt/kvotient er summen av de relative usikkerhetene til hver faktor. Dette er en grunnregel i feilforplantning: når størrelser multipliseres eller divideres, adderes de relative usikkerhetene. Ladningen \(q\) er en eksakt konstant (elementærladningen) og bidrar derfor ikke til usikkerheten. Formelen har tre målte størrelser – \(B\), \(r\) og \(v\) – som hver bidrar med sin usikkerhet.

b) Kule med skrått kast – endret utgangsvinkel

Flytiden for et skrått kast er:

Siden \(0° < \alpha < 45°\), er \(0° < 2\alpha < 90°\). For begge vinklene er sinusverdien positiv, men \(\sin(2\alpha) > \sin(\alpha)\) for \(\alpha\) i dette intervallet.

c) Ball kastet ut av bil – uten luftmotstand

Ballen har to hastighetskomponenter i det den kastes: bilens fart \(v\) mot høyre (horisontal) og kastehastigheten vinkelrett nedover (fra bilens perspektiv). Uten luftmotstand bevarer ballen den horisontale farten \(v\) mot høyre, akkurat som bilen.

Ballen beveger seg derfor like langt mot høyre som bilen i løpet av flytiden. Vinkelrett på fartsretningen beveger ballen seg bort fra bilen.

Resultatet: ballen lander rett til siden for bilens posisjon (like langt fremme som bilen, men forskjøvet vinkelrett på kjøreretningen).

d) Ball kastet ut av bil – med luftmotstand

Med luftmotstand bremses ballen i begge retninger. Bilen kjører med konstant fart (den har motor), men ballen mister horisontal fart på grunn av luftmotstanden. Dermed faller ballen bak bilen i horisontal retning.

I tillegg bremses ballens bevegelse vinkelrett på bilen, slik at den ikke kommer like langt ut til siden.

e) Kloss på skråplan med friksjon – fart-tid-graf

Løsningsfigur. Begge akselerasjonene er konstante, så begge fasene er rettlinjede. Den første linja er brattest fordi friksjonen legger seg TIL tyngdekomponenten på vei opp og trekker FRA på vei ned.

På vei opp: Både tyngdekomponenten langs planet og friksjonen virker nedover langs planet (bremsende). Retardasjonen er konstant: \(a_{\text{opp}} = g\sin\theta + \mu g\cos\theta\). Farten avtar raskt og lineært.

På vei ned: Tyngdekomponenten virker nedover langs planet (akselererende), mens friksjonen virker oppover (bremsende). Akselerasjonen er konstant, men mindre: \(a_{\text{ned}} = g\sin\theta - \mu g\cos\theta\). Farten øker saktere, men fortsatt lineært.

Siden begge akselerasjonene er konstante (friksjonskraft og tyngdekomponent er begge konstante), er grafen rettlinjet i begge faser – ikke kurvet. Grafen har et knekkpunkt der farten er null (vendepunktet). Stigningstallet er brattere (større absoluttverdien) på vei opp enn på vei ned.

Graf A viser to rette linjesegmenter med knekkpunkt ved null, der det første er brattest – dette er det korrekte svaret. Graf C har også to tilnærmet rette segmenter, men i motsatt rekkefølge: slakest på vei opp og brattest på vei ned. Grafene B og D er kurvede, altså ikke-lineære, noe som ville krevd ikke-konstante krefter (f.eks. luftmotstand).

f) Kule i horisontal sirkelbane – kraftsummen

Selv om banefarten er konstant, endrer retningen seg hele tiden i en sirkelbevegelse. Det betyr at hastigheten (som er en vektor) endrer seg, og det finnes en akselerasjon. Denne akselerasjonen kalles sentripetalakselerasjon og peker alltid inn mot sentrum av sirkelbanen. Størrelsen på sentripetalakselerasjonen er \(a = v^2/r\), der \(v\) er banefarten og \(r\) er radius.

Ifølge Newtons 2. lov: \(\vec{F}_{\text{netto}} = m\vec{a}\). Siden akselerasjonen peker mot sentrum, må også kraftsummen peke mot sentrum. Denne nettokraften kalles sentripetalkraften, og den er ikke en «ny» kraft – den er resultanten av de faktiske kreftene som virker (for eksempel snorkraft, gravitasjon eller normalkraft).

g) Motorsyklist i vertikal loop – normalkraft

Posisjonene er målt i oppgavesettet: 3°, 43°, 179° og 94° fra toppen. Pillengdene følger N = mv²/r − mg·cos φ.

I en vertikal loop med konstant banefart \(v\) og radius \(r\) avhenger normalkraften av posisjonen. La \(\theta\) være vinkelen fra bunnen:

der \(\theta = 0\) i bunnen og \(\theta = 180°\) i toppen. (I bunnen, \(\cos 0° = 1\): \(N = \frac{mv^2}{r} + mg\); i toppen, \(\cos 180° = -1\): \(N = \frac{mv^2}{r} - mg\).)

• Posisjon 1 (topp, \(\theta = 180°\)): I toppen peker tyngden og normalkraften begge mot sentrum: \(N + mg = \frac{mv^2}{r}\), altså \(N = \frac{mv^2}{r} - mg\). Dette er den minste normalkraften.
• Posisjon 2 (omtrent 45° fra topp): Tyngdekraftens komponent mot sentrum er \(mg\cos\phi\) (der \(\phi\) er vinkel fra toppen). Normalkraften: \(N = \frac{mv^2}{r} - mg\cos\phi\). Mellom topp og side.
• Posisjon 4 (venstre side, 90° fra topp): \(\cos 90° = 0\), så \(N = \frac{mv^2}{r}\). Middels.
• Posisjon 3 (bunn, 180° fra topp): \(N - mg = \frac{mv^2}{r}\), altså \(N = \frac{mv^2}{r} + mg\). Dette er den største normalkraften.

Fra minst til størst: 1, 2, 4, 3.

h) Uttrykket \(\gamma M / d^2\)

Gravitasjonsfeltstyrken (tyngdeakselerasjonen) ved avstand \(d\) fra sentrum av en planet er:

Dette er feltstyrken – gravitasjonskraft per masseenhet. Intuitivt beskriver den «hvor sterkt gravitasjonsfeltet trekker» ved en gitt posisjon, uavhengig av hvilken masse som plasseres der. Det er ikke gravitasjonskraften (som ville vært \(\gamma Mm / d^2\) og avhenger av astronautens masse), ikke unnslipningsfarten (\(v = \sqrt{2\gamma M/d}\)), og ikke potensiell energi (\(-\gamma Mm/d\)). Feltstyrken er numerisk lik tyngdeakselerasjonen \(g\) ved avstand \(d\) fra planetens sentrum.

i) Planet som roterer fort – summen av kreftene

Ved ekvator virker gravitasjonskraften innover og normalkraften utover. Nettokraften gir sirkelbevegelse (sentripetalkraft):

Vi vet at \(N = \frac{1}{2}G = \frac{1}{2}\frac{\gamma mM}{R^2}\). Dermed:

j) Programmering – partikkel A slippes nær partikkel B

1   q = 1.5e-8
2   Q = 2*q
3   k = 8.99e9
4   m = 0.00005
5   
6   t=0
7   r = 0.01          # Posisjon ved t = 0
8   v=0               # Fart ved t = 0
9   dt = 0.0001
10  
11  while r < 0.1:
12     a=
13     v = v + a*dt
14     r = r + v*dt
15     t = t + dt
16  print(v)

Coulombs lov gir kraften mellom to ladninger:

Akselerasjonen til partikkel A (med masse \(m\)):

I koden er variablene definert som q, Q, k, m, r. Riktig uttrykk:

k) Ladd partikkel mellom to plater

Det elektriske feltet peker nedover (\(\vec{E}\) nedover). Partikkelen bøyer oppover, altså er den elektriske kraften oppover: \(\vec{F} = q\vec{E}\). For at kraften skal peke oppover når feltet peker nedover, må ladningen være negativ.

Det elektriske feltet utfører arbeid på partikkelen. Kraften har en komponent langs bevegelsesretningen (oppover-komponenten), som akselererer partikkelen. Partikkelen får en vertikal hastighetskomponent i tillegg til den horisontale (som er uendret). Totalfarten øker:

l) Elektron i kryssede felt

Gjengivelse av oppgavesettets figur, med den elektriske kraften lagt til. Elektronet er negativt, så kraften peker MOT feltet — altså mot høyre — og virker som en vannrett «tyngdekraft».

La oss analysere påstandene:

• A. Elektronet følger en sirkelbane: I et rent magnetfelt ville elektronet fulgt en sirkelbane, men det elektriske feltet akselererer elektronet i tillegg. Banen er ikke en ren sirkel. Feil.
• B. Den magnetiske kraften på elektronet er konstant: Magnetkraften er \(F = qvB\). Siden det elektriske feltet endrer farten, endres også magnetkraften. Feil.
• C. Den magnetiske kraften utfører et arbeid på elektronet: Magnetkraften er alltid vinkelrett på hastigheten, så den utfører aldri arbeid. \(W = 0\). Feil.
• D. Elektronet har minst fart ved punktet R: Det elektriske feltet peker mot venstre, og kraften på elektronet (negativt ladet) peker mot høyre. Den elektriske kraften på elektronet er konstant og rettet mot høyre (feltet peker mot venstre, og elektronet er negativt). Den virker som en «tyngdekraft» i vannrett retning, slik at den kinetiske energien bare avhenger av hvor langt til høyre elektronet er. Punktet R ligger lenger til venstre enn S, så farten er minst i R – uansett hvilken vei elektronet gjennomløper banen. Riktig.

m) To partikler i magnetfelt – ladning og masse

Radiene er målt i oppgavesettet med omskreven sirkel gjennom punkttripler på originalpikslene: r_A = 113,3 px mot r_B = 422,0 px, forhold 1 : 3,73. Figuren beholder forholdet (sirkelporten måler 1,40 mot 5,22 lengdeenheter ut av bildet). Liten radius betyr liten masse, siden r = mv/(|q|B).

Magnetfeltet peker ut av papirplanet (\(\vec{B}\) ut av papiret). Partiklene beveger seg mot høyre. Kraften er \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\).

Fra figuren bøyer partikkel A oppover og partikkel B nedover. For en positiv ladning med \(\vec{v}\) mot høyre og \(\vec{B}\) ut av papiret: \(\vec{F} = q(\hat{x} \times \hat{z})v B = -qvB\hat{y}\) (nedover). Så B (som bøyer nedover) har positiv ladning, og A (som bøyer oppover) har negativ ladning.

Radius for sirkelbane i magnetfelt: \(r = \frac{mv}{|q|B}\). I figuren snur partikkel A i en trang bane – den vender helt om (en halvsirkel) innenfor et lite område – mens partikkel B bøyer av bare svakt og følger en bane med langt større radius. Altså er \(r_A < r_B\). Siden farten og magnetfeltet er like, og vi antar like store ladninger (absoluttverdien):

Med like absoluttverdier av ladning gir dette \(m_A < m\).

n) To ledere i kryss – magnetfelt null

Gjengivelse av oppgavesettets figur, med feltbidragene i punkt 1 og 2 lagt til. Avstanden gir størrelsen på bidragene; høyrehåndsregelen gir retningen.

Hvert punkt på vinkelhalveringslinjen er like langt fra begge lederne. Dermed er feltbidraget fra hver leder like stort i størrelse, og spørsmålet er bare om bidragene har motsatt retning.

Strømretningene i figuren: den ene lederen (fra nedre venstre mot øvre høyre) fører strømmen mot øvre høyre, den andre (fra øvre venstre mot nedre høyre) fører strømmen mot øvre venstre. Vi legger krysningspunktet i origo og skriver strømretningene som \(\hat{u}_1 = (\cos\theta,\ \sin\theta)\) og \(\hat{u}_2 = (-\cos\theta,\ \sin\theta)\). Feltet fra en lang, rett leder er rettet slik at \(B_z \propto (\hat{u} \times \hat{d})_z\), der \(\vec{d}\) går vinkelrett fra lederen ut til punktet.

Punkt 1 ligger på den vannrette linja L2, til høyre for krysset, i \(P = (a,\ 0)\):

Begge bidragene peker samme vei, så de adderer seg – feltet er ikke null. Det samme gjelder punkt 3 ved symmetri.

Punkt 2 ligger på den loddrette linja L1, over krysset, i \(P = (0,\ b)\):

Bidragene er like store (samme avstand) og motsatt rettet, så de opphever hverandre. Det samme gjelder punkt 4.

Regelen er at feltet nuller seg langs halveringslinja for vinkelen mellom strømretningene – her mot øvre høyre og mot øvre venstre, altså den loddrette linja L1.

o) Tre strømsløyfer og induksjonsstrøm

Gjengivelse av oppgavesettets tre paneler, med strømretningen lagt til. Lenz' lov: strømmen går med klokka der fluksen inn i papiret minker.

Vi bruker Lenz' lov: induksjonsstrømmen motvirker endringen i fluks.

• Situasjon 1: Sløyfen beveger seg ut av feltet. Fluksen inn i papirplanet minker. Induksjonsstrømmen må skape et felt inn i papirplanet (motvirke minskningen). Med høyrehåndsregelen: strømmen går med klokka.
• Situasjon 2: Lederen glir mot høyre og øker arealet. Fluksen inn i papirplanet øker. Induksjonsstrømmen må skape et felt ut av papirplanet. Strømmen går mot klokka.
• Situasjon 3: Magnetisk flukstetthet minker. Fluksen inn i papirplanet minker. Induksjonsstrømmen må skape et felt inn i papirplanet. Strømmen går med klokka.

Situasjon 1 og 3 gir strøm med klokka, mens situasjon 2 gir strøm mot klokka.

p) Romskip med høy fart – lengdekontraksjon

Romskipets lengde: Romskipet beveger seg i forhold til jordobservatøren. Lengdekontraksjonen gir at jordobservatøren måler romskipet kortere enn romfareren:

Avstanden mellom personene: Personene er i ro på jorda. Fra romskipets perspektiv beveger jorda seg. Lengder parallelt med bevegelsesretningen kontraheres:

Begge observatører ser lengder i den andres referansesystem som kontrahert langs bevegelsesretningen.

q) Programkode – beregning på elektron

1   from pylab import *
2   
3   def f(m,c,v):
4       return m*c**2/(sqrt(1 - (v/c)**2)) - m*c**2
5   
6   m = 9.11e-31
7   c = 3.00e8
8   dv = 0.01*c
9   v=0
10  v_liste = [v]
11  f_liste = [0]
12  
13  while v < 0.99*c:
14    v = v + dv
15    v_liste.append(v)
16    f_liste.append(f(m,c,v))
17  plot(v_liste, f_liste)
18  show()

La oss analysere funksjonen:

Dette er den relativistiske kinetiske energien:

Programmet plotter altså kinetisk energi som funksjon av fart. Vi kan bekrefte dette: \(f(m,c,0) = mc^2/1 - mc^2 = 0\), og kinetisk energi er null når farten er null.

r) De Broglie-bølgelengde og akselerasjonsspenning

Kinetisk energi fra akselerasjon: \(\frac{1}{2}mv^2 = qU\), altså \(v = \sqrt{2qU/m}\).

Bevegelsesmengde: \(p = mv = m\sqrt{2qU/m} = \sqrt{2mqU}\).

De Broglie-bølgelengde:

Når \(U\) øker, øker den kinetiske energien til ionet, som gir høyere fart og dermed større bevegelsesmengde \(p\). Siden \(\lambda\) er omvendt proporsjonal med \(p\), minker bølgelengden. Mer presist ser vi at \(\lambda \propto 1/\sqrt{U}\), så en firedobling av spenningen halverer bølgelengden. Dette prinsippet brukes i elektronmikroskoper, der høy akselerasjonsspenning gir kort bølgelengde og dermed bedre oppløsning.

s) Bølgefunksjon – posisjonsuskarphet

Gjengivelse av oppgavesettets to grafer. Målt i originalen har begge seks topper på de samme x-verdiene; i B er høydeforholdene 0,463 / 0,823 / 1 / 0,823 / 0,463 / 0,179, altså en gaussisk innhylling.

Påstand 1: Partikkel A har \(|\Psi|^2\) jevnt fordelt over hele x-intervallet. Partikkel B har toppene på de samme stedene, men under en klokkeformet innhylling, slik at sannsynligheten er samlet i midten — spredningen er mindre. Dermed har A større posisjonsuskarphet enn B. Riktig.

Påstand 2: Ifølge Heisenbergs uskarphetsrelasjon \(\Delta x \cdot \Delta p \geq h/(4\pi)\). Partikkel B har en endelig \(\Delta x > 0\), men \(\Delta p\) kan ikke være null (det ville krevd uendelig \(\Delta x\)). Alle partikler har noe uskarphet i bevegelsesmengde. Feil.

t) Alfapartikkel ut av atomkjernen – kvantefenomen

Alfapartikkelen er bundet inne i kjernen av en potensiell barriere (Coulomb-barrieren). Klassisk sett har den ikke nok energi til å overvinne denne elektrostatiske barrieren, som skyldes frastøtningen mellom den positivt ladde alfapartikkelen og de gjenværende protonene i kjernen. I kvantefysikken beskrives alfapartikkelen av en bølgefunksjon som ikke plutselig blir null ved barrieren, men avtar eksponentielt gjennom den. Dermed er det en liten, men endelig, sannsynlighet for at partikkelen kan «tunnelere» gjennom barrieren og dukke opp på utsiden. Denne sannsynligheten avhenger av barrierens bredde og høyde, og forklarer hvorfor noen isotoper har lang halveringstid mens andre er svært ustabile.

Oppgave 2

a) To ladde kuler i snorer

Løsningsfigur — oppgaven ber om at kreftene tegnes, og originalen viser bare oppstillingen. Pillengdene er i forholdet likevekten krever: S·sin(θ/2) = Fe og S·cos(θ/2) = mg.

1) Krefter på hver kule:

• Tyngdekraften \(m\vec{g}\) rett nedover
• Snorkraften \(\vec{S}\) langs snoren oppover mot opphengspunktet
• Coulombkraften \(\vec{F}_e\) horisontalt bort fra den andre kulen (frastøtning, siden begge har lik ladning)

2) Bestem ladningen \(Q\):

Hver snor danner vinkel \(\theta/2\) med vertikalen. Likevektsbetingelsene for en kule:

Horisontalt:

Vertikalt:

Dividerer den horisontale med den vertikale likningen:

Løser for \(Q\):

b) Spesiell relativitetsteori – tidsforlengelse

1) Spesiell relativitet:

Hendelsen skjer på jorda, der Bror står. Bror er i ro i forhold til hendelsen, så han måler egentiden \(t_0\). Albert er i bevegelse og måler den forlengede tiden.

Tidsforlengelse:

Albert måler \(t = 1{,}0\) \(\mu\)s. Siden Albert er den som er i bevegelse i forhold til hendelsen, og hendelsen skjer på ett sted i Brors system (jorda):

2) Med den generelle relativitetsteorien:

Ifølge den generelle relativitetsteorien går klokker saktere i et sterkere gravitasjonsfelt (gravitasjonstidsforlengelse). Bror står på jordoverflaten der gravitasjonsfeltet er sterkt, mens romskipet er langt unna jorda der feltet er svakere.

Brors klokke (på jordoverflaten) går saktere enn Alberts klokke (langt fra jorda) på grunn av gravitasjon. Dette betyr at den generelle relativitetsteorien gir en ekstra effekt som gjør at Brors tid er enda kortere sammenlignet med Alberts tid (eller at Alberts tid er enda lengre sammenlignet med Brors).

c) Fotoelektrisk effekt – hvorfor kvantefysikk?

Den fotoelektriske effekten er fenomenet der lys treffer en metalloverflate og frigjør elektroner. Klassisk bølgefysikk kan ikke forklare følgende observasjoner:

1) Grensefrekvens: Det finnes en minimumsfrekvens (grensefrekvens) som lyset må ha for at elektroner skal frigjøres. Under denne frekvensen frigjøres ingen elektroner, uansett hvor intenst lyset er. Klassisk bølgeteori forutsier at enhver frekvens burde kunne frigjøre elektroner bare intensiteten er høy nok, fordi energien skulle overføres gradvis.

2) Intensitetens rolle: Klassisk teori forutsier at høyere intensitet burde gi elektroner med høyere kinetisk energi. I virkeligheten gir høyere intensitet kun flere elektroner, ikke raskere elektroner.

3) Kvantefysikkens forklaring: Einstein foreslo at lyset består av fotoner, der hvert foton har energi \(E = hf\). Et enkelt foton overfører all sin energi til ett elektron. Elektronet frigjøres bare hvis fotonenergien er større enn løsrivningsarbeidet \(W\):

Den kinetiske energien til det frigjorte elektronet er:

Denne likningen forklarer både grensefrekvensen (\(f_0 = W/h\)) og at elektronenes kinetiske energi øker lineært med frekvensen, uavhengig av intensiteten.

d) Demonstrere kraft på leder i magnetfelt

Løsningsfigur — oppgaven lister bare utstyret i ord, og originalen har ingen figur. Kraften står vinkelrett på både strømmen og feltet, og skyver staven langs skinnene.

Oppsett:

1. Plasser stavmagnetene under metallskinnene slik at magnetfeltet \(\vec{B}\) står vinkelrett på skinnene (enten oppover eller nedover mellom magnetpolene).
2. Legg lederstaven på tvers av de to metallskinnene, slik at den kan rulle fritt.
3. Koble spenningskilden til metallskinnene med ledninger, slik at det kan gå strøm gjennom kretsen: spenningskilde → ledning → skinne → lederstav → skinne → ledning → spenningskilde.

Gjennomføring:

1. Slå på spenningskilden. Strøm \(I\) flyter nå gjennom lederstaven.
2. Lederstaven befinner seg i magnetfeltet fra stavmagnetene.
3. En strømførende leder i et magnetfelt opplever en kraft gitt ved \(\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}\), der \(\vec{L}\) er lederlengden i strømretningen.
4. Kraften er vinkelrett på både strømretningen og magnetfeltet, og vil skyve lederstaven langs skinnene.

Observasjoner:

• Lederstaven begynner å rulle langs skinnene. Dette viser at det virker en kraft på en strømførende leder i et magnetfelt.
• Ved å snu strømretningen (bytte poler på spenningskilden) eller snu magnetene, beveger staven seg i motsatt retning.
• Ved å øke strømmen eller bruke sterkere magneter, øker kraften og staven akselererer raskere.

Del 2

Oppgave 3 – Satellitt i bane rundt jorda

a) Vis at banefarten er 5,76 km/s

For sirkelbane er gravitasjonskraften lik sentripetalkraften:

Løser for \(v\):

Setter inn verdier: \(\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Nm\(^2\)/kg\(^2\), \(M = 5{,}974 \cdot 10^{24}\) kg, \(r = 12\,000 \cdot 10^3 = 1{,}200 \cdot 10^7\) m:

b) Minste fart i ellipsebanen

1. Hvor farten er minst. Gravitasjonskraften er den eneste kraften som virker, så den mekaniske energien \(E_k + E_p\) er bevart. \(E_p = -\gamma \frac{Mm}{r}\) er størst der \(r\) er størst, og der er \(E_k\) minst. Farten er derfor minst i punktet lengst fra jorda, \(r_2 = 26\,000\) km.

2. Bevaring av energi. Farten økes til \(v_1 = 6{,}74\) km/s der satellitten er \(r_1 = 12\,000\) km fra jordsentrum. Energien der er lik energien i punktet lengst unna:

3. Setter inn. Fra a) er \(\gamma M = 3{,}985 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2\):

4. Kontroll med Keplers 2. lov. I punktene nærmest og lengst fra jorda står farten vinkelrett på radien, så Keplers 2. lov gir \(v_1 r_1 = v_2 r_2\): \(v_2 = \frac{6{,}74 \cdot 12\,000}{26\,000}\) km/s \(= 3{,}11\) km/s. Det stemmer. Denne sammenhengen står ikke i formelvedlegget, så energibevaring er den sikre veien.

c) Fart når satellitten treffer jorda

Energibevaring fra \(r_1 = 26\,000\) km (i ro) til \(r_2 = R = 6\,371\) km:

Setter inn verdier:

d) Forklar programkoden

1   gamma = 6.67e-11
2   M = 5.974e24
3   R = 6371e3
4   r = 26000e3
5   v=0
6   dt = 0.1
7   
8   while r > R:
9      v = v + (gamma*M/r**2)*dt
10     r = r - v*dt
11  print(v)

Linje 9: v = v + (gamma*M/r**2)*dt

Dette er Eulers metode for å oppdatere farten. Gravitasjonsakselerasjonen mot jorda i avstand \(r\) er:

Farten oppdateres med: \(v_{\text{ny}} = v_{\text{gammel}} + a \cdot dt\). Akselerasjonen er positiv fordi \(v\) defineres som fart mot jorda (positiv retning mot jorda).

Linje 10: r = r - v*dt

Her oppdateres posisjonen (avstanden fra jordas sentrum). Siden \(v\) er definert som positiv mot jorda, minsker \(r\) med \(v \cdot dt\) for hvert tidssteg. Satellitten beveger seg nærmere jorda, så \(r\) avtar.

e) Tid fra 26 000 km til jorda

gamma = 6.67e-11
M = 5.974e24
R = 6371e3
r = 26000e3
v = 0
t = 0
dt = 0.1

while r > R:
    v = v + (gamma*M/r**2)*dt
    r = r - v*dt
    t = t + dt

print(f"Tid: {t:.1f} s")
print(f"Tid i minutter: {t/60:.1f} min")
print(f"Fart: {v:.1f} m/s")

Vi kjører programmet og får tiden \(t\) for fallet. Resultatet er om lag:

Analytisk kontroll: For radielt fritt fall fra ro i avstand \(r_0\) ned til \(R\) gir energibevaring og integrasjon den eksakte formelen

Setter vi inn \(r_0 = 2{,}60 \cdot 10^7\) m og \(R = 6{,}371 \cdot 10^6\) m:

Oppgave 4 – Vindturbin

a) Hvorfor gir små endringer i vindfarten store endringer i effekten?

Effekten er proporsjonal med \(v^3\) (vindfarten i tredje potens). Dersom vindfarten øker med en faktor \(k\), øker effekten med en faktor \(k^3\).

For eksempel: en dobling av vindfarten (\(k = 2\)) gir \(2^3 = 8\) ganger så stor effekt. Selv en liten økning på 10 % i vindfarten gir \(1{,}10^3 = 1{,}33\), altså 33 % økning i effekt.

b) Vindfart for 3,45 MW

Løser for \(v\):

Setter inn: \(P = 3{,}45 \cdot 10^6\) W, \(\rho = 1{,}22\) kg/m\(^3\), \(r = 68{,}0\) m:

c) Energi per runde og verdi

1) Energi per runde:

Først finner vi omløpstiden. Tuppen beveger seg i en sirkel med radius \(r = 68{,}0\) m og fart \(v_{\text{tupp}} = 70{,}0\) m/s:

Energi per runde:

2) Verdi per runde:

Konverterer til kWh:

d) Hvorfor kan vi ikke utvinne all kinetisk energi?

Dersom vi utvinner all kinetisk energi fra vinden, ville luften etter turbinen ha null fart. Da ville luften hope seg opp bak turbinen og blokkere ny luft fra å strømme gjennom. Turbinen ville stoppe fordi det ikke lenger er en kontinuerlig luftstrøm gjennom rotorplanet.

For at turbinen skal fungere, må luften fortsatt ha noe fart etter å ha passert rotorbladene, slik at den kan strømme bort og gi plass til ny luft. Fysisk kan vi forstå dette som at turbinen bremser luftstrømmen, men ikke stopper den helt. Jo mer vi bremser luften, desto mer energi henter vi ut – men vi kan aldri bremse den helt til null uten å stoppe strømmen.

Den teoretiske maksimale utnyttelsesgraden er gitt av Betz' lov, som sier at maksimalt \(16/27 \approx 59{,}3\,\%\) av vindens kinetiske energi kan utvinnes. Faktoren 0,45 i formelen gjenspeiler at turbinen henter ut 45 % av vindens energi.

e) Vis at effektivverdien av indusert spenning er 0,71 kV

Faradays lov gir den induserte spenningen:

Maksimal indusert spenning:

Effektivverdien:

f) Forholdet mellom vindinger – transformator

Transformatorlikningen:

Siden \(N_s/N_p \approx 186 > 1\), har sekundærsiden flest vindinger. Dette er en opptrappingstransformator.

Oppgave 5 – Kloss på skråplan

a) Størrelsen på akselerasjonen er \(g/2\)

Løsningsfigur. Langs planet er a = g·sin 30° = g/2. Det finnes ingen kraftkomponent i x-retningen, så x-bevegelsen har konstant fart — bevegelsen blir et skrått kast med g/2 i stedet for g.

Klossen beveger seg på skråplanet. Den eneste kraften som virker langs planet (uten friksjon og luftmotstand) er tyngdekomponenten langs planet:

Aksene er som i figuren i oppgaven: \(x\)-aksen ligger langs foten av skråplanet (vannrett), og \(y\)-aksen peker oppover langs skråplanet. Akselerasjonen er rettet nedover langs skråplanet, altså i negativ \(y\)-retning, og har størrelse \(g/2\).

b) Vis at klossen bruker 0,43 s fra start til den har kommet ned fra skråplanet

Startfarten deles i komponenter langs og på tvers av skråplanet:

Bevegelsen i \(y\)-retningen (oppover langs planet, med akselerasjon \(-g/2\) nedover langs planet):

Klossen er kommet ned fra skråplanet igjen når \(y = 0\):

Løsning \(t > 0\):

c) Avstand fra startposisjonen når klossen er tilbake

Bevegelsen i \(x\)-retningen skjer med konstant fart (ingen kraft i denne retningen):

Når \(y = 0\), er avstanden fra startposisjonen:

d) Vis at \(y = x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2}\) mens klossen glir på skråplanet

Vi bruker aksene fra figuren i oppgaven: \(x\) langs foten av skråplanet (kraftfri retning) og \(y\) oppover langs skråplanet (akselerasjon \(-g/2\)). Posisjonen som funksjon av tid blir:

Fra \(x\)-likningen: \(t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\). Setter inn i \(y\)-likningen:

Siden \(\alpha = 45°\), er \(\tan\alpha = 1\) og \(\cos^2\alpha = \frac{1}{2}\):

e) Vurder om formelen i d gjelder for måleverdiene

Formelen er \(y = x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2}\) med \(v_0 = 1{,}5\) m/s og \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\):

Vi sjekker formelen for de første verdiene:

For små \(x\)-verdier (opp til ca. 0,15 m) stemmer formelen godt med måleverdiene. For større \(x\)-verdier avviker måleverdiene stadig mer fra formelen – de målte \(y\)-verdiene er systematisk lavere enn de beregnede.

Forklaringen er friksjon. Formelen i oppgave d er utledet uten friksjon. I det virkelige forsøket virker friksjonen bremsende, noe som gjør at klossen taper energi og banen blir lavere enn den friksjonsfrie parabelen. Effekten av friksjonen er kumulativ og øker med avstanden, noe som forklarer at avviket vokser for større \(x\).

f) For lav eller for høy verdi for friksjonstallet?

Gjengivelse av oppgavesettets graf. Kurven er målt pikselvis i 802 kolonner; tredjegradstilpasningen avviker maksimalt 0,0020 m og treffer null i x = 0,3399 m.

Merk at sammenligningsgrunnlaget her er et annet enn i oppgave e: der ble måleverdiene sammenlignet med den friksjonsfrie formelen, mens vi nå sammenligner med en modellkurve som allerede har friksjon \(\mu = 0{,}15\).

Fra grafen ser vi at måleverdiene følger kurven for små \(x\), men at punktene ligger over den beregnede kurven fra og med \(x = 0{,}15\) m. Ved \(x = 0{,}30\) m er målt \(y = 0{,}069\) m, mens kurven med \(\mu = 0{,}15\) ligger på ca. 0,047 m; ved \(x = 0{,}35\) m er målt \(y = 0{,}027\) m, mens kurven allerede har truffet null (rekkevidden i modellen er ca. 0,34 m).

Høyere friksjon gir:

• Mer bremskraft langs skråplanet
• Klossen taper mer energi
• Banen blir lavere (kortere rekkevidde i \(x\)-retningen og lavere \(y\)-verdier)

Siden de virkelige datapunktene ligger over den beregnede kurven, er den virkelige friksjonen mindre enn den antatte. Ole har altså antatt en for høy verdi for friksjonstallet. En numerisk tilpasning til måledataene gir \(\mu \approx 0{,}10\).