Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2026

Oppgave 1 (4 poeng)

a)

Vi deriverer ledd for ledd. Vi skriver først om brøkleddet:

Bruker potensregelen og kjerneregelen på det siste leddet:

b)

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: \( (3x+2)^3 \) er en sammensatt funksjon. Ytre funksjon er \( u^3 \), indre er \( u = 3x+2 \). Kjerneregelen gir:

Andre ledd: \( \ln(3x) \) er også en sammensatt funksjon, ytre \( \ln u \), indre \( u = 3x \). Kjerneregelen gir:

Oppgave 2 (5 poeng)

a)

Vi setter \( f(x) = 0 \):

Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), må

b)

Vi skriver først ut produktet:

Deriverer ledd for ledd. Andre leddet bruker kjerneregelen med ytre \( e^u \), indre \( u = 2x \):

Vi faktoriserer ut \( 2e^x \) og bruker at \( e^{2x} = e^x \cdot e^x \):

c)

Topp- eller bunnpunkter finner vi der \( f'(x) = 0 \):

Siden \( 2e^x > 0 \), gir dette:

Vi lager fortegnslinje for \( f'(x) \). Faktoren \( 2e^x \) er alltid positiv, så fortegnet styres av \( (3 - e^x) \):

Intervall	\( x < \ln 3 \)	\( x = \ln 3 \)	\( x > \ln 3 \)
\( f'(x) \)	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)
\( f(x) \)	\( \nearrow \)	topp	\( \searrow \)

Det er altså et toppunkt i \( x = \ln 3 \). Vi beregner funksjonsverdien:

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

Vi beregner hver verdi.

\( \log_2 8 \): Hvilket tall må vi opphøye 2 i for å få 8? Siden \( 2^3 = 8 \):

\( e^{3\ln 1} \): Vi vet at \( \ln 1 = 0 \), så eksponenten blir \( 3 \cdot 0 = 0 \):

\( \lg 7 \): Vi vet at \( \lg 1 = 0 \) og \( \lg 10 = 1 \). Siden \( 1 < 7 < 10 \), er \( 0 < \lg 7 < 1 \). Mer presist, siden 7 er nærmere 10 enn 1, ligger \( \lg 7 \) nær (men under) 1.

\( \sqrt[4]{3^3} \): Først regner vi ut \( 3^3 = 27 \). Vi sammenligner deretter med kjente fjerdeordens potenser: \( 2^4 = 16 \) og \( 3^4 = 81 \). Siden \( 16 < 27 < 81 \), er \( 2 < \sqrt[4]{27} < 3 \), altså \( 2 < \sqrt[4]{3^3} < 3 \).

Da har vi:

• \( \lg 7 \) ligger mellom 0 og 1
• \( e^{3\ln 1} = 1 \)
• \( \sqrt[4]{3^3} \) ligger mellom 2 og 3
• \( \log_2 8 = 3 \)

b)

Vi bruker logaritmeregler:

• \( \lg(ab) = \lg a + \lg b \)
• \( \lg\frac{a}{b} = \lg a - \lg b \)
• \( \lg(100b^3) = \lg 100 + \lg b^3 = 2 + 3\lg b \)

Setter inn:

Oppgave 4 (2 poeng)

Når \( x \to \infty \) går både teller og nevner mot uendelig. Vi har formen \( \frac{\infty}{\infty} \). Vi sammenligner vekstratene: telleren er av første grad, nevneren av andre grad. Da vokser nevneren mye raskere, og brøken går mot 0.

Formelt deler vi teller og nevner på den høyeste potensen i nevneren, \( x^2 \):

Når \( x \to \infty \) går \( \frac{2}{x} \to 0 \), \( \frac{2}{x^2} \to 0 \) og \( \frac{3}{x^2} \to 0 \):

Oppgave 5 (3 poeng)

a)

Påstanden er USANN.

En vertikal asymptote i \( x = d \) krever at \( x = d \) er nullpunkt for nevneren, men ikke for telleren (eller med høyere multiplisitet i nevneren enn i telleren). Dersom telleren også er null i \( x = d \), kan vi forkorte uttrykket, og det blir ikke asymptote der.

Moteksempel: La \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 0 \) og \( d = 1 \). Da blir

Her er det ikke noen vertikal asymptote i \( x = 1 \) – det er bare et hull i grafen (avtakbart hull). Funksjonen har samme graf som \( y = x \), men er udefinert i \( x = 1 \).

b)

Påstanden er USANN.

Antall arbeidsgrupper med 4 medlemmer av 7 er en kombinasjon:

Antall arbeidsgrupper med 3 medlemmer:

Generelt gjelder \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \), så å velge ut \( k \) medlemmer er det samme som å velge bort de \( n - k \) andre. Her er \( 7 - 4 = 3 \), så de to størrelsene må gi like mange grupper.

Oppgave 6 (3 poeng)

a)

Den gjennomsnittlige vekstfarten i et intervall \([a, b]\) er stigningstallet til den rette linja gjennom punktene \( (a, f(a)) \) og \( (b, f(b)) \) – en sekant:

Fra figuren leser vi av \( f(0) = 4 \) (grafen krysser y-aksen i 4) og \( f(3) \approx -0{,}5 \) (grafen ligger under x-aksen i \( x = 3 \), mellom nullpunktene ved \( x = 2 \) og \( x \approx 3{,}3 \)):

b)

Den momentane vekstfarten i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet. For å finne tangentens stigningstall fra figuren:

1. Tegn en tangent (rett linje) til grafen i punktet.
2. Velg to passende punkter på tangenten der det er enkelt å lese av koordinatene (helst gitterskjæringer).
3. Regn ut stigningstall: \( a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \).

Avlesning fra figuren:

• I \( x = 0 \) ligger grafen nær toppunktet (ca. \( (0{,}1, 4) \)), så tangenten er tilnærmet vannrett. Tangenten gjennom \( (0, 4) \) er omtrent horisontal, og stigningstallet er \( f'(0) \approx 0 \).
• I \( x = 3 \) er grafen på vei opp etter bunnpunktet (rundt \( x \approx 2{,}7 \)). Tangenten i \( (3, -0{,}5) \) er bratt og stigende. Tegner vi tangenten og leser av to punkter, f.eks. \( (3, -0{,}5) \) og \( (4, 2) \), får vi stigningstallet

Oppgave 7 (4 poeng)

a)

Sannsynligheten for riktig på én oppgave er \( p = \frac{1}{3} \), og for galt \( q = \frac{2}{3} \). Antall riktige svar \( X \) på 3 oppgaver er binomisk fordelt med \( n = 3 \) og \( p = \frac{1}{3} \).

Vi finner \( P(X = 1) \):

b)

Vi bruker addisjonssetningen (eller et Venn-diagram). Antall som har valgt minst ett av fagene tysk eller S1:

Antall som verken har valgt tysk eller S1:

Sannsynligheten for å trekke en slik elev:

Oppgave 8 (5 poeng)

a)

Vi velger 2 av 5 jenter til 2-rommet (de resterende 3 går til 3-rommet automatisk). Rekkefølgen innad i rommet betyr ikke noe:

b)

Vi sammenligner sannsynligheten Elena havner i samme rom som Anastasia, avhengig av hvilket rom Anastasia velger.

Anastasia velger 2-rommet: Da er det 1 plass igjen i 2-rommet og 3 plasser i 3-rommet, totalt 4 plasser fordelt på de 4 andre jentene. Elena er én av disse 4. Sannsynligheten for at Elena trekkes til 2-rommet (samme rom som Anastasia):

Anastasia velger 3-rommet: Da er det 2 plasser igjen i 3-rommet og 2 plasser i 2-rommet. Sannsynligheten for at Elena havner i 3-rommet:

For å minimere sjansen, velger Anastasia 2-rommet. Da blir sannsynligheten for å ende opp på samme rom som Elena:

c)

Vi skal telle hvor mange ulike måter de 5 jentene kan grupperes på, gitt at rommene har plass til 3, 2 og 2 personer (totalt 7 plasser, så 2 plasser blir stående tomme). Vi bryr oss bare om hvem som er sammen, ikke hvilket rom de er i. Da må vi telle sett-partisjoner av jentene der hver del har størrelse \( \leq 3 \), og delstørrelsene må passe inn i kapasitetene.

Mulige delstørrelser av 5 jenter er:

Tilfelle 1: Grupper med størrelser \( \{3, 2\} \). 3 jenter i ett rom, 2 i et annet, ett 2-rom står tomt. Antall måter å velge 3 av 5:

Tilfelle 2: Grupper med størrelser \( \{3, 1, 1\} \). 3 jenter sammen, de andre to alene (én i hvert 2-rom). Vi velger 3 av 5 til 3-gruppen; de to enslige er bestemt:

Tilfelle 3: Grupper med størrelser \( \{2, 2, 1\} \). 1 jente alene, og de 4 andre i to par. Velg den som er alene (\( \binom{5}{1} = 5 \) måter), og del de resterende 4 i to par. Antall måter å dele 4 i to like par:

(Vi deler på \( 2! \) fordi parene er likestilte – ombyttingen av dem gir samme gruppering.) Totalt:

Til sammen:

Oppgave 1 (5 poeng)

a)

Vi bruker potensregresjon i CAS/regneark på datapunktene. Et naturlig valg er modellen \( V(x) = a \cdot x^b \) fordi volumet av en sylinder med konstant høyde \( h \) er \( V = \pi h \cdot r^2 \), altså en potensfunksjon med eksponent rundt 2.

Med potensregresjon (RegPow / FitPow) på de seks punktene får vi:

b)

Vi deriverer modellen ved hjelp av potensregelen:

Setter inn \( x = 4 \):

(I CAS: V'(4) gir samme svar.)

c)

Hvis radien dobles, blir det nye volumet:

Volumet blir altså omtrent 4,29 ganger så stort, det vil si en økning på ca. \( 329\,\% \).

Oppgave 2 (4 poeng)

a)

Vi har trekning uten tilbakelegging fra en endelig populasjon med to grupper. Dette er hypergeometrisk fordeling.

La \( X \) = antall under 16 år blant de 10 utvalgte. Da er \( X \) hypergeometrisk fordelt med:

• Populasjon: \( N = 80 \)
• Antall under 16 år: \( M = 14 \)
• Antall 16 år eller eldre: \( N - M = 66 \)
• Utvalg: \( n = 10 \)

«Minst 8 er 16 år eller eldre» betyr «høyst 2 er under 16 år», altså \( P(X \leq 2) \):

Med CAS/regneark beregner vi:

b)

Vi skal finne det minste antallet \( n \) (antall intervjuede) slik at \( P(\text{antall 16+} \geq 10) \geq 0{,}90 \), eller ekvivalent \( P(X \leq n - 10) \geq 0{,}90 \) der \( X \) er antall under 16 år.

Vi prøver oss fram i regneark/CAS med hypergeometrisk fordeling \( (N = 80, M = 14) \):

\( n \)	\( P(\text{minst 10 er 16+}) \)
12	\( \approx 0{,}604 \)
13	\( \approx 0{,}837 \)
14	\( \approx 0{,}938 \) ≥ 0,90 ✓

Oppgave 3 (3 poeng)

a)

Punktene \( A \) og \( B \) har samme \( y \)-koordinat \( (f(a)) \), så \( AB \) er en horisontal linje:

Punktene \( A \) og \( D \) har samme \( x \)-koordinat \( (a) \), så \( AD \) er en vertikal linje:

b)

Arealet av rektangelet er:

Vi deriverer ved hjelp av produktregelen. La \( u = 5 - a \) og \( v = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a \). Da er:

Produktregelen gir:

Vi setter \( A'(a) = 0 \) og løser med CAS:

Vi sjekker at det er et maksimum: For \( a < 0{,}171 \) er \( A'(a) > 0 \), og for \( a > 0{,}171 \) er \( A'(a) < 0 \). Dette er altså et toppunkt.

Arealet ved \( a \approx 0{,}171 \):

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

Strømstønaden gir to forskjellige regnemåter:

• Når spotprisen \( x \) er under terskelen (75 øre/kWh), får husholdningen ingen strømstønad. Husholdningen betaler hele spotprisen: \( f(x) = x \).
• Når spotprisen \( x \) er over terskelen (75 øre/kWh), dekker staten 90 % av det som er over terskelen. Husholdningen betaler 75 + 10 % av det som er over: \( f(x) = 75 + 0{,}1(x - 75) = 0{,}1x + 67{,}5 \).

Dette krever altså to ulike formler, ett for hvert intervall – derav delt forskrift.

Hvorfor kontinuerlig? Strømprisen kan ikke gjøre et plutselig sprang akkurat ved spotprisen 75 øre/kWh – det ville ikke vært rettferdig eller meningsfullt. Hvis det var et sprang, ville en spotpris på f.eks. 74,99 og 75,01 gi merkbart ulik pris for forbruker, noe som ikke gir mening. Funksjonsverdiene fra venstre og høyre må stemme overens i overgangspunktet.

Vi sjekker kontinuiteten i \( x = 75 \):

De stemmer overens, så \( f \) er kontinuerlig i \( x = 75 \).

b)

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

La \( M = \max(K_1, K_2) \) være Kris' høyeste terning, og \( X \) Eriks terning.

Vi finner fordelingen til \( M \). Det er totalt \( 4 \cdot 4 = 16 \) like sannsynlige utfall for \( (K_1, K_2) \). Vi bruker at \( P(M \leq k) = P(K_1 \leq k) \cdot P(K_2 \leq k) = \left(\frac{k}{4}\right)^2 \) for \( k = 1, 2, 3, 4 \).

Da blir \( P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k - 1) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{16} = \dfrac{2k - 1}{16} \):

\( k \)	1	2	3	4
\( P(M = k) \)	\( \frac{1}{16} \)	\( \frac{3}{16} \)	\( \frac{5}{16} \)	\( \frac{7}{16} \)

Erik vinner runden hvis \( X > M \). For en gitt \( M = k \) er \( P(X > k) = \dfrac{6 - k}{6} \).

Total sannsynlighet (lov om total sannsynlighet):

b)

Vi simulerer mange spill der hver runde Erik og Kris kaster terningene sine, og vi teller hvor mange ganger Erik når 100 poeng først. Vi kan f.eks. bruke Python:

import random

ANTALL_SIMULERINGER = 10000
erik_vinner = 0

for _ in range(ANTALL_SIMULERINGER):
    e_poeng, k_poeng = 0, 0
    while e_poeng < 100 and k_poeng < 100:
        erik   = random.randint(1, 6)
        kris   = max(random.randint(1, 4), random.randint(1, 4))
        if erik > kris:
            e_poeng += 1
        else:
            k_poeng += 1
    if e_poeng >= 100:
        erik_vinner += 1

sannsynlighet = erik_vinner / ANTALL_SIMULERINGER
print(f"Simulert P(Erik 100 først) = {sannsynlighet:.4f}")
    

Med 10 000 simuleringer får vi typisk en verdi rundt \( 0{,}28 \) (variasjon mellom 0,27 og 0,29 fra kjøring til kjøring).

Tolkning: Sannsynligheten for at Erik vinner ett poeng er \( \approx 47{,}9\,\% \), så det er noe under 50 %. Når dette gjentas i mange runder, blir det relativt usannsynlig at Erik klarer å samle 100 poeng før Kris (sannsynligheten avtar med antall runder).