Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2024

Oppgave 1 (2 poeng)

Vi bruker produktregelen: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \).

La \( u = 4x^2 \) og \( v = \ln(3x) \). Da er:

\[ u' = 8x \] \[ v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \]

Produktregelen gir:

\[ f'(x) = 8x \cdot \ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} \] \[ f'(x) = 8x \cdot \ln(3x) + 4x \]

Oppgave 2 (2 poeng)

Vi substituerer \( u = \ln x \) og får:

\[ u^2 - u = 6 \] \[ u^2 - u - 6 = 0 \]

Vi bruker abc-formelen (eller faktoriserer):

\[ (u - 3)(u + 2) = 0 \]

Dette gir \( u = 3 \) eller \( u = -2 \).

Tilbakesubstitusjon:

• \( \ln x = 3 \implies x = e^3 \)
• \( \ln x = -2 \implies x = e^{-2} \)

Oppgave 3 (2 poeng)

Grenseverdi når \( x \to \infty \):

Når \( x \to \infty \), går eksponenten \( -x + 1 \to -\infty \). Dermed:

\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x+1} = 0 \]

Grenseverdi når \( x \to -\infty \):

Når \( x \to -\infty \), går eksponenten \( -x + 1 \to +\infty \). Dermed:

\[ \lim_{x \to -\infty} e^{-x+1} = \infty \]

Oppgave 4 (4 poeng)

a)

Antall måter å velge 2 sokker av 15 på: \( \binom{15}{2} = 105 \)

Antall måter å velge 2 gule sokker av 6 på: \( \binom{6}{2} = 15 \)

\[ P(\text{begge gule}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7} \]

b)

Vi bruker komplementsetningen. Komplementhendelsen til «minst 2 av samme farge» er «alle 3 har forskjellig farge».

Det er 3 farger (gul, svart, hvit). For at alle 3 sokker har forskjellig farge, må vi velge én av hver:

\[ \text{Gunstige} = \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \]

Totalt antall måter å velge 3 av 15:

\[ \binom{15}{3} = 455 \]

Sannsynligheten for alle forskjellige:

\[ P(\text{alle forskjellige}) = \frac{120}{455} = \frac{24}{91} \]

Dermed:

\[ P(\text{minst 2 like}) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{67}{91} \]

Oppgave 5 (2 poeng)

Analyse av funksjonen:

Vi undersøker kontinuitet ved \( x = 2 \):

• Fra venstre: \( \displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = 2 \) og \( f(2) = 2 \).
• Fra høyre: \( \displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 5 - 2 = 3 \).

Siden grenseverdiene er ulike, er \( f \) ikke kontinuerlig i \( x = 2 \).

Verdimengden til \( f \):

• På \( [0, 2] \): \( f(x) = x \) gir verdier i \( [0, 2] \).
• På \( (2, 5] \): \( f(x) = 5 - x \) gir verdier i \( [0, 3) \).

Samlet verdimengde: \( V_f = [0, 3) \).

Ny definisjonsmengde:

For at \( f \) skal være kontinuerlig, må vi fjerne punktet \( x = 2 \) (der spranget oppstår). Funksjonen er kontinuerlig på \( [0, 2) \) og på \( (2, 5] \) hver for seg.

Vi setter den nye definisjonsmengden til \( D_f = [0, 2) \cup (2, 5] \).

Kontroll av verdimengden:

• På \( [0, 2) \): verdier i \( [0, 2) \).
• På \( (2, 5] \): verdier i \( [0, 3) \). Merk at \( f(3) = 2 \), så verdien 2 oppnås.

Samlet verdimengde: \( [0, 2) \cup [0, 3) = [0, 3) \). Dette er uendret.

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

Inntekten er (i 1000 kr):

\[ I(x) = 600x \]

Overskuddet er:

\[ O(x) = I(x) - K(x) = 600x - 200x \cdot 1{,}015^x - 200 \]

Vi deriverer for å finne maksimum:

\[ O'(x) = 600 - 200 \cdot 1{,}015^x - 200x \cdot 1{,}015^x \cdot \ln(1{,}015) \] \[ O'(x) = 600 - 200 \cdot 1{,}015^x\big(1 + x \cdot \ln(1{,}015)\big) \]

Vi setter \( O'(x) = 0 \) og løser med digitale verktøy (CAS):

Ved å evaluere \( O(x) \) for aktuelle verdier:

\(x\)	\(O(x)\) (tusen kr)
39	9 260
40	9 288
41	9 302
42	9 302
43	9 287

Overskuddet er størst for \( x \approx 41{,}5 \). Siden \( x \) må være et heltall, gir både 41 og 42 biler tilnærmet likt (størst) overskudd.

b)

Enhetskostnaden er:

\[ E(x) = \frac{K(x)}{x} = 200 \cdot 1{,}015^x + \frac{200}{x} \]

Vi deriverer:

\[ E'(x) = 200 \cdot \ln(1{,}015) \cdot 1{,}015^x - \frac{200}{x^2} \]

Vi setter \( E'(x) = 0 \):

\[ \ln(1{,}015) \cdot 1{,}015^x = \frac{1}{x^2} \]

Løser numerisk med digitale verktøy og evaluerer:

\(x\)	\(E(x)\) (tusen kr per bil)
6	252,0
7	250,5
8	250,3
9	250,9
10	252,1

c)

Vi finner først kostnaden ved å produsere 70 biler:

\[ K(70) = 200 \cdot 70 \cdot 1{,}015^{70} + 200 \approx 200 \cdot 70 \cdot 2{,}8355 + 200 \approx 39\,896 \text{ (tusen kr)} \]

La \( p \) være prisen per bil (i tusen kr). Overskuddet skal være 15 000 tusen kr:

\[ 70p - K(70) = 15\,000 \] \[ 70p = 15\,000 + 39\,896 = 54\,896 \] \[ p = \frac{54\,896}{70} \approx 784{,}2 \]

Oppgave 2 (4 poeng)

a)

Vi bruker logaritmereglene. Når \( x > 0 \):

\[ e^{k \cdot \ln(x)} = e^{\ln(x^k)} = x^k \]

Her har vi brukt at \( k \cdot \ln(x) = \ln(x^k) \) (potensregelen for logaritmer) og at \( e^{\ln(a)} = a \) for \( a > 0 \).

Merk: Siden \( x > 0 \), er \( x^k > 0 \), slik at \( e^{\ln(x^k)} = x^k \) gjelder.

b)

Vi undersøker forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:

\[ \frac{\binom{b}{a+1}}{\binom{b}{a}} = \frac{b!}{(a+1)!(b-a-1)!} \cdot \frac{a!(b-a)!}{b!} = \frac{b-a}{a+1} \]

For at \( \binom{b}{a+1} > \binom{b}{a} \), trenger vi:

\[ \frac{b-a}{a+1} > 1 \quad \Leftrightarrow \quad b - a > a + 1 \quad \Leftrightarrow \quad b > 2a + 1 \]

Betingelsen i oppgaven er \( 1 < a < \frac{b}{2} \), som gir \( b > 2a \). Men vi trenger \( b > 2a + 1 \).

Moteksempel: La \( a = 2 \) og \( b = 5 \). Da er \( 1 < 2 < \frac{5}{2} = 2{,}5 \) (betingelsen er oppfylt).

\[ \binom{5}{3} = 10 \quad \text{og} \quad \binom{5}{2} = 10 \]

Her er \( \binom{5}{3} = \binom{5}{2} \), altså er de like, ikke strengt større.

Oppgave 3 (4 poeng)

a)

Det norske alfabetet har 29 bokstaver. Med store og små bokstaver har vi \( 29 + 29 = 58 \) mulige tegn per posisjon.

Vi bruker komplementsetningen:

\[ \text{Totalt} = 58^6 \] \[ \text{Bare små} = 29^6 \] \[ \text{Bare store} = 29^6 \]

Antall gyldige passord (minst én stor OG minst én liten):

\[ N_1 = 58^6 - 2 \cdot 29^6 = 38\,068\,692\,544 - 2 \cdot 594\,823\,321 = 36\,879\,045\,902 \]

b)

Med regelsett 2 teller vi antall passord:

Steg 1: Velg posisjoner for de ulike tegntypene.

• Velg 2 av 6 posisjoner for store bokstaver: \( \binom{6}{2} = 15 \)
• Velg 2 av de gjenværende 4 posisjonene for små bokstaver: \( \binom{4}{2} = 6 \)
• De siste 2 posisjonene fylles med siffer.

Steg 2: Fyll inn tegnene.

• Store bokstaver: \( 29^2 = 841 \) muligheter
• Små bokstaver: \( 29^2 = 841 \) muligheter
• Siffer (0–9): \( 10^2 = 100 \) muligheter

Totalt antall passord med regelsett 2:

\[ N_2 = 15 \cdot 6 \cdot 841 \cdot 841 \cdot 100 = 6\,365\,529\,000 \]

Sammenligning:

\[ \frac{N_1}{N_2} = \frac{36\,879\,045\,902}{6\,365\,529\,000} \approx 5{,}8 \]

Oppgave 4 (2 poeng)

La \( r \) = antall røde kuler og \( h \) = antall hvite kuler. Totalt \( n = r + h \) kuler.

Sannsynligheten for å trekke 3 hvite kuler uten tilbakelegging:

\[ P = \frac{\binom{h}{3}}{\binom{n}{3}} = \frac{h(h-1)(h-2)}{n(n-1)(n-2)} \]

Vi skal ha \( 0{,}17 < P < 0{,}18 \), og vi vil minimere \( n = r + h \).

Vi prøver systematisk med små verdier:

Forsøk \( h = 5, \, r = 3 \) (totalt 8 kuler):

\[ P = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{8}{3}} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28} \approx 0{,}1786 \]

Vi sjekker: \( 0{,}17 < 0{,}1786 < 0{,}18 \). Betingelsen er oppfylt.

Med færre kuler totalt (f.eks. \( n = 7 \)) kan vi sjekke at ingen kombinasjon gir en sannsynlighet mellom 17 % og 18 %.

Oppgave 5 (4 poeng)

a)

En terning har 6 mulige utfall. Med 5 terninger er totalt antall utfall \( 6^5 = 7776 \).

For at alle 5 terningene skal vise forskjellig, må vi velge 5 forskjellige verdier av 6 mulige. Antall gunstige utfall:

\[ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720 \]

(Første terning: 6 muligheter, andre: 5, tredje: 4, osv.)

\[ P(\text{alle forskjellige}) = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \]

b)

Vi skriver et program som simulerer kast av 5 terninger mange ganger og teller hvor ofte vi får nøyaktig 3 seksere.

import random

antall_forsok = 100000
antall_gunstige = 0

for i in range(antall_forsok):
    terninger = [random.randint(1, 6) for _ in range(5)]
    if terninger.count(6) == 3:
        antall_gunstige += 1

sannsynlighet = antall_gunstige / antall_forsok
print(f"Estimert sannsynlighet: {sannsynlighet:.4f}")

Ved kjøring av programmet mange ganger får vi at sannsynligheten konvergerer mot ca. 0,032.

Eksakt verdi (kontroll): Dette er binomisk med \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = \frac{1}{6} \):

\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{250}{7776} = \frac{125}{3888} \]

Oppgave 6 (4 poeng)

a)

Bensinbiler:

Data for bensin viser en jevn, tilnærmet lineær nedgang:

\(t\)	0	2	4	6	8	10	12
Bensin	14 185	13 246	12 578	11 472	10 516	9 706	8 705

En lineær modell passer godt. Ved regresjon (med digitale verktøy) finner vi:

\[ B(t) \approx -452t + 14\,243 \]

Modellen har \( R^2 \approx 0{,}99 \), som betyr svært god tilpasning.

Elektriske biler:

Data for elektrisk viser en kraftig, akselererende vekst:

\(t\)	0	2	4	6	8	10	12
El.	2	35	307	754	1 467	2 810	5 363

En eksponentiell modell passer godt for denne typen vekst. Ved regresjon på logaritmene finner vi:

\[ E(t) \approx 22 \cdot 1{,}65^t \]

Dette tilsvarer en årlig vekst på ca. 65 %.

Begrunnelse for modellvalg:

• Bensin: Nedgangen er jevn og tilnærmet lineær. En lineær modell er enkel og gir god tilpasning.
• Elektrisk: Veksten er kraftig og akselererende. Dataene viser en tilnærmet eksponentiell utvikling, spesielt fra \( t = 1 \) og utover.

b)

Bensin: Den lineære modellen gir at antall bensinbiler fortsetter å synke med ca. 452 biler per år. Modellen forutsier at antallet når 0 rundt \( t \approx 31 \), altså i ca. 2041. Det er rimelig at nedgangen fortsetter, men den vil trolig avta etter hvert (modellen vil underestimere i lang tid).

Elektrisk: Den eksponentielle modellen forutsier svært rask videre vekst. For eksempel:

\[ E(15) \approx 22 \cdot 1{,}65^{15} \approx 22 \cdot 1546 \approx 34\,000 \]

Dette virker urealistisk høyt for en kommune som Moss. I praksis vil veksten avta etter hvert som markedet mettes.

Gyldighet:

• Modellene gir en god beskrivelse av perioden 2010–2022.
• For kort tid fremover (noen få år) kan modellene gi rimelige estimater.
• For lang tid fremover er modellene mindre pålitelige: den lineære modellen gir til slutt negative verdier (umulig), og den eksponentielle modellen gir urealistisk høye verdier. En logistisk modell ville vært mer egnet for elbiler på lang sikt.

Oppgave 7 (4 poeng)

Programmet er:

def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001
def der_areal(x):
    return (areal(x + h) - areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
    x = x + dx

print(areal(x))

a)

Hva programmet gjør:

• f(x) returnerer funksjonsverdien \( f(x) = -x^2 + 4 \).
• areal(x) beregner \( x \cdot f(x) \), som er arealet av rektangelet ABCD. Rektangelet har bredde \( x \) (fra \( A \) til \( B \) langs \( x \)-aksen) og høyde \( f(x) \) (fra \( B \) opp til \( C \) langs grafen).
• der_areal(x) beregner en numerisk tilnærming til den deriverte av arealfunksjonen.
• while-løkken øker \( x \) med steg \( dx = 0{,}01 \) så lenge den deriverte er positiv, altså så lenge arealet øker.

Programmet finner altså den \( x \)-verdien som gir størst mulig areal av det innskrevne rektangelet.

Analytisk løsning:

\[ A(x) = x \cdot f(x) = x(-x^2 + 4) = -x^3 + 4x \] \[ A'(x) = -3x^2 + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155 \]

Maksimalt areal:

\[ A\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \left(-\frac{4}{3} + 4\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08 \]

Programmet vil skrive ut ca. 3,08 (programmet gir \( \text{areal}(1{,}15) \approx 3{,}079 \)).

b)

Strategi: Lars bruker en numerisk søkestrategi der han starter i \( x = 0 \) og øker \( x \) med små steg. Han sjekker den deriverte av arealfunksjonen i hvert steg. Så lenge den deriverte er positiv (arealet øker), fortsetter han. Når den deriverte blir negativ eller null, stopper han. Dette betyr at han finner det første lokale maksimumet.

Vil strategien alltid fungere?

Nei, strategien fungerer ikke for alle funksjoner. Strategien finner det første lokale maksimumet den støter på. Dersom arealfunksjonen har flere lokale maksima, vil programmet stoppe ved det første, som ikke nødvendigvis er det globale maksimumet.

For funksjonen \( f(x) = -x^2 + 4 \) har arealfunksjonen \( A(x) = -x^3 + 4x \) kun ett lokalt maksimum på \( [0, 2] \), så strategien fungerer i dette tilfellet.

Oppgave 8 (2 poeng)

Oppsett:

Grunnflaten til pyramiden er et rektangel som ligger i den sirkulære snittflaten (en sirkel med radius \( r \)). Toppen av pyramiden er på halvkulens overflate.

La rektangelet ha sidekanter \( 2a \) og \( 2b \). Hjørnene av rektangelet må ligge på eller innenfor sirkelen med radius \( r \). For at volumet skal bli størst mulig, legger vi hjørnene på sirkelen:

\[ a^2 + b^2 = r^2 \]

Toppen av pyramiden er rett over sentrum av grunnflaten, på halvkulens overflate, altså i høyde \( r \) over snittflaten:

\[ h = r \]

Volumet:

\[ V = \frac{h \cdot G}{3} = \frac{r \cdot (2a)(2b)}{3} = \frac{4abr}{3} \]

Vi skal maksimere \( ab \) gitt at \( a^2 + b^2 = r^2 \).

Ved AM-GM-ulikheten (ulikheten mellom aritmetisk og geometrisk gjennomsnitt):

\[ ab \le \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{r^2}{2} \]

Likhet oppnås når \( a = b \), som gir \( 2a^2 = r^2 \), altså \( a = b = \frac{r}{\sqrt{2}} \).

Da blir grunnflaten et kvadrat med sidekant \( 2a = \sqrt{2}\,r \), og:

\[ G = (2a)(2b) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2 \]

Maksimalt volum:

\[ V_{\max} = \frac{r \cdot 2r^2}{3} = \frac{2r^3}{3} \]