VG2
Løsningsforslag Matematikk S1Høst 2024
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Løsningsforslag – Matematikk S1 Høst 2024
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng)
Deriver funksjonen
\[ f(x) = \frac{e^{2x}}{x} \]
Vi bruker kvotientregelen. Hvis \( f(x) = \dfrac{u}{v} \), så er \( f'(x) = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \).
Her er:
- \( u = e^{2x} \quad \Rightarrow \quad u' = 2e^{2x} \)
- \( v = x \quad \Rightarrow \quad v' = 1 \)
Vi setter inn i kvotientregelen:
\[ f'(x) = \frac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2} \]
\[ f'(x) = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2} \]
Vanlig feil: I kvotientregelen er det lett å bytte om rekkefølgen i telleren. Husk at formelen er \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), ikke \( \frac{uv' - u'v}{v^2} \). Feil fortegn i telleren gir et svar med feil fortegn, noe som kan gi helt gale nullpunkter for den deriverte.
Oppgave 2 (2 poeng)
Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
def O(x):
return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000
x = 0
while O(x + 1) > O(x):
x = x + 1
print(x)
Funksjonen \( O(x) = -0{,}1x^2 + 2000x - 50\,000 \) er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \( x^2 \), altså en nedovervendt parabel.
While-løkken øker \( x \) med 1 så lenge \( O(x+1) > O(x) \), det vil si så lenge funksjonen er voksende. Programmet stopper når funksjonen ikke lenger vokser, altså ved toppunktet.
Vi finner toppunktet ved å derivere og sette lik null:
\[ O'(x) = -0{,}2x + 2000 = 0 \] \[ x = \frac{2000}{0{,}2} = 10\,000 \]Programmet vil stoppe når \( O(x+1) \leq O(x) \). For heltallsverdier skjer dette nettopp ved \( x = 10\,000 \), siden \( O(10\,001) < O(10\,000) \).
Vi kan verifisere: \( O(x+1) - O(x) = -0{,}1(2x+1) + 2000 \). Dette er positivt når \( 2x + 1 < 20\,000 \), altså \( x < 9999{,}5 \). For \( x = 9999 \) er differansen positiv, og for \( x = 10\,000 \) er differansen negativ. Løkken stopper etter at \( x \) har blitt satt til \( 10\,000 \).
Programmet skriver ut 10000.
Oppgave 3 (2 poeng)
Løs likningen
\[ 100^x - 3 \cdot 10^x = 4 \]
Vi merker oss at \( 100^x = (10^2)^x = (10^x)^2 \). Vi setter \( u = 10^x \) og får:
\[ u^2 - 3u = 4 \] \[ u^2 - 3u - 4 = 0 \]Vi faktoriserer:
\[ (u - 4)(u + 1) = 0 \] \[ u = 4 \quad \text{eller} \quad u = -1 \]Siden \( u = 10^x > 0 \) for alle \( x \), forkaster vi \( u = -1 \).
Vi løser \( 10^x = 4 \):
\[ x = \lg 4 = \log_{10} 4 \]
\[ x = \lg 4 \approx 0{,}602 \]
Vanlig feil: Ved grenseverdier mot \( \infty \) der teller og nevner er polynomer av samme grad, glemmer mange å dele på høyeste potens. Regelen er enkel: dersom gradene er like, er grenseverdien forholdet mellom de ledende koeffisientene. Dersom graden i telleren er lavere, er svaret 0.
Oppgave 4 (2 poeng)
Finn grenseverdien hvis den eksisterer.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} \]
Teller og nevner er begge andegradspolynomer. Vi deler teller og nevner på \( x^2 \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{12}{x^2}}{2 - \dfrac{18}{x^2}} \]Når \( x \to \infty \), går alle leddene med \( x \) i nevneren mot 0:
\[ = \frac{1 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} = \frac{1}{2} \]
Oppgave 5 (4 poeng)
I en kasse ligger det 4 røde, 3 blå og 2 gule kuler. Audun tar tilfeldig to kuler fra kassen.
a) Bestem sannsynligheten for at han tar to kuler med samme farge.
b) Bestem sannsynligheten for at han tar nøyaktig én gul kule.
a) Bestem sannsynligheten for at han tar to kuler med samme farge.
b) Bestem sannsynligheten for at han tar nøyaktig én gul kule.
Totalt er det \( 4 + 3 + 2 = 9 \) kuler.
Antall måter å velge 2 kuler fra 9:
\[ \binom{9}{2} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36 \]a)
Antall måter å velge to kuler med samme farge:
- To røde: \( \displaystyle\binom{4}{2} = 6 \)
- To blå: \( \displaystyle\binom{3}{2} = 3 \)
- To gule: \( \displaystyle\binom{2}{2} = 1 \)
Totalt gunstige utfall: \( 6 + 3 + 1 = 10 \)
\[ P(\text{to med samme farge}) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \approx 0{,}278 \]
Vanlig feil: Mange blander sammen ordnet utvalg (permutasjoner) og uordnet utvalg (kombinasjoner). Bruk \( \binom{n}{k} \) (kombinasjoner) når rekkefølgen ikke betyr noe, og \( P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) (permutasjoner) når rekkefølgen er viktig. Feil valg av formel kan gi et svar som er mangedobbelt for stort eller lite.
b)
Nøyaktig én gul kule betyr at vi velger 1 gul og 1 ikke-gul kule.
- Antall måter å velge 1 gul av 2: \( \displaystyle\binom{2}{1} = 2 \)
- Antall måter å velge 1 ikke-gul av 7: \( \displaystyle\binom{7}{1} = 7 \)
Antall gunstige utfall: \( 2 \cdot 7 = 14 \)
\[ P(\text{nøyaktig én gul}) = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \approx 0{,}389 \]
Oppgave 6 (2 poeng)
I koordinatsystemet ser du grafene til tre funksjoner, \( f \), \( g \) og \( h \).
En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik \( \dfrac{1}{2} \) i intervallet \([0, 4]\), og derivert lik 1 når \( x = 1 \).
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
Vi leser av fra grafen:
Gjennomsnittlig vekstfart i \([0, 4]\):
Den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet til sekantlinjen mellom \( x = 0 \) og \( x = 4 \):
\[ \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{1}{2} \]Vi leser av grafene:
- \( f \): \( f(0) \approx -2 \), \( f(4) \approx -1 \). Gjennomsnittlig vekstfart \( \approx \dfrac{-1-(-2)}{4} = \dfrac{1}{4} \). Stemmer ikke.
- \( g \): \( g(0) \approx 1 \), \( g(4) \approx 3 \). Gjennomsnittlig vekstfart \( \approx \dfrac{3-1}{4} = \dfrac{1}{2} \). Stemmer!
- \( h \): \( h(0) \approx 4 \), \( h(4) \approx 6 \). Gjennomsnittlig vekstfart \( \approx \dfrac{6-4}{4} = \dfrac{1}{2} \). Stemmer!
Både \( g \) og \( h \) ser ut til å ha gjennomsnittlig vekstfart \( \frac{1}{2} \). Vi må sjekke den andre betingelsen.
Derivert lik 1 når \( x = 1 \):
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangentlinjen i det punktet.
- For \( g \): Ved \( x = 1 \) ser grafen ut til å stige med en stigning på omtrent 1. Stemmer!
- For \( h \): Ved \( x = 1 \) ser grafen ut til å ha en brattere stigning enn 1. Stemmer ikke like godt.
Funksjonen er \( g \), fordi \( g \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \frac{1}{2} \) i intervallet \([0, 4]\) og tangentlinjens stigningstall i \( x = 1 \) er 1.
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Bedriften Drakt & Søm leier ut komplette antrekk. Et antrekk består av et hodeplagg, en skjorte, en jakke, en bukse og et par sko. Bedriften har 10 hodeplagg, 20 skjorter, 15 jakker, 15 bukser og 5 par sko.
a) Hvor mange forskjellige antrekk er det mulig å lage?
b) Tore tar med seg 3 tilfeldige sko. Bestem sannsynligheten for at Tore får med seg et skopar.
c) Hva er minste antall nye plagg og/eller skopar Drakt & Søm må anskaffe for at de skal ha flere mulige antrekk enn 542 000 mennesker i Draktenburg?
a) Hvor mange forskjellige antrekk er det mulig å lage?
b) Tore tar med seg 3 tilfeldige sko. Bestem sannsynligheten for at Tore får med seg et skopar.
c) Hva er minste antall nye plagg og/eller skopar Drakt & Søm må anskaffe for at de skal ha flere mulige antrekk enn 542 000 mennesker i Draktenburg?
a)
Hvert antrekk består av ett valg fra hver kategori. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:
\[ \text{Antall antrekk} = 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 \] \[ = 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 = 225\,000 \]
Det er mulig å lage 225 000 forskjellige antrekk.
Vanlig feil: Ved «minst én»-oppgaver prøver mange å telle alle gunstige utfall direkte. Det er ofte mye enklere å bruke komplementsetningen: \( P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen}) \). Denne metoden reduserer beregningen til ett enkelt tilfelle i stedet for mange.
b)
Bedriften har 5 par sko, altså \( 5 \cdot 2 = 10 \) enkeltsko. Tore tar med seg 3 tilfeldige sko.
Antall måter å velge 3 sko fra 10:
\[ \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]For at Tore skal få med seg minst ett skopar, må minst to av de tre skoene tilhøre samme par. Vi teller gunstige utfall:
Vi velger først hvilket par som er komplett (5 muligheter), deretter velger vi den tredje skoen blant de resterende 8 skoene:
\[ \text{Gunstige utfall} = 5 \cdot 8 = 40 \]
\[ P(\text{minst ett skopar}) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \]
c)
Nåværende antall antrekk: \( 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5 = 225\,000 \).
Vi trenger flere enn 542 000 antrekk.
Vi finner ut hvilken kategori som gir størst økning per nytt plagg. Kategorien med lavest antall (sko med 5) gir størst prosentvis økning.
Hvis vi legger til 1 par sko (altså 1 nytt skopar), får vi:
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 6 = 270\,000 \]Ikke nok.
Legger vi til 2 skopar:
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 7 = 315\,000 \]Ikke nok.
Legger vi til 7 skopar (totalt 12):
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 12 = 540\,000 \]Ikke nok (542 000 > 540 000).
Legger vi til 8 skopar (totalt 13):
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 13 = 585\,000 > 542\,000 \]Med 8 nye skopar har vi nok.
Men kan vi klare det med færre plagg totalt? La oss sjekke om det er rimeligere å legge til plagg i andre kategorier i kombinasjon med færre skopar.
Med 7 nye skopar (totalt 12) mangler vi: \( 542\,000 - 540\,000 = 2\,000 \). Hvert nytt skopar gir \( 45\,000 \) ekstra antrekk, men vi kan sjekke om ett ekstra plagg i en annen kategori er billigere totalt.
Med 7 nye skopar og 1 nytt hodeplagg (totalt 11 hodeplagg, 12 skopar):
\[ 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 12 = 594\,000 > 542\,000 \]Det er 7 + 1 = 8 nye plagg/skopar.
Kan vi klare det med 7 totalt? Med 6 nye skopar (totalt 11):
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 495\,000 \]Mangler: \( 542\,000 - 495\,000 = 47\,000 \). Ett ekstra plagg i en annen kategori:
Legger vi til 1 hodeplagg: \( 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 544\,500 > 542\,000 \). Det er 6 + 1 = 7 nye plagg/skopar.
Kan vi klare det med 6 totalt? Med 5 nye skopar (totalt 10):
\[ 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 450\,000 \]Mangler: \( 92\,000 \). Ett ekstra hodeplagg: \( 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 495\,000 \). Fortsatt ikke nok. To ekstra hodeplagg: \( 12 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 540\,000 \). Ikke nok. Tre ekstra hodeplagg: \( 13 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 585\,000 > 542\,000 \). Det er 5 + 3 = 8 nye plagg/skopar.
Med 6 skopar og 1 hodeplagg (7 totalt): \( 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 544\,500 > 542\,000 \). Fungerer!
Kan vi klare det med 6 totalt? Med 5 skopar og 1 hodeplagg: \( 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 495\,000 \). Ikke nok.
Med 4 skopar og 2 hodeplagg: \( 12 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 9 = 486\,000 \). Ikke nok.
Med 3 skopar og 3 hodeplagg: \( 13 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 8 = 468\,000 \). Ikke nok.
Med 6 skopar: \( 10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 495\,000 \). Ikke nok.
Med 5 skopar og 1 skjorte: \( 10 \cdot 21 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10 = 472\,500 \). Ikke nok.
Ingen kombinasjon av 6 nye plagg/skopar er tilstrekkelig.
Drakt & Søm må anskaffe minst 7 nye plagg/skopar (for eksempel 6 nye skopar og 1 nytt hodeplagg), som gir \( 11 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 11 = 544\,500 > 542\,000 \).
Oppgave 2 (6 poeng)
Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann.
a) Den gjennomsnittlige vekstfarten til \( f(x) = x^2 + 2 \) i intervallet \([1, 4]\) er 5.
b) Hvis \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) \) og \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x) \), så er \( f(x) = g(x) \).
c) For likningen \( a^x = a^y \), der \( a \in \mathbb{R} \), er løsningen alltid \( x = y \).
a) Den gjennomsnittlige vekstfarten til \( f(x) = x^2 + 2 \) i intervallet \([1, 4]\) er 5.
b) Hvis \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) \) og \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x) \), så er \( f(x) = g(x) \).
c) For likningen \( a^x = a^y \), der \( a \in \mathbb{R} \), er løsningen alltid \( x = y \).
a)
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([1, 4]\) er:
\[ \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{(16 + 2) - (1 + 2)}{3} = \frac{18 - 3}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]
Påstanden er sann. Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5.
b)
Påstanden sier at to funksjoner som har de samme grenseverdiene for \( x \to \infty \) og \( x \to -\infty \), må være identiske.
Dette er usant. Et moteksempel:
- \( f(x) = 0 \) for alle \( x \)
- \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
Begge har:
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x) = 0 \]Men \( f(x) \neq g(x) \), for eksempel \( f(0) = 0 \neq 1 = g(0) \).
Påstanden er usann. Grenseverdier i uendelig bestemmer ikke funksjonen entydig.
Vanlig feil: Mange tror at enhver funksjon har en omvendt funksjon. En funksjon har bare en invers dersom den er injektiv (en-til-en), noe som for kontinuerlige funksjoner på et intervall betyr at den må være strengt monoton. Grafisk kan du sjekke dette med den horisontale linjetesten: enhver horisontal linje skal krysse grafen i høyst ett punkt.
c)
Påstanden sier at \( a^x = a^y \) alltid gir \( x = y \) for \( a \in \mathbb{R} \).
Hvis \( a > 0 \) og \( a \neq 1 \), er eksponentialfunksjonen injektiv (én-til-én), og da følger det at \( x = y \).
Men dersom \( a = 1 \), får vi \( 1^x = 1^y \), som gir \( 1 = 1 \), og dette gjelder for alle \( x \) og \( y \). Altså trenger vi ikke \( x = y \).
Tilsvarende, dersom \( a = 0 \) og \( x, y > 0 \): \( 0^x = 0^y = 0 \), og det gjelder for alle positive \( x \) og \( y \).
Påstanden er usann. For eksempel når \( a = 1 \): \( 1^x = 1^y \) for alle \( x \) og \( y \), uten at \( x = y \).
Oppgave 3 (2 poeng)
I koordinatsystemet ser du grafen til en funksjon \( f \) gitt ved \( f(x) = \log_a(x) \).
Bestem \( a \). Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Bestem \( a \). Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
Fra grafen kan vi lese av at kurven passerer gjennom punktet \( (3, 1) \) (omtrent). Det betyr:
\[ f(3) = \log_a(3) = 1 \] \[ a^1 = 3 \] \[ a = 3 \]Vi kan verifisere med et annet punkt fra grafen. Det ser ut til at \( f(9) \approx 2 \):
\[ \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2 \quad \checkmark \]Og \( f(1) = \log_3(1) = 0 \), som stemmer med grafen.
\[ a = 3 \]
Oppgave 4 (6 poeng)
Trollmat AS selger pakker med knekkebrød. I én av 1000 pakker ligger det et gavekort verdt en reise til 5000 kr. Knekkebrødene selges for 40 kr per pakke og koster 10 kr å produsere. Hassan kjøper én pakke hver dag.
a) Hvor mange dager tar det før sannsynligheten for at Hassan har vunnet minst én reise er 20 %?
b) Trollmat lanserer «Gullknekk» med gavekort i 1 av 100 pakker, produksjonskost 10 kr. Hvilken pris gir samme overskudd per pakke?
c) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker når han kjøper vanlige pakker på hverdager og Gullknekk i helgene.
a) Hvor mange dager tar det før sannsynligheten for at Hassan har vunnet minst én reise er 20 %?
b) Trollmat lanserer «Gullknekk» med gavekort i 1 av 100 pakker, produksjonskost 10 kr. Hvilken pris gir samme overskudd per pakke?
c) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker når han kjøper vanlige pakker på hverdager og Gullknekk i helgene.
a)
Sannsynligheten for å vinne i én pakke er \( p = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001 \).
Vi modellerer dette som en binomisk situasjon. Hvert kjøp er uavhengig med konstant sannsynlighet, altså en binomisk modell.
Sannsynligheten for å ikke vinne i én pakke er \( 1 - p = 0{,}999 \).
Sannsynligheten for å ikke vinne i \( n \) dager:
\[ P(\text{ingen gevinst i } n \text{ dager}) = 0{,}999^n \]Sannsynligheten for å vinne minst én reise i \( n \) dager:
\[ P(\text{minst én gevinst}) = 1 - 0{,}999^n \]Vi setter dette lik 0,20:
\[ 1 - 0{,}999^n = 0{,}20 \] \[ 0{,}999^n = 0{,}80 \] \[ n \cdot \ln(0{,}999) = \ln(0{,}80) \] \[ n = \frac{\ln(0{,}80)}{\ln(0{,}999)} = \frac{-0{,}22314}{-0{,}0010005} \approx 223{,}1 \]Siden \( n \) må være et helt antall dager, runder vi opp.
Det tar 224 dager før sannsynligheten for at Hassan har vunnet minst én reise er minst 20 %.
Vanlig feil: Mange forveksler grensekostnad med gjennomsnittskostnad. Grensekostnaden \( K'(x) \) er kostnaden for å produsere én ekstra enhet, mens gjennomsnittskostnaden er \( \frac{K(x)}{x} \). Størst overskudd oppnås når grensekostnaden er lik grenseinntekten, ikke når gjennomsnittskostnaden er lavest.
b)
For vanlige knekkebrødpakker beregner vi overskudd per pakke:
- Salgsinntekt per pakke: 40 kr
- Produksjonskostnad per pakke: 10 kr
- Forventet premiekostnad per pakke: \( \dfrac{5000}{1000} = 5 \) kr
- Overskudd per pakke: \( 40 - 10 - 5 = 25 \) kr
For Gullknekk:
- Produksjonskostnad: 10 kr
- Forventet premiekostnad per pakke: \( \dfrac{5000}{100} = 50 \) kr
- La \( P \) være prisen per pakke
For samme overskudd:
\[ P - 10 - 50 = 25 \] \[ P = 85 \]
Trollmat AS må ta 85 kroner per pakke Gullknekk.
c)
Hassan kjøper vanlige knekkebrødpakker på hverdager (mandag-fredag) og Gullknekk på lørdag og søndag.
Per uke: 5 vanlige pakker (sannsynlighet \( \frac{1}{1000} \)) og 2 Gullknekk-pakker (sannsynlighet \( \frac{1}{100} \)).
Over 52 uker: \( 5 \cdot 52 = 260 \) vanlige pakker og \( 2 \cdot 52 = 104 \) Gullknekk-pakker.
Vi kan bruke Python-simulering:
import random
antall_simuleringer = 100000
antall_gevinster = 0
for i in range(antall_simuleringer):
vunnet = False
for uke in range(52):
# 5 hverdager med vanlig knekkebrød (1/1000)
for dag in range(5):
if random.randint(1, 1000) == 1:
vunnet = True
# 2 helgedager med Gullknekk (1/100)
for dag in range(2):
if random.randint(1, 100) == 1:
vunnet = True
if vunnet:
antall_gevinster += 1
sannsynlighet = antall_gevinster / antall_simuleringer
print(f"Sannsynlighet: {sannsynlighet}")
Vi kan også beregne dette analytisk for å kontrollere simuleringen:
\[ P(\text{ingen gevinst}) = 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104} \] \[ = 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104} \]Vi beregner:
\[ \ln(0{,}999^{260}) = 260 \cdot \ln(0{,}999) \approx 260 \cdot (-0{,}001\,0005) \approx -0{,}2601 \] \[ \ln(0{,}99^{104}) = 104 \cdot \ln(0{,}99) \approx 104 \cdot (-0{,}01005) \approx -1{,}0452 \] \[ \ln(P(\text{ingen gevinst})) \approx -0{,}2601 - 1{,}0452 = -1{,}3053 \] \[ P(\text{ingen gevinst}) \approx e^{-1{,}3053} \approx 0{,}271 \] \[ P(\text{minst én gevinst}) \approx 1 - 0{,}271 = 0{,}729 \]Simuleringen vil gi et resultat nær dette.
Sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker er omtrent 73 % (ca. 0,73).
Oppgave 5 (4 poeng)
Stephanie leier ut parkeringsplasser for 1000 kr per plass per måned. Alle plasser er utleid. For hver prisøkning på 50 kr minker antallet utleide plasser med 1. Hvis prisen økes til 1500 kr, er inntekten den samme som nå.
a) Vis at Stephanie har 30 parkeringsplasser.
b) Hva er den største mulige månedlige inntekten?
a) Vis at Stephanie har 30 parkeringsplasser.
b) Hva er den største mulige månedlige inntekten?
a)
La \( n \) være antall parkeringsplasser. Nåværende inntekt:
\[ I_{\text{nå}} = 1000 \cdot n \]Når prisen økes til 1500 kr, er prisøkningen \( 1500 - 1000 = 500 \) kr. Antall prisøkninger à 50 kr: \( \dfrac{500}{50} = 10 \).
Antall utleide plasser faller med 10, altså \( n - 10 \) plasser.
Inntekt ved 1500 kr:
\[ I_{1500} = 1500 \cdot (n - 10) \]Disse inntektene skal være like:
\[ 1000n = 1500(n - 10) \] \[ 1000n = 1500n - 15\,000 \] \[ 15\,000 = 500n \] \[ n = 30 \]
Stephanie har 30 parkeringsplasser.
b)
La \( x \) være antall prisøkninger à 50 kr. Da er:
- Pris per plass: \( 1000 + 50x \)
- Antall utleide plasser: \( 30 - x \)
Inntektsfunksjonen:
\[ I(x) = (1000 + 50x)(30 - x) \] \[ = 30\,000 - 1000x + 1500x - 50x^2 \] \[ = -50x^2 + 500x + 30\,000 \]Vi finner toppunktet ved å derivere:
\[ I'(x) = -100x + 500 = 0 \] \[ x = 5 \]Andrederiverten er \( I''(x) = -100 < 0 \), så dette er et maksimum.
Maksimal inntekt:
\[ I(5) = -50 \cdot 25 + 500 \cdot 5 + 30\,000 = -1250 + 2500 + 30\,000 = 31\,250 \]Vi kan sjekke: Prisen er \( 1000 + 50 \cdot 5 = 1250 \) kr, og antall utleide plasser er \( 30 - 5 = 25 \):
\[ 1250 \cdot 25 = 31\,250 \quad \checkmark \]
Den største mulige månedlige inntekten er 31 250 kroner.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer inntektsfunksjonen:
I(x) := -50x² + 500x + 30000 - Finn den deriverte:
I'(x)→ gir \(-100x + 500\) - Sett \(I'(x) = 0\) gir \(x = 5\). Beregn:
I(5)→ gir \(31\,250\) kr
Oppgave 6 (6 poeng)
Skipsmotor AS: Inntekter og kostnader ved produksjon og salg av \( x \) båtmotorer per år:
\[ I(x) = 250x - 0{,}5x^2 \]
\[ K(x) = 70x + 600 \]
\( I(x) \) og \( K(x) \) er gitt i 1000 kroner.
a) Bestem \( I'(15) \). Gi en praktisk tolkning.
b) Hvor mange motorer gir størst overskudd? Hvor stort er overskuddet?
c) Bestem størst mulig overskudd dersom de 50 første motorene produseres uten feil, og 10 % av motorene etter dette ikke kan selges.
a) Bestem \( I'(15) \). Gi en praktisk tolkning.
b) Hvor mange motorer gir størst overskudd? Hvor stort er overskuddet?
c) Bestem størst mulig overskudd dersom de 50 første motorene produseres uten feil, og 10 % av motorene etter dette ikke kan selges.
a)
Vi deriverer inntektsfunksjonen:
\[ I'(x) = 250 - x \]Vi setter inn \( x = 15 \):
\[ I'(15) = 250 - 15 = 235 \]
\( I'(15) = 235 \).
Praktisk tolkning: Når bedriften produserer og selger 15 båtmotorer, vil inntekten øke med omtrent 235 000 kroner dersom de selger én motor til (den 16. motoren).
Praktisk tolkning: Når bedriften produserer og selger 15 båtmotorer, vil inntekten øke med omtrent 235 000 kroner dersom de selger én motor til (den 16. motoren).
b)
Overskuddet er:
\[ O(x) = I(x) - K(x) = (250x - 0{,}5x^2) - (70x + 600) \] \[ = -0{,}5x^2 + 180x - 600 \]Vi finner maksimum ved å derivere:
\[ O'(x) = -x + 180 = 0 \] \[ x = 180 \]Andrederiverten er \( O''(x) = -1 < 0 \), altså maksimum.
Størst overskudd:
\[ O(180) = -0{,}5 \cdot 180^2 + 180 \cdot 180 - 600 \] \[ = -0{,}5 \cdot 32\,400 + 32\,400 - 600 \] \[ = -16\,200 + 32\,400 - 600 \] \[ = 15\,600 \]
Skipsmotor AS må selge 180 båtmotorer for at overskuddet skal bli størst mulig. Overskuddet er da 15 600 tusen kroner, altså 15,6 millioner kroner.
c)
Nå produserer bedriften \( x \) motorer totalt, men bare noen av dem kan selges:
- De 50 første produseres uten feil.
- Av de resterende \( x - 50 \) motorene kan 10 % ikke selges, altså \( 0{,}1(x - 50) \) motorer er defekte.
Antall motorer som kan selges (for \( x \geq 50 \)):
\[ s(x) = x - 0{,}1(x - 50) = x - 0{,}1x + 5 = 0{,}9x + 5 \]Inntekten avhenger av antall solgte motorer:
\[ I(s) = 250s - 0{,}5s^2 \quad \text{der } s = 0{,}9x + 5 \]Kostnadene avhenger av antall produserte motorer:
\[ K(x) = 70x + 600 \]Overskuddet blir:
\[ O(x) = I(0{,}9x + 5) - K(x) \] \[ = 250(0{,}9x + 5) - 0{,}5(0{,}9x + 5)^2 - 70x - 600 \]Vi regner ut ledd for ledd:
\[ 250(0{,}9x + 5) = 225x + 1250 \] \[ (0{,}9x + 5)^2 = 0{,}81x^2 + 9x + 25 \] \[ 0{,}5(0{,}9x + 5)^2 = 0{,}405x^2 + 4{,}5x + 12{,}5 \]Dermed:
\[ O(x) = 225x + 1250 - 0{,}405x^2 - 4{,}5x - 12{,}5 - 70x - 600 \] \[ = -0{,}405x^2 + 150{,}5x + 637{,}5 \]Vi deriverer og setter lik null:
\[ O'(x) = -0{,}81x + 150{,}5 = 0 \] \[ x = \frac{150{,}5}{0{,}81} \approx 185{,}8 \]Siden \( x \) må være et heltall, sjekker vi \( x = 185 \) og \( x = 186 \):
\[ O(186) = -0{,}405 \cdot 186^2 + 150{,}5 \cdot 186 + 637{,}5 \] \[ = -0{,}405 \cdot 34\,596 + 27\,993 + 637{,}5 \] \[ = -14\,011{,}38 + 27\,993 + 637{,}5 \] \[ = 14\,619{,}12 \] \[ O(185) = -0{,}405 \cdot 185^2 + 150{,}5 \cdot 185 + 637{,}5 \] \[ = -0{,}405 \cdot 34\,225 + 27\,842{,}5 + 637{,}5 \] \[ = -13\,861{,}125 + 27\,842{,}5 + 637{,}5 \] \[ = 14\,618{,}875 \]Begge gir omtrent det samme. Vi bruker den eksakte verdien ved \( x \approx 185{,}8 \):
\[ O(185{,}8) = -0{,}405 \cdot 185{,}8^2 + 150{,}5 \cdot 185{,}8 + 637{,}5 \approx 14\,619{,}2 \]Vi kontrollerer at \( x > 50 \), som stemmer.
Skipsmotor AS bør produsere 186 motorer (hvorav \( 0{,}9 \cdot 186 + 5 = 172{,}4 \), altså 172 motorer selges). Det største overskuddet er omtrent 14 619 tusen kroner, altså ca. 14,6 millioner kroner.
Oppgave 7 (2 poeng)
En test for covid-19 har disse egenskapene:
- Dersom en person er smittet, er det 99 % sikkert at testen viser dette.
- Dersom en person ikke er smittet, er det 98 % sikkert at testen viser dette.
Vi bruker Bayes' setning. Vi definerer:
- \( S \): Personen er smittet. \( P(S) = 0{,}01 \)
- \( \overline{S} \): Personen er ikke smittet. \( P(\overline{S}) = 0{,}99 \)
- \( + \): Testen er positiv.
Vi vet:
- \( P(+ \mid S) = 0{,}99 \) (sensitivitet)
- \( P(- \mid \overline{S}) = 0{,}98 \), altså \( P(+ \mid \overline{S}) = 0{,}02 \) (falsk positiv rate)
Vi finner total sannsynlighet for positiv test:
\[ P(+) = P(+ \mid S) \cdot P(S) + P(+ \mid \overline{S}) \cdot P(\overline{S}) \] \[ = 0{,}99 \cdot 0{,}01 + 0{,}02 \cdot 0{,}99 \] \[ = 0{,}0099 + 0{,}0198 \] \[ = 0{,}0297 \]Bayes' setning:
\[ P(S \mid +) = \frac{P(+ \mid S) \cdot P(S)}{P(+)} = \frac{0{,}99 \cdot 0{,}01}{0{,}0297} = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} = \frac{99}{297} = \frac{1}{3} \]
Sannsynligheten for at personen faktisk har covid-19 er \( \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 \), altså omtrent 33,3 %.
Vanlig feil: Mange forveksler \( P(A \mid B) \) med \( P(B \mid A) \). Bayes' setning kobler disse sammen: \( P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)} \). Selv om en test er svært nøyaktig (høy sensitivitet), kan sannsynligheten for sykdom gitt positiv test være lav dersom sykdommen er sjelden.