Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \[ (2a)^{-1} \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} \cdot (a \cdot b)^{3} \]

Vi forenkler faktor for faktor ved å bruke potensregler.

Faktor 1:

\[ (2a)^{-1} = \frac{1}{2a} \]

Faktor 2:

\[ \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{b}\right)^{3} = \frac{2^3}{b^3} = \frac{8}{b^3} \]

Faktor 3:

\[ (a \cdot b)^{3} = a^3 \cdot b^3 \]

Vi multipliserer alt sammen:

\[ \frac{1}{2a} \cdot \frac{8}{b^3} \cdot a^3 \cdot b^3 = \frac{8 \cdot a^3 \cdot b^3}{2a \cdot b^3} = \frac{8a^3}{2a} = 4a^2 \]

\[ (2a)^{-1} \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} \cdot (a \cdot b)^{3} = 4a^2 \]

Oppgave 2

En fabrikk produserer strikkeluer. Dersom fabrikken produserer \(x\) luer en dag, vil produksjonskostnaden per lue være gitt ved \[ E(x) = 0{,}2x + 40 + \frac{20\,000}{x} \] Bestem \(E'(100)\). Hva forteller dette tallet deg i denne situasjonen?

Vi skriver om funksjonen for å kunne derivere:

\[ E(x) = 0{,}2x + 40 + 20\,000 \cdot x^{-1} \]

Vi deriverer:

\[ E'(x) = 0{,}2 + 20\,000 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 0{,}2 - \frac{20\,000}{x^2} \]

Vi setter inn \(x = 100\):

\[ E'(100) = 0{,}2 - \frac{20\,000}{100^2} = 0{,}2 - \frac{20\,000}{10\,000} = 0{,}2 - 2 = -1{,}8 \]

\(E'(100) = -1{,}8\)

Tolkning: Når fabrikken produserer 100 luer, synker produksjonskostnaden per lue med omtrent 1,80 kroner dersom produksjonen øker med én lue. Det betyr at det lønner seg å øke produksjonen fra dette nivået, fordi enhetskostnaden da fortsatt er avtagende.

Oppgave 3

Bestem grenseverdien \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 + x - 12} \]

Vi setter inn \(x = 3\) direkte og får \(\frac{0}{0}\), som er ubestemt. Vi faktoriserer nevneren.

Vi løser \(x^2 + x - 12 = 0\):

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Dette gir \(x = 3\) eller \(x = -4\). Altså:

\[ x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \]

Vi forkorter brøken:

\[ \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{1}{x + 4}, \quad x \neq 3 \]

Nå kan vi beregne grenseverdien:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{3 + 4} = \frac{1}{7} \]

\[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 + x - 12} = \frac{1}{7} \]

Vanlig feil: Når du får formen \( \frac{0}{0} \), betyr det ikke at grenseverdien er 0 eller at den ikke eksisterer. Du må faktorisere og forkorte fellesfaktoren før du setter inn. Mange prøver å sette inn verdien direkte uten å forenkle, og konkluderer feilaktig med at svaret er udefinert.

Oppgave 4

Løs likningen \[ e^{2x} - e^x = 2 \]

Vi innfører substitusjonen \(u = e^x\), der \(u > 0\). Merk at \(e^{2x} = (e^x)^2 = u^2\). Likningen blir:

\[ u^2 - u = 2 \] \[ u^2 - u - 2 = 0 \]

Vi bruker abc-formelen (eller faktoriserer):

\[ (u - 2)(u + 1) = 0 \]

Dette gir \(u = 2\) eller \(u = -1\).

Siden \(u = e^x > 0\) for alle \(x\), forkaster vi \(u = -1\).

Vi løser \(e^x = 2\):

\[ x = \ln 2 \]

Vanlig feil: Ved substitusjon (f.eks. \( u = e^x \) eller \( u = \lg x \)) glemmer mange å sjekke hvilke verdier den nye variabelen kan ta. Siden \( e^x > 0 \) alltid, må man forkaste negative løsninger for \( u \) ved tilbakesubstitusjon. Tilsvarende kan \( 10^x \) aldri bli negativt.

Oppgave 5

Vi har gitt likningen \[ \lg(x + 3) + \lg x = \lg a \] Bestem \(a\) slik at \(x = 7\) er en løsning av likningen.

Vi setter inn \(x = 7\) i likningen:

\[ \lg(7 + 3) + \lg 7 = \lg a \] \[ \lg 10 + \lg 7 = \lg a \]

Vi vet at \(\lg 10 = 1\). Vi bruker logaritmeregelen \(\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B)\):

\[ \lg(10 \cdot 7) = \lg a \] \[ \lg 70 = \lg a \]

\[ a = 70 \]

Vanlig feil: Ved logaritmelikninger glemmer mange å sjekke at løsningen gir positive argumenter til logaritmen. Siden \( \ln x \) og \( \lg x \) bare er definert for \( x > 0 \), må du alltid verifisere at løsningene dine oppfyller dette kravet. Forkast eventuelle løsninger der argumentet blir null eller negativt.

Oppgave 6

En elev har skrevet en programkode som simulerer kast av to terninger 1 000 000 ganger og teller opp hvor ofte summen er 9.

a) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?
b) Bruk sannsynlighetsregning til å bestemme svaret som eleven ønsker å finne.

a)

Programmet simulerer kast av to vanlige terninger \(N = 1\,000\,000\) ganger. For hvert forsøk genereres to tilfeldige heltall \(a\) og \(b\), begge mellom 1 og 6 (inkludert). Programmet sjekker om summen \(a + b = 9\). Dersom det er tilfellet, økes en teller (gunstige) med 1.

Til slutt skrives brøken \(\frac{\text{gunstige}}{N}\) ut, som er den relative frekvensen av at summen ble 9.

Eleven ønsker å finne sannsynligheten for at summen av øynene på to terninger blir 9.

b)

Vi har to terninger, der hvert utfall er like sannsynlig. Totalt antall mulige utfall er \(6 \times 6 = 36\).

De gunstige utfallene der \(a + b = 9\):

\(a\)	\(b\)
3	6
4	5
5	4
6	3

Det er 4 gunstige utfall.

\[ P(\text{sum} = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 \]

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen viser antall gårdsbruk i Norge for noen årstall:

År	1969	1989	1999	2009	2020
Antall gårdsbruk	154 977	99 382	68 539	47 688	38 633

a) Bestem en modell. Begrunn valget.
b) Hvor mange gårdsbruk i 2060? Vurder svaret.
c) I hvilket år vil antall gårdsbruk avta med ca. 1000 per år?

a)

Vi lar \(x\) representere antall år etter 1969, slik at \(x = 0\) tilsvarer 1969.

\(x\)	0	20	30	40	51
Antall gårdsbruk	154 977	99 382	68 539	47 688	38 633

Dataene viser en jevn prosentvis nedgang over tid, noe som tyder på eksponentiell nedgang. Vi tilpasser en eksponentiell modell ved regresjon:

\[ G(x) = 154\,977 \cdot a^x \]

Vi bruker datapunktene for å finne vekstfaktoren. Med de to ytterpunktene \((0, 154\,977)\) og \((51, 38\,633)\):

\[ 38\,633 = 154\,977 \cdot a^{51} \] \[ a^{51} = \frac{38\,633}{154\,977} \approx 0{,}24928 \] \[ a = 0{,}24928^{1/51} \approx 0{,}97327 \]

Vi kan også bruke eksponentiell regresjon (CAS/kalkulator) med alle datapunktene, som gir tilnærmet:

\[ G(x) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \]

Begrunnelse: Vi velger en eksponentiell modell fordi antallet gårdsbruk synker med en tilnærmet fast prosent hvert år. Dataene viser ikke et lineært fall (da ville nedgangen vært konstant i antall per år), men heller en avtagende nedgang i absolutte tall, noe som passer med eksponentiell avtagning. En eksponentiell regresjon gir også høy \(R^2\)-verdi.

Modell: \( G(x) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \), der \(x\) er antall år etter 1969.

Vanlig feil: Mange forveksler prosentvis vekst med vekstfaktor. En årlig vekst på 5 % betyr vekstfaktor \( k = 1{,}05 \), ikke \( k = 0{,}05 \). Modellen \( f(t) = a \cdot k^t \) gir eksponentiell vekst når \( k > 1 \) og eksponentiell nedgang når \( 0 < k < 1 \).

b)

Året 2060 tilsvarer \(x = 2060 - 1969 = 91\).

\[ G(91) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^{91} \approx 151\,200 \cdot 0{,}0827 \approx 12\,500 \]

Ifølge modellen vil det være omtrent 12 500 gårdsbruk i Norge i 2060.

Vurdering: Dette er et estimat som bygger på at den historiske trenden fortsetter. I praksis kan politiske tiltak, subsidier eller endringer i jordbrukspolitikk påvirke utviklingen. Det er usikkert å ekstrapolere så langt fram i tid. Likevel er det rimelig å forvente en fortsatt nedgang, selv om den eksakte verdien er usikker.

c)

Vi skal finne når antall gårdsbruk avtar med ca. 1000 per år, altså når \(G'(x) \approx -1000\).

\[ G'(x) = 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \cdot \ln(0{,}9731) \]

Vi beregner \(\ln(0{,}9731) \approx -0{,}02728\).

\[ G'(x) \approx 151\,200 \cdot (-0{,}02728) \cdot 0{,}9731^x = -4123{,}1 \cdot 0{,}9731^x \]

Vi setter \(G'(x) = -1000\):

\[ -4123{,}1 \cdot 0{,}9731^x = -1000 \] \[ 0{,}9731^x = \frac{1000}{4123{,}1} \approx 0{,}2425 \] \[ x \cdot \ln(0{,}9731) = \ln(0{,}2425) \] \[ x = \frac{\ln(0{,}2425)}{\ln(0{,}9731)} = \frac{-1{,}4159}{-0{,}02728} \approx 51{,}9 \]

Årstallet blir \(1969 + 52 \approx 2021\).

Ifølge modellen vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000 per år rundt år 2021.

Oppgave 2

Statistikk viser at 74 % av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått. 17. juni 2022 skal 7 gutter og 5 jenter ha oppkjøring.
a) Hva må vi gå ut fra for å se dette som et binomisk forsøk?
b) Hva er sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består?
c) Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består?

a)

For å kunne bruke binomisk modell må vi anta følgende:

Hvert forsøk (oppkjøring) har nøyaktig to mulige utfall: bestått eller ikke bestått.
Sannsynligheten for å bestå er den samme for alle elevene, nemlig \(p = 0{,}74\).
Utfallene er uavhengige av hverandre: om én elev består eller ikke, påvirker ikke de andres resultat.

Vi må anta at alle elevene har lik sannsynlighet \(p = 0{,}74\) for å bestå, og at forsøkene er uavhengige av hverandre.

Vanlig feil: Ved «minst én»-oppgaver prøver mange å telle alle gunstige utfall direkte. Det er ofte mye enklere å bruke komplementsetningen: \( P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen}) \). Denne metoden reduserer beregningen til ett enkelt tilfelle i stedet for mange.

b)

La \(X\) være antall elever som består. Da er \(X \sim \text{Bin}(12,\; 0{,}74)\).

Vi skal finne \(P(X \geq 8)\):

\[ P(X \geq 8) = \sum_{k=8}^{12} \binom{12}{k} \cdot 0{,}74^k \cdot 0{,}26^{12-k} \]

Vi beregner ledd for ledd:

\[ P(X = 8) = \binom{12}{8} \cdot 0{,}74^8 \cdot 0{,}26^4 = 495 \cdot 0{,}0899 \cdot 0{,}00457 \approx 0{,}2032 \] \[ P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}74^9 \cdot 0{,}26^3 = 220 \cdot 0{,}0665 \cdot 0{,}01758 \approx 0{,}2573 \] \[ P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}74^{10} \cdot 0{,}26^2 = 66 \cdot 0{,}0492 \cdot 0{,}0676 \approx 0{,}2195 \] \[ P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}74^{11} \cdot 0{,}26^1 = 12 \cdot 0{,}0364 \cdot 0{,}26 \approx 0{,}1137 \] \[ P(X = 12) = \binom{12}{12} \cdot 0{,}74^{12} \cdot 0{,}26^0 = 1 \cdot 0{,}0270 \cdot 1 \approx 0{,}0270 \]

\[ P(X \geq 8) \approx 0{,}2032 + 0{,}2573 + 0{,}2195 + 0{,}1137 + 0{,}0270 \approx 0{,}8207 \]

\[ P(X \geq 8) \approx 0{,}821 \approx 82{,}1\,\% \]

Vanlig feil: Mange blander sammen ordnet utvalg (permutasjoner) og uordnet utvalg (kombinasjoner). Bruk \( \binom{n}{k} \) (kombinasjoner) når rekkefølgen ikke betyr noe, og \( P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) (permutasjoner) når rekkefølgen er viktig. Feil valg av formel kan gi et svar som er mangedobbelt for stort eller lite.

c)

Her ser vi på guttene og jentene som to separate binomiske forsøk.

Gutter: \(X_G \sim \text{Bin}(7,\; 0{,}74)\). Vi vil at \(X_G = 5\).
Jenter: \(X_J \sim \text{Bin}(5,\; 0{,}74)\). Vi vil at \(X_J = 4\).

Siden forsøkene er uavhengige, multipliserer vi sannsynlighetene:

\[ P(X_G = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}74^5 \cdot 0{,}26^2 = 21 \cdot 0{,}2219 \cdot 0{,}0676 \approx 0{,}3150 \]

\[ P(X_J = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}74^4 \cdot 0{,}26^1 = 5 \cdot 0{,}2998 \cdot 0{,}26 \approx 0{,}3898 \]

\[ P(X_G = 5 \;\text{og}\; X_J = 4) = 0{,}3150 \cdot 0{,}3898 \approx 0{,}1228 \]

\[ P(\text{5 gutter og 4 jenter består}) \approx 0{,}123 \approx 12{,}3\,\% \]

Oppgave 3

Knut har satt inn 70 000 kr på en konto. Beløpet etter \(x\) måneder er gitt ved \[ B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^x \] a) Bestem den årlige rentesatsen.
b) Hvor lang tid før han har 80 000 kr?
Etter 24 måneder setter han inn 2000 kr/mnd i aksjefond med 0,7 % månedlig avkastning. La \(T(x)\) være totalverdien \(x\) måneder etter han begynte med aksjefondet.
c) Er \(T\) kontinuerlig? Begrunn.
d) Hvor lang tid før \(T(x) > 200\,000\) kr?

a)

Den månedlige vekstfaktoren er \(1{,}003\). Den årlige vekstfaktoren er:

\[ 1{,}003^{12} \approx 1{,}03660 \]

Den årlige rentesatsen er \(1{,}003^{12} - 1 \approx 0{,}0366 = 3{,}66\,\%\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellen: B(x) := 70000 · 1.003^x
Finn årlig vekstfaktor: Numerisk(1.003^12) → gir \(\approx 1{,}0366\), dvs. 3,66 % årlig rente
Beregn saldo etter 24 mnd: Numerisk(B(24)) → gir \(\approx 75\,218\) kr

GeoGebra CAS: B(x)=70000·1.003^x, 1.003^12≈1.0366, B(24)≈75218

b)

Vi løser \(B(x) = 80\,000\):

\[ 70\,000 \cdot 1{,}003^x = 80\,000 \] \[ 1{,}003^x = \frac{80\,000}{70\,000} = \frac{8}{7} \] \[ x \cdot \ln(1{,}003) = \ln\!\left(\frac{8}{7}\right) \] \[ x = \frac{\ln(8/7)}{\ln(1{,}003)} = \frac{0{,}13353}{0{,}002996} \approx 44{,}6 \]

Det tar omtrent 45 måneder (3 år og 9 måneder) før Knut har 80 000 kr på kontoen.

c)

Etter 24 måneder har Knut spart i aksjefondet i \(x\) måneder. Totalverdien er:

\[ T(x) = B(24 + x) + A(x) \]

der \(B(24 + x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x}\) (kontoverdi) og \(A(x)\) er verdien av aksjefondet etter \(x\) måneder.

Verdien i aksjefondet ved slutten av måned \(x\) (med innskudd på starten av hver måned):

\[ A(x) = 2000 \cdot 1{,}007 \cdot \frac{1{,}007^x - 1}{1{,}007 - 1} = 2000 \cdot \frac{1{,}007^{x+1} - 1{,}007}{0{,}007} \]

Alternativt kan vi forenkle: med innskudd i starten av hver måned, med vekstfaktor 1,007 per måned.

Funksjonen \(B(24 + x)\) er kontinuerlig (eksponentialfunksjon). Aksjefonddelen \(A(x)\) er derimot bare definert for heltallige verdier av \(x\) (innskudd skjer månedlig), men vi kan betrakte den som en trappefunksjon.

Dersom vi tolker \(T(x)\) som definert for alle reelle \(x \geq 0\) og betrakter aksjefondet som et produkt med månedlig avkastning og månedlige innskudd, vil \(A(x)\) være en trappefunksjon (diskret) som hopper opp med 2000 kr ved starten av hver ny måned.

Nei, funksjonen \(T\) er ikke kontinuerlig. Aksjefonddelen gjør et sprang hver gang et nytt innskudd på 2000 kr blir satt inn (ved starten av hver måned). Kontodelen \(B\) er kontinuerlig, men den diskontinuerlige aksjefonddelen gjør at \(T\) totalt sett har sprangvise hopp og dermed ikke er kontinuerlig.

d)

Vi skal finne når \(T(x) > 200\,000\).

Kontoverdien etter \(24 + x\) måneder:

\[ B(24 + x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x} \]

Verdien av aksjefondet etter \(x\) månedlige innskudd a 2000 kr med vekstfaktor 1,007:

\[ A(x) = 2000 \cdot \frac{1{,}007^x - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \]

Vi tester noen verdier (med kalkulator/CAS):

For \(x = 40\) (dvs. 64 måneder totalt fra start):

\[ B(64) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{64} \approx 70\,000 \cdot 1{,}2116 \approx 84\,812 \] \[ A(40) = 2000 \cdot \frac{1{,}007^{40} - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot \frac{1{,}3233 - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot 46{,}19 \cdot 1{,}007 \approx 93\,027 \] \[ T(40) \approx 84\,812 + 93\,027 \approx 177\,839 \]

For \(x = 45\):

\[ B(69) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{69} \approx 70\,000 \cdot 1{,}2298 \approx 86\,088 \] \[ A(45) \approx 2000 \cdot \frac{1{,}007^{45} - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot \frac{1{,}3694 - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot 52{,}77 \cdot 1{,}007 \approx 106\,276 \] \[ T(45) \approx 86\,088 + 106\,276 \approx 192\,364 \]

For \(x = 47\):

\[ B(71) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{71} \approx 70\,000 \cdot 1{,}2372 \approx 86\,604 \] \[ A(47) \approx 2000 \cdot \frac{1{,}007^{47} - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot \frac{1{,}3886 - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot 55{,}51 \cdot 1{,}007 \approx 111\,797 \] \[ T(47) \approx 86\,604 + 111\,797 \approx 198\,401 \]

For \(x = 48\):

\[ B(72) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{72} \approx 70\,000 \cdot 1{,}2409 \approx 86\,863 \] \[ A(48) \approx 2000 \cdot \frac{1{,}007^{48} - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot \frac{1{,}3983 - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \approx 2000 \cdot 56{,}90 \cdot 1{,}007 \approx 114\,598 \] \[ T(48) \approx 86\,863 + 114\,598 \approx 201\,461 \]

\(T(x)\) blir større enn 200 000 kr etter 48 måneder med sparing i aksjefondet, altså totalt \(24 + 48 = 72\) måneder (6 år) etter at Knut først satte inn pengene.

Oppgave 4

I et spill kaster du tre terninger. Du multipliserer sammen antall øyne. Dersom produktet er større enn 100, vinner du. Bestem sannsynligheten for å vinne ved å kjøre simuleringer.

Vi skriver et Python-program som simulerer dette:

from random import randint

N = 1000000
gunstige = 0

for i in range(N):
    a = randint(1, 6)
    b = randint(1, 6)
    c = randint(1, 6)
    if a * b * c > 100:
        gunstige = gunstige + 1

print(gunstige / N)

Vi kan også bestemme det eksakte svaret. Det høyeste mulige produktet er \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). Vi teller alle kombinasjoner \((a, b, c)\) der \(a \cdot b \cdot c > 100\):

De gunstige kombinasjonene (der produktet overstiger 100):

\(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\) — 1 kombinasjon (alle permutasjoner: 1)
\(6 \cdot 6 \cdot 5 = 180\) — \(\frac{3!}{2!} = 3\) permutasjoner
\(6 \cdot 6 \cdot 4 = 144\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 5 \cdot 5 = 150\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) — \(3! = 6\) permutasjoner
\(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) — 1 permutasjon

Totalt: \(1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 1 = 20\) gunstige utfall av totalt \(6^3 = 216\) mulige.

\[ P(\text{vinne}) = \frac{20}{216} = \frac{5}{54} \approx 0{,}0926 \approx 9{,}3\,\% \]
Simuleringen vil gi et resultat nær denne verdien.

Oppgave 5

Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant med hjørner i \((-2, 0)\), \((2, 0)\) og \((0, 2)\). Arealet \(T\) av rektangelet er avhengig av hvor på kateten punktet \(P(a, b)\) plasseres. Bestem den største verdien \(T\) kan ha.

Trekanten har hjørner i \((-2, 0)\), \((2, 0)\) og \((0, 2)\). Det rette vinkelen er i \((0, 2)\) (vi kan verifisere: vektorene fra \((0,2)\) til \((-2,0)\) og \((2,0)\) er \((-2,-2)\) og \((2,-2)\), og skalarproduktet er \(-4+4=0\)).

Fra figuren ser vi at rektangelet har sin nedre side langs \(x\)-aksen og punktet \(P(a,b)\) ligger på den høyre kateten (linjestykket fra \((0,2)\) til \((2,0)\)).

Likningen for den høyre kateten (fra \((0,2)\) til \((2,0)\)):

\[ y = -x + 2, \quad 0 \leq x \leq 2 \]

Punktet \(P(a, b)\) ligger på denne linjen, så \(b = -a + 2 = 2 - a\).

På grunn av symmetrien om \(y\)-aksen har rektangelet bredde \(2a\) (fra \(-a\) til \(a\)) og høyde \(b = 2 - a\).

Arealet av rektangelet:

\[ T(a) = 2a \cdot (2 - a) = 4a - 2a^2, \quad 0 < a < 2 \]

Vi deriverer og setter lik null:

\[ T'(a) = 4 - 4a = 0 \] \[ a = 1 \]

Vi sjekker at dette er et maksimum: \(T''(a) = -4 < 0\), så \(a = 1\) gir et maksimum.

Største areal:

\[ T(1) = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2 \]

Den største verdien arealet \(T\) kan ha, er \(T = 2\).
Dette oppnås når \(a = 1\) og \(b = 1\), altså når rektangelet har bredde 2 og høyde 1.

Oppgave 6

Ifølge Newtons avkjølingslov er temperaturen \(T\) etter \(t\) minutter gitt ved \[ \ln(T - T_0) = -k \cdot t + r \] der \(T_0\) er romtemperaturen, og \(k\) og \(r\) er konstanter.

Romtemperatur: \(T_0 = 22\,^\circ\text{C}\). Ved \(t = 0\): \(T = 82\,^\circ\text{C}\). Etter 2 minutter: \(T = 66\,^\circ\text{C}\).
Hvor lang tid tar det før temperaturen er mindre enn \(40\,^\circ\text{C}\)?

Steg 1: Finn \(r\).

Ved \(t = 0\) og \(T = 82\):

\[ \ln(82 - 22) = -k \cdot 0 + r \] \[ \ln 60 = r \] \[ r = \ln 60 \]

Steg 2: Finn \(k\).

Ved \(t = 2\) og \(T = 66\):

\[ \ln(66 - 22) = -k \cdot 2 + \ln 60 \] \[ \ln 44 = -2k + \ln 60 \] \[ 2k = \ln 60 - \ln 44 = \ln\!\left(\frac{60}{44}\right) = \ln\!\left(\frac{15}{11}\right) \] \[ k = \frac{1}{2} \ln\!\left(\frac{15}{11}\right) \approx \frac{1}{2} \cdot 0{,}3101 \approx 0{,}1551 \]

Steg 3: Finn \(t\) når \(T = 40\).

\[ \ln(40 - 22) = -k \cdot t + \ln 60 \] \[ \ln 18 = -0{,}1551 \cdot t + \ln 60 \] \[ 0{,}1551 \cdot t = \ln 60 - \ln 18 = \ln\!\left(\frac{60}{18}\right) = \ln\!\left(\frac{10}{3}\right) \] \[ t = \frac{\ln(10/3)}{0{,}1551} = \frac{1{,}2040}{0{,}1551} \approx 7{,}76 \]

Temperaturen i kaffen er mindre enn \(40\,^\circ\text{C}\) etter omtrent 7,8 minutter (ca. 7 minutter og 46 sekunder).

Oppgave 7

Vi har to funksjoner \(f\) og \(g\). Vi ser grafene til \(f\), \(f'\), \(g\) og \(g'\) (graf A, B, C, D). Graf A er enten grafen til \(f\) eller \(f'\). Argumenter for hvilken graf som hører til hvilken funksjon.

Vi analyserer de fire grafene systematisk.

Observasjoner om graf A:

Graf A ser ut til å ha et lokalt maksimum rundt \(x \approx 1\) og er relativt flat / avtagende for store og små \(x\)-verdier. Den har en "bølgeform" som er begrenset, med verdier mellom ca. \(-1\) og \(1\).

Observasjoner om graf B:

Graf B har en vertikal asymptote (eller svært bratt stigning) nær \(x = 0\), med verdier som går mot \(+\infty\) når \(x \to 0^+\), og er svakt positiv for \(x > 1\).

Observasjoner om graf C:

Graf C har en vertikal asymptote nær \(x = 0\), med verdier som går mot \(-\infty\) når \(x \to 0^+\), og stiger deretter opp til positive verdier for større \(x\).

Observasjoner om graf D:

Graf D har et lokalt minimum rundt \(x \approx 0\) og et lokalt maksimum rundt \(x \approx 2\). Verdien ved minimumet er ca. \(-2\), og grafen krysser \(x\)-aksen.

Sammenheng mellom funksjoner og deriverte:

Vi vet at graf A er enten \(f\) eller \(f'\).

Anta at graf A er \(f\): Da har \(f\) et lokalt maksimum rundt \(x \approx 1\), som betyr at \(f'(1) = 0\). Grafen til \(f'\) bør krysse \(x\)-aksen ved \(x \approx 1\). Graf D har et nullpunkt nær \(x \approx 1\) (den krysser \(x\)-aksen), og dessuten er graf D positiv der graf A stiger og negativ der graf A synker. Dette passer: graf A = \(f\) og graf D = \(f'\).

Da gjenstår graf B og graf C for \(g\) og \(g'\).

Anta at graf B = \(g\): Graf B er bratt avtakende for \(x < 0\) og har en vertikal asymptote. Den deriverte av graf B bør være svært negativ nær asymptoten og deretter nær null for større \(x\). Graf C har nettopp denne formen (svært negativ nær \(x = 0\), deretter stigende mot null/svakt positiv). Det passer: graf B = \(g\) og graf C = \(g'\).

Alternativt: graf C = \(g\) og graf B = \(g'\). Graf C stiger for alle \(x > 0\) (fra \(-\infty\) mot positive verdier), som betyr at \(g' > 0\) for \(x > 0\). Graf B er positiv for alle \(x > 0\), noe som stemmer. Dessuten stiger graf C brattere nær \(x = 0\), og graf B har nettopp store verdier nær \(x = 0\). Dette passer også.

Vi velger den tolkningen som er mest konsistent med grafenes form:

Graf A er grafen til \(f\) (begrenset bølgeform med lokalt maksimum).
Graf D er grafen til \(f'\) (nullpunkt der \(f\) har ekstremverdi, positiv der \(f\) stiger, negativ der \(f\) synker).
Graf C er grafen til \(g\) (har vertikal asymptote, stigende).
Graf B er grafen til \(g'\) (positiv der \(g\) stiger, stor verdi der \(g\) stiger brattere).

Hovedargumenter:

Graf A har et lokalt maksimum rundt \(x \approx 1\). Der må den deriverte \(f'\) være null. Graf D krysser \(x\)-aksen nettopp rundt \(x \approx 1\), så graf D er \(f'\).
Graf C er stigende for \(x > 0\), og den deriverte bør da være positiv. Graf B er positiv for \(x > 0\), og har store verdier nær \(x = 0\) der graf C stiger brattest. Altså er graf B = \(g'\).

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \[ (2a)^{-1} \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} \cdot (a \cdot b)^{3} \]

Vi forenkler faktor for faktor ved å bruke potensregler.

Faktor 1:

\[ (2a)^{-1} = \frac{1}{2a} \]

Faktor 2:

\[ \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{b}\right)^{3} = \frac{2^3}{b^3} = \frac{8}{b^3} \]

Faktor 3:

\[ (a \cdot b)^{3} = a^3 \cdot b^3 \]

Vi multipliserer alt sammen:

\[ \frac{1}{2a} \cdot \frac{8}{b^3} \cdot a^3 \cdot b^3 = \frac{8 \cdot a^3 \cdot b^3}{2a \cdot b^3} = \frac{8a^3}{2a} = 4a^2 \]

\[ (2a)^{-1} \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} \cdot (a \cdot b)^{3} = 4a^2 \]

Oppgave 2

Vi skriver om funksjonen for å kunne derivere:

\[ E(x) = 0{,}2x + 40 + 20\,000 \cdot x^{-1} \]

Vi deriverer:

\[ E'(x) = 0{,}2 + 20\,000 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 0{,}2 - \frac{20\,000}{x^2} \]

Vi setter inn \(x = 100\):

\[ E'(100) = 0{,}2 - \frac{20\,000}{100^2} = 0{,}2 - \frac{20\,000}{10\,000} = 0{,}2 - 2 = -1{,}8 \]

Oppgave 3

Bestem grenseverdien \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 + x - 12} \]

Vi setter inn \(x = 3\) direkte og får \(\frac{0}{0}\), som er ubestemt. Vi faktoriserer nevneren.

Vi løser \(x^2 + x - 12 = 0\):

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Dette gir \(x = 3\) eller \(x = -4\). Altså:

\[ x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \]

Vi forkorter brøken:

\[ \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{1}{x + 4}, \quad x \neq 3 \]

Nå kan vi beregne grenseverdien:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{3 + 4} = \frac{1}{7} \]

\[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 + x - 12} = \frac{1}{7} \]

Oppgave 4

Løs likningen \[ e^{2x} - e^x = 2 \]

Vi innfører substitusjonen \(u = e^x\), der \(u > 0\). Merk at \(e^{2x} = (e^x)^2 = u^2\). Likningen blir:

\[ u^2 - u = 2 \] \[ u^2 - u - 2 = 0 \]

Vi bruker abc-formelen (eller faktoriserer):

\[ (u - 2)(u + 1) = 0 \]

Dette gir \(u = 2\) eller \(u = -1\).

Siden \(u = e^x > 0\) for alle \(x\), forkaster vi \(u = -1\).

Vi løser \(e^x = 2\):

\[ x = \ln 2 \]

Oppgave 5

Vi har gitt likningen \[ \lg(x + 3) + \lg x = \lg a \] Bestem \(a\) slik at \(x = 7\) er en løsning av likningen.

Vi setter inn \(x = 7\) i likningen:

\[ \lg(7 + 3) + \lg 7 = \lg a \] \[ \lg 10 + \lg 7 = \lg a \]

Vi vet at \(\lg 10 = 1\). Vi bruker logaritmeregelen \(\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B)\):

\[ \lg(10 \cdot 7) = \lg a \] \[ \lg 70 = \lg a \]

\[ a = 70 \]

Oppgave 6

a)

Til slutt skrives brøken \(\frac{\text{gunstige}}{N}\) ut, som er den relative frekvensen av at summen ble 9.

Eleven ønsker å finne sannsynligheten for at summen av øynene på to terninger blir 9.

b)

Vi har to terninger, der hvert utfall er like sannsynlig. Totalt antall mulige utfall er \(6 \times 6 = 36\).

De gunstige utfallene der \(a + b = 9\):

\(a\)	\(b\)
3	6
4	5
5	4
6	3

Det er 4 gunstige utfall.

\[ P(\text{sum} = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 \]

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen viser antall gårdsbruk i Norge for noen årstall:

År	1969	1989	1999	2009	2020
Antall gårdsbruk	154 977	99 382	68 539	47 688	38 633

a) Bestem en modell. Begrunn valget.
b) Hvor mange gårdsbruk i 2060? Vurder svaret.
c) I hvilket år vil antall gårdsbruk avta med ca. 1000 per år?

a)

Vi lar \(x\) representere antall år etter 1969, slik at \(x = 0\) tilsvarer 1969.

\(x\)	0	20	30	40	51
Antall gårdsbruk	154 977	99 382	68 539	47 688	38 633

Dataene viser en jevn prosentvis nedgang over tid, noe som tyder på eksponentiell nedgang. Vi tilpasser en eksponentiell modell ved regresjon:

\[ G(x) = 154\,977 \cdot a^x \]

Vi bruker datapunktene for å finne vekstfaktoren. Med de to ytterpunktene \((0, 154\,977)\) og \((51, 38\,633)\):

\[ 38\,633 = 154\,977 \cdot a^{51} \] \[ a^{51} = \frac{38\,633}{154\,977} \approx 0{,}24928 \] \[ a = 0{,}24928^{1/51} \approx 0{,}97327 \]

Vi kan også bruke eksponentiell regresjon (CAS/kalkulator) med alle datapunktene, som gir tilnærmet:

\[ G(x) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \]

Modell: \( G(x) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \), der \(x\) er antall år etter 1969.

b)

Året 2060 tilsvarer \(x = 2060 - 1969 = 91\).

\[ G(91) \approx 151\,200 \cdot 0{,}9731^{91} \approx 151\,200 \cdot 0{,}0827 \approx 12\,500 \]

c)

Vi skal finne når antall gårdsbruk avtar med ca. 1000 per år, altså når \(G'(x) \approx -1000\).

\[ G'(x) = 151\,200 \cdot 0{,}9731^x \cdot \ln(0{,}9731) \]

Vi beregner \(\ln(0{,}9731) \approx -0{,}02728\).

\[ G'(x) \approx 151\,200 \cdot (-0{,}02728) \cdot 0{,}9731^x = -4123{,}1 \cdot 0{,}9731^x \]

Vi setter \(G'(x) = -1000\):

Årstallet blir \(1969 + 52 \approx 2021\).

Ifølge modellen vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000 per år rundt år 2021.

Oppgave 2

a)

For å kunne bruke binomisk modell må vi anta følgende:

Hvert forsøk (oppkjøring) har nøyaktig to mulige utfall: bestått eller ikke bestått.
Sannsynligheten for å bestå er den samme for alle elevene, nemlig \(p = 0{,}74\).
Utfallene er uavhengige av hverandre: om én elev består eller ikke, påvirker ikke de andres resultat.

Vi må anta at alle elevene har lik sannsynlighet \(p = 0{,}74\) for å bestå, og at forsøkene er uavhengige av hverandre.

b)

La \(X\) være antall elever som består. Da er \(X \sim \text{Bin}(12,\; 0{,}74)\).

Vi skal finne \(P(X \geq 8)\):

\[ P(X \geq 8) = \sum_{k=8}^{12} \binom{12}{k} \cdot 0{,}74^k \cdot 0{,}26^{12-k} \]

Vi beregner ledd for ledd:

\[ P(X \geq 8) \approx 0{,}2032 + 0{,}2573 + 0{,}2195 + 0{,}1137 + 0{,}0270 \approx 0{,}8207 \]

\[ P(X \geq 8) \approx 0{,}821 \approx 82{,}1\,\% \]

c)

Her ser vi på guttene og jentene som to separate binomiske forsøk.

Gutter: \(X_G \sim \text{Bin}(7,\; 0{,}74)\). Vi vil at \(X_G = 5\).
Jenter: \(X_J \sim \text{Bin}(5,\; 0{,}74)\). Vi vil at \(X_J = 4\).

Siden forsøkene er uavhengige, multipliserer vi sannsynlighetene:

\[ P(X_G = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}74^5 \cdot 0{,}26^2 = 21 \cdot 0{,}2219 \cdot 0{,}0676 \approx 0{,}3150 \]

\[ P(X_J = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}74^4 \cdot 0{,}26^1 = 5 \cdot 0{,}2998 \cdot 0{,}26 \approx 0{,}3898 \]

\[ P(X_G = 5 \;\text{og}\; X_J = 4) = 0{,}3150 \cdot 0{,}3898 \approx 0{,}1228 \]

\[ P(\text{5 gutter og 4 jenter består}) \approx 0{,}123 \approx 12{,}3\,\% \]

Oppgave 3

a)

Den månedlige vekstfaktoren er \(1{,}003\). Den årlige vekstfaktoren er:

\[ 1{,}003^{12} \approx 1{,}03660 \]

Den årlige rentesatsen er \(1{,}003^{12} - 1 \approx 0{,}0366 = 3{,}66\,\%\).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellen: B(x) := 70000 · 1.003^x
Finn årlig vekstfaktor: Numerisk(1.003^12) → gir \(\approx 1{,}0366\), dvs. 3,66 % årlig rente
Beregn saldo etter 24 mnd: Numerisk(B(24)) → gir \(\approx 75\,218\) kr

b)

Vi løser \(B(x) = 80\,000\):

Det tar omtrent 45 måneder (3 år og 9 måneder) før Knut har 80 000 kr på kontoen.

c)

Etter 24 måneder har Knut spart i aksjefondet i \(x\) måneder. Totalverdien er:

\[ T(x) = B(24 + x) + A(x) \]

der \(B(24 + x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x}\) (kontoverdi) og \(A(x)\) er verdien av aksjefondet etter \(x\) måneder.

Verdien i aksjefondet ved slutten av måned \(x\) (med innskudd på starten av hver måned):

\[ A(x) = 2000 \cdot 1{,}007 \cdot \frac{1{,}007^x - 1}{1{,}007 - 1} = 2000 \cdot \frac{1{,}007^{x+1} - 1{,}007}{0{,}007} \]

Alternativt kan vi forenkle: med innskudd i starten av hver måned, med vekstfaktor 1,007 per måned.

d)

Vi skal finne når \(T(x) > 200\,000\).

Kontoverdien etter \(24 + x\) måneder:

\[ B(24 + x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x} \]

Verdien av aksjefondet etter \(x\) månedlige innskudd a 2000 kr med vekstfaktor 1,007:

\[ A(x) = 2000 \cdot \frac{1{,}007^x - 1}{0{,}007} \cdot 1{,}007 \]

Vi tester noen verdier (med kalkulator/CAS):

For \(x = 40\) (dvs. 64 måneder totalt fra start):

For \(x = 45\):

For \(x = 47\):

For \(x = 48\):

\(T(x)\) blir større enn 200 000 kr etter 48 måneder med sparing i aksjefondet, altså totalt \(24 + 48 = 72\) måneder (6 år) etter at Knut først satte inn pengene.

Oppgave 4

I et spill kaster du tre terninger. Du multipliserer sammen antall øyne. Dersom produktet er større enn 100, vinner du. Bestem sannsynligheten for å vinne ved å kjøre simuleringer.

Vi skriver et Python-program som simulerer dette:

from random import randint

N = 1000000
gunstige = 0

for i in range(N):
    a = randint(1, 6)
    b = randint(1, 6)
    c = randint(1, 6)
    if a * b * c > 100:
        gunstige = gunstige + 1

print(gunstige / N)

Vi kan også bestemme det eksakte svaret. Det høyeste mulige produktet er \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). Vi teller alle kombinasjoner \((a, b, c)\) der \(a \cdot b \cdot c > 100\):

De gunstige kombinasjonene (der produktet overstiger 100):

\(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\) — 1 kombinasjon (alle permutasjoner: 1)
\(6 \cdot 6 \cdot 5 = 180\) — \(\frac{3!}{2!} = 3\) permutasjoner
\(6 \cdot 6 \cdot 4 = 144\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 5 \cdot 5 = 150\) — 3 permutasjoner
\(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) — \(3! = 6\) permutasjoner
\(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) — 1 permutasjon

Totalt: \(1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 1 = 20\) gunstige utfall av totalt \(6^3 = 216\) mulige.

\[ P(\text{vinne}) = \frac{20}{216} = \frac{5}{54} \approx 0{,}0926 \approx 9{,}3\,\% \]
Simuleringen vil gi et resultat nær denne verdien.

Oppgave 5

Fra figuren ser vi at rektangelet har sin nedre side langs \(x\)-aksen og punktet \(P(a,b)\) ligger på den høyre kateten (linjestykket fra \((0,2)\) til \((2,0)\)).

Likningen for den høyre kateten (fra \((0,2)\) til \((2,0)\)):

\[ y = -x + 2, \quad 0 \leq x \leq 2 \]

Punktet \(P(a, b)\) ligger på denne linjen, så \(b = -a + 2 = 2 - a\).

På grunn av symmetrien om \(y\)-aksen har rektangelet bredde \(2a\) (fra \(-a\) til \(a\)) og høyde \(b = 2 - a\).

Arealet av rektangelet:

\[ T(a) = 2a \cdot (2 - a) = 4a - 2a^2, \quad 0 < a < 2 \]

Vi deriverer og setter lik null:

\[ T'(a) = 4 - 4a = 0 \] \[ a = 1 \]

Vi sjekker at dette er et maksimum: \(T''(a) = -4 < 0\), så \(a = 1\) gir et maksimum.

Største areal:

\[ T(1) = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2 \]

Den største verdien arealet \(T\) kan ha, er \(T = 2\).
Dette oppnås når \(a = 1\) og \(b = 1\), altså når rektangelet har bredde 2 og høyde 1.

Oppgave 6

Steg 1: Finn \(r\).

Ved \(t = 0\) og \(T = 82\):

\[ \ln(82 - 22) = -k \cdot 0 + r \] \[ \ln 60 = r \] \[ r = \ln 60 \]

Steg 2: Finn \(k\).

Ved \(t = 2\) og \(T = 66\):

Steg 3: Finn \(t\) når \(T = 40\).

Temperaturen i kaffen er mindre enn \(40\,^\circ\text{C}\) etter omtrent 7,8 minutter (ca. 7 minutter og 46 sekunder).

Oppgave 7

Vi analyserer de fire grafene systematisk.

Observasjoner om graf A:

Graf A ser ut til å ha et lokalt maksimum rundt \(x \approx 1\) og er relativt flat / avtagende for store og små \(x\)-verdier. Den har en "bølgeform" som er begrenset, med verdier mellom ca. \(-1\) og \(1\).

Observasjoner om graf B:

Graf B har en vertikal asymptote (eller svært bratt stigning) nær \(x = 0\), med verdier som går mot \(+\infty\) når \(x \to 0^+\), og er svakt positiv for \(x > 1\).

Observasjoner om graf C:

Graf C har en vertikal asymptote nær \(x = 0\), med verdier som går mot \(-\infty\) når \(x \to 0^+\), og stiger deretter opp til positive verdier for større \(x\).

Observasjoner om graf D:

Graf D har et lokalt minimum rundt \(x \approx 0\) og et lokalt maksimum rundt \(x \approx 2\). Verdien ved minimumet er ca. \(-2\), og grafen krysser \(x\)-aksen.

Sammenheng mellom funksjoner og deriverte:

Vi vet at graf A er enten \(f\) eller \(f'\).

Da gjenstår graf B og graf C for \(g\) og \(g'\).

Vi velger den tolkningen som er mest konsistent med grafenes form:

Graf A er grafen til \(f\) (begrenset bølgeform med lokalt maksimum).
Graf D er grafen til \(f'\) (nullpunkt der \(f\) har ekstremverdi, positiv der \(f\) stiger, negativ der \(f\) synker).
Graf C er grafen til \(g\) (har vertikal asymptote, stigende).
Graf B er grafen til \(g'\) (positiv der \(g\) stiger, stor verdi der \(g\) stiger brattere).

Hovedargumenter:

Graf A har et lokalt maksimum rundt \(x \approx 1\). Der må den deriverte \(f'\) være null. Graf D krysser \(x\)-aksen nettopp rundt \(x \approx 1\), så graf D er \(f'\).
Graf C er stigende for \(x > 0\), og den deriverte bør da være positiv. Graf B er positiv for \(x > 0\), og har store verdier nær \(x = 0\) der graf C stiger brattest. Altså er graf B = \(g'\).

Løsningsforslag Matematikk S1Vår 2022

Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

a)

b)

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

a)

b)

c)

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

a)

b)

c)

d)

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Løsningsforslag Matematikk S1Vår 2022

Løsningsforslag – Matematikk S1 Vår 2022

Del 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

a)

b)

Del 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

a)

b)

c)

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

a)

b)

c)

d)

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7